CC BY
19
УДК 517.547.7
ОПИСАНИЕ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ BMO\( D) В ТЕРМИНАХ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ В МЕТРИКЕ БЕРГМАНА
© 2006 Г. A. Н. Карапетянц
Weighted spaces of functions of bounded oscillation in the hyperbolic Bergman metric on the unit disc are described in terms of the means over the hyperbolic discs.
В настоящей работе рассматривается исследование весовых пространств функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана. Вводятся пространства й) в терминах средних по дискам в
гиперболической метрике Бергмана. В качестве одного из основных результатов показано, что БМО Г л(й) = БМО й), где пространства БМО^(й) вводились в терминах
преобразования Березина. Тем самым фактически приводится новая характеризация функций из пространств БМО й).
Введение
Продолжим начатое в [1] исследование весовых пространств функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана
ß( z, w) = lln'1 - zw' + |z - w| 2 |1 - zw | - | z - w |
z, w e D,
на единичном диске комплексной плоскости. В [1] вводится весовое пространство
БМОд( й) на единичном диске й как совокупность измеримых на й функций, для которых БирЦ р °а2 (•) - ^^Ц^ , с полунор-
zeD мой Ы\ #
BMO\id) = sup^o«z(•)-~u(z)|| l\(d).
zeD
Здесь w (^) - преобразование Мёбиуса единичного диска в себя, переводящее точку w = 0 в точку w = z ; ~х(2) - преобразование Березина функции р (определение
приведено ниже); пространство 1и(й) состоит из функций, суммируемых на й с мерой ^ = (2 + 1)(1-\z\2)иdц(z); ^ 1
йц(z) =— йхйу, 2>-1. Заметим, что п
БМО\(й) с Ь\(й).
Одним из основных результатов [1] является характеризация функций из БМО^(й)
в терминах преобразования Березина.
Теорема 1. Для измеримой на й функции р следующие условия эквивалентны: 1.
функция ограничена и ре БМОи(й); 2.
функция
<Ри
ограничена
®ир{\ ри (z)- \ ~и(z)\} ; 3. функция огра-
zеD
ничена и р > 0; 4. функция \ р \и ограничена.
Определение и описание пространства БМОи( й) в терминах преобразования Березина вполне естественно с точки зрения теории комплексного переменного. Однако следуя теории вещественного переменного,
можно описать пространство БМОи(й) в терминах средних по дискам Б^,г) = ^ е й: р^, w) < г} с й с гиперболическим центром z и радиусом г. Этой проблеме посвящена настоящая работа. Для дальнейшего введем некоторые определения. Для измеримой на й фунгкции р и
0 <г <ж положим
Фг ,и( z) = , ^ , 1 ч . I р (w ) ЙИи( w К
\ Б (Z, г ) \и Б (z, г ) \Б(z, г)\и= |
D( z,r)
(
^ Рл(<р; z, r) =
V/ p
| D(z>r) U D(z,r)
i | <P(w) - ФгЛz) |P dMu(w)
Через BMO pU(D) обозначим пространство
r,U
измеримых функций на supQРи(ф';z,r) с
zeD
D,
для которых полунормой
'ii #,bmo pu(d) = sup&pu(<p';z,r).
zеD
При р = 2, и = 0 пространства БМО 2( й) = БМО2,г (й) приведены в [2], где,
в частности, показано, что они совпадают при всех 0 <г <ж, несмотря на то, что нормы различны. Здесь мы рассматриваем случай р =1, и >-1.
Основные результаты настоящей работы приведены в теоремах 1, 2. Сначала мы показываем, что (см. теорему 1) пространство
БМО г,и (й) не зависит от выбора г . Далее
теорема 2 утверждает, что БМОг,и( й) =
БМОи( й) и фактически содержит новое
описание пространств БМО и (й) в терминах средних, о котором было сказано выше.
и
1
Вспомогательные сведения
Пусть А1( 0) обозначает весовое пространство Бергмана на единичном диске 0 = ^ е С: | z |< 1} в С, состоящее из аналитических на 0 функций, принадлежащих весо-
2
вому пространству Ll( 0), 1>-1. Здесь
2
Ll(0) обозначает пространство измеримых на 0 функций f, для которых конечна нор-
ма
II/Il/ d ) = [ Л/оо|2 d^ z)]12.
Л D
Преобразование Березина (связанное с весовым пространством A/( D)) функции р:
Р/(z) = (,к/ = J p(w) | k?(w) |2 dMÄ(w),
» ' Л Г\
D,
где
. л (1-М2)1+Л/2
kz (w) =
(1 - zw)2+/
= (1-|z|2)1+/2 24(z)4(w)
n=0
называется когерентным состоянием в А1(0), причем данное определение не зависит от выбора ортонормированного базиса
1 2
{еп (z)} в А1(0). Например, можно выбрать стандартный базис в а1(0): е1 (z) = dnllZn, где
Г(п + 1 + 2) 0 1 2
dn 1 =-, п = 0,1,2, к .
п1 'У Г(1 + 2) п!
Преобразование Мёбиуса V (м>), z е 0 единичного диска в себя, переводящее V = 0
✓ Ч z - V _ ^
в точку V = z аг(V) =——, V е О. Легко ви-
1 - zw
2
деть, что а2 (V) = V, вещественный Якобиан отображения Мёбиуса V (V) имеет вид:
а и2=(Н-|2)2
|1 - zw |4
наконец,
1 -\a-z (w)| =
2 = (1- | z |2)(1- | w |2)
|1 - zw |2
Учитывая | а2|= thв(2,V), можно записать диск в гиперболической метрике Бергмана в альтернативной форме: Б( z, г) = {V е 0 : | а2 (V) |< th г}. Из последнего соотношения легко вывести, что диск Б(2,г)
имеет евклидов центр в точке
(1 - th2 r) z (1 - z th2 r)
(1- | z |2)thг З евклидов радиус --—-—. Заметим, что
1-1 z |2 th2 г
при любом фиксированном г > 0 следующие выражения эквивалентны:
где, согласно сказан-
22 ' (1-1 z |2)thr
1-1 z |2 th2 r
| Б(z, г) 11 | Б(z,г)|0+112,
ному выше,
|Б(z, г)|0 = | dM(w) =
Б( 2,г )
Утверждение 1. Для любого 2 е 0 и г > 0 справедливо
С"1 <\к$ ^^Б^, г )|1< С, V е Б(х, г). (1) Утверждение 2 [2]. Пусть г,5,Я - положительные числа. Существует постоянная С>0 такая, что
С_1(1-1 212) < |1 -| < С(1-1 212), в(2, V) < г ,
С-11 Б(2, г) 1< | Ц?>, 5) 1 < С | Б(2, г) 1, в(2, V) < Я .
Как следствие для аналитической на 0 функции р и в е К, 0 < р <ю , 0 < г <ю имеет
место оценка:
(1- | 2 |2)в | р(2)|Р <
< С | (1-|z|^)в-2|р(w)|p du(w) (2)
Б( 2,г)
с постоянной С, зависящей только от р,г,в (и не зависящей от р и 2 е 0).
Утверждение 3 [2]. Для определенной на диске Б функции р следующие условия эквивалентны:
1. Бир{|р(2)-р^)|:в(2, V) < 5} <Ю ,
2. |р(2)-р^ < С(в(2,V) +1), 2,V е 0. Утверждение 4. Пусть V е К, 1>-1. Тогда
Jv = ¡¡ (в(и, V) + 1)v dИx (и) d^ll(v) < ю . (3)
00
Доказательство. При 1 = 0, V = 2 этот факт указан в [2]. Очевидно, следует рассмотреть только V > 0. Заменяя V = аи и
пользуясь равенством аи (аи = V , имеем
Jv = Jdß/(u) J D D
/ \v
\ + 1ln1+| (v)|' 2 1-| au(v)|
v
dM/(v) =
= Jd/u) JI 1 + ilniil^i I | k/t(w) |2 dM/(w) <
D d{ 2 1-| w |)
<C Jd/u) J (1-| w |)-V£ | k/(w) |2 d/w) =
/-vs
4+2/
dß(w).
= С(1 +1)|(1-1 и |2)1+2dИl(u) |
о О |1 - uw
Выбирая е так, чтобы 1-sv >-1 и используя оценку (см. [2], теорема 1.7)
1 (1-м121; d^(w) < С1и-\и\2)-2-1-е, 011 - ^ |4+21
получаем Jv < С2 |(1-1 и |2)1-еvdju(u) <ю.
и
D
Утверждение 5 [2, лемма 2.13]. Для любого 0 <г <ж существует натуральное число
N и последовательность {а„}^=0, ап е й такие, что
1. диск й покрывается системой
{Б(ап, г )С=0;
2. каждая точка z е й принадлежит не более чем N гиперболическим дискам из
семейства {Б(ап,2г)}^=0 ;
3. если п Ф т , то Р(ап, ат) > г/2.
Пространство ВМО^дС й )• Совпадение
пространств ВМО Д (й) и ВМО^Сй)
Теорема 2 Пространства БМО).д( й), совпадают при всех 0 <г <ж .
Доказательство. Докажем сначала вложение
БМО 1 д (й) сБМО \д (й), 0 <5< г <ж. (4)
Для любого бе С имеем 1
q1,u( P z,s) = 2
ч| J| P(w) - ps,U(z)| dUw) < | D(z, S) U D(z,s)
J| P(w)S|dßu(w) <
| D(^ s)U D(z,s) 2
ч| I \ P(w) - ргД 00\d^U(w)
\ Б(Z, 5) Д Б(z,r) при выборе б = рг и(z) и поскольку Б^,5) с Б^,г). Далее имеем
\Б(z,г)\ < Сг(г)(1-\z\2)2 = с \ Б(Z, 5)\ с2(5)(1- \ z\2)2
откуда ^д(р;z,5) < 2Сг,5^др;z,г) и, следовательно, || р \||#,БМО 5 д(й) < 2СГ,^| | р| | #,БМО гд(й),
0 < 5 < г < Ж .
Для доказательства обратного к (4) вложения достаточно показать, что
БМО 1 д (й) с БМО2г,д( й), 0 < г <ж . Это легко доказывается с помощью утверждения 5.
Теорема 3. Имеет место совпадение пространств БМО Д (й)=БМО \д (й), 0 <г <ж , Д >-1.
Доказательство. Докажем вложение БМО Д (й) с БМО 1 д (й), 0 < г <ж , Д>-1.
Для p e BMO u( D) и любого 0 < r <ж име-
ем
Qu(p; zr) =
| D(z,r) U D(z,r)
J| P(w) - prU(z)| d^U(w) <
—77" iI l(w) -~Д(z) \dVi(w).
I D(z,r) Д D(z,r) Для w e D(z,r) с учетом (1)
Ou(q;z,r) - 2C J| q(w) - ~Д(z) | | kXz (w) |2 dMx(w) -
D(z,r)
- 2CJ| q(w) - z) 11 £Д(w) |2 d^(w). D
Таким образом
I q |||#,bmo 1ra(D) - 2C||q|| #,bmoд(D).
Обратное вложение
ВМОГд( D) с ВМОд( D), 0 < r <ж, 2 >-1 (5)
следует из лемм 2, 3, доказательства которых не используют вложения (5).
Следующая теорема необходима в дальнейшем, однако также представляет самостоятельный интерес.
Теорема 4. Пусть q > 0, q e ВМОГд( D) при некотором 0 <r <ж . Тогда следующие условия эквивалентны
1. sup Фх д (z) < ж , 0 < s < ж ,
zeD
2. sup ~2(z) <ж.
zeD
Кроме того, q e /Д(D) при выполнении
любого из указанных условий.
Доказательство. Доказательство того, что второе условие влечет первое, следует из неравенства: 1
pr,u( z) =:
Jp(w)d^u(w) <
\ Д Б(z,5)
< С I р^)\кД ^)\2 ЙЦд^) < С~д( z)
для р > 0. Здесь мы снова использовали (1).
Для доказательства обратного утверждения будем следовать схеме, изложенной при доказательстве теоремы 2.15 из [2]. Пусть
,5)}Ж=0 - покрытие диска й (см. утверждение 5). Имеем
~д( z) = I р^) \ кД (w) \2 < й
Ж Д о
<2 I р^)\кД (w)\2
п=! Б( Zn, 5)
и
С учетом аналитичности ^(w) по w е й, применяя (2) для всех w е ,5) и фиксированного 5, получаем
\kXz (w)|2<
| s)|U D(w,s) C2 CuU,..^ |2
J \kUz (м)|2 dßu(u) <
( ■ J\kU (u)|2 dMl(u).
| D(zn,s) U D(zn,2s)
Здесь также использовано утверждение 2. Следовательно,
1
< S , П,С3 J P(w)(w) J | kz(u) |2(u) <
n=11 D(zn,s)U D(zn,s) D(zn,2s)
0 2 ~
1 kz (u) 1 Фл(u) < C3N SUP Ps Д (z) ■ zeD
< С^ир р5;1(г) I /
2е0 п=1 Б(2п ,25)
Наконец, последнее утверждение леммы вытекает из очевидного равенства
~1 (0) = / ((V) dul (V) = || (р | ь\( 0), Р ^ 0 .
й
Лемма 1 Если ре ВМОТ^0) при некотором 0 <г <ю , то справедливо неравенство:
| 2) - ф^)^ С [в( 2, V) + 1] (6)
для любых 2,V е 0 и любого 0 < 5 <Ю .
Доказательство. Поскольку пространства ВМО^( 0) совпадают при всех 0 < г <ю то, фиксируя 5 , можно выбрать г = 25. Рассмотрим выражение | рsд(z) - рsд(w)| при в(2, V) <5 . При некотором Зе С |Ф*,1(2)-psд(w)| < |Фв1(2)-З| +|l)s,1(w)-З|<
®i((p;z) = J| (p(w) -~x(z) II к? (w) |2 dßX(w) ■
D
Будем иметь
®1(Фв,Х\z) = J| ps,Ä(w) -"О^оЫz)|| kz (w) |2 dßX(w) = D
= J|)s,l(w) -J<Ps,l(u) | kz (u) |2 dMA(u) | kz (w) |2 dMl(w) =
= J
D
|kz(w)|2 dßz(w) ■
1
| D(z, s)U D(z,s)
J | <p(u) -S| d^x(u) +
1
J | p(v) -S| dßX(v) ■
| Б(^ 5)|1 Б(V, 5) Заметим, что Б(2,5) с Б(2,25),
Б^,5) с Б(2,25) при в(2, V) <5, а также в силу утверждения 2 имеем
|Б(2,5)|1~|Б^, s)|l~|Б(z,2s)|l, если в(2, V) < 5 . Следовательно, при любом З получим
| ps,X(z) - ps,Z(w)| <Т
2Cs
J| p(u) -S\d^l(u). | p - psAsi(z) =
1 2
Яр^) - р1и)] | К(и) | и(и) о
С учетом неравенства (6)
®1(Фв,!2) <
< JJ(в(w,и) +1) | кХ(и) |2| к1(V) |2 dul(u)dul(w) = 00
= \\Ш,Ч) +1) dul(#)dul{ri)■ 00
Здесь мы осуществили замену переменных V = а2, и = а2(п) и воспользовались инвариантностью метрики Бергмана относительно преобразования Мебиуса: в(а2(%),а2(п)) = в(#,7). Окончательно, в силу (3)
Ц^аЦ #,вмо 1(б) < Ц(в(и,V) +1)dul(u)dul(v)) < ю . 00
Лемма 3. Если р е ВМОг,1(0) при некотором 0 < г <ю, то функция | р - фsд\sд ограничена на 0 и, следовательно, р - р511е
вмо1( 0).
Доказательство. Заметим, что
р е ВМО^! 0) при любом 0 < г <ю . Далее имеем
1
| Б(22) |1 Б(2,25)
Полагая З = Р2sд( 2), будем иметь | Фз,1(2) - Фs,1(w)| < < 2С, ^(р;2,25)< 2С^||рр р #,вмо ^ я(й) <ю (7) при в(2, V) < 5 . Отсюда с учетом утверждения 3 следует (6).
Следствие 1. Если р е ВМО^^ 0), то
Ф*,1е 1^1 (0), 0 <г <ю .
Доказательство. Действительно, с учетом (3) и (6) будем иметь
/| %,а(2)|dul(z) < /| Ф5,х(2) -Ф,¿,1(0)|¿мл(2) + ')s,l(0) < 0 0
< С | (в(2,0) + 1) dUl (2) + ф,1 (0) < Ю. 0
Ниже приведем две леммы, из которых непосредственно будет следовать вложение (5).
Лемма 2. Если р е ВМО^,^ 0) при некотором 0 <г <ю, тогда ф51е ВМО1(0) для любого 0 < 5 < ю .
Доказательство. Обозначим
| D(z, s)U D(z,s)
J | P(w) - Ps,^^ dßX(w) <
1
| D(z,s) z D(z,s)
J | p(w) -Фsд(.z)| dßX(w) +
1
J | psz(w) - psZ(z)| d^X(w).
| Б(2, 5)|1 Б(2,5) ' Легко видеть, что первый интеграл совпадает с 01;1(р;2,5) и поэтому не превосходит величины 1 рр#,ВМО 11 (0). Для оценки второго интеграла воспользуемся (7) замечая, что в(2, V) < 5 при V е Б(2, 5).
1
| D(z,s) z D(z,s)
J | ps,z(w) - ps,z(z)| dMl(w) <
< 2Cs
I #,BMO 2s л( D) < ж ■
Следовательно, sup | q>-(z) <ж .
zeD
Отсюда в силу теоремы 4 следует, что функция | ф - фцд\х ограничена. С учетом теоремы 1 окончательно получаем, что Ф - BMO\( D).
да
+
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 04-01-00862-А.
Литература
1.Карапетянц А.Н. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. Приложение № 9. С 8 -18.
2. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. N.Y., 2000.
Ростовский государственный университет
8 июля 2005 г.
