CC BY
9
УДК: 517.517
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ В ТЕРМИНАХ ^-СУММИРУЕМОСТИ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ
© 2013 г. А.Н. Карапетянц, Ф.Д. Кодзоева
Карапетянц Алексей Николаевич - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Б. Садовая, 105/42, г. Ростов н/Д, 344006, e-mail: [email protected].
Karapetyants Alexey Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Professor, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, B. Sadovaja St., 105/42, Rostov-on-Don, 344006, Russia, e-mail: [email protected].
Кодзоева Фердос Джабраиловна — кандидат физико-математических наук, преподаватель, Ингушский государственный университет, ул. Магистральная, 39, м/о Гамурзиево, г. Назрань, 386132, е-mail: [email protected].
Kodzoeva Ferdos Dzhabrailovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Lecturer, Ingush State University, Magistralnaya St., 39, Gamurzievo, Nazran, 386132, Russia, e-mail: [email protected].
Продолжено исследование классов функций, определяемых условиями на среднюю осцилляцию, начатое в статье А.Н. Карапетянц, Ф.Д. Кодзоева. (Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2012. № 4. С. 5 — 8). Рассматриваются классы функций с р-суммируемой с весом средней осцилляцией. Изучены вопросы продолжимости с полуоси на ось, вопросы «склеивания» таких функций, получены достаточные условия принадлежности таким пространствам. В качестве приложения исследованы вопросы ограниченности операторов свертки и с однородными степени (-1) ядрами в указанных пространствах на полуоси и оси соответственно.
Ключевые слова: средняя осцилляция, классы Бари-Стечкина, интегральные условия.
The paper is devoted to continuation of the study of classes of functions with condition on mean oscillation, started in A.N. Karapetyanrs, F.D.Kodzoeva. (Izvestya Vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye Nauki. 2012. № 4. S. 5 — 8). That is, the spaces of functions with p-integrable (with weight) mean oscillation are studied. Problems of connectedness and prolongation for such functions are studied, sufficient conditions for a function to be from such spaces are obtained. As an application, we study boundedness of convolution operator and operator with homogeneous (-1) kernel in mentioned spaces on real line and half line correspondingly.
Keywords: mean oscillation, Bari—Stechkin classes, integral conditions.
Пространства BMO локально-интегрируемых функций, для которых ||/||* = sup li1 \И\/(х)- fj (x) \dx\<x,
И 41j i
где f, как обычно, среднее функции f на интервале I, уже давно возникли в различных вопросах, связанных с интегральными операторами. Именно в их терминах, например, описывается образ дробных интегралов и потенциалов Рисса в так называемом предельном случае теоремы Соболева, когда а = np. В терминах принадлежности к пространству BMO описываются классы функций, для которых коммутатор с сингулярным интегральным оператором оказывается компактен и др. Пространства BMO высших порядков оказываются тесно связанными с пространствами типа Бесова. Различные аспекты, связанные с BMO-пространствами, нашли отражение в монографиях A. Torchincky [1], Дж. Гарнетт
[2], Б.С. Кашин, А.А. Саакян [3], П. Кусис [4] и др., а с пространствами функций с ограниченной средней осцилляцией k-го порядка - в монографии R.A. De Vore, R.C. Sharpley [5] и диссертации Р.М. Рзаева [6] (см. также [7, 8]). Интегральные операторы свертки Винера - Хопфа и с однородным степени (-1) ядром в таких пространствах рассматривались в работах А.В. Гиля, Н.К. Карапетянца [9] (см. также [10]).
При рассмотрении интегральных операторов как свертки, так и с однородными степени (-1) ядрами оказалось, что важную роль играют оценки средних значений функций по интервалам в зависимости от самого интервала и его длины, а также некоторые внутренние свойства пространств BMO, такие как необходимое условие принадлежности пространству, условия продолжимости с полуоси на ось нулем, чётным, нечётным образом.
Мы продолжаем исследование классов функций, определяемых условиями на среднюю осцилляцию, указанного выше вида. Именно изучаются классы функций БМОРгШ(Я), БМОр^(Я±), БМОр^(а,Ь) с р-суммируемой с весом —юр ограниченной средней осцилляцией, определенные в [11]. Так, пространство БМОрт(Я), 1 < р < да, состоит из функций, локально интегрируемых на Я, для которых следующая полунорма конечна:
1
(
I #,BMOp^(R) :
7
(t)
At)
Л:
dt
< да .
Аналогично вводятся пространства БМОрт(Я±), БМОрт(а,Ь). Здесь непрерывная неотрицательная
функция т принадлежит некоторому классу Ф 1
1+— р
[11]. Рассматриваются вопросы продолжения и склеивания функций из пространств БМОра(Я±), приводятся необходимые условия принадлежности функций этим пространствам. Используется аналог введенного Д. Сарасоном интегрального скачка (е > 0, те Я):
1 т+е 1 т
®т,е(/) = - I /№ - - | /№ .
е т е т-е
Как уже было отмечено, необходимые определения и сведения содержатся в [11].
Продолжимость функций из БМОрт(Я±)
Здесь приводится характеризация множеств функций БМОрт(Я+), продолжения которых на полуось х < 0 нулем, четным или нечетным образом принадлежат всему пространству БМОрт(Я). Аналогичные результаты могут быть сформулированы в контексте пространства БМОр ш(Я_); здесь мы их не приводим.
Для описания указанных множеств введем ряд обозначений:
Л/ {*) =1
s
(
Af
J / it)dt
о
suPs<tAf (s)
1 s
Af (s) =1 J| f (t )| dt,
o(t)
dt
Af =
suP s<tA+f (s)
<t)
dt
Следующая теорема в терминах конструкций вида (1) характеризует функции из / е БМОр^(я+), допускающие продолжение нулем на полуось х < 0, принадлежащее пространству БМОрт(Я).
Теорема 1. Пусть / е БМОр т(Я+) и / - ее
продолжение нулем при х < 0. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. Лу .
2. Л++ < да .
3. / е БМОр Ю(я).
Доказательство. Очевидно, второе утверждение влечет первое. Покажем, что из первого утверждения следует третье. При Лу < да возможны случаи:
а) если а > 0, b > 0, то п(~,I[afi))= п/, IM)
б) если а < 0, b < 0, то
f (ab))
1= о;
в) если I = (а,е), а < 0, е > 0, имеем q(~,I(ab))=-L- S f (x)-^ S f (y)dy
s— a
1
s — a
1 s
f (x)--J f (y)dy
s—a
s — a,
dx f J
dx =
1
1
s — a,
s c-
s f (x)—^ f1{
s —a
(о, s)
dx f-
s — a 0 — as
s
■j f (y d
dx =
(s — a)
(0, s)
Здесь мы воспользовались тем, что f(x) = 0 при
х < 0. Так как 0 <
(s — a)2
■ < 1, то справедливо
, 1 (a, s))=—„ J
s — a
f (x)—fl(a s) I T fl(
s — a s— a (0s)
(s — a) —as
fu
(s — a)
(0,s)
fu
1 s
<— J f (x)—f
s — a 0
(0,s) dx f-
dx f
(0,s)
(s — a)
fu
(0s)
(0,s)
< Q.(f, I MK 2 /1{0шв)
С учетом а), б) имеем m ~ (t) <
< 2sup {й/,I^)): b - a < t,0 < a < b }+ 2sup^ Af (e). Теперь, интегрируя и используя неравенство Минков-
ского, получим
#, BMOp^(R)
( да " m f (t )_ P 1
1 0 V dt /
_ rn(t) _
< 2
mf ,Rf (t)
4)
dt
f 2
sup s<tAf(s)
>(t)
dt
l#,BMOp,m(Rf) f 2Af <Ж .
. (1)
Покажем, что третье утверждение влечет второе. Если / е БМОр т (Я), то для I = (-е,е), е > 0 с учетом
того, что / (х) = 0 при х < 0, имеем
■1 s
2s Л
f 1 s f
f (x) — ^ J f (t )dt
2s
1 s
dx = — J 2s J
1s
f (x)—— J f (t )dt
2s
dx f
f-M
2s _,
J_ 4s
1 s
— — J f (t )dt
2s 0
1 s
dx = —J 2s 0
1s
f (x)—— J f (t )dt
2s 0
dx f
J f (t )dt
1 s
Так как — J
2s J
1 S
f (x) — — J f (t )dt
2s 0
dx > 0, то
J_
4s
s f (t )dt
<1 s
2s L
~ 1 s ~
f(x)—— J f (t )dt
2s
dx .
(2)
s
a
да
0
—as
0
— as
f
<
1
1
да
да
0
0
0
да
да
0
0
0
1 6
Рассмотрим интеграл — J|f (t)dt
4б I
и запишем его в
4s
= -1 6
4б -J£
<-1 J
4s Л
J
4s 6
1 J 1 J I ~ I
виде — 6 f(t)|dt = — 6 I f (t)|dt =
0 4s. s
f 1 s f 1 s f
f (x)-— 6 f (t)л 6 f (t)dt
2s.
~ 1 s f
f(x)-— 6 f (t)dt
2s
f 1 s f
f(x)-— 6 f (t)dt
2s
2s
dx +--
4s
dx <
dx + -
4s
s f (t )dt
-s
s
6 f (t )dt
С учетом (2) и предыдущих соотношений получим
is is
sf(tdt < si
f 1 s f
f(x)-— 6 f(t)dt
2s _P
dx +
+-1 s
2s
f 1 s f
f (x)-~ 1 f №
2s
3 s dx = — f 4s _,
f 1 s f
f(x)- - 6 f(t)dt
2s „
(3)
dx.
Далее имеем
q(f.I(-ss))=Ys s •f(x)-f
-s
1 0 ^ f , 1s
(-ss)
dx=
= 2s { f(x)-fW)^+f(x)-^r(-ss)
^x <
7 u I f f I 7 s I
<- Л f (x)-f^, 0)Г+f(x)- fk
2s
k(0, s)
dx =
= Q(
f ,I (_, 0))+ n(f,I(0, s))= n(f,I (0, s)).
Таким образом, ,j(-e, &))< n(/,j(0,. Перейдем к супремуму в обеих частях (3):
1sup1 J| /(t) \dt < 3supп/ J(-£^
4 s<t & о 2 &<t
< |sup dfj (0, | mf (t).
<
° s<t
Следовательно,
A+ =
SUPs<t Af a(t)
A+ (s)
p Л p f
dt
< 6
m
■(t )"
dt
< ж .
а) если a > 0, b > 0, то n(f,I(eJ = of,^)};
б) если a < b < 0, то
Q(
1
\ 1 b f 1 b f ■(/U(ab))=7— 6 f (x)-—6 f (t d
• ' b - a, u "
b - a'
dx =
- a + b
6
f (x)---"6f (t t)dt
- +b
dx = Q(f, I (-b,-a))
в) если a < 0, Ь > 0, то с учетом того, что / - нечетная функция, имеем
Q(
b - a a
1 Гb -a Л
f (x)~l— I 6f(t)dt- 6f(t)dt I
b-a ^0 0 )
dx +
- fix)--1-1 6 f(t)dt - 6f(t)dt I
( b
b-a
V 0
0 )
b - a
1 6
f (x)~-6 f (t )dt
b - a 0
1 b
dx+--—J dx
-a) 0
^^^ T
b - a 0
1 -a f (x)---6 f(t)dt
b - a 0
dx+
(b - a)
1 -a
dx <
-a 6 f (t d
(b - a)
a)2 0
6 dx
6 f (t )dt
0
Дальнейшие преобразования приводят к неравенству
\ 1 b 1 b
Q(~,I(a,s))^T— 6 f(x)-1 6 f(t)dt dx + ' b - a u
b
0
- ab
(b - a)
1 7
b
6 f (t )dt
- ab
+ -
b - a 0
- ab -a
1 -a
f (x)--6 f(f)dt
- a 0
6 dx
- a(b - a) 0 0 Окончательно имеем b
a
6 f (t )dt
dx + - ab
(b - a)
2 (b).
Q
(f, I off, I (0b))+fab2- Af (b)+
-ab
b _ a °J. I<U)
+ A' b Q(f,' (0-a) ^ Af (- +
что и требовалось.
По аналогии с предыдущим приведем характери-зацию функций из BMOp,m(R+), которые допускают нечетное продолжение на полуось x < 0, принадлежащее BMOpш(R), в терминах конструкций вида (1).
Теорема 2. Пусть /е БМОр^(я+) и / - ее нечетное продолжение на полуось x < 0. Следующие условия эквивалентны:
1. Лу .
2. А^ < ж .
3. / е БМОр^Я).
Доказательство. Ясно, что достаточно проверить, что из первого утверждения следует третье, а третье влечет второе.
При А у < ж возможны случаи:
^ (- a) = b-a Qif,' (0,b))+ b-a Q( f.' (•._a))-
-a) 2ab
2ab
+ o(f, I (0,-a))+Af (- a) + Af (b).
b - a
^era^ что supb-a<t Af(- a) < sup-a<t Af (- a) = sup^ Af (s) и аналогично ^Pfe-^ Af(b) < supfe<t Af(b) = suPs<t Af(s). Далее
b
b - a
Q(f, I (0,b) )+~a- Q(f, I (0,-a)) =
b-a
b - a
Q(f, I(0bb) )+|1 -T~ I o(f, I (0,-a )). (4)
b - a
s
b
<
1
0
b
<
+
0
0
s
+
0
1
ж
0
0
b
Переходя к супремуму в правой части этого равенства по всем интервалам Iс b - a < t и a < 0, b > 0, получим, что правая часть (4) оценивается через SuPe<t ^(f ,1 (0,e)).
Таким образом, с учетом утверждений а), б) и приведенных выше рассуждений имеем
m~ (t) = SUP{Q(7,I(ab)b - a < t }<
< sup{q(~, I(ab)): b - a < t, ab > 0 }+
+ sup{q(~ , I (ab )) : b - a < t, a < 0,b > 0 }<
< sup{^(/,I(ab)): b - a < t,0 < a < b }+
+ sup{^(f, I (0,e)): e < t}+ 2 sup A/ (e) <
e<t
< sup{^(f,I(a,b )): b - a < t,0 < a < b }+ 2supA/ (e).
(
#,BMO m(R)
?(t)"
a
(t)
V
dt
<2
V R
(t
(t
dt
suP s<tAf (s)" a(t)
dt
с учетом того, что
s 1 s ,
1 s 1 s . ___ I
Af (s) = 1J| f (t)\dt = — J f (x) — f \dx, откуда
s 0 2s — s
Af (s) < q(_, 1(—е,е)) и sups<t Af (s)< M
sups<i ^(f,I(s s))< m f (t). Интегрируя, получим
Af = Af =
suPs<tA+f (s)
<
(t)
a
(t)
At)
dt
dt
#,BMOpa(R)'
а) если а > 0, b > 0, то n(fI[afi)) = п(/,Im);
б) если а < b < 0, то
Z_ \ 1 b f 1 b f
Ц/,I(at))=— J f (x) — T— J f (t)dt
' b — a „ b — a ,
dx =
— 7
— a f b —b
f (x)--l— if (t )dt
— a f b —b
dx = й(/, I (—b,—a))
в) если а < 0 < Ь, то рассмотрим О(/,1 (-6,-а)), считая для определенности |а| < Ь. Для каждого
1 b
I = (а,Ь), полагая aI = — J f (t)dt, будем
b n
иметь
п(_,I(ab))=TL-i|f(x)—f\dx J|(x)—a^dx =
Интегрируя и используя неравенство Минковско-го, получим
b — a]
2 b ■ 1 b
b—aa 2 0 . i b
b f 1 b 2 0 f 1 b , -J f(x)—1Jf(t)dtdx = -— J f (x)—1Jf(t)dt
b — aa b0 b — aa b0
dx f
2
b
b — a 0 2 b
1b
J f (x)—1J f (t t)dt b
2 —a
dx =-J
b — a 0
1b
f (x)—1J f (t )dt b
dx f
b — a
b 1 b 4 b 1 b
i f(x)—1 i f(t)dt dx < --J f(x)—1J f(t)dt
b—a
dx.
= 2 fl l#,BMOp,a(Rf)f 2Af <да .
Таким образом, f e BMO a (r) .
Пусть теперь f e BMOpa (R), тогда для I = (- е,е)
/i = 0, имеем
Теорема доказана.
Оказывается, что в отличие от предыдущих случаев четное продолжение функции из БМОрт(Я+) на отрицательную ось, принадлежащее пространству БМОрт(Я), существует всегда.
Теорема 3. Пусть / е БМОрт(Я+) и / - ее нечетное продолжение на полуось х < 0. Тогда / е БМОр Ш(Я).
Доказательство. По аналогии с доказательствами двух предыдущих теорем рассмотрим случаи:
Таким ^раюм о/, I о(/, 1(о,ь))< 4о(/, /(о,ь)) .
Если |а| > Ь, то аналогично , 1(Ы Ь))< 4^(/, 1(0 -Ы)).
Учитывая то, что Ь - а < /, а < 0 < Ь влечет Ь < /, -а < /, теперь уже для любых указанных а, Ь получим зир^/, 1{а Ь)} Ь - а < /, а < 0 < Ь ¡< 4supп(/, I(о,е)). (5)
е<1
С учетом пунктов а), б) и неравенства (5) по аналогии с доказательством предыдущей теоремы можно показать, что т~ (/) < 4т/ я (¡), ( > 0. Следовательно,
у 3 ' +
/ е БМОрт (Я), что и требовалось.
«Склеивание» функций из БМОр,т(Я±)
Пусть - две непересекающиеся области в Я
и функция / определена на ^ 0.2 . В^1ражения / е БМО (О,-) и / е БМО_,„(П2), которые мы будем использовать в дальнейшем в том числе и для функций, определенных на (О ^ О), следует понимать так: сужения функции / на области и принадлежат соответствующим пространствам. Это соглашение облегчит формулировки в дальнейшем. Пусть / е БМОр^(я). Тогда, очевидно,
/еБМОрт(Я+) и /еБМОр^(Я-), причем справедливы неравенства т/я )(0 < т/ (/), t > 0, и
\\А 1#,ЕМОр^(Я±) <1 А\#,БМОр а(я) ■
Выясним, при каких условиях из того, что / е БМОра(я+) и / е БМОра(я-), следует
/ е БМО (я).
p
m
да
<
0
0
0
0
да
да
f
0
0
да
0
1
m
да
0
Лемма 1. Для любого е > 0 и для локально суммируемой на R функции/справедливо неравенство
1< 2П( Г.Ь „„\)<
К f < 2Q(f ,I (-ss ))<
< К _(f ) + Доказательство. Имеем
©0, s(f) + Q(f,I (0, s ))+ Q(f,I (-s, 0 )).
(6)
|©0,s(f) =
^ s(f(t) - fI(-s,s) }* SHf(t) - fI(-s,s) }*
1 s
<s s f (f) - fk
s а
(-ss)
dt +
1 0 I
s 6| f(t) - fn-s.s)
(-s,s) > dt =
=1 6 f (t)- f/(-ss) dt = 2Q(f,I(-s,s))
А—ь,ь)
~ — Ь
что дает левую часть неравенства (6). Далее рассмотрим
Q(f, I {-eJ = ±- f(О - fI(
2s
H-s,s)
dt =
= ¿ll f(t) - fI(-s,s) Idt + ijj f(t) - fI(-s,s)
< 1 Q(f, I (0,s))+1 Q(f, I (-s,0)) + +2 f
dt <
I(0 ,s) fI(-s,s) | + 2 |"^(-s, 0) fI(
Для доказательства правой части неравенства (6)
остается заметить, что
fI(0s) fh
(-s,s)
1
+ — 2
fl(-s,0) fI<
(-s,s)
1 s 1 s 10
—6f (x)dx +—6f (x)dx 6f (x)dx -
2s 0 2s 0 2s -s
1 s
- — 6 f (x)dx
2s 0
1
+ — 2
10 1 s
— 6 f (x)dx + — 6 f (x)dx -
2s -s 2s 0
(ab) С ), I (
|/(a,b)| < |I(_J,J )| < 2I(a,
(a,b)|
Q(f, I(a,b) )< 4Q(f, I^s)). (7)
Доказательство. Действительно, для любого
а, е R имеем
t \ 1 ь
Q(f, I (a,b) )=— 6 f (t) - fb
b - a'a 2 b
< —a 61f (t)-a\dt <
I(a,b)
dt <
1 (-s.s)|-s
sif (t) -a7|dt.
Для каждого I = I^j), полагая = /j получим (7).
В следующей теореме приводится необходимое условие принадлежности к BMOp т (r) . Если функция fпринадлежит BMOp0J(R+) и BMOpa(R__), то оно также является достаточным.
Теорема 4. Справедливы утверждения: 1. Если f е BMOpa(R), то необходимо
sups<t| ©0,s(f)|
а
(t)
dt
< ж .
(8)
2. Если / е БМОр^+) и / е БМОр„(й—) и
выполнено условие (8), то / е БМОр „(я).
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже в общем случае при / е БМОр„(—ж,г) и
/ е БМОр,„(г,ж).
Замечание 1. Если функция / = 0 при х < 0 и при этом / е БМОр„„(й+), то
©0, s(f) =
s 0
6 f(t)dt - 6 f (t)dt
6 f (t)dt
= Af s).
Тогда условие (8) примет вид Af <
Таким образом, равносильность условий 1 и 3 в теореме 1 следует из теоремы 4.
Аналогично, если функция / е БМОр „(й+) и
/ е БМО„(я_~) и при этом функция / является не-
четной, то
©0, f =1
s0 6 f(t)dt - 6 f (t)dt
6 f (t)dt
= 2Af s
10 10 1
—— I /(х)ах—— | /(х)к = -1®0, /.
Оценка (6) относится к случаю симметричных относительно нуля интервалов, но ее можно использовать и для оценки П(/,Iв случае несимметричных относительно нуля интервалов.
Лемма 2. Пусть а < 0 < Ь, ь = шах^я|,} и функция / локально суммируема на R. Тогда
и, как и выше, условие (8) преобразуется к виду Ау < ж. Равносильность условий 1 и 3 в теореме 2
также следует из теоремы 4.
Лемма 3. Пусть ге и функция / локально суммируема на R, тогда справедливо неравенство
\®г/ < 2П(/,I(г—Е,т+Е))< |©г,ь(/) +
+ Q(f, Iu^s )) + Q(f, I (r-s,r )).
(9)
Оценка (9) относится к случаю симметричных относительно т интервалов, но ее можно использовать и для оценки о(/,I(а6)) в случае несимметричных относительно т интервалов.
Лемма 4. Пусть г е (а,Ь), е= шах{г — а,Ь — г} и функция / локально суммируема на R, тогда справедливо неравенство
П/, 1(а,Ь))< 1(г—ь,г+ь )). (10)
Доказательства лемм 3 и 4 аналогичны доказательствам лемм 1, 2, и здесь мы их опускаем.
Теперь сформулируем и докажем необходимое и в определенном смысле достаточное условие принадлежности БМОр „ (й) в терминах интегрального
скачка в общем случае.
Теорема 5. Справедливы следующие утверждения:
1. Если / е БМО „(й), г е й, то необходимо 1
sups<t ®T,s
(f)\
(t
dt
<ж.
(11)
1
ж
0
<
s
0
0
-s
ж
0
0
s
и
4
ж
0
2. Если f e BMDpad—да,r) и f e EMO^r,да) и выполнено условие (11) при данном т, то f e BMOpa(R).
Доказательство. Пусть f e BMOpa(R), re R .
/ ч 1 T+S
имеем Q(/,i(t-s,t+s)) = — j /(x)- fl{t_s
2S T-S
1 T 1 T+S
-- J f (x)- fh ,dx +--J f (x)- fj, ,
<->„ j j \ ! j j(t-s,t+s) 2s 1\t-s,t+s)
2s t-s -j(t-st+s) 2s .
2 t 2 T+s
J f(x)- fluT dx + ^ J fix)-fu
dx = dx < dx.
9„ 1 ^ ^ ' •'Цт-ет) 9„ 1 V ' •/Цт,т+е)
2е т-е 2е т
Таким образом, справедливо неравенство
О(/, 1(т-е,т+е))< О/, 1(т-е,т))+ О(/, 1^+е)) . (12)
Для произвольного фиксированного t > 0, переходя к супремуму в левой части двойного неравенства
(9), имеем Бир®^/ < 2Бир п(/, I т-е,т+е))<
е< е<
< 2БирО(/,I(т,т+е))+ 2Бира(/,I(т-е,т))<
е< е<
< 2т/,(-да,т )(0 + 2т/,(т,да )(0< 4т/.
Тогда интегрируя, будем иметь 1
sups<t qt,s(/) p л dt p < 4 ( да да 0 m/ (0 p Л dt
ш() _ ш() _
J V У
< да.
,(œ,T ]if) + mf,(T,œ)it). Интегрируем обе части это-
/ t )( го неравенства
-it)
ко
1
p Л p
dt
< 2
SUPs<^ Q T , S
И)|
ш()
dt
+ 3
И (-да, t )
it)
dt
+ 3
V, (t. да)
it)
dt
< да
или И#, wOp,вс*) < 2
SUPs<^ Q T,S
if)
m
it)
dt
+3 и +3 fil
Теорема доказана.
Случай конечного интервала из теоремы 5 не следует. Тем не менее и в этом случае можно рассуждать аналогично. Предварительно для т е (а, Ь) положим ст = шш(т-а,Ь-т).
Теорема 6. Справедливы утверждения: 1. Если / е БМО (а,Ь), т е (а,Ь), то необходимо,
чтобы
1
(
ст
I , Л <да. (13)
2. Если / е БМОр ю(а,т) и / е БМОр а(т,Ь)
и выполнено условие (13) при данном т, то / е БМОр т(а,Ь).
Доказательство. Необходимость условия (13) следует из неравенств (9) и (12), где т е (а, Ь), 0 < е < ст :
| ®т,е(/)| < 2О(/,^т-ет+е)^ 2О(/,Ц^^2О(/,Ц^))
и Бир ®т,е(/)| < 2Биро(/,I(т-е,т+е))< е<1 е<1
< 2БирО(/,I(т-е,т))+ 2БирО/,I(т,т+е))<
е<1 е<1
< 2т/,(а,т)(0 + 2т/,(т,Ь) (0 < 4т/,(а,Ь) (0 - Тогда
Для доказательства второго утверждения рассмотрим интервалы, содержащие т. Для а < т < b и s= max {г — a,b — т\ с учетом неравенств (9), (10)
имеем df, I(ab) )< 4n(f, I^f £))< 2 ®rs(f) f
+ 2d(f,I(rrs))f 2d(f,I(r—s,r)). Если b - а < i, то е < i,
и поскольку sup{d(f,I(abb)) b — a <t, r<a или r>b}<
< mf,(_да,г)(0f mf ,(г,да)(t), получаем
mf(t) < 2(sup s<t \®,sif)|f mf,(—да,г)(0f mf,(г,да)(0If
+ m
SUPs<^ QT,sif)|
КО
p Л p i
r.
< 4
b-a -
0
m
f ,ia,b)
it)
m
it)
dt
dt
< 4
< да.
V ,ia,b)it)
Kt)
dt
Доказывая второе утверждение теоремы, заметим, что для симметричных относительно т интервалов вида
а + Ь
^см) С I(a,Ь ) и для интервала I(a)Ь), где т = с учетом правой части неравенства (9), 0 <е <т-а , имеем
df,ICd))< 11 @r,s(f)|f 1 d(f,I(r—s,r))f 1 d(f,I(r,rfs)).
Если d - c < /, то е < /, т.е. справедливо неравенство
sup
d -c <t
dif,IM))< isuP Qt,s(/)| +
2 S<t
+ 1suP dif, 1 (t-s,t ))+ 1suP dif, 1 (t,t+s))<
2 S<t 2 S<t
< 1 suP QT,s(f) I +1 mf ,ia,r )it) +1 mf ,(т,Ь)it) .
2 у v ' i 2 J ' 2 Пусть для определенности т-а <b -т, тогда для |/ ^^ \<т-а можно аналогично предыдущему случаю перейти к симметричному интервалу и использовать неравенства (9) и (10), где е = шах{т-c,d-т}:
q(/-,/M))< 4Q.(f,I{т-ет+еЙ 2 | +
+ 2Q(f, 1{т-Ет )) + 2П(/, I тт+е )).
о
да
1
1
c
T
T
0
0
0
1
1
да
да
m
+
0
0
V
У
да
да
0
0
да
+
0
Таким образом, учитывая, что из d - c < t следует е < t, получим
sup Q{f,I(cß) )< 2sup ®r,s(f) |+ 2mf,(a,T)(t) + 2mf ,(j,b)(t) .
d-c<t
Осталось рассмотреть случай, когда |I(c,d) | > т
>т - a .
Имеем Q1
(f, I(c,d) У-
'(c^l^d) Обозначим mf j (t) = sup^ <
6 f (x)\dx <--1 6 f (x)\dx .
т - a
справедливо неравенство
mf„ Jt)<^
Л, W
т- a Л/М •
Интегрируя и применяя неравенство Минковского, получим
r.
b-a
6
0
V -fob)
(t)
it)
Y
dt
f
(,
) V 1
V ■(ab)
(t) ■
>(t)
dt
b-a
6
т-a
mf (ab)
(t) ^
>(t)
dt
V ■{a■Ъ)
(t
(t
dt
r.
b-a
6
т-a
mf,(a,b)(т- a) + mf,(a,b)
(t)
,(f)
dt
Используя неравенство (14), получим
f
< 2
b-a
6
0
6
V ,{a,Ъ )(t)
,(t)
dt
sups<t| KT,s(f)| + mf ,{a,т)(t) + mf ,(т,Ь)(t)
9(t)
dt
(
b-a b-6a
т-a
V ,(a,b
)(т- a)
а
(t)
< 2
A.
+ 2
b-т
6
0
sups<t\©rs^l
a(t)
mf ,M)(t)'
dt
dt
m
f ,(a,b
(t ■
a(
+ 2
>(t)
nf ,(a,f )(t)
dt
(t
,(t)
Л" Л
dt
b-a
V,(a,b) (t- a)
a(t)
dt
dt
b-a
6
т-a
2(b - a) | | т- a
а
(t)
dt
V )
И, наконец, окончательно имеем
Л
b-a
6
0
mf ,(a,b)(t)
a(t)
dt
< 2
sups<t\ КтЛЛ\
a(t)
dt
f
+ 2fll #,BMOpa(a,t) +
b-a
6
т-a
V,(a,b)(т- a)
I Q(f, I), тогда
(14)
+2,
I #,BMOpa{r,b) "
b-a
6
т-a
a(t) 2(b - a) л
т- a (a,b)
dt
а
(t)
dt
< ж.
Ограниченность операторов Вольтерра и свертки
В качестве приложения полученных результатов сформулируем теоремы об ограниченности операторов Вольтерра и свертки в пространствах БМОр„ (я)
и БМОр „ (я+ ). Доказательства этих результатов проводятся стандартными методами.
Теорема 7. Пусть к(Ях,Л/) = ?—\(х, /), А> 0 .
х
Оператор Вольтерра (К/)х) =|к(х,/)/ограничен
в пространстве BMO a(R+), если 6| к (1, t)dt
< ж
(в силу однородности ядра оператора Вольтерра указанное условие можно также сформулировать в виде
ад ^
I\к(уI dy ).
1 У
Теорема 8. Оператор свертки (Н/ )(x) =| h(x — t)f (t)dt с суммируемым ядром
R
h e I1 (r) ограничен в пространстве BMO m (R). Литература
1. Torchincky A. Real-Variable Methods in Harmonic Analysis. 1986. Vol. 123. P. 468.
2. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М., 1984. 470 с.
3. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М., 1984. 496 с.
4. Кусис П. Введение в теорию пространств W. М., 1984. 364 с.
5. De Vore R.A., Sharpley R.C. Maximal functions measuring smoothness // Memoirs. AMS. 1984. Vol. 47, № 293. 115 р.
6. Рзаев Р.М. Интегральные операторы в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию функций и некоторые приложения : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Баку, 1993. 200 с.
7. Рзаев Р.М. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями на
c
Z
+
0
1
2
+
a
1
1
-a
<
+
0
-a
<
+
+
1
+
0
0
p
p
<
+
0
1
b
a
<
+
+
-a
p
p
p
p
c
т-a
z
+
0
0
+
+
Z-Ü
)
4
)
p
p
+
среднюю осцилляцию функций // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, № 3. С. 562 - 565.
8. Рзаев Р.М. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию к-го порядка // Докл. РАН. 1997. Т. 356, № 5. С. 602 - 604.
9. Гиль А.В., Карапетянц Н.К. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограничен-
Поступила в редакцию
ной средней осцилляцией // Докл. РАН. 2004. Т. 397, № 1. С. 1 - 4.
10. Гиль А.В. Интегральные операторы свёртки и с однородными ядрами в пространстве ВМО : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 2004. 20 с.
11. Карапетянц А.Н., Кодзоева Ф.Д. Некоторые пространства функций, определенные в терминах р-сумми-руемости средней осцилляции // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 4. С. 5 - 8.
_16 сентября 2013 г.
