Описание весового пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.547.7

ОПИСАНИЕ ВЕСОВОГО ПРОСТРАНСТВА ВМОря (

© 2008 г. Ф.Д. Кодзоева

The paper continues the study of a class of spaces bmo% (2 of the unit bidisc. Several descriptions of these spaces are given in terms of Bere-zin transform.

В настоящей работе в терминах преобразования Березина описывается весовое пространство

ВМОJ на единичном бидиске пространства С. Пусть V2 = ¿¡= ih z2 У С2 : | zj <1 ,j = 1,2 - би-

диск в пространстве С . Введем весовое пространство BMOvx как совокупность измеримых на I'2 функций, для которых sup || <p°az € Jlr? 00 , с

полунормой

II (рЬвМОр^ " 5ир

Л * > ге{/2 Д ^

Здесь преобразование Березина функции

<р (определение приведено ниже), а преобразование уу—>а2 единичного бидиска V2 в себя определено по правилу: а2 {уУ С- <1'2 где

ау

> zy -Zt.

jwj

■j

1 - z ,w ,

- преобразование Мебиуса еди-

ничного диска в себя, переводящее точку w, = О в

точку w j = Zj, j = 1,2, пространство I А ((2

состоит

из функций, р-суммируемых на К2 с мерой

О +■-К|2)Л (1 ■-Ы2/2 4« С

¿1/1 ^У — ¿¡Ц йуу — А?Х2 , Л ж

Л = ^, -1 < < 00 , у = 1,2 .

Исследования в этом направлении, по-видимому, были начаты в [1] и далее продолжены в [2]. Основные результаты данных исследований приведены в [3-5]. Отметим, что определение пространств в указанных работах соответствует случаю, когда норма

берётся в пространстве I? 0 ^ на единичном диске

Б , т.е. изучается пространство ВМО\ .

В [6] безвесовые пространства вмо\ ф] изучались в связи с задачей о связи между компактностью оператора Теплица с символом из ВМО\ 0 и поведением преобразования Березина оператора Теплица при приближении к границе диска. Аналогичная задача для операторов Теплица с символами из весового

пространства ВМО\ С) на весовых пространствах

Бергмана А2 0 была решена в [7, 8]. Для описания

пространства ВМО\ 0 использовалось преобразование Березина, которое является одним из наиболее распространённых методов в теории операторов и пространств аналитических функций.

В настоящей работе вводятся и описываются весовые пространства ВМОр на единичном бидиске V2 пространства С2. Описание данных пространств несколько отличается от описания ВМО\ 0 в связи с тем, что на диске и бидиске метрики вводятся по-разному.

Выбор веса —^ в определении пространств

не случаен. Такие весовые пространства Бергмана интенсивно изучались в последнее время в связи с их связью с приложениями, а также в силу естественности определения веса, состоящей в непосредственной связи с порождающим ядром весового пространства Бергмана.

Вспомогательные сведения

Преобразование Березина функции (р, связанное с весовым пространством Бергмана на бидиске, определяется следующим образом:

<Ря О \у2(р4уУг Фа ^ г 6 К2,

где функция

(i-H2)1+2(H*2|

|2 ^

1+-

-S+A,

-1 d -

называется нормированным когерентным состоянием в соответствующем весовом пространстве Бергмана на бидиске.

2

Метрику на V зададим следующим образом:

pZ, ™У Zi, ß Z 2, w2

л/2 '

где

ßt

^ 1, 1+ ;, 2 ~

a,

w>F

a.

=ii„

2

1- hwj\ + \ZJ ~wj\

1- \zjwj\ ~wj\

Zj,WjeB,

2

2

обозначает метрику Бергмана на единичном диске Б . Пусть 1)г 3= I)^ 1 -''] У1)^2• '2 г = Съ г2 > С/ - И' / У А] е /): р . и 7 У. / = 1,2 д= Б - диск

с (гиперболическим) центром в точке 2 ^ и (гиперболическим) радиусом г в метрике Бергмана.

Обозначим далее /■ = \Г)^ г г! и; . Для

локально суммируемой на К2 функции ср и 0 < г^ < х . у = 1,2 введём средние в гиперболической метрике

Бергмана срг^ ^ ^ '

И, ^

1

^Jf Фа ^

г J >0,

ЛГ1 <

^Н^Сг]; <С, где С = С(> тельная постоянная, зависящая от г = ^, г2 .

Описание пространства ВМО% ((2

Заметим, что для функции (р е ВМОд

= 1к2 к^Э-^я ^ ^_>Фя ^> 00 ,

I гф'О ^Я Фя 4уУ 00 , те- 9 е ВМ°Л к2 „ влечёт <р е ('2 и следовательно, ВМО% ('2 ('2 . Норма в ВМО% ((2 определяется следующим образом: || р ||5МС?^ р ||

Полагая V = аи и учитывая, что аи С' У= м'

положи-

к- С' Фя Фя С' получим другое

полезное представление для полунормы:

11 Ph^Mo^t2 - ^/И^О^я^]?^ <р]^Фя<Р

Некоторые результаты для функций

из M/Of

Лемма 2. Пусть функции 1//я <р измеримы на V. Тогда

¡v2 91 kz Фя

(1)

Доказательство. Легко проверить, что

<\<р<у~У 9л €]>|9^У V€]>

+ \kz dm*- Ol v2<p4 1z Фя 0=

р-среднюю осцилляцию в метрике Бергмана

1

V2 ^ОЭ^ > Фяu

Приведём вспомогательную лемму, доказательство которой следует непосредственно из [3, лемма 2.14].

2

Лемма 1. Для каждого г е¥ и фиксированных у = 1,2 имеют место неравенства

Применяя неравенство Минковского и учитывая, что к £ > Фд С' , - вероятностная мера, получим неравенство (1).

Следствие 1. Пространство ВМО^ {'2 может быть снабжено эквивалентной нормой || <Р\\ВМ(у ( - -

Л * V

= sup Ulf iv2 \<р<уУд\р kXz <0 dm iyV +

zeK2 SeC\ J

при этом

II V HWof Jl <P IIBMOl V- J 2 II PII'BMO{

Следствие 2. Если (p 6 ВМО^ , то

e ВМО^ . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Доказательство. Покажем, что

С учётом (1) имеем

<2^2 \(p\°az 4>У\ (рх k^ фд < 2\yi I<p о az<iy q)x ^Ik* iy^ dfiÄ q>\\#ßMOP (-2

Этот результат может быть обобщён следующим образом.

Следствие 3. Если g(t) удовлетворяет условию Гельдера при t> 0 и (р е BMGf i(2 , то

Пример. Положим w а %

(i-N2Xi-N2

О < < 1, и покажем, что Wß^ß. BMO% i(2 .

Действительно, пусть ц/ измерима на V2. Имеем

11^1 II #,вмо?Л2У

1

1

= supij^lwjCp^uZjf <yld/JÄ4y

zeV2\

Ii #,вмо?еу

sup fj"K2 <y~2-wn ^ ki <(0

= sup \v2 \(p(tz (tu 4уУУ 4? ° az ^

¿мл:

«eF2

= sup fv2 |(p<Zz <t„ <1<TZ фд <0=

zeV 2

= sup fv2 \<p{zz Z^r к¿f фд О

^V 2

< 2 supj JK2 |wj zy i//^ ^ <p J фя

1

zeK

Выбирая 4'Z.y In w = arz ^ , получим

1_ Ы2!1-Iz 2I2

и полагая

= sup 1у21<?4гУ&л Zfz 4ez <pfФд

ubV2 1 111

С учётом (2) получаем

II <p°az \\Р#дМОр{2У

= suP V ф ^У ~д iizij^ > ^

^V2

IIW1 ll#,SMOf(-^2suP^

= sup ^ф^-^я ^ фд i?y

veV2

=11 Ф \\P #,BMO% что и требовалось доказать.

Теорема 1. Если <р е ВМОf i(2 , то функция ср удовлетворяет условию Липшица в метрике :

Для случая /; - I доказательство теоремы приведено

в [9]. Заметим, что поскольку ВМОр (2 ВМО) ( 2 , то липшицевость сохраняется и в случае 1 < р < со.

In

(1_ Ы2^1- Ы2)

-In

1" Ы'П" |z 2I2

t?

kz <К>Фя<!0=

= 2 sup J V

zeV 2

\1- z^^- Z2M2I

In

<2 p\v 2 In p

1- Uil2^- M 16

1" Ь|2)(1~ Ы2)

ФяО

Поскольку функция , 0</?<1, удовле-

творяет условию Гельдера при ^ > 0, то

^У ВМОр , О < Р < 1.

Лемма 3. Если (р е ВМО£ (¿2 , то для любого геК2 справедливы соотношения:

1) <р о аг е ВМО£ ({2 , при этом

2) = ^Я

Доказательство. Докажем сначала вторую формулу. Заменяя м> = а2({ , получаем

Фя С ^ х • Описание пространства ВМОр ({2 в терминах

преобразования Березина

В следующей теореме приводятся достаточные и необходимые условия принадлежности ВМОр ({2 . Теорема 2. Условие

sup<

^V 2

(3)

i2

является необходимым, а если функция ¡р^ ограничена, также и достаточным для того, чтобы функция (р

принадлежала ВМО% ( 2 .

Доказательство. Поскольку роятностная мера, имеем 1

kz {у ; d/uд iy^ - ве-

= \V2\<piyfkjiyfdMÄiy

= i V2 9^ ~ •

Здесь мы воспользовались формулой

kÄ

k:

Напомним, что q>x ^^ \<p\P /_ i

которая проверяется непосредственно.

Докажем теперь первое утверждение. Имеем

II (р°а2 \\Р#уВм(У[{2У

Р ,откуда

0<

1

1

2

1

Следовательно, для <реВМОрЛ2^ получаем Для доказательства второго неравенства заметим

что

sup

zeV 2

00 ,

то функция

также ограничена, и следова-

>: оо.

<с\

' II <р о az О < J]^ ^ С II q> II #^ВМОр \ Южный федеральный университет_

<РгЛ О

что и доказывает необходимость условия (3).

Для доказательства достаточности (3) при условии, что функция ?п^ ограничена, рассмотрим

II (Р°а2 О (рх 4^ -¿Ц ср о ~у\$х

1

Если функция <р х ограничена, и (3) имеет место, 1

для ср > 0. Здесь мы снова воспользовались леммой 1.

Как следствие, сформулируем следующее обобщающее утверждение.

Теорема 3. Для локально интегрируемой на

К2 функции <р и для любого произвольного фиксированного = . г2 ■ г , > 0. / -1,2 следующие условия эквивалентны: функция ¡рх ограничена и

тельно, \\<р\\#ммог^

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 4. Пусть (р - локально интегрируемая на

V2 функция, 0<г<со. Тогда имеют место следующие (поточечные) неравенства:

2)

В частности, если <р>0, то (ргХ4УУС(рх4.^ геК2.

Доказательство. Используя лемму 1, имеем

Кд О ^

Фя О

<р е ВМОр {'2 ; функция <рх ограничена и

sup ; функция ограничена;

zeK2

функция (ргд ограничена и ср& ВМОf ( " .

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 06-01-00297-А.

Литература

1. Zhu. K. // Trans. Amer. Math. 1987. № 302. Р. 617-646.

2. Becolle D. etal. // J. Funct. Anal. 1990. № 93. Р. 310-350.

3. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman

spaces. N. Y., 2000.

4. Zhu K. Spaces of Holomorfic Functions in the Unit Ball. N.

Y., 2004.

5. Zhu K. Operator theory in function spaces. N. Y., 1990.

6. Zorboska N. // IJMMS. 2003. Vol. 46. P. 2929-2945.

7. Карапетянц А.Н. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-

теств. науки. Приложение. 2005. № 9. С 8-17.

8. Карапетянц А.Н. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-

теств. науки. 2006. № 1. С. 15-19.

9. Кодзоева Ф.Д. // Аналитические методы анализа и диф-

ференциальных уравнений: Тр. IV Междунар. конф. Минск, 2006. Т. 2. С. 84-88.

_10 сентября 2007 г.

1