Некоторые пространства функций, определенные в терминах p-суммируемости средней осцилляции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.547.7

НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ В ТЕРМИНАХ Р-СУММИРУЕМОСТИ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ

© 2012 г. А.Н. Карапетянц, Ф.Д. Кодзоева

Карапетянц Алексей Николаевич - доктор физико-математических наук, доцент, факультет математики, механики и компьютерных наук, проректор по информатизации и электронному обучению, профессор, Южный федеральный университет, ул. Б. Садовая, 105/42, г. Ростов н/Д, 344006, e-mail: inf@sfedu.ru.

Кодзоева Фердос Джабраиловна - кандидат физико-математических наук, преподаватель, Ингушский государственный университет, ул. Магистральная, 39, м/о Гамурзиево, г. Назрань, 386132, е-mail: ferdos@mail.ru.

Karapetyants Alexey Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Vice-Rector for IT and E-Learning, Professor, Southern Federal University, B. Sadovaja St., 105/42, Rostov-on-Don, 344006, e-mail: inf@sfedu.ru.

Kodzoeva Ferdos Dzhabrailovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Lecturer, Ingush State University, Magistralnaya St., 39, Gamurzievo, Nazran, e-mail: ferdos@mail. ru.

Исследуются пространства функций, определяемых условиями на среднюю осцилляцию, которые представляют важный объект исследования с точки зрения внутренних задач теории функций, таких как задача описания гладкостных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в гармоническом анализе в пространствах типа BMO. Вводятся классы функций с р-суммируемой (с весом) средней осцилляцией на вещественной оси, полуоси и отрезке. Приведены определения метрических характеристик и некоторые их свойства. Приводятся некоторые оценки для локально интегрируемых функций, в том числе доказывается полнота введенного пространства на оси.

Ключевые слова: средняя осцилляция, классы Бари-Стечкина, интегральные условия.

The paper is devoted to study of function spaces defined in terms of conditions on mean oscillation, which are important objects of research from the viewpoint of inner problems of function theory such as description of smoothness of functions in terms of mean oscillation, study of integral operators in harmonic analysis in BMO type spaces. Classes of functions with p-integrable (with weight) mean oscillation on real line, half-line and interval are introduced. Some estimates for locally integrable functions are given. Completeness of the introduced space on real line is proved.

Keywords: mean oscillation, Bari-Stechkin classes, integral conditions.

Пространства, определяемые условиями на среднюю осцилляцию функций, представляют важный объект исследования с точки зрения внутренних задач теории функций, таких как задача описания гладкост-ных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в гармоническом анализе в пространствах типа ВМО.

Классы функций, определяемые условиями на среднюю осцилляцию, изучались, например, в [1, 2] и др. В [3-5] исследовались многомерные сингулярные

операторы в более общих пространствах ВМО^д,

определяемых с помощью условий на модуль гладкости к-го порядка, а также вопросы аппроксимации функций из этих пространств. Заметим, что в этих обозначениях упомянутые выше работы [1, 2] относятся к случаю к=1, ф (д)=д1, 1 <в<да и к> 1, ф (д)=д1, в=да. В частности, если ф({) =1, то ВМ0к9д = ВМО + Рн, где Рк - множество полиномов

степени не выше к.

Мы продолжаем исследование классов функций, определяемых условиями на среднюю осцилляцию, типа ВМО^. Именно вводятся классы функций

ВМОрИ(Я) , ВМОра(Я±

BMO ш(а,b) c ^-сумми-

руемой с весом 1/юр средней осцилляцией. Здесь непрерывная неотрицательная функция т е Ф1+1/р :=

:=^о е Ж:"1_1/р почти убывает при t е (0,да)].

Цель настоящей работы - характеризация указанных пространств. Приведены определения метрических характеристик и некоторые их свойства. Даются некоторые оценки для локально интегрируемых функций, в том числе доказывается полнота пространства ВМО р т (Я).

Впоследствии планируется характеризация множеств функций из ВМ0 (Я ) , продолжения которых на полуось х<0 нулем, четным или нечетным образом принадлежат всему пространству ВМОр ет(Я); исследование вопросов склеивания функций из пространств ВМО т (Я ±). В качестве приложения предполагается исследование вопросов ограниченности операторов свертки и с однородными степени -1 ядрами в указанных пространствах на полуоси и оси соответственно. Эти результаты будут опубликованы в следующей работе.

Определения и некоторые свойства метрических характеристик

Обозначения и определения, приведенные ниже, взяты из [4, 6-11].

Определение 1. Неотрицательная функция fx), xe R , называется почти возрастающей, если существует постоянная c=cf такая, что fy) < Cf fx) для всех y<x. Аналогично условие fy) > dffx) y<x определяет почти убывание функции fx). Постоянные

cf = sup f ( r) и df = inf называют

f rix, f (x>0 f (x) 1 r<x, f (x)*0 f (x)

соответственно коэффициентами почти возрастания и почти убывания функцииfx). Очевидно, cf >1, df<1.

Определение 2. Будем говорить, что функция co(t) e W, t e [0,/] если

1. co(t) непрерывна на [0, l],

2. ю(0) = 0 , (o(t) > 0 при 0<t<l,

3. m(t) почти возрастает на [0,t0], t0<l. Определение 3. Функция ю eW принадлежит

Фр , x e (0,/), если Jix 1 ■ю(t)dt < Cю(x), и функ-

0 V t ) t

ция ю eW принадлежит ф, если

J V x ^

dt < Cœ(x) , 0<x<l/2.

0.(/, I) = I1 Ц/(х) - /¡\Лх - средняя осцилляция

И1

функции / на интервале I.

Пусть Б - открытое связное множество в Я или все Я. Положим ш/м (г) = 8ир|0(/, I (аЬ))\ Ь - а < г, I М) с о].

В случае О = Я будем использовать обозначение Ш/в (О = т (г) • Пусть также £;ос(Я) - пространство локально интегрируемых на Я функций.

Пространство BMO ^(R), 1<p<a

ю e Ф

:={ве^ \ю(г)г 117 р почти убывает при г е (0, да)], состоит из функций, локально интегрируемых на Я ,

для которых следующая полунорма конечна:

(

U,BMOpa(RR)

mf (t ) ю(t )

ч1/p

dt

< œ .

(1)

В фактор-пространстве £)ос(Я) /{постоянные} выражение (1) является нормой. Введем норму в пространстве БМОрс(Я) следующим образом:

ll#,BMOp,M(R)

JT

mf (t) ■(t)

ч1/p

dt

"(0,1)

(2)

Через Ф§ обозначим Ф§ = Фр п ф, 0<д<в.

Можно показать, что при в > д класс Фр пуст. При

в=0, д= 1 класс Ф° есть класс Ф Бари-Стечкина. Для полноты изложения приведем некоторые свойства классов Фр при /<® [6, 12-14]. Лемма 1.

1. Справедливо вложение Фр с ФП, в > п, д<г.

2. При любых неотрицательных в, д, п, г справедливо равенство Фр п Фпг = .

3. Если со е Фр, 0<д<в, то функция почти убывает, а функция ©(/)// почти возрастает.

Ниже будет показано, что пространство BMO т (R) полно по отношению к этой норме.

Пространство BMO „(R+), 1<р<®, сое Ф 1 со-

p

стоит из функций, локально интегрируемых на R +,

для которых полунорма

(

ll#,BMOp,OT(R + )

г

Jö

mf ,R + (t) ■(t )

1/p

dt

конечна.

Аналогично определяется пространство BMOРю (R _ ).

Для пространства BMOpœ(a,b) полунорма задает-

4. Если ю eOp, 0<S<ß, то существуют постоян- ся выражением

ные с1>0, с2>0 такие, что с1 /< т(() < с2

5. При любом г>-в, се Фр « гС(г) е Фр+Гг .

6. Если соеФр, то сок е ФЦ .

7. Если со е Ф , то ю(0 удовлетворяет условию ю(20<Сю(0, С=С^2д.

Пространства БМОра (Я), БМОра (Я + ), БМОр(0 (а,Ь)

Пусть 1=(а,Ь) - интервал в Я ; \1\=Ь-а - длина этого интервала. В тех случаях, когда желательно указать концы интервалов, для (а,Ь) будем также использовать обозначение !(а,Ь> Для локально суммируемой на

Я функции / положим / = т11 /(- среднее

ll#,BJMOp,OT(a,b)

b-a

J

0

m

f ,(a,b)

(t)

■(t)

1/p

dt

где ю e Ф x .

i+— p

Некоторые оценки для локально суммируемых функций

Отметим, что для любого 1=(а,Ь) непосредственно проверяется неравенство 0,(/11)<2\/\1. Кроме того, справедливо

1/Ц =й/(У)ИУ /1мОр,с(Я). (3)

Лемма 2. Если / е 1},ос(Я) и а1 е Я , то справедливо неравенство:

2

Q(f, I) < J\f (x) -atyx .

(4)

значение функции f на

интервале

Доказательство. Действительно, непосредственные оценки дают

ч

)

+

ч

)

ч

)

ч

)

г.

Of, I) =1Я f (x) - / + a, - afyx < \i\I

< ш Jlf(x)-a№x+j1 \\fi-a№=

n1 Kl1

=i1 Яf ( x) -ai]dx+1 fi- ai I •

n1

Далее |/ -a\ = < T1 Яf (x) -adx, чт0 и завершает доказательство

1J f (x)dx - aj1J dx Ii Ii

O(| f a, I ) < 1 J| f ( x)|a-С

dx •

Выбирая C=f и применяя неравенство Гельдера, имеем

2

O(|f\a,I) <2J|f(x)|a-

\a I ia

dx <

найдется g e I1(0,1) такая, что \fn - g ^ ^ 0, n ^ œ. Можно проверить, что

|Р =J

1 BMOp^(R) J

mf (t) o(t)

dt > J

mf (t) o(t) , \p

dt >

> 2Camf (1) = 2C„(sup O(f,I(аф)))p.

b-a<\

Тогда O(fn - f, Ifo,n) ^ 0 , n ^œ, Of - g, 1(0,1)) ^ 0

настоящей леммы.

В частности, из (4) следует, что 2

О(/,/) < т^/х)• (5)

аеИ I I

» 2

Обозначая т* = 8иршГ ^ Ц/(х) - аУх и переходя

Ш <: иеЯ Ш I

к супремуму в обеих частях неравенства (5), получим т^ (:) < т* (:).

Следствие 1. Если / е 1}1ос (Я), то справедливы

неравенства: т* (:) < т^ (:) < 2т* (:).

Наконец, нам впоследствии также понадобится следующий результат.

Лемма 3. Если / е Ь)ос(Я) и 0<а < 1, то справедливо неравенство

т/„(/) < 2т" (0, г > 0. (6)

Доказательство. С учетом неравенства (4) получим

n ^ œ.

Замечая, что O( f - g, I(01) ) <

<O(fn - f, 1 (0 ,1)) + O(fn g,1 (0,1)), найдем g(x)f(x)+c, x e (0,1), с = gi(01) - fi(01) • Полагая f (x) = g(x), в си-

лу (7) имеем / - / ^ 0, п ^ да.

II НБМОр,и(Я)

Используя следствие 1, можно ввести эквивалентное определение для полунормы в пространстве

BMO (R) :

1 #,BMOp^(R)

( г * п p \

œ œ 0 mf (t ) dt

co(t )

V L J

при

этом справедливы неравенства

llfl * 4А < 2f *

Лемма 4. Если f e BMOp я(Я), то и

\f\e BMOpa(R).

Доказательство. При a = 1 неравенство (6) примет вид m |f| ( t ) < 2 mf( t ). Тогда имеем

' #,BMOp^(R)

( _ _ p 1/p

œ J 0 m\f\(t) dt <

o(t )

V L J V

( _ _ p 1/p ( (œ _ _ p 1/p

œ J 0 V 2m (t) dt = 2 1 0 V mf (t) dt

_ o(t) _ V _ o(t) _ V

2 I 1

< ы ^f(x) - fi\adx < 2 1 J\f(x) - fidx

Таким образом, выполняется О(|/|",I) < 2О"(|/1,I),

и, следовательно, для любого 00 справедливо неравенство (6).

Полнота пространства БМОр И(Я)

Теорема 1. Пространство БМОрИ(Я) полно с

нормой, определяемой равенством (2).

Доказательство. Пусть последовательность

/п е БМОра(Я) фундаментальна. Тогда найдется / е Ь)ос(Я)п БМОр^ (Я) такая, что

\/п - (/ + с)\\ ^ 0, п ^да. (7)

Из фундаментальности /„ в БМОр а(Я) с учетом (3) следует ее фундаментальность в

!1(0,1). Тогда

= 2||/II < да, что и доказывает 1/1 е BMO ).

#,ВМОр,т(К) '

Замечание. Из леммы 3 следует, что если / е BMOpa(R) и 0 < « < 1, то \/\а е ВМОра(R) ,

при этом

< 2 fil

' #,BMOop^R)

Литература

1. Janson S. On function with conditions on the mean oscillation // Ark. Math. 1976. Vol. 14. P. 1189 - 196.

2. De Vore R.A., Sharpley R.C. Maximal functions measuring smoothness // Memoirs. AMS. 1984. Vol. 47, № 293. 115 p.

3. Рзаев P.M. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию функций // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, № 3. С. 562 - 565.

4. Рзаев P.M. Интегральные операторы в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию функций и некоторые приложения : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Баку, 1993. 300 с.

p

p

t

1/

I

I

a

I

I

a

5. Рзаев P.M. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию к-го порядка // Докл. РАН. 1997. Т. 356, № 5. С. 602 - 604.

6. Шанкишвили Л.Д. Интегродифференцирование комплексного порядка в гельдеровских классах : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1999. 125 с.

7. Samko N. Singular integral operators in weighted spaces with generalized Holder condition // Proc. Razmadze Math. Inst. 1999. Vol. 120. P. 107 - 134.

8. Samko N. On compactness of integral operators with a generalized weak singularity in weighted spaces of continuous functions with a given continuity modulus // Proc. Razmadze Math. Inst. 2004. Vol. 136. P. 91 - 113.

9. Samko N. On nonequilibrated almost monotonic functions of the Zygmund-Bari-Stechkin class // Real Analysis Exchange. 2005. Vol. 30, № 2. P. 727 - 746.

Поступила в редакцию

10. Karapetiants N.K., Samko N. Weighted theorems on fractional integrals in the generalized Holder spaces via indices ma and Mm // Fract. Calc. Appl. Anal. 2004. Vol. 7, № 4. P. 437 - 458.

11. Yacubov A.Y. Fractional type integration operators in weighted generalized Holder spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. 2002. Vol. 5(3). P. 275 - 294.

12. Берколайко М.З. Оценки модулей непрерывности

функций из пространств B"p'g , H в и их приложения //

Докл. АН СССР. 1977. Т. 233, № 5. С. 761 - 764.

13. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М., 1980. 414 с.

14. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. московского мат. общества. 1956. Т. 5. С. 483 - 522.

28 мая 2011 г.