CC BY
8
УДК 517.983.2
О ГЕЛЬДЕРОВОСТИ ОБОБЩЕННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ СТРИХАРЦА С ПЛОТНОСТЯМИ ИЗ ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ
© 2013 г. М.Н. Гуров, В.А. Ногин1
Гуров Михаил Николаевич — аспирант, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090; младший научный сотрудник, Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: mgurov@inbox.ru.
Ногин Владимир Александрович — кандидат физико-математических наук, доцент, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090; старший научный сотрудник, Южный математический институт ВНЦРАН и РСО, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027.
Gurov Michail Nicolaevich - Post-Graduate Student, Department of Differential and Integral Equations, Mathematic, Mechanics and Computer Sciences Faculty, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, Russia, 344090; Junior Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027, e-mail: mgurov@inbox.ru.
Nogin Vladimir Alexandrovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, Russia, 344090; Senior Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027.
В рамках пространств Харди 0 < p < ю, исследуются дифференциальные свойства операторов типа потенциала с ядрами, имеющими особенность на единичной сфере в Rn. В работе развивается новый метод получения H — Ах-оценок для указанных потенциалов, где Л (s > 0) — пространство гельдеровских функций в Rn. Этот метод основан на получении специальных представлений для символов рассматриваемых потенциалов с последующим применением метода стационарной фазы и результатов A. Miyachi для модельных
мультипликаторов вида m^ (| | )= v(| | 2) | | b e±'^e, b >0. Основной результат работы — необходимые и достаточные условия
ограниченности исследуемого оператора из пространств Харди в пространства гельдеровских функций и пространство функций с ограниченной средней осцилляцией.
Ключевые слова: потенциал, пространство Харди, пространство гельдеровских функций, пространство функций с ограниченной средней осцилляцией.
In the framework of Hardy spaces H, 0 < p < ю, we study potential — type operators whose kernels have singularities on the unit sphere in Rn. We develop a new method for obtaining H — As-estimates for these potentials, where As — the space of Holder functions in Rn. This method is based on obtaining special representations for symbols considered potentials followed to demonstrate how the method of stationary phase, and the results of
A. Miyachi for multipliers of model type m^ (| £, | )= v(| £, | 2) | ^ | b ^, b >0. Necessary and sufficient conditions are obtained for such operators to be bounded from H into Holder space A,s and from BMO into A,s.
Keywords: potential, Hardy spaces, Holder function space, BMO space.
1. Введение
В рамках пространств Харди Hp , 0< p < да, исследуются операторы (^ф)(x) = (aß * Ф)(x) =
j e(t )(1-1112 +/0)p_1 ф( x - t)dt,
1
(1)
r(ß)i-
1-8П|*|П1+8
где р >0, 0 < 8 <1, 0(0 = ©1 ( | г | )-е2(?'), ^ = ^ -
бесконечно дифференцируемая функция в Рп \{0},
называемая характеристикой оператора Ар , и ©1(1) ф 0.
В настоящее время имеется ряд работ по оценкам для потенциалов вида (1) с радиальными характеристиками 0(0 = ©(| г |) [1-4]; при этом в указанных работах существенно использовалась радиальность ядра исследуемого оператора.
Рассматриваемый здесь случай потенциалов с характеристиками, содержащими как однородную, так и радиальную составляющую, - намного труднее. Для доказательства теорем 4, 5 в статье развивается новый метод, основанный на получении асимптотических разложений для некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту и средние характеристики
Q(t') на плоских сечениях единичной сферы в Рn
(п. 2.3), и развитии на основе этих разложений техники
осциллирующих Hp - Л s -мультипликаторов.
2. Вспомогательные сведения и утверждения
2.1. Некоторые пространства функций и распределений. Через Hp = Hp (Р n), 0< p < да, обозначим множество всех Е' -распределений таких, что f+ (x) = sup |(/*фЕ)(x) |еLp, где феЕ и
0<E<M
'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них» и 8210 «Синтетические методы изучения операторов и уравнений в функциональных пространствах».
Jp ny(x)dx * 0, Фе (x) = 8-ф(Х); m++ (I ) = v(|^|2)Ш-Ъe+^, Ъ >0,
8 где v(r2) е Сда(0, да), 0 < v(r2) < 1; v(r2) = 0, если
(f *ф8)(x) = {f,ф8(x— •)>. Положим ЕГП р = rf+Пр
L r < 1 и v(r2) = 1, если r > 2.
[5, 6]. Заметим, что при 1< р < да пространство Hp Справедлива
Теорема 1 [7, теорема 4.2]. Имеют место соотношения:
a) m+(| | )еМ (Hp,Л5) тогда и только тогда, когда 0< р < 1, n/p < Ъ — s + (n —1)/2 или
1< р < да,1/р < Ъ — s — (n —1)/2 ; +,
изоморфно ^^ .
Класс Е не плотен в Нр (0 < р < 1) , поэтому, как показано в [7, с. 275], для доказательства теорем 4-6 достаточно получить оценки для функций из класса
Е Нр.
Через ВМО = ВМО(Р п) обозначим множество б) т± (1 )еМ (ВМО,Л5) тогда и только тогда всех локально интегрируемых функций, для которых когда Ь - 5 > (п -1)/2 ;
ТУ1ВмО = 8ир1В|/(х) -/В|4 < да. в) т±(|£| )еМ Н,н1) тогда и только тогда
\B\ J когда w/p -1 > b + (и -1)/2 .
г 1 г ч , Л Ниже будет также использована
где /В =-1П / (х)сх и супремум берется по всем ™ „ ,-г „
УВ |В| В Теорема 2. Пусть 0< р < да
и
шарам В из Р . Заметим, что пространство ВМО
, у = 1 + тах
является сопряженным к Н [6, с. 142]. Кроме того,
Ес ВМО.
^ -1)
p 2
. Если m(Q - ограниченная
Пр°странств° Гда состоит из функций f е S' функция класса Ck(Rn \{0})
таких, что П/Пда = 2 ПОа/Пда < да.
Lk | а | <k L
Пусть s >0 и s = k + 8, где k е N0, 0< 8 < 1. Для
д )а m©
< B-^Г
при | а |< у, то т(£) е М (Нр, Нр ) .
В случае 1 < р < да - это теорема Михлина, функции / е С положим доказательство которой приведено в [8, гл. IV];
ГЛ =
\ Da f(x) - Dа f(y)\ „ .., относительно случая 0< p < 1 [7, теорема 4.6].
|a|=£x#y \ x -y \S
Нам понадобится
|Оа/(Х)-2Оа/\ х + у | + Оа/(у)| Лемма 1. Если £ еСда, то £ еМ (Нр,Л5) для
X 8ир{- I 2 -р'5 >0 .
1а1=Чх# у | х У| Утверждение леммы вытекает из неравенства
айёе е = 1. |(/ * Ф)(х)|< СП/ПН,0< р < да, Фе 5 [6, с. 100-101].
Через Л5 и Л5 обозначим пространства функций 2.3. О средних функций, заданных на единичной ч сфере. Следуя [9], рассмотрим средние функций
"■s " s
f (x) класса Ck, для которых П"Г~ < да и
9(ст), ст е Sn 1, на (n — 2) -мерных сечениях Sn 1
ЕЩ5 = Г/-Е[да +Е/Т^5 < да соответственно. гиперплоскостями.
Заметим что В пространственном случае, когда п >2, средние
задаются равенством
М0 (х', у) = —1 9(ух' + т^-У2)^.
1 е~1п 2 I о
| 5п-2(0,1)
0< р < да, Л 5 или ВМО . Следуя [7], через ЩХ,У) , ,
Л^ сЛ ^ ,0< 52 < S1. (2)
Пусть далее X, Y - одно из пространств: Hp , ' | Sn 2 | „n—22г
обозначим пространство всех k е Е', для которых
[д * fr .
X,7) = :f eEnX,ГЩ ^о|<да. J 6(ст)f(x'-a)da =
Если 9(ст) е Cда (Sn—х), то Ме (x', у) е Сда (Sn—1 х[—1,1]). Ниже будет использовано равенство
Через М (X,Y) обозначим множество „ ? 1 ? „
обобщённых функций m еЕ' таких, что г—1(mf
П^ГХ
и-3 (3)
2\ JМе(x',y)(1-y2) 2 f(y)dy,
-1
_ Jn?~1(mf)^ I [9; 10, формула (19.18)].
П^Чя(Х,Y) suPi ГРТ 'f еЕпХ,Г^ГХ *<да' Асимптотическое разложение некоторых
} интегралов, содержащих осциллирующую экспо-
Таким образом, Пи1М (х,г) = Е^7_1т15_(х,г). ненту. Далее рассмотрим интеграл
2.2. О некоторых Нр - Л -мультипликаторах. фР (X) = |хР-1 /(х)е±г^х сЫ, р >0.
Рассмотрим мультипликатор
о
и
Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведенного в [11, гл. 3, 1, п. 3, с. 97], показывает, что справедливо утверждение.
Лемма 2. Пусть /(х) е С([0, а]) и обращается в нуль вместе со всеми своими производными в точке х = а . Тогда справедливо представление
N—1
Ф± (Я.)= Е 4 к Х-(Р+к) + W±,Р (X, /), ХП1,
к=0
где N = 1,2,3,...,
+ /(к )(0) ± ^ (Р+к)
с±,к = Г(Р + к)е 2 ,
W±,Р (X, / ) = Х- N—Р^~±,Р (X, /), где ^~±,Р (X, /) - бесконечно дифференцируемая функция от X . При этом справедлива оценка
3. Представление для символа оператора Ар
Потенциал (1) запишем в виде (АРф)( х) = (ВРф)( х) + (Д©Рф)( х),
где
(В©РФ)( х)= 1 Ь©Р (г)ф(х—г )Л,
1-SD11 | □ 1+5
СОрф)( x) = j dp (t )ф( x - t)dt. 1-SD 11 | D1+S
bp(t) = (1 -fflfl 11 2))©i( 111 ^^(1-111 2 +/0)p-1,
dp(t) = Ю(| t i 2)©1(| t i)©2|)(1- i t i 2 +/0)p-1;
функция ю(г2) e C(0, да) такова, что 0Gro(r2)D1,
ra(r2) = 1, если r e [1-S/2,1+S/2] и ю(г2) = 0 вне интервала (1 -S,1+S). Имеем
(5рф)( x) = (5р,1ф)( x) + (ВР,2ф)( x),
где
гл(р-1)
(5р,1ф)( x) = -
(w±,ß (X, f)}
j)
С ±, j
, X >1, j = 0,1,2,.., (4)
^+Р+}
постоянные С±, ^ не зависят от X. Рассмотрим интеграл
^ п—3
(и X©)© =1 (1 — 7 2)^ М© ©, y)e-X 1 ^ 1 у ф, X >0. —1
В дальнейшем существенно используется теорема, представляющая самостоятельный интерес.
Теорема 3. Пусть | >1/X. Справедливо представление
r(ß)
1 (1 -ffl(| 1j 2))Ö1(j 1j )92(t')( 11j 2 -1)ß-19(x - t)dt.
(
N-1
(Ux6)( 5) = Z
к=0
x+(5')—
-iX| 5I
/ХЩ
—+X- (5')-
(X|5I)
-+k
n-1
(X|5I)
+к
ЕДО1+5
A (5Р,2ф)( x) = 1 x e r(ß)
+ x 1 (1 -ю(| t j2)) ex(j t j )e2(t')(1-jtj 2)р-1ф(х - t)dt.
1-S^jtp1
Получим представление для символа яР,1(^) оператора . Перейдем к полярным координатам
-л(Р—1) 1+8 Р,^м = е_ г сп
n—1
n—1
+ e-X j 5j Wn 2 (Xj5j ,f+) + efxj ^j Wn 2 (Xj5j ,f-) +
3/4
N n-3
+ (-¿Х^ГM 1 ((1 -y2) 2 Me(5',yMy))(Mdy, (5)
-3/4
где M, N = 1,2,3,..
n-1
—— 1 Pn-1(p2-1)ß-1(1 -ro(p2))e1(p)dpx
1 (ß) 1+S/2
¿(p5-°),
(±¿) 2
X к (5) =
-+к
x 1 e2(CT)ei(p5-ö) dCT.
n-1
к!
xrí n-1+к V d*
Перепишем а^1 © в виде
5©РД© = (1—у(| ^ |2)) 3©РД©+у(| ^ |2нРД© -= 4^©+ОР!©, 2
где функция у(| ^ | ) определена в п. 2.2. Заметим, что яР ^ © е Сд .
"Р1
Рассмотрим далее а^© . Применив к интегралу
| ©2(ст)е'(р?-о)^ст (7)
оП—1
2
drK
n-3
(2 -т) 2 Me(5',+(т-1))
(5)
(6)
т=0
n-3
f± (т, 5') = (1 -л(±(т -1)))(2 - т) 2 Me (5',±(т -1)), ^(r) е Сда (0, да), 0Щ(г)Ш , ^(г) = 1, если j r j ^1/2,
n-1
П(г) = 0 при i r i D 3/4. Функции W^ 2 (X i ^ i, f+) определены в (4).
Доказательство этой теоремы ввиду громоздкости формулу (3), а затем теорему 3, получаем
не приводим.
Замечание 1. Отметим,
n-1 . . n—3
что
Ж1
e,да
N
(5) = Z [hl*,+ (5)+йр,к,- (5)] + hß (5). (8)
к=0
Здесь
x
2
2
x
h
х
ß,k,+ _ v(|*| 2)| Sn—2|Х+ (*')
n—1+k Х
ег л(1—р)Г(Р) 1*| 2 + 1+8 n—1 ^
1 р 2 — (р2—1)р—1(1—Ю(Р2))е1(р)е+ip | *| dp,
(+i)1+1(—1)l«kl )(1 + S) (+i)
... +-T^- + --~
l+1 e+i(1+S)| *
1 + S ,, ,4
х 1 «kl+1)
|*|l (p)e+ip| * dp],
|*Г
1+S/2
1+S/2
QGkDN — 1,
n—1
h
где ич (р) = р 2 (Р2 - 1)р-1(1 -ю(р2))01(р).
Рассуждая аналогично, получаем разложение для символа ар'2 (£) оператора Вр'2.
Г РП-1(Р2 - 1)Р-1(1 - »(р2)) 01(р)е±'Р | £ ' шЦ~Т(Р | £ | ,/+ )Ср, ¿Р(£) = ^ (£) + X [Й?'4'+ (£) + ИР2Ч,- (£)] + АР (£), (10)
ß,N,+ r£-,= v(| * | 2)| Sn 2 | ei^(1—ß)r(ß)
1+S
n—1
1+S/2
hß (*) =
v(|*| 2)| Sn—2|
ein(1—ß)r(ß)(—i| * | f
1+S pn — M—1(1 — Ю(р2)) х 1 -ö-DT-e1(p)dpx
1+S/2 (p2 — 1)1—ß
3/4 ICI x 1 eip *| t —3/4
n—3
n(M )
(1 — t2) 2 Me(*',t)л(/)
dt,
Jt
где функции Х+ (£') определены в (5).
Рассмотрим вначале мультипликатор А? (£). Пусть
функция _(| £ | 2) такова, что _(г2) е Сда(0, да),
_ 2 _ 2
_(г ) = 0, если г < 1; _(г ) = 1, если г > 2 и
_ 2 2 ____'2 2
0 < _(г2) < 1 ;тогда у(г 2)_(г 2) = V (г ). Имеем
hß (*) = ■
v(| * |2) | Sn—2 | ei|* | ?(|*| 2)e_i|* |
n+1
ein(1—ß)r(ß)(—i)M | * |Т"+
1+S pn — M—1(1 — m(p2))
х 1 -2-TR—e1(p)dpx
1+S/2 (p2 — 1)1—ß
С n—3
n—1
M— |*| 2
3/4 х 1 e —3/4
ip|*|t
\(M)
(1—t2) 2 Me(*',tMt)
dt.
Jt
Рассмотрим теперь А?'м '± (£). После замены р-1 = т с учетом (3) получаем
,р,н ,±„л= v(|£|2)|5n - 2 | е ±'|£| _(| £ |2) А1 (£) п+1 ,. N-1х
егл(1"Р)Г(Р)|£| 2
х 1 4+ (т,| £ |)тР_1е±гт|£|Ст, 5/2
где 4+ (т,| £ |)= (1 + т)п-1 (2 + т)р-1 (1 - »(1 + т)2)) х
_ п-1
_+,-
х01(т + 1)^ 2 ((1 + т)|£|,/+).
Рассмотрим мультипликаторы А?'4'± (£). Интегрируя по частям I +1 раз, где I = 1,2,3,..., получаем
ЙР,Ч ,±(а = v(| £ | 2)| 5п - 2|Х + (£')е ±'(1+5) | £ | х
n—1
ein(1—ß)r(ß)| * \
+k+1
(9)
х ~(|*|2)[(+i)uk (1+ S) + ...
е
где
'2
k=0 2 n—2
hß,k,+ (*) =
_v(|*| 2)| Sn—2|X + (*')e+г(1-S)I * |
n —1
e«(1-ß)r(ß) | * |
+k+1
х ~(|*|2)[(+i)uk (1 — S) +...
(+i)l+T(—1)lMkl)(1 — S) (+i)1+1e+i(1-S) | *
... + -
l
|*r
;T jV*+ip| * | ,
|*r
1—S
"k
;(p)e+ip | * | dp],
hß (*) = -
v(| * |2) | Sn—2 | ei|* | ?(|*| 2)e_i|* |
n+1
ei"(1—ß)r(ß)(—i)M |*|T+
1—S/2 pn —M—1(1 — m(p2))
х 1 -2-FR-el(p)dpx
1—S (p2 — 1)1—ß
n—3
n —1
M— |*| 2
3/4 х 1 e —3/4
ip | * | t
\(M)
(1—t2) 2 Me(*',t)^(t)
dt.
Jt
О выборе параметров М и I будет сказано ниже. Получим представление для символа Ср (£) оператора Ор. Имеем
С? (£) = -^ 1 Рп-1(! -Р2)Р-1 »(р2)01(р)Срх
Г (р) 1-5
х 1 02(ст)ег(р£'о) Сст + 8п-1
егл(р-1) 1+5
+^^ 1Рп-1(Р2-1)р-1»(Р2)01(Р)СРХ Г (р) 1 х 1 02(ст)ег(р£'о) Сст.
5п-1
Перепишем Ср (£) в виде С0р(£) = (1 £ |2))С0Р (£)+V*] £ |2)С?(£) ^ - СР'0 (£) + С0Рда (£). Заметим, что С^ (£) е Сда .
Рассмотрим СРоо (£). Применив к интегралу (7)
формулу (3), а затем теорему 3, после тождественных преобразований с учетом леммы 2 будем иметь
С0Р (£)=ср:да©+с^да©
(ii)
х
х
х
х
2
х
х
х
2
где
т+0 = 2ß—1e+^/2 Г("),
~ N "'0
(|) = ¿j (|) + ji (|)] + hß+2(|Xj = 1'2-(12) ^ =2ß-2(„ - 2k + ß- 2)eT'"("+1)/2r(ß +1)
Здесь
„р,± й)= Ч1^-2lxi «> ^ 2) x
3 n—1 , „
Г(") | ^ |
+k+ß
Т+ Т io + ТЦ+.+^+i*iß w+,ß (i*i )
,ß, N v(I*I 2)I Sn - 2 I e ±" * I ~( III 2) h3 (|) n+1 ^ n-1 x
8 r(ß)I|I 2
xfe-(x,III ^e+^dx, o
,ßrn= v(111 2)I Sn - 2 I e" *I ~( 1112)e~"I 1 y h3(I) n+1 n+1 X
,, -+M--
r(ß)(-") III 2 2 1 pn-M-1 2
x i -)01(P)dpx
1-8 (1 -p2)1-ß
3/4 x i e -3/4
(
"PI II t
n-3
\(M)
(1 -t2) 2 M0(*',t)4(t)
dt;
/t
,,ßk'± V(I * 12)I'Sn ' ^ <*>* I 2) x
4 n-1
( ± ± Т±'1
r(ß)e"%(1-ß) III 2
+k+ß
±
TßN—1 , Mß w±'ß
f'O + ^ +... + +III ß WN±'» (III )
ß' III II I N-1 N
iß, N '±_ v(1112)I Sn - 2 I e ±" 11 ~( III 2)
h4 (I) n+1 N-1 x
r(ß)e""(1-ß) III 2
xfe + (x, I11)xß-1e±"xIIIdX' o
hß (I) =
_ v(111 2) I Sn-2 I e""(ß-1)e"1 * I ~(111 2)e—I * I
4 n+1 n+1
,, -+M--
r(ß)(-")M III 2 2
1+8 pn-M-1
x i -ПГЮ(Р )01(P)dpx
1 (P2 - 1)1-ß
3/4 x i e -3/4
(
"PI II t
n-3
(M)
(1 -12) 2 m0(I''twt)
dt,
/t
где
4 + (x,I11 )=(1 + x)n-1 (2 + x)ß-1(1 - Ю((1 + x)2)) x
Л,-
n-1
01(1 +t)Wn 2 ((1 + x) 111,f+),
n-1
g+ (x) = (1 + x) 2 (2 +x)ß-1ra((1 +x)2)01(x +1), s—,- (x,111 )=(1 - x)n-1(2 - x)ß-1(1 - ffl((1 - x)2)) x
_ n-1
~ +,-
x 01(1 -xW 2 ((1 -x)111 ,f+),
для Wv Р(| I | ,8—) справедлива оценка вида (4).
Из (6), (8) - (10) и (11), (12) вытекает следующее представление для символа аР (|) оператора (1):
,2м оп—2
ß/еч- v( I II )I S" I l-(P'\лI I^- „""(ß-1b+ )
"e(I)--n-1— \?C0(I)e iTß o + e ^ Tß,0 )
—+ß r(ß) 111 2
+ X+ (I')e-iI ^o + e""(ß-1)Tß"o))+ RM (I),
где
Rß,0 (I) = b0ß (I) + dßo(I) +
4
+ z
j=3
Z [hß'k,+ (I) + hß'k(I)] + hß (I)
k=1
, v(I II 2)I Sn-2I x
n+1
r(ß)III X-(I')e
" I I I
+ß
Tß1 + ... +-
I
ßN-2+iII ß+1 wnp (III )+
с
+ e
""(ß-1)
Tß+,1 + . + ^"^n-2 + I*Iß+1 WNß (III ,gk+ )
//
I * I
+ Xo (I')e
Трд + . + -
I
"^n—2+i*iß+1 WN+,ß (iii ,g—)+
(
+ e
™(ß-1)
Tß1 +.+
Tß, N-1
N-2
III
+ III ß+1 W— ß(I II ,g+)
.(13)
Заметим, что
¿Tlß
cßo +e""(ß-1^ — —
т—,o= go- (o)r(ß)e
+ е-л(Р—1) 80+(0)Г(Р)е" ^ =0.
Тогда символ оператора (1) с учетом замечания 1 можно записать в виде
(14)
aß (*) = ц+ (*)+ Rß,0 (|),
где
(I) = Cß
0(I')v(1112)e"I 1 I
n—1 2
ß
I
-1 n—1 ( ¿Tiß 3гяР А
n—1 „ n—1 n —+ß — -Cß = 2 2 (-") 2 % 2
4. Основные результаты
Основным результатом статьи является Теорема 4. Оператор А^ ограничен из Нр в Л ^ тогда и только тогда, когда
0< р < 1,Р >1 + п/р — п,з < п — п/р + Р — 1; (15)
2
x
+
2
x
v
+
v
2
+
x
e 2 — e 2
x
или
1< p < да, ß>1/p, s <ß-1/p.
(16)
Изложим схему доказательства. Допустим, доказано, что ар (у) еК(Нр, Л5) тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (15) или (16). Заметим, что функция ар (£) является мультипликатором в Е . Тогда оператор (1) определен на всем пространстве Е' (поскольку ар (у) является
свертывателем в Е ) и, следовательно, на всем Н р . Как показано в [7, замечание 2.3], при выполнении указанных условий неравенство АпГ^ <-гьРг
mß фП <Пх ßn p ПрП p
^ Л- е K(Hp,Л ) ^ Hp
(17)
= ГЙП
ßßn „ , то (17) будет е М (Hp ,Л ) V у J«
пЦП р
0 К(Нр,Л5) 5
следовать из соотношения
аР(£) еМ (Нр,Л5). (18)
Докажем (18). Будем использовать представление (14).
Заметим, что
ц+ (4) еМ (Hp,Л5)
тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (15) или (16) в силу теоремы 1, п. а.
Рассмотрим мультипликатор Яр 0 (£).
Выберем N = 1 + у, М = [(п +1)/2] + 1 + у и I = 1 + у в формулах (8), (10), (12) и (13), где у - постоянная из теоремы 2. С учетом леммы 1 теоремы 1, п. а, теоремы 2 и вложения (2) заключаем, что
bfö© еМ (Hp,Лs), i = 1,2;
hß(4)еМ (Hp,Л5), i = 1,2;
hß,k ,± © еМ (Hp, Л5), i = 1,2, к = 1,2,...N;
(20)
если выполнены условия (15), (16). Из (20) следует, что Ьр,г(£) е М (Нр,Л5), г = 1,2. Отсюда получаем
Ь0Р(£) еМ (Нр,Л5), (21)
если выполнены неравенства (15), (16). Заметим также, что
С0,0(£) еМ (Нр,Л5), р,5 >0, (22)
в силу леммы 1.
Рассмотрим мультипликаторы
Ар,ч,±(£),Ч = 1,2,..^ и Ар(£). Отметим, что
Ар,ч:±(£),Ар(£) еМ (Нр,Л5), Ч = 1,2,..^, (23)
в силу теоремы 2 и вложения (2).
Аналогичным образом получаем, что
Ар'4'±(£),Азр(£) еМ (Нр,Л5), Ч = 1,2,...^ (24)
Рассмотрим последнее слагаемое в (14).
Согласно теореме 1, п. а, с учетом равенства (2) и теоремы 2 заключаем, что
Ле,р(£) - (Ьер (£) + С0Р0(£) -
) +
4
+ S
j = 3
S [hj,k,+ (4) + hj,k,- (4)] + hj (£)
к=1
) еМ (Hp, Л s )
(25)
справедливо для всех реHp. Так как
тогда и только тогда, когда выполнены условия (15), (16).
Из (20)-(25) следует, что
Re, ß(*) еМ (Hp,Л5). (26)
Тогда из (19) и (26) получаем aß(*) е М (Hp,Лs)
тогда и только тогда, когда выполнены условия (15) или (16).
Аналогично доказываются следующие утверждения. Теорема 5. Оператор Aß ограничен из L1 в Л s тогда и только тогда, когда ß > 1, s < ß — 1.
Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 4 (с учетом [7, теорема 4.1 , с. 284]).
Теорема 6. Оператор Aß ограничен из BMO в Л s тогда и только тогда, когда s < ß.
В силу равенства K(Hp, H T) = K(BMO, Л s), (19) 0<p <1, s = n/p — n [7, с. 277] достаточно доказать,
что (y) еК(Нр, H*).
Используя полученное представление для символа оператора (1) и теорему 1, п.в, получаем требуемое.
Литература
1. Nogin V.A., Karasev D.N. On the Л -characteristic of some
potential-type operators with radial kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2001. Vol. 4, № 3. P. 343-366.
2. Гиль А.В., Ногин В.А. Hp - Hq -оценки для некоторых
операторов типа потенциала с осциллирующими символами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. № 5. С. 8-13.
3. Гиль А.В., Ногин В.А. Оценки для некоторых операторов
типа потенциала с осциллирующими символами // Владикавк. мат. журн. 2010. Вып. 12, № 3. С. 21-29.
4. Гуров М.Н., Ногин В.А. О дифференциальных свойствах
обобщенных потенциалов Стрихарца с Hp -плотностями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 6. С. 15-21.
5. Fefferman C.L., Stein E.M. Hp -spaces of several variables
// Acta Math. 1972. Vol. 129. Р. 137-193.
6. Stein E.M. Harmonic Analysis: Real-variable Method,
Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton, 1993.
7. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers // J. Fac.
Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA. 1981. Vol. 28. Р. 267-315.
8. Стейн E.M. Сингулярные интегралы и диффе-
ренциальные свойства функций. М., 1973. 343 c.
9. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их
приложения. Ростов н/Д, 1984. 208 c.
10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. М., 1971. 1108 c.
11. ФедорюкМ.В. Метод перевала. М., 1977. 368 c.
Поступила в редакцию
23 мая 2013 г.
