CC BY
9
УДК 517.983.2
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ СТРИХАРЦА С Нр - ПЛОТНОСТЯМИ1
© 2012 г. М.Н. Гуров, В.А. Ногин
Гуров Михаил Николаевич - аспирант, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: mgurov@inbox.ru.
Ногин Владимир Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; старший научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027.
Gurov Michail Nicolaevich - Post-Graduate Student, Department of Differential and Integral Equations, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: mgurov@inbox.ru.
Nogin Vladimir Alexandrovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Differential and Integral Equations, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090; Senior Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027.
'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них».
Исследуются дифференциальные свойства обобщенных потенциалов Стрихарца с плотностями из пространств Харди. Развивается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых интегралов, содержащих осциллирующие экспоненты. Основной результат работы — необходимые и достаточные условия ограниченности исследуемого оператора из пространств Харди в пространства гельдеровских функций и в пространства Соболева.
Ключевые слова: потенциал, пространство Соболева, Харди и гельдеровских функций.
We study differential properties of Stricharz generalized potentials with densities in the Hardy spaces. We develop a new method based on the special representations for the symbols of the considered operators by sums of certain integrals containing oscillating exponential. The main result gives necessary and sufficient conditions for the test operator to be bounded from Hardy spaces into Holder or Sobolev ones.
Keywords: potential, Sobolev spaces, Hardy spaces, Holder function space.
В работе получены Hp - As, Hp - Lk и iL - As - 2. Если 1 < p <k, то оператор Kß ограничен из
оценки для обобщенных потенциалов Стрихарца
К> = кI *р, (1)
где = 0(|у|)(1-|у|2)Л1, Р>0; в(г) -
гладкая функция, называемая характеристикой оператора КI; 0(1) * 0 .
Заметим, что символ оператора (1) содержит мультипликаторы, осциллирующие на бесконечности, что существенно используется при доказательстве соответствующих теорем.
Для получения указанных результатов в статье развивается новый метод, охватывающий случай произвольных 5 ир: 0 < 5,р < ж. Этот метод основан на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых интегралов, содержащих осциллирующие экспоненты, с последующим применением к этим интегралам метода стационарной фазы и результатов А. ШуасЫ для «модельных» мультипликаторов
(|Т| ) = 2) Т-е^ |, Ь > 0, (2)
где у(г) е Сж (0, ж), 0 < у(г) < 1; у(г) = 0, если г < 1 и у(г) = 1, если г > 2 .
В настоящее время имеются работы по (Нр - Л )-оценкам, 0 < р < ж, для операторов свертки с осциллирующими символами [1, 2]. Отметим, что в них рассматривались только мультипликаторные операторы, символы которых выписывались явно. Рассмотренный в статье случай, в котором оператор изначально задается как оператор свертки, намного труднее. Это обусловлено тем, что здесь мы имеем дело не с явными выражениями, а с теми или иными интегральными представлениями для символов рассматриваемых операторов.
В работе используются следующие обозначения:
Л
(Р/)(Т) = /(4) = | /(х)е'Т'х(х - преобразование Фурье я"
функции /; (Р-1/)(£) = / (4) = (2^)-" (Р/)(-4) -обратное преобразование Фурье; £ - класс Шварца быстро убывающих гладких функций; £' -пространство обобщенных функций медленного роста; С0 (Я") = {/: / е С(Я"), /(ж) = 0}.
Основной результат
Теорема 1. 1. Если 0 < р < 1, то оператор КЦ ограничен из Нр в Л тогда и только тогда, когда
Нр в Л тогда и только тогда, когда
Р> 1/р, 5<р-1/р . (4)
Вспомогательные сведения и утверждения
Некоторые пространства функций и распределений. Через Нр = Нр (Я"), 0 < р < ж, обозначим множество всех £' -распределений таких, что /+ (х) =
^ дх) | е } , где р е £ , при эхом
я"
= sup |(/ *ре Х*)|е Ip, где ре S, при этом jp(x)dx Ф 0,
рЕ(х) = £->(-) и (/)(х) =< /,фв(х —) > .
е
Положим | | /1 | =| | /+1 | [3, главы 3-4]. Заметим, что
I .! I
пространство Нр изоморфно Ьр при 1 < р < ж. Кроме того, Н1 с 1}, и оператор вложения непрерывен [3, с. 112].
Класс £ не плотен в Нр, 0 < р < 1, поэтому в качестве плотного множества в Н р мы будем брать £^Нр [1, с. 275].
Через } обозначим пространство функций / е £'
таких, что
,= ZI|Da/|! k<k , k е No.
Lk \a\<k
Пусть s > 0 и s = k + s , где k е N0, 0 <s < 1. Для / е Ck положим
Z sup{b/-Dl/Ш}, если 0 <t< 1,
|«|=k хф y
I x - yT
\Ва/(х) - 2Ба/(^) + Ба/(у)| 2 яир{-2-}, если е = 1.
щ=к х* у | х - у |
| | /| Л =| | /| 1ж+| | /| |д .
5 }к Л
Очевидно, что
л5 с Лр при 5 > р . (5)
Пусть далее X, У - одно из пространств: Нр(0 < р <ж), Л£(5 > 0), ¿ж(к е И0). Следуя [1], через К(X, У) обозначим пространство всех к е £' таких, что
<\\к*/1У .
||k 1 ik (x ,r) = sup{1
■: / е S n X ,||/IX Ф 0} <k .
Через М (X ,У) обозначим множество обобщенных функций т е £' таких, что
,I|F ~\т/ )IY
/ е S n X,II/IX Ф 0} <k.
ß> 1 + n / p - n, s < n - n / p + ß — 1 .
(3)
||m \M(X,7) = SUP{-
Таким образом, \ \m 1 M(X,7) = 1F1 K(X,7) .
Л
О некоторых Фурье-мультипликаторах. Для с ±,1
мультипликатора (2) справедлива следующая I (Ж^ (Л-))1 |-~^+?+7' Л> 11 = О'1'2'---' (10)
Теорема 2 [1, с. 284]. Имеют место соотношения: постоянные С±'1 не зависят от А .
а) т±(| % | )еМ(Нр,Л ) тогда и только тогда, О преобразованияхРисса. Для « = («1,.. «и), где а} -
неотрицательные целые числа, определим оператор Яа когда 0 < р — 1, п / р — Ь — s + (п — 1) / 2 или 1 < р <", г
1/р — Ь — в — (п —1)/2 ; равенством Яа/ = '^Г №), / е ?.
б) тЬ (| %|)е М(X1, Лв) тогда и только тогда, когда п — 1
Теорема 4 [2, с. 271]. Пусть I е N, р >-
b - s > (n -1)/2. n-1 + /
Теорема 3. Пусть 0 < p <да и k = 1 + Тогда f е L2 mHp тогда и только тогда, когда
+ max{[n(1/ p- 1/2)],[n/2]} . Если mfä - Rf е L m Hp для всех \ а \< l. При этом ограниченная функция класса Ck(R"\{0}) и с\\f \\ \\Rf \\ < с,\\f \\ , f е L2 mHp.
Sil hP a<i а lP hP'
\(— )am(%)\< B \ % \ -а при i а \< k , то
Представление для символа оператора Kß
m(%) еM(Hp,Hp) .
Случай 1 < p < да - теорема Михлина, доказатель- Оператор Kg запишем в виде
ство к°тор°й приведено в [4, с. 115]; случай 0 < p <1 (Kßp)(x) = (Kg'V)(x) + (Kß,>)(x), где
рассмотрен в [5, с. 163-171]. 1
Лемма 1. Если m(%) е Сда , то m(%) еM(HP,Л), (Kg'>)(x) = Tß),]^(yMx~У)Ф, ' =1,2 , (11)
где 0 < p, s <да , и т(%)е M(lL, As), 0 < s <да . kgg1(y) = ®(\y\ kg(y), kß л( y) = (1 -®(\y\))kg(y);
Утверждение леммы вытекает из неравенства
^^ ^ функция ®(r) е С"[0,1] такова, что 0 <m(r) < 1,
\(f * Ф)(х) \ p < С\ \ f\ \p [3, с. 101], в котором
H a(r) = 0, если r е[0,1 -О] и a(r) = 1, если
0 <p <да, Ф е S .
Некоторые асимптотические формулы. Пусть r е [1 - — ;1], 0 < О < 1.
ж
Q = {z е С :\ z \ > arg z \ < в} , где 77 > 0, бе (0,—). Получим представление для символов операторов
2 (11). Имеем Представляя J (z) в виде линейной комбинации
функций Ганкеля H ® (z) и H® (z) (где берется +v
k¿(%) = (1 -v(\ % \ 2))k¿(%) + v(\ % \ 2)k¿(%) = = k°ße(%) + k;,g(%), где
если V >—1 и —V в противном случае) и применяя „
2 р у ) р ££(£) = (12)
результаты [6, с. 220], для всех 2 е О получаем , 1
равенство =—— | рп—1 (1 — р2)?—1в(р)т(р)Ср |в'^^¿а .
,nz4
J V (z) = ^-nz)-1/2 [e'z (Z C(-z-l + RN- (z)) +
N Г (gh-о
2' "" "l=0 l, N, ' Рассмотрим (%). Применив [8, формула 25.13]
+ e'^^l^ +rN,)+ (z))], (6) fe,(x.«)da= (\x\ ), (13)
l=0 J ь i „ n/2-^ n
где
\x\n'2-' П2-1
D (v) í _ BN (v) /7ч а также формулу (6) с N = [-] +1, получаем
rn ,± (z) = _N+1 QN ,± (z), (7) 2
N
ín :± (z) = (8)
qn;± (z) = (8) k;ß (%) = z (hß,k,- (\ % \ )+hß,k,+(\ % \ ))+
k=0
1 да exp('a)
= f (1 - t)Ndt e v+N+1/2(1--^)v-N-3/2 du , +Rß,N,- (\%\ )+ Rß,N,+ (\ %\ ), где
0 0 ± 2'z -<u,±
П П
-^2< a . A 1
hß,k,± (\ %\ )= (14)
. . „ ЩР-)(1 -p)ß-1 gk(p)e+-^dp,0 < k < N,
Анализ доказательства леммы Эрдеии, —+к 1-О
приведенного в [7], показывает, что справедлива 1 %1
следующая ^ к
Лемма 2. Пусть в > 0, № е С"([0,о]) и ^(р) = 2 (1 + р)в(рХр),
, .4 1 п—1 'Л
РНо) = = 0,1,2,---). Тогда ,0,± =^гЛ2лУ— е^1, Я?**(|%| ) =
а Г \Р )
I х в—1/(х)е ±{ксСх = а $ X + (Л), А > 1, (9) „ ^ 1 „-2
где a±= f (0) Г (ß)( ±') ß, ^0,± %
Т f(1 -Р)ß-1 g0(P)e±íP%\RN,± (P\%\)dP .
2
sn-1
Рассмотрим мультипликатор (1 4). После замены 1 - р = т будем иметь
(| 4 |) = е±'|г|у„(1 4 |2) Д-18к(1 - т)еи4т(т, 0 < к < N.
-+к п
IТI2 0
Пусть функция ~(| 4 |2) такова, что ~(г2) е Сж(0,ж), ~(г2) = 0 , если г2 < 1, ~(г2) = 1, если г2 > 2 и 0 < ~(г2) < 1; тогда -(г2 )~(г2) = у(г2). Преобразуем мультипликатор (14). С учетом (9) будем иметь
кД,к,± (| 4|)=
= ^ Т|2) 7(| 412)(адк,И+14 Г ^ (| 41)), 0 <к <N,
—+р+к
|412
где а£И = П0ОХИ') " Г(Д); для ЩИ,Д ^ 4 |) справедливо неравенство (10).
Далее после замены 1 - р = т с учётом (7) получаем
яД , N,± (| 4|) =
= е±У4]2) К-1 ^N+1(1 - Ф^Т® - Г) 14 ьц, .
-+N+1 0
|412
Применяя лемму 2, будем иметь
яД , (| 4|)=
е±4-(| 4|2) N+1.
(15)
14!
-+N+1+ р
~(! 4!2)( aN+1,И (!4!)+!4!р^1Цр(!4!)),
()
где (| 4 | ) = ^+1,±0(1)(И') Д Г(Д)^м2± (| 4 | ),
(—)
QNl (2) имеет вид (8).
Символ оператора КД2 запишем в виде
кДл(4) = (1 - -(| 412)) >9Д2(4)+-(| 4 |2)>9Д2(4), (16)
где
к?Д2 (4) = (17)
1 1-%
- | р"-1 (1 - р2) Д-10(р)(1 - ©(р))(р |е'р(4а)(а.
Г (Д)
Рассмотрим мультипликатор у(| 4|2)к02(4). Применив формулу (13), получаем
4 |2) 1-5/2
v(\4I2)kД1(4) = -4) |и(р)р"/2зп (р^^р, (18) 141 0
где и(р) = (1 - р2)Д-10(р)(1 - © (р)).
Проинтегрировав интеграл в (18) I раз по частям, с учетом равенства | (= г"+1 1 (г) [9, формула 5.52(1)] будем иметь
v(!4!2)¿£2(4) =
v(!4!2)e'4 (-1)l~(!4! V'1 4 x
n-i+р ! 4! 1-р-1/2
!4! 2 !4!
1-^/2 d 1 , —+l
x j (-—)l (pu(p))p 2 Jn-2 (p ! 4!)p; (19)
0 dp p —+l
о выборе I будет сказано ниже.
Таким образом, мы получили следующее представление для символа оператора К :
к Д (4) =Ид (4) + Яд (4). Здесь
v(! 4 f)
л-+р
!4!2
Ир(! 4 ! ) = + a+e-'4) , Яр(4) =
= (1-v(! 4! 2)) крA4) + v(! 4! 2)кД Л4)+(1-v(! 4! 2)) kL(4) +
-'1 i
, v(! 4! )е ! (-1)lv~(! 4! )е v
+ \--;—^гтг^-x
4
-+р
4
l-р-1/2
1-^/2 d 1 —+l x j (---)l (pu(p))p 2 Jn
dp p
,(p\4\ )dp-кД,0,+- (! 4! ),
где функции кДл(4), кД 2(4) задаются равенствами (12),
(17) соответственно, а± =0(1)(±') Д Г(Д)(2-) 2 е 4 .
Доказательство основных результатов
Доказательство теоремы 1.
Докажем, что оператор К ограничен из Н р в Л тогда и только тогда, когда выполнены условия (3) или (4).
Изложим схему доказательства. Допустим, мы доказали, что к Д (у) е К(Нр, Л) тогда и только тогда, когда выполнены условия (3) или (4). Заметим, что функция кД (4) является мультипликатором в £ (это видно из равенств (12) и (17)). Тогда потенциал (1) определен на всем £' (поскольку кД (у) является свертывателем в £) и, следовательно, на всем Нр. Как показано в [1, замечание 2.3], при выполнении указанных условий неравенство
!!КИ!L <! !р !
K (Hp л)
!! И!
Hp
справедливо для всех
cpe Hp . С учетом равенства ! ! кр ! !
=!! #!! ,
"х (Hp Л) 11 0 uU(Hp Л)
заключаем, что для доказательства теоремы достаточно показать, что k Д (i) е M (Hp, Л).
Рассмотрим символ кДj(i) оператора (11). Имеем
0 (i) = Kß(i) + tßß(i). Заметим, что k%(® е C;. Тогда
k0ßß(4) еM(Hp,Л^) , p, s > 0 . (20)
С учетом леммы 1 для символа kßg (i), по теореме
1 а) получаем
КА± (i) = V(ii ^ еM(Hp, Л^) (21)
и-1
—+Д
|4|2
тогда и только тогда, когда выполнены условия (3) или (4). Кроме того,
~(| 4 12)( ак,И+14 |Д Щ1И,Д(| 4| ))е М(Нр, Нр ) , 0 < к < N, 0 < р < ж, по теореме 3 и является мультипликатором в Тогда с учетом (5) получаем, что
кД,к,±(| 4 |)еМ(Нр,Л), к = 0,1,...Д . (22)
2
0
2
2
Рассмотрим Rf-N'± (| ' | ). Используя равенство (15) и теорему 2 а), получаем
B± ^'vQ^I 2)
n—1
-+N +1+ß
I'I2
Кроме того,
е M (Hp, Лs) .
(23)
Положим Я = 1 + s — ß — s, где s> 1 + s — ß. Имеем (F* f )(x) =
= F— ( V(I '2) (a—e 1 ' + a+e"" ))(x) - Khb (x) .
--+s—s
2
I'I
~(| % | 2)(а*+1,л (| % |)+1 % |? К? (| % | )) е М(Нр, Нр), (24)
0 <р<",
по теореме 3 и является мультипликатором в 5". Тогда из соотношений (23) и (24) следует, что
Я?*'±(| % |)еМ(Нр,Лв) . (25)
Резюмируя сказанное, из (21), (22) и (25) получаем, что
к"?е М(Нр, Лв) . (26)
Из (20) и (26) имеем
?(%) е М(Нр, Лв) . (27)
Далее рассмотрим мультипликатор к? 2(%). С учетом равенства (17) будем иметь
Выберем I > [?] + [в] + 1 в теореме 4. С учетом равенства ЯаКи> (| % |) = (—1)'"' ПаК1ММ (| % |) получаем, что К1Ь (х) е Лв « ОаК1Ма (х) е Лв. Справедливо равенство
БаКХь (х) = (31)
= А(—)а (1— | х | +'0)^е—|а| + о(1— | х |Гна при | х 1, | х |
'л(n-Ь)
где А =еГ(—Ь+1 а| + —), Ь = — + ? -Пл 2 2
[2, формула (5.2)].
Полагая в (31) |а|= [?] + [в] + 1, получаем, что
в — е— | а |< 0 . Следовательно, ОаК1Ь (х) г Лв. Тогда
(1 v(| ' |2))2 (') еM(Hp ,Лs), p,s > 0, (28) Ku (x) i Лs.
в силу леммы 1.
Рассмотрим, наконец, мультипликатор
у(| % |2)к?2(%) из (16). С учетом равенства (19), применяя теорему 2 а), получаем, что
v(|%|2)е%
n— е M(HP, Лs)
—+ß |'|2
(29)
тогда и только тогда, когда выполнены условия (3) или (4).
11 п
Выбрав I = [?] + 3 + тах{[п(---)],[-]} в (19),
р 2 2
получаем, что
(—1)/~('| у | ' |1—ß—1/2
1-sn d 1 "Z^
(30)
X I (---)(ри(р))р 2 J-— 2 {р\%\СреМ(Нр,Нр),
0 ар р —+'
0 < р <", по теореме 3. Из приведенных соотношений (27) - (30) следует, что к?(у) е К(Нр, Лв) .
Покажем, что полученные оценки являются точными. Пусть 0 < р — 1, ? > п — п / р — 1 , 5 > п—п / р + ? — 1.
Заметим, что к? (%) — л? (| %|)е М(Нр, Лв) в силу (6).
Докажем, что (| %|)гМ(Нр,Л) при выполнении указанных условий.
Следуя [1], положим /я(х) = F-1(v(| % |2) | % |—Л)(х),
Л > 0 . Покажем, что Л * Л г Л, если
тах{0,п — п/р}<Л< 1 + в — ? . Откуда в силу теоремы 2 а) будет следовать требуемое.
Заметим, что Р"1 л является свертывателем в £ .
Аналогичным образом доказывается точность условий (4).
Аналогично приведенному доказательству с учетом теоремы 2б) доказываются следующие утверждения:
Теорема 5. 1. Если 0 <p < 1, то оператор К/ ограничен из Hp в 1Тк тогда и только тогда, когда / > 1 + n / p - n, k < n - n / p + /-1.
2. Если 1 < p < к, то оператор К/ ограничен из Hp в Lk тогда и только тогда, когда /> 1/p, k </ -1/p.
Теорема 6. Оператор К/ ограничен из L в Л тогда и только тогда, когда / > 1, s < / -1.
Литература
1. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sect. IA. 1981. Vol. 28. P. 267 - 315.
2. Miyachi A. Notes on Fourier multipliers for Hp, BMO and the Lipschitz spaces // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sect. IA. 1983. Vol. 30, № 2. P. 221 - 242.
3. Stein E.M. Harmonic Analysis: Real-variable method, Orthogonality, and Oscillatory Integrls. Princeton, NJ, 1993. 716 р.
4. Стейн Е.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., 1973. 342 с.
5. Calderon A.P., Torchinsky A. Parabolic maximal functions associated with a distribution, II // Adv. in Math. 1977. Vol. 24, № 2. P. 101 - 171.
6. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М., 1949. 798 с.
7. ФедорюкМ.В. Метод перевала. М., 1977. 368 с.
8. Samko S.G. Hypersingular integrals and their applications // Analytical Methods and Special Functions. London, 2002. Vol. 5. 358 р.
9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971. 1108 с.
Поступила в редакцию
3 сентября 2012 г.
