Hp-hq-оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими символами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

Я-Я-ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ СИМВОЛАМИ

© 2010 г. А.В. Гиль1, В.А. Ногин1'2

1Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

2Южный математический институт

Владикавказского научного центра РАН,

ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ,362027, [email protected]

'Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,

2Southern Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, [email protected]

В рамках пространств Харди Нр изучаются многомерные операторы типа потенциала с ядрами, вырождающимися или имеющими особенности на единичной сфере. Получены необходимые и достаточные условия ограниченности таких операторов из Нр в Н^ или из

Нр в вмо.

Ключевые слова: свёртка, осциллирующий символ, ВМО, Нр - Нч -оценки, мультипликатор, обобщённая функция, оператор типа потенциала.

In the framework of Hardy spaces H p, we study multidimensional potential-type operators whose kernels degenerate or have singularities on the unit sphere. Necessary and sufficient conditions are obtained for such operators to be bounded from Hp to Hq or from Hp to BMO.

Keywords: convolution, oscillating symbol, BMO, Hp - Hq -estimates, multiplier, distribution, potential-type operator.

В работе получены Hp - Hq -оценки, 0 < p < 1, 0 < д < да, для многомерного оператора свёртки

кЦ/ = к§ * f (1)

с ядром, имеющим особенности или вырождающимся сфере: к§()=ф|(1 -У2 +

на единичнои

ß-i

ß> 0,

1, где 6>(i) Ф 0. Более точно мы предпо-

лагаем, что kß (^) = в(^)©(^-1^2 + /0j , ß > 0.

Здесь в(r) - гладкая функция, называемая характеристикой оператора Kß, a>(r)е Cда(0,да) такова, что 0 <®(r)< 1, a(r)= 0, если r g(l -ö,1 + ö) и ®(r) = 1, если r e[l-ö/2,1 + ö/2], 0 <ö< 1.

Аналогичные результаты получены для оператора Kß++f = kß+ * f (2)

с ядром

у у ^ У £ - У 2 )Г' ^ о

(при р = 0 правая часть (2) понимается в смысле аналитического продолжения из полуплоскости Яе^ > 0 в полуплоскость Яе^ > -1). Для операторов (1) и (2)

установлены также Нр - Ьда~, Нр - ВМО - и ВМО -ВМО -оценки.

Заметим, что символы операторов (1) и (2) осциллируют на бесконечности, что существенно используется при доказательстве соответствующих теорем.

Для получения указанных результатов в статье развивается новый метод, который позволит охватить случай любых р и д , 0 <р < д < да. Он основан на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту, с последующим применением к этим интегралам метода стационарной фазы и результатов А. Miyachi для «модельных» мультипликаторов

т±0|) = 2 )СЬе±г'0 , Ь > 0, (3)

где у(г) е Йда (0, да) такая, что у(г) = 0, если г < 1, у(г) = 1, если г > 2 и 0 < у(г) < 1.

В настоящее время имеется ряд работ по

Нр - Нд -оценкам для операторов свёртки с осциллирующими символами [1—4]. Отметим, что в них рассматривались только мультипликаторные операторы, символы которых выписывались явно. Рассмотренный в статье случай, в котором оператор изначально задается как оператор свёртки, намного труднее. Это обусловлено тем, что здесь мы имеем дело не с явными выражениями, а с теми или иными инте-

гральными представлениями для символов рассматриваемых операторов.

Отметим, что Нр - Нд -оценки для операторов (1) и (2) в случае 1 < р < да были получены в статьях [58], однако использовавшийся в них метод не работает при 0 < р < 1.

Вспомогательные сведения и утверждения

Пусть (/)(0 ={2я)~П2/У1- преобразование Фурье функции / ; ^_1/)0) = (/)(-0) - обратное преобразование Фурье; £ - класс Шварца быстро убывающих гладких функций; £1 - пространство обобщённых функций медленного роста.

Некоторые пространства функций и распределений. Нр = Нр (Я"), 0 < р < да, обозначим множество

всех S -распределении

f + (x) = sup |(f *р£Ще Lp,

таких, что

где p е S и

0<£<œ

p(x)dx Ф 0 , ре(х) = е~0 и (f *peXx) = {f,pe(x-)) .

Положим

H

f+

Lp

[9, 10, гл. 3, 4]. Заметим, что

при 1 < р <да пространство Нр изоморфно Ьр .

Через ВМО = ВМо(яп ) обозначим множество всех локально интегрируемых функций, для которых

"BMO

= sup jji Лf (x)-fB|dxj < œ , где

/в = у11 /(х)ёх , и супремум берется по всем шарам

Ив

В из Я". Заметим, что пространство ВМО является сопряженным к Н1.

Пусть далее X, У - одно из пространств: Нр, 0 < р <да ; Ьда или ВМО .

Следуя [3], через к(х ,У) обозначим пространство всех к е £1 таких, что

к( X ,Y )

= sup<!f : f е S nX.|

ф 0^<да.

Через I (х, У) обозначим множество обобщённых функций т е £^ таких, что

Ilm ( X y ) = supi

F- mf

■: f е S n X ,11 f\\x Ф 0

> < œ.

Таким образом, m

1 (X ,Y ):

F m

k(X,Y) '

О некоторых Нр - Нд -мультипликаторах. Теорема 1 [3]. Имеют место соотношения:

а) т±||)е1 (нр,Нд), 0 < р < д <

только тогда, когда — +1 < 1,

р д

1 + 1 > 1 п-1 < ь +П-1 •

р д ' р д 2 '

±

б) m±(||)e I (я1, H1 )= I (BMO, BMO) тогда

только тогда, когда Ь >

n-1 .

в)

m±(|)eI (нр,BMO) и m±||)e I (hp,Lто-

—V в противном случае) и применяя результаты [11, с. 220], получаем равенство

Jv{z ) =

(

N

Z С("-. z- J + RV)-(z)

VJ=о J , „

+ e

V J

N

z

=о

С W- z - J + R$+{z )

где = 1 eT(i^4)(2v+1),

rN:1(Z )=-B&- QNv)±(Z)

z

(4)

(5)

xp(ia)

r \ 1 x exp(ia) i

ßNv)±(z)= i(1 -t)Ndt Г e~"uv+N+1 x

о

ut , v—N—3

x | 1--I du .

± 2iz

(6)

Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту. Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведённого в [12], показывает, что справедлива следующая

Лемма 1. Пусть р> 0, /(х)е С да([0, а]), и з) = 0 (у = 0,1,...). Тогда

а хр-1 / (хx)e±'Лxdx = арЛ~Р + w1±,р (л), (7)

f (j Ч*

k±,ßw) J

С

n+ß+J

где Л> 1, ар = /(0) -ГрМ±i)Р' Л > 1, постоянная С±, у не зависит от Л .

Основные результаты

На / —,1 ^ - плоскости рассмотрим множество

Г/ 1 1 Л 0 < р <1; р < д <«;]

ф,п)=рд: р—!<р+„—

Изобразим это множество на рисунке:

±, j

ф, nH

да тогда и

_L - n < b - или

p q 2

[ß, Р, С', E] \ [E, С'\ ß> 1 [ß, Р, E] \ {E}, ß = 1

[ß,Р,С], 0 <ß< 1,

где O = (0,0), E = (1,0), Q = (1,1), С = (1,1 -ß), С=f1+ß-1,0l, Р = |1+ ß ,1+ ß).

n-1 n-1 I

гда и только тогда, когда 0 < р < 1, п < Ь + П—1.

р 2

Равномерное асимптотическое разложение функции Бесселя (г). Пусть — у < а < у . Представляя Jv (7) в виде линейной комбинации функции Ханкеля (г)

Н±^(г) и Н±)(г) (где берется +v, если v>—12 и

O

С E C/ Множество L(ß, n)

1/p

Через н(к) обозначим множество всех пар

1 Л, для которых кк(нр,нд)<с

Основным результатом статьи является следующая Теорема 2. Справедливо равенство

н(кр)= ср, п). (8)

Доказательство. Вначале докажем вложение

HKß)^ L(ß,n).

(9)

Изложим схему доказательства (9).

Допустим доказано, что кр(у|)е к(нр,Нд),

V p ,qL(ß,n).

Заметим, что функция тр @ (|) = кР (|) является мультипликатором в £ . Тогда оператор (1) определен на всем £1 (поскольку к Р(|) является свёртывате-

лем в £) и, следовательно, на всем Нр . Как показано в [3, замечание 2.3], при выполнении указанных условий неравенство

Kßf

<

Hq

kß

\к(нр, Hq )

HHp

(10)

где (-^-^е с(р,п), справедливо для всех / е Нр .

Из

(10)

, n) вытекает

kß\\

(HP Mq )=rß,^l| (HP H )

для

(9). Так как то (10) (а вместе с

ним и (9)) будет следовать из соотношения

тр,в(4)е 1 (Нр, Нд), /р, !]е с(р, п).

и

2

2

ж z

+

e

2

0

0

Докажем (11). Преобразование Фурье ядра к$0) запишем в виде т р^(0) = + т2рв 0), где

ß,e

х j e

п n-1

,в0) = ipn-1(1 - p2 )ß-1e(P}0(P)dP;

1-ö

ipi0^)

da,

(12)

mß,e\

0)=-e'ß- 1+jÖpn-1(p2 -lf~le(p)a(p)dpx

х jeip0aha .

Имеем mß,e (0) = mfß (0) + (0)

^ß°e(0)=(1 - V0 2 )) mß,e(0),

mfee 0) = v( 02 1 ■ mß,e (0). Заметим

что

тХ,рв 0)e 1 (Hp ,Hq), 0 < p < 1, p < q <да. (14)

j«

V2

(П=2р2 '

J n-2 (x|), будем

2

m

ß в(0)=

ЫП/2 ■ vf0

0

(n - 2 У 2

mßв0)= s (Äß;-(0)+hß;+ к=0

+ ß(0)+Rß1+(0), где

hßi(0)= ^ j(1 -P)ß-1 ЯкC4e±P0dp, (15)

0 2 +к 1-0

^=1-к

Як (p) = n,±p = - (1 + p)ß-1e(p)®(p), 0 < к < N,

X0,±=(2^)(n-1V2 ■ eT *(n-1), Yn+1 ,± v(02)

R

N ,± ß,1

Y0,± |0

n-1 2

Пусть функция ~у0 2 ) такая, что ~(г)е Nда(0, да), ~(г) = 0, если г < 1, ~(г) = 1, если г > 2 и 0 < ~(г)< 1. Тогда VI |02 I- ~1|02 1= VI |02 I. Преобразуем мульти-

пликатор (17), используя лемму 1. С учётом (7) будем 105

иметь

hß ;±(0)=-

vl 0 2 V e 0

0 ¥+к+ß

(13)

где

<102 Y ß +0ß^1=F,ß(0)

ß = Y^±e(1)(+ /)ßr(ß)

Wf^l))j

0

C +, j 1+ß+j

i = 1,2, — .

Заметим, что

{0 2 } ^±'10

^ ^ -е 1 (нр ,ид) по теореме

■fr+ß

Действительно, т^ 0)е 1 (нр,Нр), 0 < р < 1, из 1а),

если

W L(ß, n) .

Кроме того,

[3, теорема Е]. Тогда из [4, лемма 1.1, теорема 1.2] получаем (14).

Рассмотрим т$да,0). Применив формулу

05

+ 0ß W+,ß (0)1 e 1 (hp,hp), 0 < p < 1, [3,

иметь

2 У _к,-

теорема Е] и является мультипликатором в £ . Тогда й0±(0)е 1 (нр,нд),

если

p q

Т^Ь L(ß,n).

Аналогично доказывается, что йк ±(|0)е I Нр,нд),

1 < к < N, если U-,-1 Je L(ß + 1, n).

Х )р"!2(1 -р2р^и(01р.

1-3 2

Используя формулу (4) с N = [п+1 ]+1, получаем

Рассмотрим (16). После замены 1 -р = т получа-

0 2

ем

Rß±(0)=

Yn+1,± Y0,±

10

n-1 2

^ЯС (1-г)^ e+Ч0 rN-2 }((1 -r)0dr.

ö х fr 0

С учётом равенства (5) имеем

В±- е ±г10 ¿0 2' ^^±(0)= N 10

0 +N+1

U=^n+1 (1Г e*tr0qN=±)((1 -r0rr .

ö х fr

0

Применяя лемму 1, с учётом (7) будем иметь

В±- 2 )- е±'10

Rß±(0)=

0n

1+N+1+ß

~l0 211 aß+1,+ (0)+0ßW1+,ß(0)

где

< 1(1 -рГ1 Яо(р)-е±1р02)(р0)1р. (16) (0)=^+1,±^Х- 'Гг(^-±)(0) и

Рассмотрим (15). После замены 1 - р = т получаем ^ <——-, 3 = 1=2=—. Тогда

W+,ß(0))('

hß ;±(0)=

e±!|0v|02 jö

0

Örß~^Яk (1Г e+dr . (17) B±N ■ v(021

0

2!■e±10

1+ß+j

10n

1+N+1+ß

■e 1 (hp , Hq), если

х

х

n-1

5

и

)

n-1

5

x

2

х

х

+

2

х

2

1 1

е.

L(ß +1, n), по теореме 1a). Воспользовавшись

[3,

теорема

E],

имеем

V р д,

(6) и

~(|||2 ^^ ||)+||чт,р(ф 1 (нр,нр ),

0 < р < 1. Кроме того, эта функция является мультип-

г ±/

если

ликатором в £ . Тогда Л^1±||)е I (нр,Нд),

/1,1 )е Ф + 1 п).

Итак, тр^(|)е 1 (нрН), если (^^е £.(р,п), откуда с учётом (14) следует, что

тР,Д#)е 1 (Нр ,Нд), [-р, 1)е ф, п).

2

hk,±|)=-e<ß v(|2)-_

ß (|)= e ^^+k+ß

v(||2 )• e+111

II

Ф|2 Y «ß" +||ß<,ß(4 f)), 0 < k < N,

ß =Xk,±ö(1)(+ i)ßr(ß)

Wf,ß(#

j)

I

С *, J 1+ß+ J

J = U-.., Rß2±(|) = -ei

ß

Bj±. v(||

-'2 ].e±'11

II ^

1+N+1+ß

Аналогично (18)

m\ в

1 (HP, Hq), (-P, 11 е ф, n),

(19)

r0,+v(||2 V1

-<№ßie

imß 3imß

2

- e

2

. При-

что

Kßf

Lq

kß

k(hp ,lq )"'

IIhp

X 1

p, q

i£.(ß,n)П { 1 < q <»}.

Замечание 2. Заметим, что Н1 с } (и оператор вложения непрерывен). Однако необходимые и достаточные условия на д, при которых оператор КР,

0<р< 1, ограничен из Н1 в }д (1 — р< 1/д< 1) не вытекают из условий ограниченности этого оператора из }1 в }д , полученных в [8]: КР : }1 ^ }д »1 — р< 1/д < 1. Применяя полученное выше представление для символа

(I8) тр^(!) = тР%!)+ тР-(|)+ тро0|) + тР,О0(|)

имеем

Рассмотрим теперь трв(!) (см. (13)). Рассуждая так же, как в случае мультипликатора тр,^(|),

тр,*|) = тР«(|)+ Е (р (|)+ р |))+

к=0

+ Л*— ||)+ яР2+||), где тР°(|)=1 — V!2 )) т^),

йр ,± ||) =

и утверждение в) теоремы 1, заключаем, что

mße(g)+ mß^de 1 (hp, bmo) ,

ß-1

n

(20)

'р,в\1+ тр,в

Р> 1, 1 < -1 < 1 +

р

Кроме того, для любого р > 0

тр*в(!)+ тр,О0(!)е 1 (нр,вмо), 0 < р < 1.

Используя (как и при доказательстве теоремы 2) [3, замечание 2.3], получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть / е Нр и выполнены условия

(20). Тогда справедливы оценки:

Kßf Kßf

<

kß

k(hp , L°° )

H

kße

H

(21)

(22)

Из (18) и (19) вытекает (11).

Докажем (8). Анализ доказательства вложения (9) показывает, что картина ограниченности оператора (1) определяется мультипликатором

вмо и к(нр, вмо)

Утверждение, аналогичное содержащемуся в теореме 2, справедливо для оператора (2).

Теорема 4. Имеет место равенство Н (<+)= с(р, п).

Кроме того, при выполнении условия (20) для оператора К р+ справедливы оценки (21)-(22).

Замечание 3. Пусть р > 0. Тогда операторы (1) и (2) ограничены из ВМО в ВМО .

Рассмотрим случай р = 0. Как отмечалось выше, при р = 0 правая часть (2) понимается в смысле аналитического продолжения из полуплоскости Яер > 0 в полуплоскость Яер > — 1. Построим указанное аналитическое продолжение. Считая, что Яер > 0,

/ е £ П Н1 = / е £: /(0) = 0} (класс £ П Н1

меняя теорему 1а) к мультипликатору пр(|), имеем пр (|)е 1 (Нр, Нд Ц-р ,д ]е ф, п).

С другой стороны, как видно из сказанного выше, тр,в(!) — пр(|)е 1 (Нр ,Нд), /-р, 1)е ф +1, п). Отсюда следует (8).

Замечание 1. Теорема 2, в частности, утверждает,

H

[10]) Kß+f )x)

x) = J 1-О<| <1

после

и и)

перехода в

плотен в интеграле

|2

\ß-1

f (x - и )dv

к

полярным координатам и интегрирования по частям, будем иметь

(Kß./)(x)=щкл 1(1 У

1—О

-p x

5p

pn-20(p)rn(p) J f (x -pa)dc

dp.

(23)

x

CO

L

<

и

x

2

x

n

5

x

n-1

5

Правая часть (23) является аналитической функцией в полосе -1 < Яе$ < 1. При $ = 0 получаем

(<+f)*)^ i fix .

(24)

Теорема 5. Справедливо равенство H {Q}.

Кроме того, оператор (24) ограничен в BMO. Работа поддержана ФЦП «научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, № проекта 02.740.11.5024.

Литература

1. Miyachi А. On the weakly strongly singular integrals // Ja-

pan J. Math. 1978. Vol. 4, № 1. P. 221-262.

2. Miyachi А. On some estimates for the wave equation in Lp and

Hp // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sect. IA. 1980. Vol. 27. P. 331-354.

3. Miyachi А. On some singular Fourier multipliers // J. Fac.

Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA. 1981. Vol. 28. P. 267-315.

4. Miyachi А. Notes on Fourier multipliers for Hp , BMO

and the Lipschitz spaces // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA Math. 1983. Vol. 30, № 2. P. 221-242.

5. Nogin V.A., Karasev D.N. On the L -characteristic of some

potential-type operators with radial kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2001. Vol. 4, № 3. P. 343-366.

6. Karasev D.N., Nogin V.A. Description of the ranges of some

potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2002. Vol. 5, № 3. P. 316-349.

7. Карапетянц А.Н., Карасев Д.Н., Ногин В.А. Оценки для

некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Изв. HAHA. 2003. Т. 38, № 2. C. 37-62.

8. Karasev D.N., Nogin V.A.. On the boundness of some poten-

tial-type operators with oscillating kernels // Math. Nachr. 2005. Vol. 278, № 5. P. 554-574.

9. Fefferman C., Stein E.M. Hp -spaces of several variables

// Acta Math. 1972. Vol. 129. P. 137-193.

10. Stein E.M. Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Or-

thogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton, NJ, 1993. 695 p.

11. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М., 1949. 798 с.

12. ФедорюкМ.В. Метод перевала. М., 1977. 368 с.

S

Поступила в редакцию

22 июня 2009 г.