Оценки для некоторых операторов типа потенциала с особенностями ядер на сферах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 1, С. 12-23

УДК 517.983.2

ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСОБЕННОСТЯМИ ЯДЕР НА СФЕРАХ1

М. Н. Гуров, В. А. Ногин

В пространствах Харди Нр, 0 < р < то, изучаются многомерные операторы свертки со степенными особенностями их ядер на конечном объединении сфер в К". Получены необходимые и достаточные условия ограниченности таких операторов из Нр в пространство Ла гельдеровских функций, из Нр в пространство Соболева и и з В МО в Ла.

Ключевые слова: потенциал, пространство Харди5 пространство гельдеровских функций, пространство функций с ограниченной средней осцилляцией.

Введение

В работе получены (Нр — Л3), (Нр — Ь^°) и (В МО — Л5)-оцепки для операторов

М$1р = т?д*1р (1)

с ядрами

г4(у) = ¿ММ)(г2 - \у\2 + м)^-1е2(\у\)(1 - м2)?"1, (2)

где в = (в1, в2)) в% > 0 ъ = 1, 2 0 < г < 1. Здесь в^ (г) — гладкие функции, ву-(г г) = О, 3,г = 1,2.

Как показано в работе, символ оператора (1) содержит мультипликаторы, осциллирующие на бесконечности. Это обстоятельство существенно используется при доказательстве соответствующих теорем.

Для получения указанных результатов в работе развивается новый метод, охватывающий случай произвольных вир, 0 < в, р < ж. Этот метод основан на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых интегралов, содержащих осциллирующие экспоненты, с последующим применением к этим интегралам метода стационарной фазы и результатов А. М1уасЫ для «модельных» мультипликаторов вида

™±(К1) = ^|2ЖГЬЬ> 0, (3)

где у(г) € Сте(0, ж), 0 ^ у(г) ^ 1; у(г) = 0, если г ^ 1 и у(г) = 1, если г ^ 2.

© 2014 Гуров М. Н., Ногин В. А.

"'"Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения № 4.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них» и № 8210 «Синтетические методы изучения операторов и уравнений в функциональных пространствах».

В настоящее время имеются работы [6, 7] по (Нр — Л5) и (ВМО — Л5) оценкам для операторов типа свертки с осциллирующими символами. Отметим, что в указанных работах рассматривались только мультипликаторпые операторы, символы которых выписывались явно. Кроме того, имеется ряд работ по (Нр — Ня)-оценкам для операторов типа потенциала по Ж" с локальными частями, имеющими особенности на конечном объединении сфер в Ж" (см. [1^4]).

Рассмотренный в статье случай, в котором оператор изначально задается как оператор свертки, намного труднее. Это обусловлено тем, что здесь мы имеем дело не с явными выражениями, а с теми или иными интегральными представлениями для символов рассматриваемых операторов.

1. Основные результаты

Положим 7 = тш{Д, }• Основными результатами данной работы являются следующие теоремы.

Теорема 1.1. 1) Оператор МЦ ограничен из Нр в Л5 тогда и только тогда, когда

п п

0<р^1, 7 > 1 Н---п, з^п---Ь 7 — 1 (4)

р р

или

11

1 < р < оо, 7 > 5^7--; (5)

рр

2) оператор М^ ограничен из Ь1 в Л5 тогда и только тогда, когда 7> 1, в ^ 7 — 1.

Теорема 1.2. Оператор МЦ ограничен из Нр в тогда и только тогда, когда О < р ^ 1, 7>1 + ^— П, к ^П — — 1 или 1<_Р<°0;7>р;^<7 — р-

Теорема 1.3. Оператор МЦ ограничен из ВМО в Л5 тогда и только тогда, когда в ^ У-

2. Вспомогательные сведения и утверждения

2.1. Некоторые пространства функций и распределений. Через Hp = Hp(Rn), 0 < p < обозначим множеств о всех S '-распределений таких, что

f +(x)= sup |(f * ¥0(я)|е Lp,

0<£<Ж

где ip £ S, JR„ <p(x) dx ф 0, и </?e(x) = e~nLp (§).

Положим ||f \\hp = ||f +\\lp (cm. [5, гл. 3, 4]). Заметим, что при 1 < p < <xi пространство Hp изоморфно Lp.

Через BMO = BMO(Rn) обозначим множество всех локально интегрируемых функций, для которых

1

в \\В\

ВМО = sup < щ J |/(ж) - /бI dx > < 00,

B

где /б = щ JB/(ж) dx, и супремум берется по всем шарам В из Ж"

Пространство состоит из функций f G S' таких, что

II/Ьг = Е l|Daf IIl- <

|a|<k

Пусть s > 0 и s = к + е, где к G No, 0 < е ^ 1. Для функции f G Ck,

положим

Ла =

Е supj^g-^}, 0 < е < 1;

|a|=kx=y L ' 1 J l>|=kx=y I |Х У1 J

Через Л5 и Л5 обозначим пространства функций f (x) классa Cк, для которых ||f ||г < то

Л s

и ||f llлs = ||f ||ьг + ||f И/Г < œ соответственно

к 11 ^ ила Заметим, что Л51 С Л52, 0 < в2 < в1.

Пусть далее X — одно из пространств Нр (0 < р < ж), Ь1 ил и В МО] У — одно из пространств Л5 (0 < в < ж) ми (к € Н). Следуя [6], через К(Х,У) обозначим пространство всех К € Б' таких, что

ти(хх)=^р{11Ку1{]¥ ■ /е^пх, ||/||х/о| <оо.

Через М (X, У) обозначим множество обобщенных функций т € Б' таких, что ||т||^(Х,у)=8ир|||^"|^)||у : /€БПХ, ||/||х / 01 < оо.

V

Таким образом

\\т\\м{х,у) = Н^ т\\к(х,у) ■ (6)

2.2. О некоторых Фурье-мультипликаторах. Для мультипликатора (3) справедлива

Теорема 2.1 [6, с. 284]. Имеют место соотношения:

1) £ -Ж(Нр, А8) тогда и только тогда, когда 0 < р ^ 1, ^ ^ Ь — 5 + или

2) ^^(к!) ^ ■Ж(Ь1,А8) тогда и только тогда, когда Ъ — з ^

3) ^■^(к!) ^ , Ьтогда ж только тогда, когда 0 < р ^ 1, ^ ^ Ь — к + или Кр<ж, \<Ъ-к-

Нам понадобятся также следующие утверждения:

Теорема 2.2. Пусть 0 < р < ж и к = 1 + тах{[п(1/р — 1/2)], [п/2]}. Если т(£) ограниченная функция класса Ск(Ж"\{0}) и

о \ a

щ)

< B lei

-|a|

для |а| ^ к, то m G M(Hp,Hp).

В случае 1 < p < ж — это теорема Михлина, доказательство которой приведено в [8]; относительно случая 0 < p ^ 1 см. [5, с. 163-171].

Лемма 2.1. Если g G Cq°, то g G M(Hp, Л3) для p, s > 0.

Утверждение леммы вытекает из неравенства (см. [9, с. 100-101]):

|(/ * Ф)(ж)| < С ||/\\щ, 0 <р< Ф е

Для а = (а1,..., ап), где а^ (3 = 1,2,...) — неотрицательные целые числа, определим оператор Ка равенством

/ / С \ а \ -1 II А $ \ 1 ^ т 2

Теорема 2.3 f6, с. 2711- Пусть l G N и p > (n - 1)/(n - 1 + l). Тогда f G L2 n Hp тогда и только тогда, когда Raf G L2 n Lp для в с ex |a| ^ l и

C llf\\hp < E \\Raf \\lp < C '||f \\hp , f G L2 n Hp.

2.3. Равномерное асимптотическое разложение для функции Бесселя Jv(z).

Пусть П = {z G C : |z| > ц, | argz| < вде ц > 0 0 G (0,п/2). Представляя Jv(z) в виде линейной комбинации функций Ганкеля H±l (z) и H±l (z) (где берется если v > -1/2, и —V в противном случае), и, применяя результаты из [10, с. 220], приходим к равенству:

Ш = \-

V nz

N с(v) \ / N с(v)

e-«I V^ l~ , вМ , Jz( , j»

V 1=0 /V i=о

где = i^/4)^1),

(7)

B±

= (8)

z

^•exp(ia)

r r / t \ v-N-3/2

QPjz) = j(l-t)Ndt- J (l - ^J du, (9)

0

_ П П

zeil, — < а < -.

2 2

2.4. Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту. Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведенного в [11], показывает, что справедлива следующая

Лемма 2.2. Пусть /3 > 0 /(ж) е С~([0, а]) и /^(а) =0 3 =0,1,... Тогда

J xß-1f (x)e±iXx dx = a±\-ß + W±'ß(А), А ^ 1, (10)

0

где a± = f (0)r(ß)(±i)ß;

(И/1±'/3(А))^')| ^ JT+ß+J' А >1, ¿ = 0,1,2,..., (11)

постоянные C±j не зависят от А.

i

3. Представление для символа оператора МЦ

Оператор МЦ представим в виде

(М^)(Ж) = [м}°){х) + (М*) (х) + {М*<р){х) + {БЬ<р){х),

где

(х)= у (1 — сл(|у|))(1 — Ш2(Ы))тв(у) ф — у) Лу, (12)

(М,»(х)= | (г — |у|)в1—^(Ы) ф — у) Лх, (13)

г—

(М^) (х) = еж(в1—1) [ (|у| — Г)в1—1/1(|у|) р(х — у) ЛХ, (14)

\вг2 1

(1 | у |

1 —5<|у|<1

К<р)(х)= I (1 — |у|)в2—1/2(|у|) ^(х — у) Лх. (15)

Здесь

/1 (I у I) = (г + |у|)в1 — 1Ш1(М)в1 (|у|)(1 — Ш2(Ы))в2 (|у|)(1 — |у|2)в2 —1,

/2 (| у |) = (1 — Ш1(Ы))в1 (|у|)^2(|у|)02 (|у|)егп(в1—1) (1 + |у|)в2—1 (|у|2 — Г2)в1—1.

функции шу (£) € С°°([0; 1]) таковы, что 0 ^ Шу (£) ^ 1, Шу (£) = 0, если £ € [гз — г3 + и = 1, если £ е [г, - |;г,- + §],,?' = 1,2, п = г, г2 = 1, £ € (0, Рассмотрим оператор (12). Обозначим

т10{у) = {1-ш1{\у\Ж1-ш2{\у\))тё{у), щ(р) = (2тг)* (г2-р^го^а-рУ2"Ч(р)(1 - ил(р))02(р)(1 -ш2(р)).

Имеем _____ _____ _____

= (1 - «(К12)) т?0(0 + ^(к!2)

где

5

(27Г)2 у у

0 ^п-1

Воспользовавшись формулой (см. [8, с. 37])

(2п)

= (16)

получаем

1

Ц(1£|2)гаео(0 = I и1{р)р'-2 Jn__l{p\í\)dp.

уЩ2)

п-1

6

Проинтегрировав по частям £ раз последний интеграл, с учетом рекуррентной формулы (5.52(1)) из [13]: / гп+13п(г) дг = гп+1/п+1(г), будем иметь

1 2

м 0

Пусть функция ^(|£|2) такова, что г;(г2) е Сте(0; ж), у(т2) = 0, если г2 ^ 1, гГ(г2) = 1, если г2 ^ 2 и 0 ^ гУ(г2) ^ 1; тогда у(г2) ■ у(г2) = у(г2). С учетом леммы 2.2, имеем

0,0^ • ' \p\t-Pi-b

(I 1

X I I —--I \ У у)) V " о П-

0

(17)

£

Символ т^1^) оператора МЦ^ запишем в виде

т ,1

т

в1Ю= ! Рп-1(г — Р)в1-1 /1(р) йр I до,

т—5

= (1 — ^^)) (О + ^(|£|2) т*(0 = ^Лб +

Рассмотрим символ т^1^^) оператора (13). Применив формулу (16) и формулу (7) с N = + 1, будем иметь

____N

<Г(е) = £ (л?1,к,-(К|) + л?ь*'+(К|))++

к=0

где

т

Л?1'^!) = [ р^-Чг-рГ^П^е^Лр, о

\£\— 1-й

т—о

т

П—1

7о,± = (27г) 2 е"1

Д^ая) = [ Р^г-р^Ше^Я^Ж^р.

£ 2 \

т-о

После замены г — р = т мультипликатор Л,в1'к'±(|£|) примет вид

\£\— 1-й J

п-1

Б

С учетом леммы 2.2 будем иметь

для мультипликатора в1 (|£|) справедливо неравенство (11).

Рассмотрим мультипликатор яв^'^Ш. После замены г — р = т, с учетом равенства (8), получаем

я

0

Прпменяя лемму 2.2, будем иметь

1£1 2 1

где а^+1,=р(|£|) = ар*1'* • имеет вид (9).

Символ т^(О оператора (14) запишем в виде

г+5

т'в;2(0 = еп(в 1—^ / рп—1(р — г)в1—1 /1(р) Лр I е1р(^а) (1(7.

Имеем

т^) = (1 — ^(|^|2)) <2(О + ^(|^|2) ¿^(О = (£) +

Аналогично разложению мультипликатора т^1^^), для т^'00^) имеет место разложение:

.__. N

т^Г(о = £ (ьв1 Л—(|е|)+ь^в^'+т)+дв1Л—(|е|)+яв^'+т, к=0

где

,=ь

1£1 2 1

(п~2)

гДе QN± имеет вид (9).

Символ оператора (15) запишем в виде

1

в?2 (£)=/ рп—1(1 — р2)в2—1и2 (р) Ш2(р) Лр I егр(^ Л7

1—5 й"-1

= (1 — ^(|е|2)) в? (о + ^ш2) $ (о ^ в^0® + вр(е).

Рассмотрим мультипликатор вв2'<х(£)- Аналогично разложению для тд1^^), с учетом формулы (16) и формулы (7) с N = + 1, получаем

n

= £ (hi2'k'-(iei) + Лв2'к'+(|е|)) + R3e2,N,-(iei) + Ri2'N'+(iei), (18)

k=0

где

Isl 2 2

<2+1,T(iei) = 7W+i;±n2(i)(^)/32r(/32)g^X)(|ei).

Таким образом, символ оператора Mв имеет вид:

г4(о = ц(о + т, (19)

где

_ «(IflV1*1 t;(|fl2)e»lgl ^(к!2)^'

, , , та-1 I a ~г W , , , П-I I a ~r n_ 1 д T n—1 I д "Г , , , n-1 , д >

+Л lei—+/?1 +/?2

= Чо(0 + + <2(0 + - MO-

Здесь Ci = Y0,+ (1 + ein(ei-1)) C2 = 70>_(1 + ein(ei-1)).

4. Доказательство основных результатов

< Доказательство теоремы 1.1. Докажем утверждение 1) теоремы 1.1. Изложим схему доказательства. Допустим, мы доказали, что me (y) G K(Hp, As) тогда и

только тогда, когда выполнены условия (3) или (4). Заметим, что функция mв (£) является мультипликатором в S. Тогда потенциал (1) определен на всем S' (поскольку m^(y) является свертывателем в S) и, следовательно, на всем Hp. Как показано в [6, замечание 2.3], при выполнении указанных условий неравенство

IKHL < Н\\ж(нР,Аа)МнР (20)

справедливо для всех р G Hp.

Отметим, что класс S те плотен в Hp, 0 < p ^ 1, поэтому, как показано в работе [6, с. 275], для доказательства теорем 1.1 и 1.2 достаточно получить оценки (20) для функций р G S П Hр.

Итак, с учетом (6) достаточно показать, что

mj(0 £^(Hp,As).

Рассмотрим символ me0(£) оператора Мв0. Заметим, что (1 — v(|£|2)) me 0(£) G C^. Тогда

(1 - V(|£|2)) mlQ(0 G Jt{Hp, АД 0 <p,s<oo, (21)

в силу леммы 2.1.

Полагая

11 п | - - -

р 2

£ = [в1 ] + 3 + тах в равенстве (17), получаем с учетом п. 1) теоремы 2.1, что

п 12

€.Ж(НР,А3) (22)

2 +Р1

тогда и только тогда, когда

пп

0<р^1, р1>--п + 1, з^п---Ь /51 — 1 (23)

рр

или

1<р<00, /?!>-, /?!--. (24)

рр

Кроме того,

'"/Д / (¿У «<„<», (25) У Р/ --^ 2

по теореме 2.2 и является мультипликатором в Б. Из соотношений (21), (22) и (25) следует, что

(26)

тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (23) или (24). Рассмотрим символ т^^(е) оператора МЦ Заметим, что

"10,1°(О е М(Нр,ЛД 0 <р,в< ж, (27)

в силу леммы 2.1.

Рассмотрим мультипликатор '"^(е)- Отметим, что

^(1 е12 )е±*т^

(28)

тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (23) или (24) (в силу п. 1 теоремы 2.1). Кроме того,

Т0'±^(|е|2)(+ |е|в1 WlF'вl(|е|)) е М(Нр,Нр), 0 <р< ж,

по теореме 2.2 и является мультипликатором в Б. Тогда

Н^'+т е М(Нр, Ая) (29)

тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (23) или (24). Аналогично (28)-(29) доказывается, что

Нв1,к'±(|е|) е м(Нр,Л3), 1 < к < М, (30)

Rf1'N'±(|е|) е М(Нр,ЛД (31)

если выполнены неравенства (23) или (24).

Из (29)—(31) получаем, что

т^ (е) € М(Нр, АД (32)

при выполнении неравенств (23) или (24). Из (27) и (32) следует, что

тв]1(е) € М(Нр, АД (33)

когда выполнены условия (23) или (24).

Рассуждая аналогично (27)—(33), заключаем, что

т*(е) € М(Нр, АД (34)

если выполнены неравенства (23) или (24).

Применяя аналогичные рассуждения к мультипликатору вв2 (е) (см. (18)), заключаем, что

в?2 (е) € М(Нр, АД (35)

если 0 < р ^ 1, — И+1, в ^ П — — 1 ИЛИ 1 < р < ОО, /?2 > 5 ^ /?2 —

Из (26), (33) (34) и (35) следует, что

г4(у) е Ж(НР,А3),

если выполнены неравенства (3) или (4).

Покажем, что полученные оценки являются точными. Пусть

п п

0<»^1, 7 >п---1, в>п---Ь 7 — 1. (36)

рр

Заметим, что тв(е) — р(е) € М(Нр, АД Докажем, что р(е) € М(Нр, А3) при выполнении условий (36).

Рассмотрим случай, когда 7 = Д (случаи, когда 7 = в2 и 7 = Д = в2 рассматриваются аналогично).

Следуя [6], рассмотрим функцию /\(х) = ^—1 (V(|е|2)|е|—Л)(х), где А = 1 + в — в1 — £, 0<е<1 + 5 — Покажем, что Р~1 ¡л * /л ^ А3, в > п — ^ + — 1, шах {0;п — < А < 1 + в — в1 ■

Имеем

(F"V * /л)(ж) = F"1 ( ^ > (a^e-lfl + a+e"^ + е^) (ж) s= Кх,ь{х).

у№2)

Выберем I > [в\] + [s] + 1 в теореме 2.3. С учетом формулы

RaK1)b(|e|) = (-1)|a|DaK1;b+|a|(|e|),

получаем, что Ki,b(x) £ Л8 тогда и только тогда, когда DaKib+\a\(x) G Л5. В силу равенства (5.2) из [6], имеем

DaKhb+H(ж) = А(1 - r)s"£-lal + А (г - |ж| + iO)s"£-lal + о(г - |ж|)5"£-1а1 (37)

при |ж| ^ г, где

1 гп (п — Ь—| а |) А = 5 'Г(|а|"5 + е)-

Полагая в (37) |а| = [Д] + [в] + 1 получаем, что з — е — |а| < 0. Отсюда следует, что ^аК1;Ь(ж) £ Л5. Следовательно, К1;Ь(ж) £ Л3.

Аналогично доказывается точность полученных оценок при 1 < р < оо, в ^ у — Повторяя изложенные рассуждения, используя теорему 2.1 п. 2) и п. 3), получаем утверждение 2 теоремы 1.1 и теорему 1.2. >

< Доказательство теоремы 1.3. В силу равенства (см. [6, с. 277])

Ж{НР, Я1) = Ж{ВМО, АД 0 < р < 1, з =--п, (38)

достаточно доказать, что тв(у) £ К(НР,Н1). В [12] показано, что

т%(у) £ Ж{НР,Н1) «.7 ^ ^ -п. (39)

Из (38) и (39) вытекает теорема 1.2. >

5. Некоторые заключительные замечания

В заключение отметим, что доказанные теоремы обобщаются на случай ядер вида

г4(у) = вЛЖг! - \у\2 + гф-1 х ... х e^mirU - \у\2 + *0)^-Ч(Ы)(1 - М2)?"\

где

в, (п) = 0, j,i = 1, 2,... ,1.

Положим y = mini^j^i ßj.

Теорема 5.1. 1) Онератор Ыв ограничен из Hp в Лs тогда и только тогда, когда 0 < р ^ 1, 7>1 + р— п> s ^ п — ^ + 7 — 1 или l<i><oo, 7>|, —

2) оператор Ыв ограничен из L1 в Лs тогда и только тогда, когда y > 1 s ^ y — 1-

Теорема 5.2. Оператор Ыв ограничен из BMO в Лs тогда и только тогда, когда s ^ Y.

Теорема 5.3. Предположим, что min {n — ^ + 7 — 1;Y — ^ 1- Оператор Mg

%-n, к < не-

ограничен из Нр в тогда и только тогда, когда 0 < р ^ 1, 7 > 1 + ^ —n, k sj п —-^+7—1 или 1 < р < оо, 7 > к < у —

Литература

1. Nogin V. A., Luzbetskaya P. A. Inversion and description of the ranges of multiplier operators of Strichartz-Peral-Miyachi-type // Fract. Calc. Appl. Anal.-2000.-Vol. 3, № 1—P. 87-96.

2. Nogin V. A., Karasev D. N. On the L-characteristic of some potential-type operators with radial kernels, having singularities on a sphere // Fract. Calc. Appl. Anal.—2001.—Vol. 4, № 3.—P. 343-366.

3. Карапетянц А. Н., Карасев Д. Н., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Изв. нац. акад. наук Армении.—2003.—Т. 38, вып. 2.—С. 37-62.

4. Гиль А. В., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими символами // Владикавк. мат. журн.—2010.—Т. 12, вып. 3.—С. 21-29.

5. Fefferman С. L., Stein Е. М. Hp-spaces of several variables // Acta Math—1972 —Vol. 129.-P. 137-193.

6. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers // J. Рас. Sci. Univ.—Tokyo: Sect. IA Math.—1981.— Vol. 28.-P. 267-315.

7. Miyachi A. Notes on Fourier multipliers for Hp BMO and the Lipschitz spaces // J. Fac. Sci. Univ.— Tokyo: Sect. IA Math.-1983.-Vol. 30, № 2.-P. 221-242.

8. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications.—London: Taylor & Frances, 2002.— 359 p.—(Analytical Methods and Special Functions. Vol. 5).

9. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-variable method, Orthogonality, and Oscillatory Integrls.— Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.

10. Ватсон Г. H. Теория бесселевых функций.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949.—798 с.

11. Федорюк М. В. Метод перевала.—М.: Наука, 1977.-368 с.

12. Гиль А. В., Задорожный А. И., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов свертки с особенностями ядер на сферах // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки.—2011.— № 2 (23).-С. 17-23.

13. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—М.: Физмат-гиз, 1971.-1108 с.

Статья поступила 17 февраля 2013 г. Гуров Михаил Николаевич

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, младший научный сотрудник отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Муркуса, 22; Южный федеральный университет, аспирант кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; E-mail: MGurov0inbox.ru

Ногин Владимир Александрович Южный федеральный университет, доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, старший научный сотрудник отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: noginflmath,rsu.ru

ESTIMATES FOR SOME POTENTIAL TYPE OPERATORS WHOSE KERNELS HAVE SINGULARITIES ON SPHERES

Gurov M. N., Nogin V. A.

Multidimensional convolution operators whose kernels have power-type singularities on a finite union of spheres in Rn are studied on Hardy spaces Hp 0 < p < то. Necessary and sufficient conditions are obtained for such operators to be bounded from Hp into the Holder space Ла, from Hp into the Sobolev space , and from BMO into Ла.

Key words: potential, Hardy spaces, space of Holder functions, bounded mean oscillation.