CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 3, С. 21-29
УДК 517.983
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ СИМВОЛАМИ1
А. В. Гиль, В. А. Ногин
Получены необходимые и достаточные условия ограниченности многомерных операторов типа потенциала с ядрами, имеющими особенности на единичной сфере, действующие из Hp в Hq, из BMO в из L1 в H1 и из BMO в BMO.
Ключевые слова: свертка, осциллирующий символ, ВМО, Hp — Hq оценки, мультипликатор, обобщенная функция, оператор типа потенциала.
1. Введение
В работе получены Ир — Иq оценки, 0 < p ^ 1, p ^ q < ж, для многомерного оператора свертки
j — У) (!)
где
<+ (У) = ^(1У1)(1 — Ы2) +-1 , 0 <в< 1, S> 0, 0(1) = 0.
Здесь 0(r) — гладкая функция, называемая характеристикой оператора кЦ.
Для операторов (1) установлены также BMO — L^, L1 — И1 и BMO — BMO оценки. Заметим, что символ оператора (1) осциллирует на бесконечности, что существенно используется при доказательстве соответствующих теорем. Для получения указанных результатов, в статье развивается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту, с последующим применением к этим интегралам метода стационарной фазы и результатов A. Miyachi для «модельных» мультипликаторов ( )
= v(К|2)|ГЬb> 0, (2)
где v(r) £ Cте(0, ж) такова, что v(r) = 0, если r ^ 1, v(r) = 1, если r ^ 2 и 0 ^ v(r) ^ 1.
Отметим также, что указанные оценки были установлены ранее только для мульти-пликаторных операторов (см., например, [1, 2]). Получить их в ситуации, когда оператор изначально задается как оператор свертки, — такая ситуация намного труднее — удалось благодаря описанному выше методу.
Заметим еще, что Lp — Lq оценки для оператора (1), 1 ^ p < ж, были получены в [3, 4].
© 2010 Гиль А. В, Ногин В. А.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00329 а, и Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, госконтракт
№ 02.740.11.5024.
2. Вспомогательные сведения
2.1. Обозначения. Всюду ниже используются следующие обозначения: (Ff )(£) : = /(£) := Jru f (x) dx — преобразование Фурье функции f; (F-1 f)(£):= f (£) := (2n)-n(Ff)(-£) — обратное преобразование Фурье; S — класс Шварца быстро убывающих гладких функций;
S' — пространство обобщенных функций медленного роста.
2.2. Некоторые пространства функций и распределений. Через Hp = Hp(Rn), 0 < p ^ 1, обозначим множество всех S'-распределений таких, что
f +(x)= sup |(f * pe)(x)| G Lp,
где ^ G S и JRn ^(x) dx = 0, ^e(x) = f) и (f * ^e)(x) = (f, (x - •)). Положим
llf\\h = \\f+\\bp (см. [5; 6, гл. 3-4]).
Так как класс S не содержится в Hp, то в качестве плотного множества в Hp мы берем S П Hp [2, с. 275].
Через BMO = BMO(Mn) обозначим множество всех локально интегрируемых функций, для которых
в ИВ./ в
где fB = |B| /в f (x) dx и супремум берется по всем шарам В из . Заметим, что пространство BMO является сопряженным к H1 [6, с. 142].
Ниже, при доказательстве теоремы 5 существенно используется неравенство Феф-фермана [7]: если f G H1, g G BMO и fg G L1, то
bmo =sbp{ |bb| / 'f (x) - ' dx j < то,
f (x) g(x) dx
< C ||f ||hi ||5||bmo. (3)
Пусть, далее, каждое из X и Y — одно из пространств Hp, 0 < p ^ 1, L™ или BMO. Следуя [2], через K (X, Y) обозначим пространство всех k G S' таких, что
||k||k(x,y) = sup {||k * f ||y/ ||f ||x : f G S n X, ||f ||x = 0} < то. Через M(X, Y) обозначим множество обобщенных функций m G S' таких, что
||m||m(x,y) = sup {||F-1(m/)|y/ ||f ||x : f G S П X, ||f ||x = о} < то. Таким образом,
||m||m(X,Y) = ||F-1m|k(X,Y). (4)
Ниже нам понадобится равенство K(L1,Lq) = Lq, 1 < q ^ то, содержащееся в теореме 3.3 из [2, с. 278].
2.3. О некоторых Hp — Hq мультипликаторах. Нам понадобятся следующие теоремы.
Теорема 1 [2, с. 284]. Имеют место соотношения:
a) m±(|£|) G M(Hp,Hq), 0 < p < q < то ^ 1/p + 1/q < 1, 1/p — n/q < b — (n — 1)/2 или 1/p + 1/q ^ 1, n/p — 1/q ^ b + (n — 1)/2;
b) m±(|f|) G M(H 1,H1) = M(BMO, BMO) ^ b ^ (n — 1)/2;
c) m±(|f|) G M(l1,H 1) = M(BMO, L^) ^ b > (n — 1)/2.
Теорема 2 [8, с. 163—171]. Пусть 0 < р ^ 2 и к = [п(Р - 2)]+1-Если т ограниченная функция класса Ск(Еп \ {0}) и \Ба т(£)| ^ (А|^|-1)|а|, при |а| < к и А ^ 1, то т £ М(ИР,ИР) и \\т\\м{НР,НР) < С Ап(1/р-1/2).
2.4. Равномерное асимптотическое разложение функции Бесселя JV(г). Пусть —п/2 < а < п/2. Представляя Jv(г) в виде линейной комбинации функции Ганке-ля И±1г) (г) и И±) (г) (где берется , если V > —1/2 и —V в противном случае) и применяя результаты [9, с. 220], получаем равенство
Л „) = (П£ )-1/2 [е-»(
N 1=0
N
ЕСЙ*-' + <+(*)
г=о
где СО"! = 2 е^(*п/4)(2^+1),
<± (г) =
В
yN+1
те^ехр (га)
V—N -
3
0?^) = /(1 — ^ ^ е-unV+N+1/2 (1 — П±2ггГ '' ^п.
, (5)
(6) (7)
2.5. Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту. Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведенного в [10], показывает, что справедлива следующая
Лемма 1. Пусть в > 0, /(ж) £ С~([0, а]) и /(1)(а) = 0 =0,1,...). Тогда
а
I жв-1/(ж) е±гЛж ¿ж = а±А-в + (А), А ^ 1, а± = /(0)Г(в)(±*)в; (8)
(А)
(1)
< С/А1+в+^, А > 1, ^ = 1,2,...
(9)
постоянные
Сне зависят от А.
1
3. ИР — И9 оценки для оператора
На , -плоскости рассмотрим множество:
& (в,п) = |(-, 1 ) : 0 <р < 1, р < 9 < ж, -+ - ^ 1, П — - < в +(п — 1) 1ЛР 9/ р ^ р ^
Через Н(К) обозначим множество всех пар ^, ^, для которых \\К\\к(н?,нв) < ж. Основным результатом статьи является следующая Теорема 3. Справедливо вложение
&(в,п) С И). (10)
< Представим оператор 5в+ в виде
(ж) = р) (ж) + р) (ж), (11)
где
(^й ^)(ж) = j +(у) ^(ж - у) (^Я ^)(ж) = j (1- ^(Ы)) +(у) ^(ж - у)
функция ш(г) £ Сто) такова, что 0 ^ ш(г) ^ 1, ш(г) = 0, если г / (1 — 5, 1 + 5) и ш(г) = 1, если г £ [1 — ¿/2,1 + 5/2], 0 < 5 < 1. Вначале докажем вложение
&(в,п) С Н(^'+)• (12)
Изложим схему доказательства вложения (12). Допустим мы доказали, что
+(|у|) £ к(ЯР,Я"), [-, -
чр д
ш(|у|) в? + (|у|) £ к(ЯР,Я*), ,1) £ &(в,п).
Заметим, что функция т^,в(£) = (ш ■ в^+)(£) является мультипликатором в ^. (Это видно из равенства (15).) Тогда оператор (1) определен на всем ^' (поскольку ш(|у|) вв + (|у|) является свертывателем в ^) и, следовательно, на всем Яр. Как показано в [2] (см. замечание 2.3.), при выполнении указанных условий неравенство
1К'+И1№ ^ ||ш ■ вв,+ 1к(Нр,т)М\пр, (Р, £ &(в,п) (13)
справедливо для всех ^ £ Яр. Из (13) вытекает (12).
Так как ■ вв, (Н,н) = Цт^,в ||м(Н, нч), то (13) (а вместе с ним и (12)) будет следовать из соотношения
тв,в(О £ М(ЯР,Я"), (р,-^ £ &(в,п). (14)
Докажем (14). Запишем т^,в (£) в виде
1
тв,в(0=/ РП-1(1 — Р2)в-1^(Р) ш(р) (р / е^ (г. (15)
1-5 Я"-1
|2\I „,(\С\2\^(<-\—„„0
Имеем тв,в(£) = (1 — и(|£ |2))т^,в(О + и(|£ |2) т^,в(О = т^в(О + т^(О- Заметим, что тв,в (О £ М (Яр,Я9), 0 <р < 1, 0 <р < д< то. (16)
Действительно, т^в(О £ М(ЯР,ЯР), 0 < р ^ 1, по теореме 2. Так как т^в(О £ ^, то твв(£) £ М(Ь1,^), 1 < д < то. Тогда, в силу вложения Я1 С Ь1 [6, с. 112], т^(£) £ М(Я ), 1 < д < то. Пользуясь соображениями выпуклости, получаем (16). Рассмотрим т^?в (£). Применив формулу:
п
Г ^ (г = ^4 ^-1 (|х|), (17)
У |Ж| 2 1 2
Я"-1
формулу (5) с N = [П+1] + 1, получаем N
mte(О = £ (<к-(1е1) + hffc'+(|ei)) + RfN'-(kl) + RfN+ (1^1),
где
1
12
Л?'к'±(|£|) = / (1 — P)e-1 gk(P) e^1 dp, 0 < k < N, (18)
ISI 1-5
gk (p) = 7fc,± P ^-k (1 + P)e-10(P) ^(P), Yo,± = (2n) ^ e^ т(n-1),
1
Rf'N'±(|e|) = ^ ■ vW i (1 — P)e-1go(P) e^^Nf )(P^|) dP. (19) Yo,± |£| — J '
ISI 1-5
Рассмотрим мультипликатор (18). После замены 1 — P = т получаем
5
hf'k,±(|ii) = т'"'gk (1 — т) е*«т dT.
|t| — rk J
(20)
Пусть функция й(|£|2) такова, что w(r) £ Cте(0, ж), w(r) = 0, если r ^ 1, w(r) = 1, если r ^ 2 и 0 ^ w(r) ^ 1. Тогда v(r2) w(r2) = v(r2). Преобразуем мультипликатор (20), используя лемму 1. С учетом (8), будем иметь
Лв'к'±(|Ш = v(|£|2) e±i|^1 ■ |£|^-k-e ■ S(|£|2) (а*'* + |^|в Ш)),
где а^'^ = Yk'±0(1) Г(в) и для W^'^(|£|) справедливо неравенство (9).
Заметим, что
v(|£|2) e±i|i| ■ |f | ^-в £ M(Иp, Иq) по теореме 1 (а), если (1/p, 1/q) £ L(в,n). Кроме того,
+ |£|в (|£|)) £ М(ИР, ИР), 0 < р < 1,
по теореме 2 и является мультипликатором в ^. Тогда
Лв'0'±(|е|) £ М(ИР,И9), если (1/р, 1/9) £ &(в,п).
Аналогично доказывается, что Лв'к'±(|^|) £ М(ИР,И9), 1 ^ к ^ N, если (1/р, 1/9) £ & (в + 1,п).
Рассмотрим (19). После замены 1 — р = т и с учетом равенства (6), получаем
*Г±(К|) = / те-1+1(1 — т) ) ((1 — т) | {| ) ¿т.
| ^ | О
Применяя лемму 1, будем иметь
«в *±Ш) = В± *(|£|2) е!г|^ ■ ^^-*-1-в ■ ¿(к!2) ^+1 + ^'в(|£|)),
и
(п-2) (п-2)
где а^ + (|£|) = 1М+1,± ± имеет вид (7). Тогда
В±V(|^|2) е±ад ■ |£|--И-в £ М(Яр, Я9),
если (1/р, 1/д) £ & (в + 1,п), по теореме 1 (а). Применяя теорему 2, имеем ^(|^|2) «+1,Т(^|) + К|вШ)) £ М(Яр, Яр),
0 < р 1. Кроме того, эта функция является мультипликатором в ^ .Тогда йвЛ±(|£|) £ М (Яр,Я9), если (1/р, 1/д) £ & (в + 1,п). Резюмируя сказанное, получаем, что
т^в(£) £ М(Яр, Я9), (1/р, 1/д) £ &(в,п),
откуда, с учетом (16), следует (14). Докажем вложение
& (в, п) С Н (£в+ )• (21)
Обозначим через т^ + (у) ядро оператора Бв+. Очевидно, что
тв,+ (у) ^ (1 — ш(|у|)) вв,+ (у) £ СО
Тогда,
Покажем далее, что
тв + (£) £ М(Яр,Яр), 0 <р 5 1- (22)
т£ + (£) £ М(Я ), 1 < д < то. (23)
Применяя неравенство Гельдера, имеем + (у) £ К(Ь9', 1 < д' < то. То-
гда, в силу вложения Ьс С ВМО и, с учетом равенства К (£«' ,ВМО) = К (Я ), 1/д' + 1/д = 1, получаем (23). Из (22) и (23), используя соображения выпуклости, получаем (21). Из (12) и (21) следует (10). >
Замечание. Используя идею доказательства точности Яр — Я9 оценок (0 < р 5 1) для мультипликаторного оператора с символом (2), применявшуюся в [2], можно показать, что знак вложения в (10) можно заменить знаком равенства.
Из доказанной выше ограниченности оператора (1) в пространстве Я1 вытекает
Теорема 4. Оператор (1) ограничен в пространстве ВМО.
4. Ь1 — Я1 и ВМО — Ьс оценки для оператора (1)
Представляет интерес вопрос об ограниченности оператора (1) из X в У в случае, когда У С X. Здесь, мы получим оценки для этого оператора из Ь1 в Я1 и из ВМО в Ьс.
Теорема 5. Пусть
1
I рп-1(1 — р2)в-1 0(р) (р = 0. (24)
1-5
Тогда оператор Б^ + ограничен из Ь1 в
Я1
и из ВМО в Ьс
< Докажем, что
вв,+ (е) £ М(Ь1, Я1) = М(ВМО, (25)
Тогда, с учетом (4) и замечания 2.3 из [2], получаем
К+ИН 5 К+УкС^Н^МЬ! ,
т. е. оператор ограничен из Ь1 в Я1 и, в силу (25), — из ВМО в Преобразование Фурье ядра в^ + :
1
вв + (£) = | рп-1(1 — р2)в-1^(р) (р ^ е^^'(г, 1-5 Я"-1
запишем в виде (е) = (1 — «(|е|2)) (£) + ^(|£|2) (£) = (£) + в"^), где функция «(г) описана во введении. Покажем, что
в|+°(е) £ М(Ь1,Я1). (26)
Имеем ввв;с(е) = ввв;°°(е) + в0)'2>°(е), вв^;Г(е) = «(|е|2) тв,в(е), где тв,в(е) — функция (15),
1
в§°(е)= «(|е|2) / рп-1(1 — р2)в-1(1 — ш(р)) 0(р) (р | е^' (г;
1-5 Я"-1
функция ш(г) описана в § 3.
Повторяя выкладки, приведенные в §3 для в^'О^) и применяя теорему 1(с), получаем
вЦ°(е) £ М(Ь1,Я1). (27)
Применив далее к в^'О^) формулу (17), а затем формулу (5) с N = +1, будем иметь
_ N
ввяе) = Е (^к (|е|) + (|е|)) + я-,* (|е|) + (|е|),
где
-=0
1-5/2
2
(|е|) = ^Щ- / 5-(р) е±гЖ|Ф, 0 5 к 5 N (28)
1-5
5-(р)= 7-,±р"-1 --(1 — р2)в-1 (1 — ш(р)) 0(р), 7о,± = (2п)"-1 е^х(п-1),
1-5/2
(|е|) = ^ ■ / 50(р) е±*р|Ч"Т)(р|е|) (р. (29)
то,± |е|— ^ '
1-5
Рассмотрим мультипликаторы (28). После замены 1 — р = т получаем
(|е|) = V 5-(1 — т) е^г|'|Т (т. (30)
|е| 2 5/2
Проинтегрировав по частям интеграл в (30) l + 1 раз, будем иметь
e±i(1-5)|i| v( |£ |2) ( /
h±'k(|£|) = +1+, j ■ €(|£|2) ((±i)gk(1 — i) +
± л£|) = e±■ ((±i)gk(1 — + -...+ (±i)1+1g(1 — i) i gk-)(1 — T) e^KT-5) dT).
5/2
(31)
Положим l = [2] +1. Заметим, что
v(|£|2) e±i(1-5)^ ■ |£|V-1-k £ M(L1, H1)
по теореме 1 (c). Кроме того, второй множитель в (31) принадлежит M(И 1,И1) по теореме 2. Тогда h±'k(|£|) £ M(L1, И1).
Рассмотрим (29). После замены 1 — P = т и с учетом равенства (6), имеем
R±n(|£|) = BNe|r+N+^/ gN+1(1 — т) e^'TQNX) ((1 — т)|£|) ¿т.
|£| 5/2
Заметим, что
в±v(|£|2) e^1 ■ |£|-1 £ M(L1, И1)
по теореме 1 (c) и
5
£(|£|2) г ... ( n-2
j gN+1 (1 — т) e^|TQNT )((1 — т )|£|) ¿т £ М(И1,И1)
5/2
также по теореме 2. Тогда R±n(|£|) £ M(И 1,И1). Резюмируя сказанное, получаем
$2°°(0 £ M(И1, И1). (32)
Из (27) и (32), следует (26). Покажем теперь, что
4;+ (ж) = F-1(4;+ (£))(ж) £ K(BMO,L~), (33)
тогда из (33) и (25) будет следовать, что
4''+ (£) £ M(BMO,L~). (34)
Заметим, что 5в'+ (ж) £ S
(0) = |Sn-1| f Pn-1(1 — P2)e-1 0(p) dP 1-5
в силу (24). Тогда (ж) £ И
1
Далее, с учетом (3) и инвариантности нормы в пространстве ВМО(Мга) относительно сдвига, имеем
* ¥>)(x)
< ||hi||<р(ж - -)||bmo = ||н1
BMO.
(35)
Из (35) следует (33) и, следовательно, (34). >
Замечание 2. Легко видеть, что условие (24) является необходимым для ограниченности оператора из Ь1 в Я1 и из ВМО в
Литература
1. Miyachi A. Notes on Fourier multipliers for Hp, BMO and the Lipschitz spaces // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA Math.-1983.-Vol. 30, № 2.—P. 221-242.
2. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA.—1981.—Vol. 28.— P. 267-315.
3. Nogin V. A., Karasev D. N. On the L-characteristic of some potential-type operators with radial kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus & Applied Analysis.—2001.—Vol. 4, № 3.—P. 343-366.
4. Karasev D. N., Nogin V. A. On the boundness of some potential-type operators with oscillating kernels // Math. Nachr.—2005.—Vol. 278, № 5.—P. 554-574.
5. Fefferman C. L, Stein E. M. Hp-spaces of several variables // Acta Math.—1972.—Vol. 129.—P. 137-193.
6. Stein E. M. Harmonic analysis: Real-variable method, orthogonality, and oscillatory integrals.—Princeton: NJ. Princeton Univ. Press, 1993.—695 p.
7. Fefferman C. L. Characterizations of bounded mean oscillation // Bull. Amer. Math. Soc.—1971.— Vol. 77.—P. 587-588.
8. Calderon A. P., Torchinsky A. Parabolic maximal functions associated with a distribution, II // Adv. in Math.—1977.—Vol. 24, № 2.—P. 101-171.
9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций.—М.: ИЛ, 1949.—798 с.
10. Федорюк М. В. Метод перевала.—М.: Наука, 1977.—368 с.
Статья поступила 20 ноября 2009 г.
Гиль Алексей Викторович Южный федеральный университет, ассистент кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: gil-alexey@yandex.ru
Ногин Владимир Александрович Южный федеральный университет, доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, старший научный сотрудник лаб. вещественного анализа E-mail: vnogin@ns.math.rsu.ru
ESTIMATES FOR SOME POTENTIAL-TYPE OPERATORS WITH OSCILLATING SYMBOLS
Gil A. V., Nogin V. A.
In the framework of Hardy spaces Hp, we study multidimensional potential-type operators whose kernels have singularities on the unit sphere. Necessary and sufficient conditions are obtained for such operators to be bounded from Hp to Hq, from BMO to from L1 to H1 or from BMO to BMO.
Key words: convolution, oscillating symbol, BMO, Hp — Hq-estimates, multiplier, distribution, potentialtype operator.
