CC BY
15
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 3
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3
УДК 517.9 DOI 10.23683/0321-3005-2019-3-15-19
ОГРАНИЧЕННОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПРОЕКТОРА БЕРГМАНА В НЕКОТОРЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ НЕСТАНДАРТНОГО РОСТА
© 2019 г. Ольга Лусиа Паес Белтран1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
BOUNDEDNESS OF THE HARMONIC BERGMAN PROJECTION IN VARIOUS BANACH SPACES WITH NON-STANDARD FUNCTION SPACES
Olga Lucia Paez Beltran1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Паес Белтран Ольга Лусиа - студентка, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: paes@sfedu.ru
Olga Lucia Paez Beltran - Student, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova, 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: paes@sfedu.ru
Даются определения и обозначения пространств Лебега с переменным показателем, Орлича, гранд- и малого пространств Лебега, пространства гармонических функций. Приводятся некоторые их известные свойства в виде предложений, утверждений, лемм и теорем, взятых из опубликованных материалов разных авторов. Вводятся оператор Кальдерона - Зигмунда, проектор Бергмана, его представление в терминах сингулярного оператора Кальдерона -Зигмунда. Доказана ограниченность проектора Бергмана в пространстве Лебега с переменным показателем, в пространстве Орлича, а также в обобщенном гранд-пространстве Лебега. Исследовано поведение гармонических функций вблизи границы из упомянутых пространств.
Ключевые слова: гармонические функции, пространство Бергмана, гармонический проектор Бергмана, пространство Лебега с переменным показателем, пространство Орлича, оператор Кальдерона - Зигмунда, обобщенное гранд-пространство Лебега.
We introduce and give the definitions and notation of variable exponent Lebesgue space, Orlicz space, grand and small Lebesgue space of harmonic functions. Citing some of their known properties in the form of sentences, statements, lemmas and theorems, taken from published materials of different authors. The Calderon-Zygmund operator, the Bergman project, his representation in terms of the singular Calderon-Zygmund operator. We give the proof of the boundedness of Bergman projection in various Banach spaces of functions on the unit disc in the complex plain, in the case of variable exponent Lebesgue space, Orlicz space, and generalized grand spaces is proved. The behavior studies near the boundary of harmonic functions of variable exponent spaces of summability, Orlicz space, generalized grand and small Lebesgue spaces.
Keywords: harmonic functions, Bergman space, harmonic Bergman projection, Lebesgue variable exponent space, Orlicz space, Calderon-Zygmund operator, generalized grand Lebesgue space.
Предварительные сведения [1]
Пусть dA(z) - мера на Р, нормированная так, что площадь О равна 1; - пространство гармони-
ческих функций в Р, принадлежащих Lp(D) = Lp(D; dA(z)). Гармонический проектор Бергмана
определен на L1(D) и ограничен как оператор из Lp(e) в ^(Р) при 1 < р < от.
Определения пространств [1]. Пусть D - открытое множество в М2. Отождествляем М2 = С
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 3
так, что (x, у) = z = x + iy; xD - характеристическая функция множества D; |D| представляет собой меру Лебега D; Lp()(D) - пространство Лебега с переменным показателем; L^D) - пространство Орлича; Lp),e(D), L(p,e(D) - гранд- и малое пространства Лебега. Соответствующие пространства гармонических функций будем обозначать hp()(D), h°(D), hp)'e(D), h(p,e(D).
Пространство Лебега с переменным показателем [1]. Пусть p = p(z) - измеримая функция на D со значениями в [1, от). Предположим, что 1 < p- < p(z) < p+ < от. Здесь мы используем стандартные обозначения: p+ = esssupzeDp(z); p- = = essinfzeDp(z). Предполагается, что показатель p удовлетворяет log-условию [1]:
г 1
|p(z)-p(w)| <-i-JL_|z-w| <1,z,w £D. (1)
Последнее условие является стандартным в теории пространств с переменным показателем. Здесь C > 0 зависит от p, но не зависит от z, w. Всюду в дальнейшем предполагается, что р+ < от. Определим множество переменных показателей с p+ < от как Т(D). Для таких р пространство Лебега Lp( )(D) переменного порядка определяется как множество всех измеримых функций f на D таких, что
Wp(.) (f) < от для некоторого X > 0,
где
Wp(.)(f) = JD|f(z)|p(z)dA(z).
Норма Колмогорова - Минковского в Lp()(D) определяется формулой
yfyLp(.)(D)=inf {х > 0: Wp(.)(f)<l}.
Лемма 1 [2]. Пусть D = Rn, 1 < p--< < p(x) < p+ < от, p удовлетворяет log-условию (1) и условию затухания на бесконечности
с
ln(e+|x|) '
|p(x) -p(y)| < Тогда
II *B(*,r) IIlp(-)(d)< СГрс«.^),
lyl > |x|.
P(x,r)- р(Де
(р(от),(
где
,если 0 < г < 1, (от), если г > 1. Предложение 1 [2]. Пусть p G ^(D), /GLP()(D), gG LP'()(D) где p^ + p^1.
Тогда /0 G L*(D) и JDl/(xMx)|dx < 2 и f IIlp()(D)H g HLp'()(Dy
Пространство Орлича. Напомним определение пространства Орлича [3, 4] L°(D) и некоторые свойства функций Юнга [3]. Пусть Ф: [0, от] ^ [0, от] -функция Юнга, т.е. выпуклая функция, Ф = (0), lim Ф(х) = Ф(от) = от. Из свойства выпуклости и
условия Ф(0) = 0 следует, что функция Юнга возрастает. Для каждой функции Юнга Ф существует дополнительная функция ^(у) = supx>0{xy — —Ф(х)}, которая обладает теми же свойствами, что и функция Ф. Заметим, что
t < Ф-1ф¥-1(0 <21, t > 0. (2)
Пусть LФ(D) — пространство Орлича функций /, измеримых на D, таких, что ^ Ф(^|/(г)|)^Л(г) < от для некоторого к > 0.
Следующий функционал определяет норму на ¿ф(£):
II / 11ьФ(о)= Бир/^ЯгЖг)!^).
з
Будем говорить, что функция [0, от) ^ (0, от] удовлетворяет условию удвоения и писать Ф 6 если существует С(2) > 0 такое, что ^(2С) > С(2)^(С), С > 0. Функция (0, от) ^ [0, от] называется квазивыпуклой, если существуют выпуклая функция ш и константа С0 > 0 такая, что ^(С) < ^(С) < ^(С0С), С > 0. Функция определенная на интервале (0,1), удовлетворяет условию удвоения на (0,1), если, будучи продолженной, как ^(1) при С > 1, она удовлетворяет условию удвоения при С > 0.
Предложение 2 [3]. Если / 6 ¿ф(0) и д 6 ¿^(,0), ф, ^ - нормализованная дополнительная пара Юнга, то справедливо неравенство
Лф(Я = тф >0: | (^у^) ^(Ю < 1}.
Теорема 1 [3]. Пусть Ф - функция Юнга. Если / и д 6 ¿ф (О) , где (Ф, О) - некоторое измеримое пространство, тогда /д 6 ¿ф (О) и справедливо неравенство
Обобщенные гранд- и малое пространства Лебега [5]. Пусть ¿р),0(£), 1 < р < от, 0 > 0 - множество всех измеримых функций f на О, для которых следующая норма конечна:
11 / М.0(О)=
= sup f(ee L|/(w)|P-ed^(w))p-£}
0<е<р-1^ >
< +от.
Малое пространство Лебега L(p,e(D), ассоциированное с гранд-пространством Lp)',e(D), определяется как множество всех измеримых функций / на D, для которых
II / Hl(p.0(d) = = sup {/D/(w)5(w)d^(w):y^yiP)',e(D) < 1}.
0<е<р-1
n
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 3
Предложение 3 [6]. Пусть / 6 ¿р)'е(0), д 6 6 ¿р)',еф) и 1 < р < +от. Тогда справедливо неравенство
/д/з^М < II / М.в(о)Н д «¿Р)'.в(0). Лемма 2 [5]. Пусть 1 < р < от, в > 0, П - открытое множество на Мп, |П| = 1; Е — открытое множество на П, |Я| = Тогда
11 |ьР)'е(о) =
VI -И!
Р I е
- J е
1 —
если 0 < ле <-е р
' р—1
1 —
(р - если —е р-1 < < 1,
р—1
где — обратная функция Даламбера,
в
— е
II HiP).e(D)= ,
V
в
— е
Сингулярный оператор Кальдерона — Зигмунда [4, 7]. Отметим частный случай сингулярного оператора Кальдерона - Зигмунда
г/(*) = L
\|z-w|>
/(w)d4(w), ,ß(z) = z
^2
iim^^ = ¿im —= 0,
t t^ra ®(t)
(3)
Ф 6 и существует а 6 (0,1) такое, что Фа ква-зивыпукла. Тогда оператор Т ограничен в ¿ф(0).
3. Пусть Э ограничено и 1 < р < +от. Тогда Т ограничен в ¿р),е(0).
О поточечном представлении гармонического
проектора Бергмана [1]. Положим В0 = {г 6 С :
Ы < = {г 6 С : 1 < |г| < 1}, ^2 = (г 6 С : 1 < |г| < 2}.
Пусть @ обозначает оператор инверсии в отношении единичного круга, т.е.
С/00 = /(1)
/(^(w),
Проектор Бергмана Вп, Вв/00 = /^(^/(ш)^) = /п(1_2й>)2.
г 6 В, определен на Ь1 (О) и ограничен как оператор из ¿Р(Р) в ^Р(В) при 1 < р < от.
Tеорема 2 [9]. Проектор Бергмана Вп имеет следующее представление в терминах сингулярного оператора Кальдерона - Зигмунда Г:
Вп/(г) = ^1/(г) + ^2/(г), (4)
где ^ — интегральный оператор с ограниченным ядром,
#1О, ш) = ф + ^ (У^ (ш)) К О, ш),
Ö2 if-z|2
0(0^(0,
Z2
5(0 = 0/(0^, C6Ö2.
■'С |г_ш|2
Заметим, что Т можно представить как комбинацию преобразований Рисса:
Т = у(Я? — «2 — 2^2), К1 и К2 - преобразования Рисса по переменным х и у соответственно. Ограниченность сингулярных операторов некоторого общего класса в пространствах типа
¿р(0(О), ¿Ф(МИ), ¿^(О), Ос!л известна. Ниже сформулированы результаты для частного случая оператора Т.
Предложение 4 [8]. Имеют место следующие утверждения:
1. Пусть О ограничено, а р удовлетворяет 1о§-условию (1), р_ >1, р+ < от. Тогда оператор Т ограничен в ¿р()(0).
2. Пусть Э = М2(= С), а функция Юнга Ф удовлетворяет условиям
Заметим, что ш) = ^(г, ш) + ^(г, ш) — 1. Поэтому из представлений (1) и (4) следует
Я0/(г) = Я1/(г) + Я2/ОО — [ /(0^(0,
¿о
где Я1 - интегральный оператор с ограниченным ядром,
#1& w) = (/о0 ф + ^ (ш)) (^ш) + (¿2 и/)), _
Я2/(2) = ^2/(2) + К2/0/).
Ограниченность гармонического проектора Бергмана в пространствах Лебега с переменным показателем, Орлича и в гранд-пространстве Лебега
Tеорема 3. Имеют место следующие утверждения:
1. Пусть р удовлетворяет log-условию (1), р_ > >1, р+ < от . Тогда Яп ограничен как проектор из ¿р(0(Р) на
2. Пусть Ф - функция Юнга, удовлетворяющая условиям (3) и (4). Тогда Яд ограничен как проектор из ¿Ф(Р) на йф(Р).
3. Пусть 1 < р < +от. Тогда Яп ограничен как проектор из ¿^(о) на ^(Р).
Доказательство. Пусть 01={г6 С : 1 < |г| <
<1}, В2 = (2 6 С : 1 < |г| < 2}; @ - оператор отражения относительно О = и 02, т.е. О = = / (1). Яд - оператор продолжения нулем из й на все пространство С. Заметим, что II Я2/ Нх(в) =
= 1 + Их(в)< 2 I ^ГЯ^я Нх^и А2). В силу предложения 4
I Я2/ И*(0)< с I Я^Я II^2 = С I С/ Над,
где С > 0 и не зависит от /. Осталось оценить оператор
1
1
1
1
1
Z-W
П
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 3
Пусть Х(В) = LpH(D). По определению [1]
|<2/(0|р(?)
у )= 1Ш 1А > и: i_
I С/ «lp(-)(^)= f > 0: |
£>2 I я
<1 } = mf{l > jJ^f" JL d^(z) < 1j < < С! 1nf{l > 0: JDi d^(z) < lj =
= C1y/yiP(.)(Di) < Ct 11 / yiP()(D).
Пусть X(B) = ¿Ф(Р).
II Q/ IIl*(D2)= f > 0: J Ф
¿4(0 <
я
<1} = inf{l > 0:
< l} < Ci II / УЬФ(01)< С! I f Ц,Ф(П). Наконец, пусть Z(B) = Lp)'e(D) . Тогда
II Q/ IU*(D2)= sup (£e f |Q/(0|p-e^(0 <
^ 0<e<p-1 JD2
i
< 1}p-e=
= sup W |/(г)Г£^Л(0 < 1
0<£<p-1 ( JDl |Z|
< Ci У / IIip),0(^)< Ci У / yiP),e(D). Теорема доказана.
p-e
<
(i-|z|)^
2. Пусть / G йф(Р), Ф - функция Юнга. Тогда
i/(^)i < СФ-1 и / Il*(o) , ZGD.
3. Пусть / G ^(D). Тогда
e
ln^-гт
i/(z)| < С—И / lLP),e(e), zGR (l-|z|)p
4. Пусть f G Л<Р-в(В). Тогда
_e
ln ^-2-r
|/(z)|<C-^ И / Il(p,6(D) , zGR
(l-|z|)p
Доказательство. Для гармонической функции f на Р и для всех 0 < р < 1 — |z| имеет место неравенство [1]
|/(z)| <^Jo2^/(z + pe-)|da, zGD.
Преобразуем интеграл в правой части. Получим
|/(z)| < ¿JD(Zjff)|/(w)|d^(w), ZGB,
где 8 < 1 — |z|.
Пусть D (z, 5) - евклидов диск в С с центром z и радиусом 5; / G hp( )(D), + = 1. Применяем неравенство Гёльдера к функциям / и Jo(z,a): 2
|/(z)| < и / И*.р(0(о(2,«)И ^o(z,ff) Иьр'()(о(2,5)),
ZG1
Поскольку p(z) удовлетворяет log-условие (1), то по лемме 1
2 2
и *D(z,i) IiP'C0(D(Zjff))< Ci|D(z,5)|^ < C25^7IiJ,
zeD.
Из этого неравенства следует, что С с
|/(z)| < — и / lliP(0(D(Zjff))< — и / ^(Ода,
ÖPlzJ g^zj
ZGi,
|/(г)|<сИ/И^:()(р)<^И/И^р()(р)
Оценки роста гармонических функций с переменным показателем в пространстве Орлича йф(Р), в обобщенном гранд- и малом пространствах Лебега №0)(Р) и h(p0(D)
Здесь мы изучаем рост гармонических функций вблизи границы. Для классического йр(Ю>) известен результат [1]:
I/(Z)I <J!£!!iiw, p>o,z6D.
(1-|Z|2)P
Tеорема 4. Имеют место следующие утверждения: _
1. Пусть / £ hp( )(D); р удовлетворяет log- условию (1) и 1 < p(z) < р+ < от.
Тогда
2
zee.
(1 — И )р(
Пусть / 6 йФ(Р). Применяем неравенство Гёльдера для пространства Орлича к функциям / и 2
|/(г)| < - 11 / |ьф(о(2,5))1 ^(о^й)) 2 6 ^
Известно [1], что
1
11 Хо(г,5) ^(^(г,«))1
¥
-1
1
D(z,5)>
В силу (2) и того факта, что Ф-1 возрастает, по-
лучаем 1
<
<
<С52Ф-1(^2>
Приходим к неравенству
|/(г)| < СФ-1 (^2) Н/Н^(0) , 26В, |/(г)| < СФ-1 ((1-1у)2) II / УЬФ(П), г 6 Р.
Наконец, пусть / 6 ^(В) и / 6 ^(Р). Применим неравенство Гёльдера для больших и малых
пространств Лебега к функциям / и /о(2,5): 1
|/(г)| < — II /Хо(2,5) Н^еН ХО(2,5) Н^ < 1
II / ^Р),^ /о(г,5) N¿(^',0 , 1
|/(г)| < — II /ХО(2,5) Н^еН ХО(2,5) УьР'),е < 1
Н / ^(РвН /о(г,5) УьР'),в.
1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 3
Поскольку p(z) удовлетворяет log-условию (1),
то по лемме 2
i в ' - ' р .
1 в — — р
< С5рln Р-, zel
о
Приходим к неравенству
1 в
|/(z)| < - II / HiP).fl(D) <
в
lnP|
< С —2- 1 / IiP).e(D) < ffP в
< С-
lnP'
1-И
zee.
_ 1 f IiP),e(D)
(1-|Z|)P
Для / e h(p,e(D) доказательство аналогично. Таким образом теорема доказана.
Следствие [1]. Пусть Xharm(B) — любое из пространств: hp()(D), h°(D) или hp)(D). В условиях теоремы 4 справедливы следующие утверждения:
1. Функционал, вычисленный в точке пространства Xharm(B), / ^ /(z), ZGB, ограничен.
2. Сходимость в пространстве Xharm(B) по норме влечет равномерную сходимость на любых компактах в Р.
Литература
1. Karapetyants A., Rafeiro H., Samko S.G. Bounded-ness of the Bergman Projection and Some Properties of Bergman Type Spaces // Complex Analysis and Operator Theory. 2019. Vol. 13, № 1. P. 275—289.
2. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., Samko S. Integral Operators in Non-Standard Function Spaces. Vol. I: Variable Exponent Lebesgue and Amalgam Spaces. Birkhäuser Basel, 2016.
3. Rao M.M., Ren Z.D. Theory of Orlicz spaces // Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. New York: Marcel Dekker, 1991. P. 146.
4. Kokilashvili V., Krbec M.M. Weighted Inequalities in Lorentz and Orlicz Spaces // World Scientific. Singapore, 1991.
5. Карапетянц А.Н., Самко С.Г. О гранд-пространствах и малых пространствах Бергмана // Мат. заметки. 2018. Т. 104, вып. 3. С. 439-446.
6. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces L p(x) and W1 p(x) // Czechoslovak Math. J. 1991. Vol. 41 (116). P. 592-618.
7. Diening L., Ruzichka M. Calderon-Zygmund operators on generalized Lebesgues spaces Lp() and problems related to fluid dynemics // J. Reine Angew. Math. 2003. Vol. 563. P. 197-220.
8. Gallardo D. Orlicz spaces for which the Hardy -Littlewood maximal operator is bounded // Publ. Math. 1988. Vol. 32. P. 261-266.
9. Zaharyuta V.P., Yudovich V.I. The general form of a linear functional in Hpj // U. M. N. 1964. Vol. 19, № 2 (116). P. 139-142.
References
1. Karapetyants A., Rafeiro H., Samko S.G. Bounded-ness of the Bergman Projection and Some Properties of Bergman Type Spaces. Complex Analysis and Operator Theory. 2019, vol. 13, No. 1, pp. 275-289.
2. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., Samko S. Integral Operators in Non-Standard Function Spaces. Vol. I: Variable Exponent Lebesgue and Amalgam Spaces. Birkhäuser Basel, 2016.
3. Rao M.M., Ren Z.D. Theory of Orlicz spaces.Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. New York: Marcel Dekker, 1991, p. 146.
4. Kokilashvili V., Krbec M.M. Weighted Inequalities in Lorentz and Orlicz Spaces. World Scientific. Singapore, 1991.
5. Karapetyants A.N., Samko S.G. O grand-pros-transtvakh i malykh prostranstvakh Bergmana [On Grand and Small Bergman Spaces]. Mat. zametki. 2018, vol. 104, No. 3, pp. 439-446.
6. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces L p(x) and W1 p(x). Czechoslovak Math. J. 1991, vol. 41 (116), pp. 592618.
7. Diening L., Ruzichka M. Calderon-Zygmund operators on generalized Lebesgues spaces Lp() and problems related to fluid dynemics. J. Reine Angew. Math. 2003, vol. 563, pp. 197-220.
8. Gallardo D. Orlicz spaces for which the Hardy - Littlewood maximal operator is bounded. Publ. Math. 1988, vol. 32, pp. 261-266.
9. Zaharyuta V.P., Yudovich V.I. The general form of a linear functional in Hpj. U. M. N. 1964, vol. 19.2 (116), pp. 139-142.
Поступила в редакцию /Received
31 мая 2019 г. /May 31, 2019
е
