CC BY
19
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 5-18 = Математика
УДК 519.4
О свободных подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа
В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина
Аннотация. Доказывается, что в группах Кокстера экстрабольшого типа всякая конечно порожденная подгруппа без кручения, пересечение которой с любой подгруппой, сопряженной Оц, есть единичная подгруппа, является свободной.
Ключевые слова: группа Кокстера экстрабольшого типа,
свободная подгруппа, подгруппа без кручения, конечно порожденная подгруппа.
Группа О, заданная системой образующих аг, г Е J, \<1\ < ж и системой определяющих соотношений а2 = 1 для всех г Е J, (агау )т^ =1, г = ], г,] Е J, ту — элемент матрицы Кокстера (ту), г,] Е J, соответствующей данной группе [1], причем тгу ^ 3 для г = ], называется группой Кокстера большого типа. В случае ту > 3 имеем группу Кокстера экстрабольшого типа.
Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Кокстера экстрабольшого и большого типа решены в работах [1] и [2]. Для групп Кокстера экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (ту), г,] Е J, с ту ^ 3к + 1 доказано [3], что всякая к-порожденная подгруппа без кручения является свободной в О.
В [4] доказывается, что в группах Кокстера экстрабольшого типа конечно порожденные подгруппы без кручения являются свободными. При этом предполагается, что все ту = +ж. Рассмотрим случай, когда существуют ту = +ж, г = ].
П
Пусть Гг = (аг; а2), Г = П *Гг — свободное произведение циклических
г=1
групп порядка 2. Отождествим каждый образующий аг группы Г с его обратным а”1. Слово w = аг1 ...агп группы Г называется приведенным, если индексы рядом стоящих букв aij и aij+1 в записи w различны; длина w равна п. Пусть ту < ж и Гу = (агау )т, тогда в Г существуют в точности две различные перестановки Гу: Гу = (агау)т и = (ауаг)т (г = ]). Обозначим через Гу группу Гу = Гг * Гу, через Оу группу Кокстера экстрабольшого типа Оу = (аг, ау; а2, а2, Гу, гуг).
Обозначим через Rij множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободном произвдении Fij и равных 1 в группе Gij, Rij = = {rij, rm}, l,m Є N [2]. Элемент r Є Rj будем называть соотношением типа
(i,j )•
В дальнейшем под R будем понимать R = (J Rij — симметризованное
i,jeJ
подмножество свободного произведения F • Тогда группа Кокстера может быть задана представлением G = (af, a2,R,i = 1,n) . Пусть w — нетривиальное циклически приведенное в F слово, равное единице в группе G Кокстера экстрабольшого типа, то есть w Є (R)F, где (R)F — нормальное замыкание симметризованного множества R в свободном произведении F.
Подвергнем R-диаграмму M следующему преобразованию. Если две области Di,D2 являются одновременно Rij-диаграммами и пересекаются по ребру с меткой ^(dD\Ç\ dD2), то, стирая это ребро, объединим Di, D2 в одну область D. При этом, возможно, что метка границы полученой области равна единице в свободном произведении F. Тогда, удалив эту область, склеиваем её границу. Таким образом, через конечное число шагов мы получим приведенную связную односвязную R-диаграмму M, инвариантную относительного рассмотренного преобразования с граничной меткой, равной w, причем если две области D, D" из M пересекаются по ребру, то длина метки этого ребра равна единице. Каждая приведенная связная односвязная R-диаграмма M группы Кокстера экстрабольшого типа удовлетворяет условию C (8).
Обозначим через dM граничный цикл M. Область D С M назовем граничной, если dM Р| dD = 0. Символом |w| будем обозначать длину слова w.
Будем говорить, что dD Р| dM есть правильная часть M, если dD Р| dM есть объединение последовательности l\,l2,,ln замкнутых ребер, где l\,... ... ln встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для D и в некотором граничном цикле для M.
Граничную область D R-диаграммы M назовем простой, если
dD Pi dM есть правильная часть. Простая область D диаграммы M, dM = = y U ó называется деновской, если |d^P|71 > IdD \ dDf)dM|.
Связная односвязная диаграмма M называется диском, если ее граничный цикл dM — простая замкнутая кривая.
Определение 1. Пусть Mi — приведенная связная, односвязная поддиаграмма R-диаграммы M группы Кокстера экстрабольшого типа с границей dMi = eiYe2ó, где ei — ребро AB,y — путь BC,e2 — ребро CD, ó — путь DA. Тогда последовательность областей Di, D2,..., Dn из Mi
(ei Є Di, e2 Є Dn), n ^ 2, образует полосу в M, если:
1) У i, 1 ^ i ^ n dDi Pi y, dDi P| ó — правильная часть Mi ;
2) Vi, 1 ^ i < n границы областей Di и Di+i пересекаются по ребру;
3) jдD1 n Yj = jдD1 П ôj +2, jдDn П yj = jдDn П ôj +2 и jдDj П Yj = jдDj П П ôj, 2 ^ j < n.
Удаление деновской области диаграммы M, то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением диаграммы M или R-сокращением. Будем говорить, что M является R-приведенной, если она не содержит деновских областей.
Пусть П — полоса диаграммы M. Замену диаграммы M на диаграмму Ml, полученную из M удалением полосы П назовем специальным R-сокращением или R-сокращением. Если M не содержит полос, то назовем M специально R-приведенной или R-приведенной. Слово w Є G назовем R-приведенным, если w является граничной меткой приведенной диаграммы, не содержащей деновских областей. Назовем w циклически R-приведенным, если все его циклические перестановки являются R-приведенными словами.
Циклически R-приведенное слово w группы G Кокстера экстрабольшого типа назовем R-приведенным, если w является граничной меткой приведенной диаграммы, не содержащей полос. Если w' получено из w R или R-приведением, то jw'j < jwj.
Теорема 1 [5]. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Кокстера экстрабольшого типа выяснить, является ли w R, R-приведенным.
Область D с граничным циклом дD = eYe-lô, расположенная по обе стороны относительно ребра e, в которой склеенные ребра e и e-1 пересекают граничный цикл D, называется (s — ^-областью.
Лемма 1 [5]. Если M приведенная связная односвязная R-диаграмма над группой Кокстера экстрабольшого типа, то она не содержит (s — i)-областей.
Лемма 2 [б]. Пусть M — приведенная связная односвязная R-диаграмма над группой Кокстера экстрабольшого типа; а — граничный цикл M, слово ^>(а) R и R-несократимо. Тогда M является однослойной.
Лемма 3 [Т]. Слово w группы Кокстера экстрабольшого типа G имеет конечный порядок тогда и только тогда, когда оно сопряжено c некоторым словом w' Є Gj =< ai, aj; (aiaj)maiaj = І, a2 = aj2 = І >.
Лемма 4 [В]. Пусть слово w Є G имеет бесконечный порядок. Тогда существует слово, сопряженное w или w2 в группе G, любая степень которого циклически R и R-несократима.
Теорема 2. Конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера G экстрабольшого типа, пересечение которой с любой подгруппой, сопряженной Gij, есть единичная подгруппа, является свободной.
Доказательство. Пусть H — конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера G экстрабольшого типа, удовлетворяющая условию теоремы. Перейдем к графу Г следующим образом: вершинам некоторого ребра e графа Г поставим в соответствие группы Gj и Gik,
І = к, а ребру — циклическую подгруппу {аі\а‘2). Подгруппы С^, Сік, і = к, назовем смежными.
Рассмотрим несократимый элемент д є С в образующих С. Выделим с начала и конца д максимальные куски (подслова) из подгрупп С^. Затем выполним в них Д-сокращения. Далее выделяем следующие максимальные куски, двигаясь к центру. Если рядом стоят куски из смежных подгрупп Су, Сій и предшествующий кусок из С^ заканчивается на аі, то аі присоединяем к куску из Сій. В этих кусках также выполняем Д-сокращения и так далее. Получим, что всякий элемент д є С может быть представлен в виде:
д = Іід ■ ■ ■ Ікд Кд гкд ■ ■ ■ г1д, (1)
где Іід, гід, і = 1,к, пересечение которой с любой подгруппой, сопряженной С^, есть единичная подгруппа, будем называть соответственно левыми и правыми множителями слова д, Кд — кусок из Су слова, который будем называть ядром слова д, если д имеет нечетную длину в кусках, и Кд = 1, если д имеет четную длину в кусках. Выполним другие возможные Д, Д-сокращения. Для этого между последовательными кусками из смежных подгрупп вставим квадраты образующих (между смежными кусками из Су и Сік, к = і, вставим а2) и выполним Д-сокращения только тогда, когда это уменьшает длину некоторых кусков и не увеличивает длины остальных. Представление (1) будем называть приведенной формой слова д, куски Іід, ■ ■ ■ ,Ікд, Кд, Гкд, ■ ■ ■, гід также будем называть слогами или множителями д. Заметим, что длина каждого множителя не превосходит половины длины соответствующего определяющего слова. В дальнейшем под длиной слова д будем понимать число Ь(д) = 2к + 1, если Кд = 1, и число Ь(д) = 2к, если Кд = 1.
В слове (1) длины 2к + 1 начальный отрезок І1д■■■ІкдКд (КдГкд■■■г1д) назовем большим начальным (большим конечным) отрезком, отрезок Іід■ ■ ■
... Ікд (Гкд■ ■ ■ Г1д) — левой (правой) половиной.
Будем далее не различать слоги р,ї, если 1) р,ї-і являются взаимно обратными; 2) рї-і = Д = 1, где Д — определяющее слово; 3) и = и1 р, V = у1 ¿, где и1, vl — подслова и, V, а ї = ар и образующий аі можно присоединить к последнему куску, принадлежащему Су, подслова иі (и выполнить в этом куске возможное Д-сокращение). Действительно, и = и1р = и1а‘2р = иіаі¿. Далее слоги р, ї-і, где р, ї из 1)—3) будем называть взаимно обратными.
Также не будем различать подслова и1, vl слов и, V в виде (1), если они имеют одинаковые слоги. Будем выполнять объединение не взаимно обратных первого и последнего слогов слов и, V (соответственно) в произведении слов т, если они принадлежат одной подгруппе Су, и выполнять возможное Д-сокращение в объединенном слоге. Такое объединение будем также обозначать (т).
Так как Н — конечно порожденная подгруппа без кручения, пересечение которой с любой подгруппой, сопряженной С^, есть единичная подгруппа,
то левая и правая половины слова (1) длины 2к + 1 не являются взаимно обратными.
Аналогично, для слова (1) длины 2к определяются левая и правая половины. В слове (1) длины 2к начальный отрезок Іід■ ■ ■ ІкдГкд (ІкдТкд■ ■ ■ тід) назовем большим начальным (большим конечным) отрезком.
Пусть Ш = ^і}, і = 1,п, — конечное множество слов группы С, каждое из которых приведено к виду (1). Будем говорить, что у слова wj¡ = Іі^ ■ ■
... Ік Кгк ■ ■ ■ Ті, где є = ±1, начальный отрезок 1^ ■ ■Іі изолирован в Ш, если он не является начальным отрезком ни у какого слова wr|, где п = ±1, Wi є Ш \ {wj}. Будем говорить, что у слова wjj = іь ■ ■ ІкКтк■ ■ ■Ті, где є = ±1, конечный отрезок Т^ ■ ■Ті изолирован в Ш, если он не является конечным отрезком ни у какого слова wï¡, где п = ±1, wi є Ш \ {wj}.
Рассмотрим конечное множество образующих Ш = ^і}, і = 1,п, подгруппы Н без кручения вида (1). С помощью элементарных нильсеновских преобразований [9] сведем данное множество к множеству слов минимальной длины в кусках (множителях), начиная с самого короткого. Большой начальный и большой конечный отрезки Wi,i = 1,п, изолированы в Ш. Далее для слов четной длины всюду изолируем левую половину. Для слов нечетной длины с помощью элементарных нильсеновских преобразований изолируем всюду левую половину, если это не ведет к увеличению длины образующих (будем говорить, что левая половина изолирована почти всюду), то есть если wl = Іі^ ■ ■ 1тК,Ш1 Тт■ ■ ■Ті, то Іь ■ Ат встречается
либо в W2 = Іі■■■ІтКШ2т'т■■■Т/і, где К,Ш1 ,К-і не сокращаются и не объединяются,
либо в W2 = Іі■ ■ ■І'тК 2Іт■■■Іі, где К 1 ,КШ2 не сокращаются и не объединяются,
либо в W2 = Іь ■ ■ Іт-ііт■ ■ ■ І'кК т2тк■ ■ ■ т[, где т, І'т не сокращаются и не объединяются,
либо в и2 = І'і ■ ■ ■ Ік Кт2 тк ■ ■ ■ Тт Іт-і■ ■ ■Іі, где Іт, т'т не сокращаются и не объединяются,
либо в и2 = ll■■■lm-lІ!т■■■Іктк■■■т'і, где Іт1, І'т не сокращаются и не объединяются,
либо в и2 = І'і ■■■І'к тк ■■■т'т lm-l■■■ll, где Іт, т'т не сокращаются и не объединяются.
Выполним в словах полученного множества возможные Д, Д-сокращения с помощью вставок квадратов образующих как описано выше. Заметим, выполнение Д, Д-сокращений с помощью вставок квадратов образующих не меняет слогов в соответствии с ранее сказанным.
Множество образующих Ш = ^^і = 1,п, подгруппы Н назовем специальным [10], если выполнены свойства:
1. Большой начальный и большой конечный отрезки Wi ,і = 1,п, изолированы в Ш.
2. Для слов нечетной длины левая половина изолирована в Ш.
3. Для слов нечетной длины левая половина изолирована почти всюду в Ш. ___
В дальнейшем под Ш = ^г},г = 1,п, будем подразумевать специальное множество образующих подгруппы Н.
Будем рассматривать слова п1п2.. .пт, где пг = 1,г = 1,т, пг Е Ш и и Ш- 1,г = 1,т; пг = п—11 ,г = 1,т — 1 .
Определение 2. Слово п1п2...пт будем называть простым, если Ь(п1п2.. .Пт) = тах{Ь(п1),Ь(п2),...,Ь(пт)}.
Лемма 5. Пусть п1п2...пт — слово из подгруппы, порожденной специальным множеством слов Ш = ^г},г = 1,п. Тогда Ь(п1п2.. .пт) ^ ^ Ь(пг), г = 1,т.
Доказательство. Рассмотрим сначала простое слово п1п2.. .пт. Покажем, что оно удовлетворяет следующей системе соотношений:
Ь(п1п2.. .пг) = т&х{Ь(п1... пг-1), Ь(пг)}, г = 2, т.
Предположим, что это не так. Тогда разбиваем слово п1п2.. .пт на подслова у1,у2, ... ,Ук следующим образом:
w1 = п1п2, если Ь(п1п2) = тах{Ь(п1), Ь(п2)};
w2 = w1п3, если Ь^^^) = т&^Ь^]^), Ь(п3)};
Wkl-l = Wkl-2Ukl, если Ь^кі-2икі) = т&х{Ь^кі-2),Ь(икі)}.
Если Ь^кі-іикі+і) > тд.х{Ь^кі-і),Ь(и,кі+і)}, то обозначим Wkl-l = = иіи2■ ■ ■икі через vl. Начиная с икі+і, последовательно строим Wkl, ■ ■ ■, Wk2-l и, если Ь^к2-іик2+і) > т&х{Ь^к2-і),Цик2+і)}, то слово Wk2-l = = икі+іикі+2^ ■ ■ик2 обозначим через v2 и так далее. Через конечное число шагов получим разбиение слова иіи2■ ■ ■ ит на подслова vl,и2, ■ ■ ■, Vk: иіи2■ ■ ■
... ит = vlv2■ ■ ^к и так как Ь^^2^ ■ ^к) > Ь^і,),і = 1, к, то Ь(иіи2
■ ■■ит) > Ь(и), і = 1, т.
Последнее соотношение противоречит тому, что слово и,іи,2 ■ ■ ■ ит простое, поэтому иіи2■ ■ ■ит = vl. Теперь рассмотрим произвольное слово иіи2■ ■ ■ит и разобьем его на простые слова аналогично тому, как это сделано выше. Таким образом, получим иіu2■■■um = vlv2■■■vt, где каждое vi,i = 1,ї, — простое слово. Поэтому Ь(иіи2^ ■ ■ит) = Ь^^2^ ■ ■VI-) > Ь^і) ^ L(Uj),і = = 1,ї,і = 1,т■
Следствие 1. Если в слове ulu2■■■um выполнить сокращение в группе
С, то оно не затронет, по крайней мере, левую половину слова иі.
Лемма 6. Подгруппа, порожденная специальным множеством слов Ш = ^і},і = 1,п, является свободной.
Доказательство. Покажем, что элемент вида д = где иі =
= 1,і = 1,Ь, иі є Ш и Ш-і,і = 1, ї; иі = и-+і, і = 1,ї — 1 не равен единице в группе С. Более того, покажем, что после сокращений в слове д = щи2^ ■ ■и остается одно из следующих слов:
1) Ш^... ¡-1, где Ш — некоторое слово, ¡1.. .¡т — изолированная левая овина образующего wi = и-1 четной длины;
2) ШЫ-^-.Л-1, где Ш — некоторое слово, 11...1т — левая половина -1
образующего Wi = и- нечетной длины, Ь — слог из той же подгруппы , что и ядро образующего wi;
3) ШКшгт.. .г1, где Ш — некоторое слово, Киггт.. .г1 — изолированный большой конечный отрезок образующего Wi = иг нечетной длины;
4) ШЬтт.. .т1, где Ш — некоторое слово, гт...г1 — правая половина образующего Wi = иг четной длины, Ь — слог из той же подгруппы Gjk, что и последний слог 1т левой половины образующего wi.
Доказательство проведем индукцией по Ь.
Докажем утверждение для Ь = 2,д = щи2. Рассмотрим все возможные случаи для и1,и2. Далее будем рассматривать результат максимально возможных сокращений и объединений в слове щи2. Объединение не взаимно обратных слогов р, I е будем обозначать (р1).
1. Пусть Ь(и1) = Ь(и2).
1.1. Ь{и1) = 2т.
1.1.1. и1 = ¡1...1тТт...Г1,и2 = 1'1. . . ¡'т т'т. . . т[.
Тогда д = ¡1. . . ЩТтЩ)г'т. -Л = ШЬтЩ. . . Т.
1.1.2. и1 = ¡1. . .¡тТт. . .Т1,и2 = Г-. . . т’г-11’г-1. . . ¡-.
Тогда д = ¡1. ..Iт¡-. ..¡-1 = ШИ-1. ..¡/1~1.
ы.3. и1 = Т-1. . . Тгп^гг1 . . . ¡-^ 1 и2 = ¡1 ...¡т Т'т ...Т1.
Тогда д = Т-1... тт{&т Ут. ..Л = Ш ЬТ'т. . . Т1.
1.1.4. и1 = т-1...тm1¡m1...¡l1,u2 = т,l~1...т',п1¡'-1...¡,l~1.
Тогда д =т-1. .^т^ш^Ут1. ..¡,1~1 = . ..¡т1.
1.2. Ь{и1) = 2т + 1.
1.2.1. и1 = ¡1... ¡тКи-1 Тт...Т1,и2 = ¡1... ¡Щ Ки2 тЩ .-Л. Тогда д = ¡1...
. . . ¡тКщ Ки2 т'т. . . Т\ = ШКи2 тЩ. . . Т.
1.2.2. и1 = ¡1... ¡т Ки1 Тт...Т1,и2 = т- ...т^К-1 ¡Щ1... ¡-. Тогда д =
= ¡1... ¡т{Ки1 К-^т1... ¡1-1 = шыщ-1. .. ¡-1.
1.2.3. и1 = т-1.. .тЩ-К^Щ-.. .¡-1,и2 = ¡1 ...¡т Ки2 т'т ...т[. Тогда д = = т-1. . . тт1К-11Ки2 Т'т. ..Т1 = ШКи2 т'т. ..Т1.
0.4. и1 = т-1...тm1Kт11¡m1...¡-1,u2 = Т'\Х... Т>т1кт2¡>т1... ¡1-1.
Тогда д = т-1... тm1кT11кT21¡,r-1... ¡,1~1 = Шт1... ¡1-1.
2. Пусть Ь{и1) < Ь{и2).
2.1. Ь{и1) = 2т,Ь{и2) = 2к.
2.1.1. и1 = ¡1. . .¡тТт. . .Т1,и2 = ¡1. . .¡'к т'к. . . т[.
Тогда д = ¡1... ¡тУт+х... ¡кт'к. ..т[ = ШЬт'к... Т.
2.1.2. и1 = ¡1. . .¡тТт. . .Т1,и2 = Т-1. . . Т- ¡’¡Г1. . . ¡'-1.
Тогда д = ¡1... Щт^. .. т-Ч-1. • • ¡- = ... ¡'-1.
2.о. и1 =т- 1...тm1¡m1...¡l 1,и2 = ¡1 ...¡к тк ...т1.
Тогда д = т-1... ^^¡Ш)... ¡к тк. -Л = ШЬтк...т'.
2ла и1 = т-1...тm1¡m1...¡l1,u2 = тт1...тk1¡k1...¡'т1.
Тогда д = т-1... .. ^¡и1... ¡- = Шк1... ¡1-1.
2.2. Ь{и1) = 2т, Ь{и2) = 2к + 1.
2.2.1. и1 = ¡1... ¡тТт. . . Т1,и2 = ¡1. ..¡к Ки2 т'к. . . т[.
Тогда д = ¡1... ¡тИт+1. ..¡к Ки2 т'к. ..т'1 = ШКи2 т'к. ..т'1.
2.2.2. и1 = ¡1.. .¡тТт.. .Т1,и2 = т/T1...тk-1KT21¡k-1...¡/T1.
Тогда д = ¡1... ¡ттШ-+1... Тk1кГ21¡к1... ¡т1 = ШЫк1... ¡1-1.
2.2.3.и1 = т-1.. .ТЩ1^.. .¡:-1,и2 = ¡1 ...¡к Ки 2 т'к ...т[.
Тогда д =т-1... ■гтЧтчш)... ¡к Ки2 тк. -Л = ШКи2 тк. -Л.
2.2.4. и1 = т-1...тm1¡m1...¡-1,u2 = т,т1...т,k-1кГ21¡k1...¡,т1.
Тогда д = т-1... .. ’г'-1^'-1... ¡- = ШЫ>т1... ¡1-1.
В случае Ь{и1) = 2т + 1,Ь{и2) = 2к получаем результаты, аналогичные п. 2.1. В случае Ь{и1) = 2т + 1,Ь{и2) = 2к + 1 получаем результаты, аналогичные п. 2.2.
3. Пусть Ь{и1) > Ь{и2).
3.1. Ь{и1) = 2т,Ь{и2) = 2к.
3.1.1. и1 = ¡1. . .¡тТт. . .Т1,и2 = ¡1 ...¡к тк ...т'1.
Тогда д = ¡1... ¡тТщ... {тк¡к)т'к. ..т[ = ШЬт'к... т1.
3.1.2. и1 = ¡1. . .¡тТт. . .Т1,и2 = Т/T1...тk-1¡k-1...¡/T1.
Тогда д = ¡1... ¡тТщ... Тк+У-... ¡- = Ш^-1... ¡1-1.
3.1.3. и1 = т-1...тm1¡m1...¡-1,u2 = ¡1 ...¡к тк ...т1.
Тогда д = т-1... тт1...{¡-1 ¡к )тк. ..т1 = ШЬтк. ..т1.
3.ы. и1 = т-1...тm1¡m1...¡-1,u2 = Т'т1...т'т1¡k1...¡'т1.
Тогда д =т-;1... тт1... ¡-[А1... ¡т1 = W¡,т1... ¡1-1.
3.2. Ь{и1) = 2т, Ь{и2) = 2к + 1.
3.2.1. и1 = ¡1. . .¡тТт. . .Т1,и2 = ¡1 ...¡к Ки2 тк ...т'1.
Тогда д = ¡1. . . ¡тТщ. . . Тк+1Ки2 т'к. .. Т1 = ШКи2 тк... т'1.
3.2.2. и1 = ¡1..ЛтТт...Т1,и2 = Т-. . . Т- К-^'-1. . . ¡>1~1.
Тогда д = ¡1... ¡тТщ... {тк+К-)1-1... ¡'-1 = ШЫ1-1... ¡1-1.
3.2.3.и1 = т-1.. .тЩ1^.. Л-1,^ = ¡1 ...¡к Ки2 тк ...т'1.
Тогда д = т-1... ^¡т1... ¡-+1Ки2 Тк. ..т1 = ШКи2 тк. ..т1.
3.2.4. и1 = т-1...тm1¡m1...¡-1,u2 = r/т1...т'т1кт1¡'т1...¡'т1.
Тогда д = т--1... тт1... У^КъУ'т1... ¡- = ШЫ>т1... ¡1-1.
В случае Ь{и1) = 2т + 1, Ь{и2) = 2к получаем слова, аналогичные п. 3.1. В случае Ь{и1) = 2т + 1, Ь{и2) = 2к + 1 — слова, аналогичные п. 3.2.
Пусть утверждение верно для любого слова д = и1и2.. .иг-1. Докажем его для д = и1и2... щ.
1. и1и2.. .щ~1 = ШЩ1. . .¡-1, где Ш — некоторое слово, ¡1.. .¡т — изолированная левая половина образующего Wi = и~-\ четной длины.
1.1. Ь(иг) = 2т. Если щ = 1[.. Л'т г'т ...т'1, то д = Ш (1т11'т )г'т ...т'1 = = Ш'Ъг-■■■Т,1. Если же иг = г-.. У-1?-1 ■ ■ -I'-1, то д = Ш(1т1г'г-1)1'г-1 ■ ■ ■
г-1 = ш ' т1...^1
1.2. Ь(щ) = 2т + 1. Если иг = 11 ■ ■ ■ 1'тКигг'т... Г1, то д = Ш(1т11,т)Киг
г'т ■■■г,1 = Ш'КЩ г'т ■■■г,1. Если и = г'1~1...гт1К-11,,т,1...1,1~1, то
д = ш (1т1г-1)к-11-1...г1-1 = шъ-1 ..л1-1.
1.3. Ь(щ) < 2т. Пусть Ь(щ) = 2к. Если щ = 1[ ■ ■ .1'кг'к■ ■.г[, то д =
= ^¡т1.■ ■(¡-1 ¡к)гк■ ..г1 = Ш'Ъгк■ ■ ■ г1. Если щ = г1-1.■ ■ гк~11,к~1.■ ■ I'-1, то
д = Шт-.Л-^-К.Л-1 = Ш 'Г-1. .Л-1. Пусть Ь(щ) = 2к + 1. Имеем
д = Ш1тг. ■ ■ 1-1Киг гк ■ ■■г1 = Ш'Киг гк. . . г1 или д = Ш1т1. ■ ■
1'к-1. .Л-1 = ш 'Ы'к-Ч.л-1.
1.4. Ь(щ) > 2т + 1. Пусть Ь(щ) = 2к. Имеем д = Ш(1т11'т)■ ■ ■ 1кг'к... Г1
= Ш'Ъгк... г'1 или д = Ш(1т1 г-1 )■ ■ ■ г'-1^-1. ■ ■ I-1 = Ш'I'-1... I'--1. Пусть Ь(щ) = 2к + 1. Имеем д = Ш(1т11'т)...1кКщг'к■■■Г1 = Ш'КЩг'к■■■Г1 или
д = ш (¡т1г-1)... г^к-х1... I-1 = ш'ы-1. .. I-1.
2. и1 и2. ■ ■ щ-1 = ШЫ-1.. Л-1, где Ш — некоторое слово, 11.. Лт — левая половина образующего = и-\ нечетной длины, Ъ — слог из той же подгруппы О^к, что и ядро образующего Wi.
2.1. Ь(щ) = 2т. Если иг = 11 ■ ■ Л’тГт■■.г,1, то д = ШЪ(1т11'т)г'т■■■г,1 = = Ш'Ъ'г'т■■.г/1. Если же щ = г,1-1...гг-11'-1..Л,1-1, то д = Ши'-.. Л'-1 =
= ш 'У-1. .л-.
2.2. Ь(иг) = 2т + 1. В этом случае д = ШЪКигг'т.. .г'1 = Ш'Кигг'т... Г1
или д = ШЪК-т1. ■ ■ I'-1 = Ш'VI'-1... I'-1.
2.3. Ь(щ) < 2т. Пусть Ь(щ) = 2к. Имеем д = ШЫ-^... (1к 1'к)г'к... Г1
= Ш'Ъ'гк ■■■г1 или д = ШЫт1 ■ ■ .¡-и-1 ■ ■ Л'-1 = ШЧ'-1...1-1. Пусть Ь(щ) = 2к + 1. Тогда д = Шит1 ■ ■ ■ 1-11 Кшг'к■■.г/1 = Ш'КЩг'к■■.г/1 или д = ШЫт1. ■ ■ У-иК-у-1. ■ ■ I'-1 = Ш'Ъ'1-1. ■ ■ I'-1.
2.4. Ь(щ) > 2т + 1. Пусть Ь(щ) = 2к. Тогда д = ШЫ'т+1... 1'кг'к■ ■ ■Г1 = = Ш'Ъ'г'к... Г1 или д = ШЪг'г-11... г1-1^1... I- = Ш'11-1... I'-1. Пусть Ь(щ) =2к + 1. Тогда д = ШЪ1'т+1... 1'кКшг'к. ..г,1 = Ш'КЩ г'к... Г1 или д =
= шъг-". .. гк^К-Х1. ■ ■ 1'Г1 = ш 'Ъ'1к-1. ■ ■ I'-1.
3. и1и2■ ■ ■ иг-1 = ШКи—1 гт.. .г1, где Ш — некоторое слово, Кщ-1 гт .. .г1 — изолированный большой конечный отрезок образующего Wi = и-1 нечетной длины.
3.1. Ь(щ) = 2т. Тогда д = ШКЩ_1 (г-—Ут■ ..Л = Ш'Ъ'г'т... г'1 или д =
= ШКи гт1...!- = ш 'У-1...^-1.
3.2. Ь(иг) = 2т + 1. Тогда д = ШКЩ_1 Кщг'т■ ■ ■г'1 = Ш'КЩг'т■ ■ ■ г'1 или д = Ш (Ки _ К-1)-1...^-1 = Ш'Ъ'1'-1..Л'1-1.
3.3. Ь(иг) < 2т. Пусть Ь(иг) = 2к. Имеем д = ШКЩ_1 гт... (гк 1'к)г'к...
_1 гт.
г'1 = Ш'Ъ'гк... г’1 или д = ШКЩ_1 г-■ ■ ■ г+1'-1. ■ ■ I-1 = Ш'1'-1... ¡-1. Пусть
Ь(щ) =2к + 1. Тогда д = ШКЩ_1 г-■ ■ ■ Гк+Кщг'к... г' = Ш'КЩг'к
■ ■■г1 или д = ШКЩ_1 г-■ ■ ■ (гк+К-1)'-1... У-1 = Ш'Ъ'1-1. ■ ■ I-1.
3.4. Ь(щ) > 2т + 1. Пусть Ь(щ) = 2к. Тогда д = Ш(Кщ_11'т+1). ■ .¡к
гк ■ ..Л = Ш'Ъ'гк ■ ■ ■ г1 или д = Ш (Ки г_1 -г'-^. ■ ■ гк11к1. ■ ■ I'-1 = Ш'1к1
■ ■Л-1. Пусть Ь(щ) = 2к + 1. Тогда д = Ш(Кщ_1Ут+1)...УкКщг'к■ ■■*[ =
= Ш'Киггк■ ■ ■ г1 или д = Ш(Киг_1 г-11). ■ ■ гк1КШ1к1 ■ ■ ■ ¡Т1 = Ш'ЪП'-1. ■ ■
¡'-1 ¡1 .
4. и1и2. ■ ■ иг-1 = ШЪгт.. .г1, где Ш — некоторое слово, гт.. .г1 — правая половина образующего Wi = щ-1 четной длины, Ъ — слог из той же подгруппы О^к, что и последний слог ¡т левой половины образующего wi.
4.1. Ь(щ) = 2т. Если иг = У:■ ■ Л'тг'т■■■г', то д = ШЪ(гтУт)г'т■ ■■*[ = = Ш'Ъ'г'т■..г/1. Если щ = г-1.. ■ г-'У-1.. Л'-1, то д = ШЫ-1.. Л'-1 =
= Ш 'У-1 ■■■У-1.
4.2. Ь(иг) = 2т + 1. Имеем д = ШЪКЩг'т.. .г' = Ш'КЩг'т■ ■ ■ г' или д = = ШЪК-у-1. ■. У-1 = Ш'УУ-1... У-1.
4.3. Ь(щ) < 2т. Пусть Ь(щ) = 2к. Тогда д = ШЪгт... (гкУт)г’к■■.г,1 = = Ш'Ъ'гк... г' или д = ШЪгт... г^У-1... У--1 = Ш'У-1... У-1. Пусть
Ь(щ) = 2к + 1. Тогда д = ШЪг-■ ■ ■ Гк+'КЩг'к■ ..гг1 = Ш'КЩг'к■ ..г,1. или д = = ШЪгт. ■ ■ (^К-У-1... У-1 = Ш'Ъ¡к-1. ■ ■ У-1.
4.4. Ь(иг) > 2т + 1. Пусть Ь(иг) = 2к. Тогда д = ШЪУт+1... ¡кг'к■ ■ .г[ = = Ш'Ъ'г'к... г/1 или д = ШЪг,г-+_1... г'т1У|~1... У-1 = Ш'У-1... У--1. Пусть Ь(щ) =2к + 1. Тогда д = ШЪУт+1... УкКшг'к. ..г,1 = Ш'КЩ г'к■ ■ ■ г[ или д =
= шъ*-!. ■ ■ гк^К-х1... у-1 = ш'ъ'у-1. .. у-1.
Теорема доказана.
Следствие 2 [4]. Всякая конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера О экстрабольшого типа, соответствующей матрице (ту), где все т^ = +ю, является свободной.
Теорема 3. Любой элемент д € Н однозначно представим в виде д = = и1и2.. .щ где щ = 1,1 = 1Л, щ € Ш и Ш-1, г = 1,1; щ = и~+:1,г = 1,1 — 1, Ш = },] = 1,п, — специальное множество образующих подгруппы Н.
Доказательство. Допустим противное. Пусть
д = и:и2...щ = У:У2...УР, (2)
Vу € Ш и Ш-1,] = 1,р; У] = ,и~+;1^ = 1,р — 1. По следствию 1 сокращения в группе О не затронут, по крайней мере, левые половины иц,У11 слов и:, У'.
1. Пусть Ь(иц) = Ь(уц).
1.1. Пусть Ь(и:) = Ь(у:) = 2т.
1.1.1. Если и и ,У'1 являются левыми половинами образующих, то в силу изолированности левых половин и: = У'. Сократим и:, У: в (2). По индукции получаем, что щ = Уг,Л = р,г = 1,1. Если £ > р, то ир+:...щ = 1, что невозможно по лемме 6.
Таким образом, далее нам надо доказывать только равенство u\ = v\.
1.1.2. Если только одна из половин пц,vii является левой половиной образующего, то в силу изолированности левых половин такой случай невозможен.
1.1.3. Пусть пц, vii являются обратными правым половинам образующих,
п1 = r-1... ■ ■ -l -1 ,v 1 = r—1... r'- 1l'~1. . . l'-1. Элементы r-1,r'-1 лежат
в одной группе Gij. Кроме того, r- 1,r— 1 должны совпадать, так как в противном случае gg-1 = 1. Аналогично, r-1 = ri-1,i = 2,m. Так как левые половины образующих изолированы и сокращения справа у слов п1, v1 не затронут полностью l-1^'-1, то lmn1,l-1 не принадлежат одной группе Gij, иначе L(v-lv,1) < 2m. Поэтому большие конечные отрезки образующих совпадают и п1 = v1.
1.2. Пусть L(n1) = L(v1) = 2m + 1.
1.2.1. Если слова пц,vu являются левыми половинами образующих, то u1i,v1i совпадают, иначе gg-1 = 1. Сокращения справа у слов n1,v1 не затронут полностью ядер Ku u,Kv1 слов u1,v1, по построению специального множества Ku 1,KV1 не принадлежат одной группе Gij, но тогда gg-1 = 1. Поэтому u1 = v1 .
1.2.2. Если одно из слов u1i,v1i — левая половина образующего, а другое — обратное к правой половине. Пусть u1 = r-1... r- K^l-... l-1,
v1 = l[... l'mKv1r'm... r'x. Тогда u1i = v1i, иначе gg-1 = 1, сокращения справа у слова u1 не затронут ядра K 1, а у слова v1 не захватят полностью ядра KV1. По построению специального множества Ku 1, KV1 не принадлежат одной группе Gij (так как левые половины изолированы всюду, когда это не ведет к увеличению длины образующего, и большие отрезки изолированы), но тогда gg-1 = 1. Поэтому u1 = v1.
1.2.3. Пусть u1i,vu являются обратными правым половинам образующих, m = r1;1...rnn1K-11lnn1...l1^1,v1 = г-.. .r^K-uln1.. .l-. Тогда сокращения справа у слов u1, v1 не затронут ядер K 1, KV1 слов u1, v1. r-1 = r'~1,i = 1, m, Ku 1 = Kv1, иначе gg-1 = 1. Поэтому u1 = v1.
2. Пусть L(u1i) = L(v1i). Будем считать, что L(u1i) > L(v1i).
2.1. Пусть L(u1) = 2k,L(v1) = 2m.
2.1.1. Пусть uu,vu являются левыми половинами образующих, щ = lu.. .
... lkrk.. .r1 ,v1 = l'1... l'mr'm.. .r[. Справа l'm ни сократиться, ни объединиться не может в силу минимальности длин образующих. Так как левые половины изолированы, то l1.. .lm = l'x.. .l'm и gg-1 = 1. Отсюда u1 = v1.
2.1.2. Пусть uu является левой половиной образующего, а vu обратно правой половине, то есть u1 = l1...lkrk..^1^1 = r'—1.. .r^ln-1.. .l'—1. Тогда r-1... r-1 = l1... lm, иначе gg-1 = 1. В слове v1 сокращения справа полностью не затронут l-1, а lm+1, l'm не могут принадлежать одной группе Gij, иначе L(v-lu1) < 2k, что невозможно.
2.1.3. Пусть vu является левой половиной образующего, а uu обратно правой половине. uu = r-1... r-1l-1... l-1 ,vu = 1'х... l'mr'm... г[. Так как левая
половина образующих изолирована, то r-1 ...г—1 = l'\-■-l'm и gg-1 = 1. Поэтому и 1 = v 1.
2.1.4. Пусть uu, vu являются обратными правым половинам образующих, U1 = r-1... r-11-1... l-1,V1 = r'—1.. -r—1l—1-■■1—1. Имеем r-1... rm1 = r,—1.. .г'-1, а l'm1 полностью не может сократиться при сокращениях справа в v1, rm+1, l'm не могут принадлежать одной группе Gij, иначе длину U1 можно сократить, что невозможно.
2.2. Пусть L(u1) = 2k, L(v1) = 2m + 1.
2.2.1. Пусть uu,vu являются левыми половинами образующих, U1 = = l1...lkrk..^1^1 = l1.. .l'mKv1r'm...г!. Справа у слова v1 сокращения не затронут полностью ядра Kv1. Тогда l1...lm = l1...l'm, а Kv1,lm+1 по построению специального множества слов не могут принадлежать одной подгруппе Gij, что невозможно. Отсюда и1 = v1.
2.2.2. Пусть uu является левой половиной образующего, а vu обратно правой половине, то есть u1 = l1...lkrk■■■r1,v1 = і—1... r^K-il—1.. .l—1. Тогда l1.. .lm = r'-1... r'm1. Сокращения справа у слова v1 не затронут ядра Kv1, поэтому K-1 lm+1 принадлежат одной группе Gij и должны совпадать, иначе gg-1 = 1. Поэтому uu = v1.
2.2.3. Пусть vu является левой половиной образующего, а uu обратно правой половине, uu = r-1.. .r-1l-1.. .l-1 ,vu = l'1.. .l'mKv1r'm.. .r^. Имеем r-1... r— = l[... l'm. Сокращения справа у слова vu полностью не затронут ядра Kv1, но Kv1, г—+1 по построению специального множества слов не могут принадлежать одной подгруппе Gij, что невозможно.
2.2.4. Пусть u,u, vu являются обратными правым половинам образующих,
u1 = і--1. ..т-1 l-u .Л-Кщ = r'Г1. ..т'-1^11-1. .Л'-1. Тогда r-u. ..rm1
= r'—1... г—1. Сокращения справа у слова vu не затронут ядра Kv1, поэтому K—1 , r~ml+l принадлежат одной группе Gj и должны совпадать, иначе gg-1 = = 1
2.3. Пусть L(uu) = 2k + 1, L(vu) = 2m.
2.3.1. Пусть uu,vu являются левыми половинами образующих, uu = = lu... lkKuurk.. .r1,v1 = l1... l—r'm.. .r/1. Сокращения справа в слове vu не затронут l'm. В силу изолированности левой половины vu получим lu.. .lm = = l[.. .l'm и gg-1 = 1, что невозможно.
2.3.2. Пусть uu является левой половиной образующего, а vu обратно правой половине, то есть uu = lu.. .lkKuurk■■■r1,v1 = r'—1.. .г'—1^1.. Л'—1. Тогда і—1... г—1 = h... lm, иначе gg-1 = 1. В слове vu сокращения справа полностью не затронут l—1, а lm+1, l'm не могут принадлежать одной группе Gij, иначе L(v-1uu) < 2k, что невозможно.
2.3.3. Пусть vu является левой половиной образующего, а uu обратно правой половине. uu = r-1.. .r^K-ll-1.. .l-1,v1 = l'1...l'm r'm...r[. Так как левая половина образующих изолирована, то г-1... r— = l[.. .l'm и gg-1
= 1. Поэтому uu = vu.
2.3.4. Пусть un, vu являются обратными правым половинам образующих, ui = г-1... г-1 К-1-1..А-1,щ = rl-'.-.r'-H'-K.J'-1. Имеем
= г-1... г-1, а l'm1 полностью не может сократиться при сокращениях справа в v1. гт+1, l'm не могут принадлежать одной группе Gij, иначе длину U1 можно сократить, что невозможно. Отсюда U1 = V1.
2.4. Пусть L(u1) = 2k + 1, L(v1) = 2m + 1.
2.4.1. Пусть un,V1i являются левыми половинами образующих, U1 = = l1...lk Ku 1гк ...г1^1 = l1.. .l'm К,о1г'т ...г/1. Справа у слова v1 сокращения не затронут полностью ядра Kv1. Тогда l1...lm = l1.. .l'm, а Kv1,lm+1 по построению специального множества слов не могут принадлежать одной подгруппе Gij, что невозможно. Отсюда u1 = v1.
2.4.2. Пусть un является левой половиной образующего, а vu обратно правой половине, то есть u1 = l1.. .lkKu 1гк.. .г1^1 = г—1.. .г'т1^1'—1...
l-1. Тогда l1.. .lm = г—1... г—1. Сокращения справа у слова v1 не затронут ядра Kv1, поэтому K-11,lm+1 принадлежат одной группе Gij и должны совпадать, иначе gg-1 = 1. Поэтому u1 = v1.
2.4.3. Пусть vu является левой половиной образующего, а un обратно правой половине. u1 = г-1.. ^^K^l-1.. .l-1 ,v1 = l1 ...l'm K-v^m ...г[. Имеем г-1 ...г-1 = l'x...l'm. Сокращения справа у слова v 1 полностью не затронут ядра Kv1, но K^^m^ по построению специального множества слов не могут принадлежать одной подгруппе Gij, что невозможно.
2.4.4. Пусть un, vu являются обратными правым половинам образующих,
u1 =г -1... -г-1 K-1l-1. ..l-1,v1 = г1-1...гmlK-l'mх... l/1-1. Тогда г-1...
гт1 = г- 1...г'т1. Сокращения справа у слова v 1 не затронут ядра Kv 1, поэтому K-11,гmm+1 принадлежат одной группе Gj и должны совпадать, иначе g g-1 = 1.
Теорема доказана.
Список литературы
1. Appel K. One Artin groups and Coxeter groups of large type // Contemp. Math. 1984. V.33. P.50-78.
2. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Чебышевский сборник: Труды V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». 2003. Т.4, №1(5). С.10-33.
3. Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups with torsion // London Math. Soc. 2004. V.88, №1. P.89-113.
4. Добрынина И.В. О проблеме свободы в группах Кокстера экстрабольшого типа // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т.14, №8. С.101—116.
5. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Дискретная математика. 2005. Т.17, №3. С.123-145.
6. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера экстрабольшого типа // Дискретная математика. 2008. Т.20, №3. С.101-110.
7. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т.9, №1. С.13-22.
8. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т.11, №1. С.47-61.
9. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1980.
10. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в классе НММ-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвузовский сборник научных трудов. Тула: ТГПИ, 1981. С.20-61.
Безверхний Владимир Николаевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
Добрынина Ирина Васильевна ([email protected]), д.ф.-м.н., доцент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
Оn free subgroups in Сoxeter group of extra large type
V. N. Bezverkhnii, I.V. Dobrynina
Abstract. It is proved that in Coxeter group of extra large type every torsion — free finitely generated subgroup crossing of that with any conjugacy Gij subgroup there is a single subgroup is free.
Keywords: Coxeter group of extra large type, free subgroup, torsion free subgroup, finitely generated subgroup.
Bezverkhnii Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Dobrynina Irina ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, docent, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Поступила 15.09.2012
