О структуре централизатора элементов единичной слоговой длины в группах Артина с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 2 (2010)

УДК 519.4

О СТРУКТУРЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРА

ЭЛЕМЕНТОВ ЕДИНИЧНОЙ СЛОГОВОЙ ДЛИНЫ В ГРУППАХ АРТИНА С

ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

О. Ю. Платонова (г. Новомосковск)

Пусть С - конечно порожденная группа Артина с копредетавлением С = («1, а2,ап; (ага,)тгз = (а,аг), где (ага,= ага,аг... - слово длины ш,, состоящее из ш, чередующихся букв аг и а,, г = ^ ш, - число, соответствующее симметрической матрице Кокетера, тг, > 2при г =

С

граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если аг и а.,- являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида, (ага, = (а,а^)™31 группы,

В графе Г* можно выделить максимальное дерево-граф ГГ С Г*.

Будем говорить, что группа Артина Сг имеет древесную структуру, если

Г

установить соответствие такое, что если аг и а, являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида, (ага,')т%] = (а,а^^.То есть макси-

Г

Тогда группа Сг отображается с помощью гомоморфизма ф па группу С, т. е, ф : Сг —> С,

Пусть аг и а, вершины некоторого ребра е дерева - графа Г, Группа, порожденная образующими аг и а,, имеет копредставление

Сг, = (аг, а,; (а*а,)т^' = (а,а*)™’4).

Обозначим через Я, множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе С,. Тогда копредставление группы С, запишем через С, = (аг,а,; Я,), Пусть группа С порождена более чем двумя образующими.

Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением С = (а1; а2,ап; Я) , Я = иЯ, , Рассмотрим свободную группу

П

Г = П * (аг), пусть т € Г, обозначим через | т | длину, а через || т ||- слоговую

г=1

длину слова т в группе Г,

Пусть произвольное слово т те равно единице в свободной группе Г и равно единице в С. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово т является

Я

Введем следующие преобразования диаграммы (*):

1) Пусть области Д1; Д2 пересекаются по ребру ^(дД1 П дД2), имеющей слоговую длину || ^(дД1 П дД2) ||> 1 и если || ^(дД1 П дД2) || = 1 и ^(дД1) € СаЬ, ^(дД2) € СаЬ, тогда, стирая это ребро, объединяем ^ и Д2 в одну область Д, Если метка полученной области Д равна единице в свободной группе Г, то удалив эту область, склеиваем ее границу,

2) Если две области ДЬД2, где ^(дД1) € СаЬ, ^(дД2) € СаЬ, имеют общую вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область Д и, если метка полученной области Д равна единице в свободной группе Г, то удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не равна единице, но сократима, то проводим сокращения.

Определение 1. Назовем внутреннюю точку V диаграммы специально особой точкой, если ^^) > 3 и все ребра, исходящие из нее, являются степенями одного образующего.

Определение 2. Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специально особой и имеющая степень не менее 3, называется, "особой".

Определение 3. Область Б назовем, деповской, если г{Б) < ^с1(0), где г(Б) - число внутренних ребер, в,(Б) - число ребер в граничном цикле для Б.

Определение 4. Область с граничным контуром е7е-1£, склеенная, по ребру е и с меткой из Я назовем Б — г областью.

Рассмотрим произвольное слово т € С, С - группа Артина с древесной структурой. Пусть произвольное слово т не равно единице в свободной группе Г и равно единице в С, Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово т является меткой связной односвязной диаграммы М над Я, Рассмотрим граничную область Д карты М. Обозначим через 7 внешнюю границу диаграммы М. Если Д является деновской областью, то || дД П 7 ||>|| дД\(дД П 7) ||, Удаление деповской области Д диаграммы М, то есть удаление ее граничного пути,

МЯ

МЯ

областей.

Определение 5. Слово т € С, С - группа Артина с древесной структурой, называется, Я - приведенным, если, т свободно приведено в Г и не содержит подслово в, являющееся, подсловом, некоторого соотношения, г, г = 5•£, где ||в|| > |||г||. Назовем, ги циклически Я - приведенным, если все его циклические

Я

ЯМ

меткой т, где т не равно единице в свободной группе Г и равно единице в С, не содержит Б — г областей, тогда, она, и не содержит внутренней особой точки.

ЯМ

меткой т € С, не равной единице в свободной группе Г и равной единице в С, не содержит Б — г областей, но содержит конечное число специально особых точек, тогда, на, внешнюю границу выходят как минимум 'три деновские области;

Теорема 3. [4] Связная, односвязная Я - диаграмма М не содержит Б — г области;

М

меткой т, где слово т - циклически приведенное слово, не равное единице в свободной группе Г, и равное единице в С, не содержит специально особых точек, то она не содержит и особых внутренних точек.

М

ной.

Теорема 4. [4] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема равенства, слов.

С

весной структурой. Слова V и т, слоговая, длина, каждого из которых равна

С

ствует ломанная, состоящая, из ребер дерева,-графа, которая соединяет вершины, соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Коксте-ра.

Теорема 6. [4] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.

Теорема 7. [3] Группа Артина С^при ш, = 2к + 1изоморфна группе (х,у; ж2к+1 = у2), а при ш, = 2к - группе (£,я; £г£-1 = ).

Лемма 1. [3] Пусть С, = (аг,а,; (ага,)т%] = (а,а*)™’1) - группа Артина и слово т € С, циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2ш, и равно единице в С,. Тогда, при т, = 2к + 1 имеет вид

а) ата,аг...ага-та-1...а-1, либо

б) ага,аг...ата-1а-1...а-т, либо им обратные; а при т, = 2к, к > 1

а’) ата,...ага,а-та-1...а-1, либо

б’) ага,...агата-1...а-^, либо им обратные, т € \{0}}.

Определение 6. Поддиаграмма П = у™=1 образует, "полосу" в Я-при,ве-деппой диаграмме М с граничным циклом дМ = 7и 5, где 7 есть путь А'В', 5 — А'А^^В', АВ = дП П 7 , А1В1 = дП П 5 (Рис.1), если

1. Уг, г =1,..., п — 1 : дВг П дВг+1 = ег где ег - ребро;

2. Уг, г =1,..., п : дВг П 7 = 7* где 7» - связный путь, причем, | 7* |> 1;

5. | д^1 П 7 | = | д^1\(д^1 П 7) | и | дВ„ П 7 | = | дВ„\(дВга П 7) |;

^ = 2,...,п — 1 :| д^,- П 7 | +2 =| д^,-\(д^ П 7)|.

В слово т ость Л-сокращепие, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово т, содержится полоса. При этом под слово <^(АВ) слова т, соответствующее пути 7 заменяется словом ^(АА1В1В) в приведенной М

А’

■І—I-

А

1-Н

В В’

в

Рис.1 Я - сокращение

Определение 7. Слово и называется, циклически Я - несократимым, если любая, его циклическая перестановка и* не содержит Я - сокращения.

Лемма 2. /3/ Пусть М - связная односвязная, Я, Я приведенная, кольцевая, диаграмма над группой 7, 8 -граничные циклы Ми ^(7) = жр. Тогда, <^(8) =

где ж, у Є {а±1,а±1}

Теорема 8. /5/ Группа Артина с древесной структурой свободна от кручения.

Лемма 3. /6/ Существует алгоритм,, строящий по любому циклически несократим,ом,у в свободной группе и не равному 1 в группе С слову ш циклически Я, Я , - несократимое слово и>0, сопряженное с и> в группе С.

Теорема 9. /6/ Существует алгоритм,, строящий по любому несократимому слову ш сопряженное с ним или с его квадратом в группе Артина с древесной структурой слово и>о , любая, степень которого Я, Я - несократима.

Определение 8. Область Б назовем областью первого типа, если, ||дБ П 71| = ||дБ П 8|| , где й(Б) = ||дБ П 71| + ||дБ П 8|| + 2 .

Рис.2 Я Кольцевые диаграммы

Определение 9. Область Б назовем областью второго типа, ||дБ П71| +

2 = ||дБ П 5|| , где й(Б) = ||дБ П 7|| + ||дБ П 5|| + 2.

Определение 10. Область Б назовем областью третье го типа, ||дБ П

71| = ||дБ П 5|| + 2 , где й(Б) = ||дБ П 7|| + ||дБ П 5|| + 2 . ЯМ

ности слов V и т. Пусть <^(7) = т, <^(5) = V ГДе 7- внешняя граница диаграммы М , а 5 - внутренняя.

Предположим, что диаграмма состоит из областей первого типа и одной области второго (или третьего) типа. Тогда ||V| = ||т|| + 2 , или наоборот II= 11V | + 2. В этом случае переход с помощью сопряжения от слова с большей слоговой длиной к слову с меньшей слоговой длиной назовем кольцевым сокращением.

Определение 11. Циклически Я и Я - несократимое слово и> в группе Артина С назовем, тупиковым, если, к нему нельзя применить кольцевое сокращение.

Лемма 4. [7]] Пусть т, V - тупиковые слова, из С и пусть т, V сопряжены в С. Тогда ||т|| = ||V| и никакое слово и € С такое, что ||и|| < ||V| не сопряжено

с V.

С

структурой, с множеством образующих А, |А| < оо. И пусть и> Е С, и> — Я и Я - несократимое слово не равное единице в С. Слово и> равно некоторому слову V € С,, где С, - параболическая подгрупп а группы, С с множеством образующих А,, |А,| > 1, А, С А . Тогда, т- слово на образующих А,.

С

ной структурой, с множеством образующих А, |А| < ж . И пусть т € С, ||«) || > 1, и> - циклически Я и Я - несократимое, тупиковое слово не равное единице в С . Слово т сопряжено некоторому слову V € С, , то есть существует слово г € С такое, что г-1тг = V, С, - параболическая подгруппа, группы С с множеством образующих А,, |А,| > 1,А, С А. Тогда т,г- слова, на образующих А,, Сс(т) = С<с (т) где Сс(т) - централизатор элемента т в группе С, Сс^.(т)- централизатор элемента, т в параболической подгруппе С,.

Теорема 10. [7] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности, т. е. существует алгоритм, позволяющий для, любых двух слов € С установить существуют ли натуральные числа т и п, и элемент г такие, что г-1ттг = Vй.

С

дереве-графе. Зафиксируем вершину, соответствующую некоторому образующему а группы Артина С, Выделим в дереве - графе все возможные связные пути с началом в вершине аг. Обозначим через т(г, ^) связный путь, соединяющий в графе вершину аг с вершиной а,. Тогда т(г,]) = где е5 - ребро в

дерево - графе, з = \jtjt < со.

Рассмотрим два пути т(г, ]) и т(?', к), и определим для них операцию умножения следующим образом: пусть т(г,^) = е^.-.е* и т(?', к) = е*+1е*+2...ег, причем ш(е*) = а, = а(е*+1), тогда т(г,^) * т(?', к) = т(г, к), где т(г, к) - связный путь, соединяющий вершины аг, а&, такой, что т(г, к) = е1е2...е*е*+1...ег.

Определим для пути т(г,^) = е1е2...е* обратный путь: т-1(г,^') = т(?', г) = е-1е--1...е-1е-1.

Каждому ребру е5 в дерево-графе соответствет число т, симметрической матрицы Кокетера для данной группы. Если число т, нечетно, то образующие, соответствующие вершинам ребра е8, сопряжены в группе Артина С,. Если т, четно, то образующие, соответствующие вершинам ребра е5 не сопряжены в С,, При этом каждый образующий сопряжен с самим собой частью определяющего соотношения, соответсвующего данному ребру. Действительно, пусть а(е8) = аг,ш(е8) = а, ребру е5 соответствует соотношение (ага,)т^ = (а,аг)т\ Тогда, если число т, нечетно, то образующий аг переходит в образующий а, при помощи сопряжения словом г € С, четной слоговой длины ||г|| = т, — 1, причем г имеет вид г = а,аг...аг, Если же т, четно, то образующий аг переходит в аг при помощи сопряжения словом г € С, нечетной слоговой длины 1|г|| = тг, — 1, причем г имеет вил г = а,аг...а,. Каждому ребру е5 в дерево-графе, имеющему нечетное число т,, поставим в соответствие <^(е8) = г = а,аг...аг, г € С,, ||г| = т, — 1, а ребру с четным т, поставим в соответствие <^(е8) = г9 = (а,аг...а,)9, г € С,, ||г| = т, — 1,д € X.

Обозначим Е - множество ребер графа Т, X*- множество слов из подгрупп вида, С,, слоговая длина которых равна т, — 1,

Рассмотрим множество Р связных подпутей вида, т(г, ^) с началом в вершине щ таких, что если т(г, ^') = е1е2...е*, £ > 2, то ребрам е8, 5 = 1, £ — 1 соответствуют нечетные числы матрицы Кокетера т,, а ребру е* - четное. Если длина пути т(г,^) равна единице, то есть т(г,^) = е1; то путь т(г,^) будет принадлежать Р е1

Кокетера т,. Таким образом, множеству Р принадлежат минимальные пути

т (г,.7)■

Определение 12. Ребро ег дерево - графа, назовем, замыкающим, ребром, некоторого пути,, если, ем,у соответствует четное число Кокетера.

Разобьем каждый путь т(г, ^) = е1е2...е* го множества Р, длина которого больше единицы на два подпути следующим образом: т(г, ж) - подпуть, соединяющий вершины а* и аж, состоящий из ребер т(г, ж) = е1е2...е*-1, каждому из которых соответствует нечетное число Кокетера; т(ж, ]) - подпуть, состоящий из

е*

Множеству Р принадлежат все связные минимальные пути т(г,^), исходящие из одной вершины, при этом последнее ребро каждого пути являет-

Р

разуют дерево - граф Т. Подвергнем граф Т следующему преобразованию: пусть е5 - замыкающее ребро некоторого пути дерева - графа Т такое, что а(е8) = а*,ш(е5) = а,. Положим ш(е8) = а*, ребро е8 переобозначим е*,, а путь, соответствующий ребру е8, через т(г,^,г). Применим данное преобразование ко

ТТ

Т

Каждому пути т(г, _;) из множества Р такому, что |т(г,^')| > 1 поставим в соответствие путь т*, = т(г, ж) * т(ж^ж) * т(ж, г), Если |т(г,^)| = 1 то т*, = т(г,^, г). Ясно, что каждый подпуть т*, также связен, при этом а(т*,) = ш(т*,) = а*. Множество всех таких путей т*, обозначим через Рт,

Определим умножение на множестве Е ребер, следующим образом: пусть е5 и е5+1 ребра, принадлежащие графу Т такие, что ш(е8) = а(е8+1), тогда можно рассматривать произведение ребер е5 и е5+1 как связный путь. Пусть т(г, ^) = е1е2...е* - связный путь, где ребрам е1е2...е*-1 соответствуют нечетные числа т*,, а ребру е* - сетное т*,, тогда <^(т(г,_;)) = ^(е1е2...е*) = ^(е1)^(е2)...^(е*) = г1г2--.г1, где <~р(е3) = = 1, Ь — 1, </?(е4) = € Z. При этом </?(г(^,г)) =

г-9 ...г-1.

Рассмотрим

^(т*,) = <р(т(г,ж)т(ж, ^',ж)т(ж, г)) = ^(е^-е^ех,,-е__11...е_1е_1) =

= г1г2...г*_1 г^- г__11...г_1 г-1,

если |т (г, )| > 1 и ^(т*,) = <^(т (г, ^,г)) = ^(е*,) = г?-, есл и |т (г, ^’)| = 1, Таким образом, каждому пути т*, го множества Рт в группе Артииа С будет соответствовать циклически сократимое слово вида Т = г1г2...г*_1 гХ,г*_11...г__1 г-1, где каждые г* принадлежат подгруппе вида С*,, гХ, € СХ:?-, ||г*|| = т*, — 1, |гХ, || = тХ, — 1, q Е Z.J г = 1, £ — 1, Множество слов вида, обозначим г < оо.

Определение 13. Слоговой длиной слова Т € назовем количество ребер соответствующего пути, т,, и обозначим через ||Т||-

В соответствии с этим определением, если путь т*, состоит из Ь ребер, то слоговая длина ||Т || = Ь- С другой стороны каждому пути т*, соответствует подело-во из подгруппы С*,, Таким образом, стоговая длина слова Т равна количеству его подслов из подгрупп С*,, Например, если Т = г1г2...г*_1гХjг*__11...г_1г_1, то

||Т || = 2(Ь — 1) + 1 = 2Ь — 1.

Лемма 7. Пусть г2,гп Е Zr, \г\г2...гп\ > Ц^Ц, % = 1, п, п > 2 Доказательство. Пусть п =2,

| гТ1 | = 1 , | гТ2 | = 1 гТ1 т*,

Т - путь т*к, причем каждый из путей состоит из одного замыкающего ребра, а(т*,) = а(т*к) = а*. Тогда слово г! имеет вид г1 = (а,а*...а.,-)91, а слово г2 = (а*,а*...ак)92,дьд2 € X.

Рассмотрим произведение г1Т = (а,а*...а.,)91_1а,а*..^- ака*...ак(ака*...ак)92_1, Слова г1 и ,22 являютея Д - несократимыми, так как длина каждого из них не превосходит половины определяющего соотношения. Предположим, что сокращение возможно на стыке слов. Тогда в представлении группы должно быть соотношение, содержащее образующие а, и ак, что невозможно, так как в этом

гТ1 гТ2

применимо К - сокращение.

| гТ1 | > 1 , | гТ2 | > 1 гТ1 т*,

Т - путь т*к. Если пути т*,, т*к не имеют общих точек кроме вершины а*, то про-

гТ1 гТ2

И, И - несократимым. При этом = Ц^Ц + Ц-^Ц-

Предположим теперь, что пути т*, и т*к имеют общий подпуть т(г, Ь) = е1...е1, |т(г,6)| < \тт{\т^\,\тгк\}. Пусть = е^.-.е^+г.-.е^е^е^.-.е^е^1 ...е21е^1, Пк = е1е2...егёг+1...ё5_1ё^ё7_11...ё^11ег_1...е2 1е]“1, Тогда произведение т^пк после сокращения будет иметь вил:

Тц'ГЦе 6\б2- ■ -б1б1-\-1.. .6t—lGxj6^_^.. .. .С3—1бук6 . .61^^61 •••62

Полученный путь является связным и несократимым,

гТ1 гТ2

Т = г1г2...ад+1...г*_1гХ} z_l1l...z-11zг_1...z__1z_1,

Слова ;'|. г2 являются П. И - несократимыми, так как состоят из подслов,

С*,

гТ1гТ2

П. К- сокращения могут быть только на стыке слов, но вследствие рассуждений, аналогичных случаю 1, можно заключить, что полученное слово П. И -несократимо.

Таким образом, ||г1г2|| > ||г*II, г = 1,2,

Далеее по индукции можно показать, что \\ziZ2---ZnW > ||^||,* 1. //. // > 2.

С

структурой; слово и> € С такое, что ||и>|| = 1, то есть ги = а|,г = 1 ,п. Тогда централизатор элемента т есть подгруппа вида С(т) = (Т г2,..., Т, а*), где Т слова, вида:

гг = г1г2...г*_1г0Гг*_1...г2 г1 (!)

где гк € С*,, подсло во г0Г соответствует замыкающем у ребру и ||гк || = т*, —

1, ЦсогН = т31 -1, дб г, к = 1,1 - 1.

Доказательство. Множество Рт состоит из путей т*, = т(г, ж) * т(ж,^’, ж) * т(ж,г),а(т*,) = ш(т*,) = а*. Так так путь т(г,ж) состоит из ребер, каждому из которых соответствует нечетное число Кокстера, то по теореме 3 образующий а* сопряжен с образующим аж. Пут и т (ж,^,ж) соответствует замыкающее ребро, значит образующий аж переходит в себя. Путь т(ж, г) = т_1(г,ж), следовательно, образующий аж переходит в образующий а*. Таким образом, слово,

т*, а*

грамму М сопряженности а| и а|, состоящая из Б — г областей, |М| = 2Ь — 1, <^(5) = <^(7) = а|, оде 5,7 - внутренняя и внешняя границы соответственно. Обозначим 5 = 51, 52,..., 52*_1 - внутренние границы областей В1, В2,..., В2*_1 соответственно, а 7 = 71,72, ...,72*_1 - внешние контуры этих областей. Каждой Б — г М С

1. Рассмотрим путь т(г,х) = т(і,іі) * т(іі, і2) * ••• * т(г*-2, х), где каждому т(г*,**+і)>& = 1,^ — 2 соответствует ребро дерева - графа с нечетным числом Кокстера.

Путь т(і, і1) содержит ребро е1 с нечетным тц1, которому соответствует Б— і область В1 диаграммы М (рис.З), ^(51) = а|, <^(71) = а|1 (лемма 3). Рассмотрим

определяющее соотношение для т**х: а|а*ха*...а*1 а* = а*1 а*...а*а|^ г1 тогда г_ 1а|г1 = а^, г_ 1а|г 1 = а”1 а|1 а“т1, а_т1 г_ ^я^а"11 = а^. Таким образом,

а* а*1

г1 = г^Щ4, Слов о г^Щ4 соответствует пути А11А12 и А12А21 в диаграмме М, где т1 € Z.

Проводим аналогичные рассуждения для путей т(г1 ,г2),...,т(г*_2,ж), получаем а*1 ~ а*2, а*2 ~ а*3,,,,, а*4-2 ~ ах, при этом любые два образующие а*к_ 1 и а*к сопряжены словом гк = гкаЩ^, являющимся меткой пути А(к_1)1А(к_1)2 и А(к_1)2Ак1-

Таким образом, пути т(г, ж), переводящим образующий а* в ах, соответствует подслово вида где Е Z,mx Е Z,i = 1,£ — 2.

2, Путь т(ж,.;,ж) содержит ребро с четным числом Кокстера т*4Х, которому соответствует Б — г область В* диаграммы М, <^(5*) = ^(7*) = а£. Рассмотрим определяющее соотношение для т*4Х: а*4ах...а*4 ах = ах а*4аж...а*4, тогда

^0 ^0

г0 = а__5г0а£, откуда а™1 г_Ца^г0ажтх = а£, где д € Значит образующий ах переходит в себя при помощи сопряжения словом г0 = г0а__т'Х, которому соответствует путь А41А42 и А*2 А(4+1)1 в диаграмме М,

3, Путь т(ж, г) = т_1(г, ж), следовательно, проводя аналогичные рассуждения

как и на 1 шаге, образующий ах сопряжен с а* словом

_ 1 —т!0 _ 1 —т!л _ 1 / л?- • 1—;--Т

г*— 1а*—2 ...а*2 2г2 а*1 1 г1 ,т* € ^,г = М — 1.

Таким образом, слова а| и а| сопряжены словом

г' = г1атт1 г2атт2 ...^а^ ^ о,™4 ^л...^™2 г2ч™1 % \ (2)

являющимся меткой пути ^(г;) = ^(А11А12 и А12А21 и ... и А(*_ 1)2А*1 и ... и ^4(2*-1)1^4(2*_1)2), ГДе тг £ Z,mx Е Z,m,i Е Z,m,x Е Z, г = 1, ^ — 1 в диаграмме М.

Проведем следующие преобразования, сделаем вставку членов г*^11г*_1 и г^г*—1 в (2), получим:

/ т<1 т2 т —1 Ц —1 —тХ —1 ——1 ——1 лг

г' = ^-1***аг2 г2 % ^ ■ Учиты-

вая, что г4"111атх г*—1 = аЩ^, получим

/ т1 т2 т-4— 2+Шх Ц —1 _ш4—2_тх —1 _ш2 _1 _ш1 —1

Вставляя последовательно члены вида, г~1 ^ и / 2. 1. получим в

/ т1+т2+...+т^ 2+тХ ц _1 _1 _1 _(т'1+т2+...+т4_ 2+т^) _

итоге г/ = а* + 4 Х г1г2...г*_ 1г0 г*_11...г2 1г1 1а* 1 2 4 2 .Тогда,

я / / я

учитывая а| г = г а|, имеем

З+У' тг Ц _1 —1 —1 —^ У)тг Ц —1 —1 _1 _Е

а* г1 г2...г*_ 1г0г*_ 1...г2 г1 а* г = а*^ г1г2...г*_ 1г0г*_ 1...г2 г1 а* г

а*

~ Ц —1 —1 —1

гг = г1г2...г*_1г0гг*_1...г2 гг .

Заметим, что диаграмма M сопряженности слов af и af примет вид такой, что, если б* и ei+1- два последовательных ребра, соответствующие S—i областям Д и Di+i, то а;(е*) = а(ет),г = 1,4-1.

Покажем теперь, что произвольное слово, принадлежащее централизатору слова единичной слоговой длины представимо в виде (1).

Пусть w = af, z G C(w), то есть выполнено равенство zafz-1 = af.

Поставим в соответствие слову z путь p = б1б2...б^, где б1,б2,...,б4 - ребра дерево-графа. Заметим, каждому ребру у которого a(ek) = ah,w(ek) = a/, имеющему нечетное число mh/, соответствует слов о вида, zk = a/ah...ah. При этом a(p) = a(e1) = w(p) = w(et) = a*. Среди ребер б1, б2,..., et есть хотя бы одно ребро с четным числом Кокетера (так как в противном случае выделится петля в дерево-графе), которому соответствует слово вида, z^, q G Z,

Если длина пути p = что слово z имеет требуемый вид. Пусть

|p| = t и пусть б* - ребро, которому соответствует четное число Кокетера. Тогда преобразуем путь p следующим образом: p = e162...ei(6-_11...6-16162...6i-1)6i+1...6t, где б-_11...б-1 - кратчайший путь до вершины, соответствующей образующему a*, не содержащий взаимно обратных ребер. В результате данных преобразований получим путь p0, который будет иметь вид;

p0 = (б1б2...бгбг-11...б1 1)б1 ...ei-1ei+1 ...et.

При этом ^(б1б2...бгб“_11...б-1) = z1; где z имеет требуемый вил. Рассмотрим nvTbp1 = 6162...6i-16j+1...6^ при этом |p1| < |p|. Таким образом, из индуктивного предположения о том, что ^(p1) имеет требуемый вид, следует, что слово ^(p) =

z

Обозначим через Cw (w) централизатор эле мента w, полученный из C (w)

w

Лемма 8. Пусть G - конечно порожденная группа Артина с древесной

структурой; слово w G G такое, что ||w|| = 1,w = af, C(w) - централизатор

элемента w. Тогда, группа Cw (w) является, свободным произведением цикличе-

i

ских групп и C(w) = (a) х Cw(w), где Cw(w) = П *(Z)•

r=1

Доказательство леммы следует непосредственно из теоремы 10.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Appel К., Sehupp P. A и in groups and infinite Coxeter groups // Invenf.Math, 1983. V.72. P. 201 - 220.

[2] Линдон P., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир,1980.

[3] Без верхний В. Н. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика.1999. Т. 5. №1. С. 1 - 38.

[4] Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Известия ТулГу, Сер, Математика, Механика, Информатика, 2006г. Т, 12, Вып. 1, С, 67 — 82,

[5] Безверхний В, Н,, Карпова О, Ю, О кручении в группах Артина с древесной структурой // Известия Ту.Л'у. Естественные науки, 2008, Вып. 2, С, 6 - 17.

[6] Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой. // Чебышевекий сборник. Тула: ТГПУ, 2008. Т. 9. Вып. 1(25). С. 30 - 50.

[7] Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой // Известия ТулГу. Естественные науки. Вып. 3. — Тула: Изд-во ТулГу, 2008г. С. 42 — 59.

Новомосковский филиал НИРХТУ им. Л И. Менделеева.

Поступило 13.10.2010