О строении окрестности кусочно-гладкой орбиты Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2011. Вып. 4

УДК 517.925.42 А. М. Камачкин

О СТРОЕНИИ ОКРЕСТНОСТИ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ОРБИТЫ

1. Введение. Целью этого исследования является получение условий устойчивости периодического решения системы дифференциальных уравнений п-го порядка с неоднозначной правой частью. Рассмотрим систему, описываемую математической моделью:

У = Г (У). (1)

Здесь У € Еп+1, Г (У) - нелинейная неоднозначная функция фазовых координат такая, что траектории системы сшиваются по непрерывности на гиперплоскостях (Г, У) = /*, г = 1, г>1, где Г € Еп+1 - постоянный вектор, (*, *) - скалярное произведение векторов. Иными словами, динамика системы определяется системами

У = ^(У), к = Т^Г2, (2)

в которых функция Г (У) - дважды непрерывно дифференцируема в соответствующей области Ск пространства Еп+1, ги2 ^ «1. При этом пространство Еп+1 разбивается гиперплоскостями (Г, У) = ^ на конечное число областей С к.

Если изображающая точка достигает поверхности переключения (Г,У) = 1^, то в таких точках этой поверхности меняется правая часть системы (2). Последовательность правых частей {Г (У)} определяется конкретным заданием функции Г (У).

Пусть последовательность {ГЦУ)} и свойства функции Г(У) таковы, что система (1) имеет периодическое решение с периодом Т, которому соответствует в Еп+1 орбита М, и известны точки пересечения орбиты М и гиперплоскостей (Г,У) = I*. Предположим, что таких точек конечное число. Задача состоит в изучении асимптотических

свойств орбиты М, например требуется установить является ли решение, соответст-

вующее орбите, орбитально устойчивым.

Изучению окрестностей периодических орбит, отвечающих решениям систем обыкновенных дифференциальных уравнений при п > 2, посвящено много классических работ [1-6]. Для систем вида (1) издавна применяется метод припасовывания, но из-за склейки кусков траекторий на поверхностях переключения трудно установить факт сжатия вдоль фазовой траектории периодического решения при п > 2.

Следует отметить, что особенно в последние годы методы компьютерного моделирования систем со сложным поведением траекторий стали обычным инструментом

Камачкин Александр Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 84. Научные направления: математическое моделирование, теория автоматического управления, теория нелинейных колебаний, динамические системы. E-mail: akamachkin@mail.ru.

© А. М. Камачкин, 2011

анализа, но при этом задача тщательного аналитического исследования таких систем не снимается [7].

2. Существование периодических решений и их свойства. В качестве примера систем вида (1), у которых существуют периодические решения, рассмотрим систему

У = АУ + В/(а), (3)

где У Є Еп; А—(ихи)-матрица; а = (Г, У), В и Г Є Еп; функционал /(а) удовлетворяет условию /(а) = Ш2 при а > її и /(а) = ш\ при а < І2, її < 0 < І2, тї < 0 < т-2, т. е. описывает релейный гистерезис с обходом против часовой стрелки и является моделью двухпозиционного реле [5, 8, 9].

Для дальнейших целей нам нужны не просто периодические решения систем вида (1) и, в частности, (3), а такие, которые, по крайней мере, в некоторых окрестностях точек переключения правых частей данных систем, обладают свойством трансверсальности, т. е. пересекают без касания гиперплоскости, пересекающие эти окрестности и параллельные поверхностям переключения. Сформулируем результаты, касающиеся систем вида (3) и гарантирующие выполнение такого требования.

Следует отметить, что системы вида (3) давно исследуются аналитическими методами (см., например, [2, 5, 10-14]), что позволило выяснить чрезвычайно сложную динамику этих систем, зависящую от параметров А, В и Г. Рассмотрим сравнительно недавние результаты изучения систем (3), дающие достаточные условия существования различных периодических решений с нужными свойствами.

Утверждение 1 [15]. Пусть в пространстве состояний система уравнений описывается управляемой и наблюдаемой моделью вида (3) при и = /(а), где Ії = — 1, І2 = 1, тї = —1, т2 = 1. Эта система имеет унимодальную периодическую орбиту с по-лупериодом Т тогда и только тогда, когда х(Т) = 0 и ф(€) > 0 при 0 <і < Т, где

х(Т) = 1 + Г (I + еАТ )-їА-ї(еАТ — 1)В,

ф(г) = 1 + Г [еАіУо + А-ї(ем — I )В], (4)

Уо = —(I + АТ )-ї А-ї(еАТ — I )В.

Здесь Уо - точка переключения на плоскости (Г,У) = —1. Кроме того, такая унимодальная периодическая орбита является изолированной, если

N (еАТ — I) П N (Г ) = {0}, (5)

где N (о) - нуль-пространство соответствующей матрицы. Когда (5) не выполняется, существует континуум периодических орбит.

Унимодальными называются орбиты, имеющие только две точки переключения. Устойчивость орбит, о существовании которых здесь утверждается, может быть показана только при условии, что орбита достигает поверхности переключения трансверсально.

Утверждение 2 [16]. Предположим, что матрица А-гурвицева, (Г, В) = 0, выполняются условия —ГТА-їВтї > І2 и —ГТА-їВт2 < Ії. Пусть существует ц Є (0,1) такое, что точки переключения У3 каждого из асимптотически орбиталь-но устойчивых периодических, с двумя точками переключения, решений системы (3) удовлетворяют неравенствам

Гт{АУа + Вт) ^ 9

(\\Г\\\\А¥э + Вт,\\) >М’ *

тогда система (3) имеет конечное число таких решений.

Аналогичный результат получен и для решений с 2ц точками переключений, ц < N [16]. Отметим также, что в условиях утверждения 2 для системы (3) существует, по крайней мере, одно унимодальное периодическое решение [12].

Далее мы будем исследовать окрестности орбит систем вида (1) или (3) при условиях, когда эти системы имеют конечное число изолированных орбит, обладающих свойством трансверсальности, хотя бы в некоторой окрестности каждой точки переключения этой орбиты.

3. Специальная замена переменных и вспомогательная система дифференциальных уравнений. Сведем задачу об орбитальной устойчивости периодического решения систем вида (1) к установлению устойчивости нулевого решения некоторых систем дифференциальных уравнений, которые получаются из исходной системы введением специальной системы координат в окрестности периодической орбиты в каждой области Ск.

Для изучения вопроса об устойчивости периодического решения в случае неменяю-щейся правой части системы (2) В. И. Зубовым была предложена специальная замена переменных [5, 6]. В уравнениях движения размерности п +1 переменные выбираются так, что п из них являются пространственными, а (п + 1)-ная - фазовой переменной. Пространственные координаты показывают положение изображающей точки некоторой кривой в секущей плоскости, которая движется в одной фазе с изображающей точкой на исследуемой кривой и ортогональна вектору производной в этой точке (т. е. касательному вектору к такой кривой в данной точке). Фазовая координата определяет относительное смещение по фазе на траекториях, расположенных в достаточно малой окрестности изучаемой замкнутой траектории. В результате замены переменных исходная система уравнений разделяется на две, первая из которых позволяет судить о фазовой устойчивости, а вторая - устанавливать орбитальную устойчивость по отношению к пространственным координатам. В силу этого, периодическое решение исходной системы будет устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда оно обладает как орбитальной, так и фазовой устойчивостью [5, 6].

Рассмотрим модификацию предлагаемого подхода с учетом особенностей системы (2). Возьмем некоторую область пространства С к, обозначим Мк проходящую через нее часть периодической орбиты, которой соответствует решение У = Фи (У) системы (2), отвечающее правой части Гк (У). Очевидно, что в области С к можно действовать так же, как в методе В. И. Зубова, но в окрестностях точек склейки периодической орбиты введенная им система координат не может быть по непрерывности продолжена в следующую область Ск+1.

В методе В. И. Зубова [5, 6] гиперплоскость Р4, проходящая через точку Фк(£), при фиксированных £ определяется уравнением

(У — Ф(£),гк(г)) = 0,

где Гк (£) = Г (Фк (£)). Это нормальная гиперплоскость к дуге Мк, проходящей через точку Фк (£). Обозначим множество точек У, лежащих на Рг и принадлежащих 5-окрестности дуги Мк — Б(Мк, 5), через Q^. Точка Фк(£) также принадлежит Q^. При этом число 5 выбирается так, чтобы множества Qt не пересекались при тех £, для

которых {Фк(£)} С Ск. Пусть Ск лежит между гиперплоскостями Гк = (Г,У) = 1к

и Гк+1 = (Г, У) = 1к+1 и Ь € \Ьк,Ьк+1\. Пусть положению изображающей точки на Гк соответствует Qo, возьмем на Qo точку Уо и число Ь € [0, Т\, где Т - период решения с орбитой М, также Ь € \Ьк,Ьк+1\. Если величина р(У0,Фк(Ь)) достаточно мала, то интегральная кривая У = У(Ь,Уо) пересечет впервые Qt в момент времени

т = то(Ь, Уо). (6)

Z (Ь) = У (т,Уо) — Фи (Ь) ()

Следовательно, вектор лежит в Qt и

^ (Ь),Щк(Ь))=0. (8)

Дифференцируя (6) и (8) по Ь и учитывая (7), получим

Л {Рк{г+ Фк{Ь),Рк^)У № _ ГІ(Ь) — (^,Ри(Ь))

(9)

1, (т? (7 I (+\ р /.\\FkiZ + Фк(Ь)) - Рк(Ь). (10)

аь (Гк(я + Фк (г),щг))

Равенство (8), вообще говоря, не будет выполняться в точках Фк (Ь), достаточно близких

к гиперплоскости Гк+1. Пусть это имеет место на промежутке [1<к,Ьк+1\, где 1°к > Ьк,

тогда на нем рассмотрим равенство

^ (±),П(±)Гк (£))=0, (11)

где матрица П(Ь) является непрерывно дифференцируемой и неособой на [£<к,^к+1\ и такой, что

■ СК Рк{ік) _ Рк{ік) . . Pfc(tfc+1) _ Гк+1

“ \\FMr [к+і)\\Рк(ік+1)\\ НА

1цк II II Гк\Ьк) II II Ьк+ї) II II Гк+ї II

Такую матрицу П(Ь) в дальнейшем будем называть матрицей поворота.

Тогда используя (11), для определения функций т и Z получим новую систему уравнений

Лт (Гк (Ь),П(Ь)Щк (Ь)) — ^,П(Ь)¥к (Ь) +П (ЬЩ (Ь))

ЛЬ (Щк (Ь),П(Ь)Щк (Ь))

dZ Гк (Ь), п(Ь)Щк (Ь)) — ^, П(Ь)Гк (Ь) + п (Ь)Гк (ь))

(12)

х

ЛЬ (Щк ^ + Фк(Ь)),П(Ь)Щк (Ь))

хЩк (2 + фк(Ь)) — П (Ь)Щк(Ь). (13)

Теперь для систем (9), (10) и (12), (13) введем вспомогательную систему координат. Введем на гиперплоскости Рі новую систему координат с началом в точке Фк(Ь)

и единичными ортами Вї(Ь),..., Вп(Ь), которые являются непрерывными функциями. В качестве орта Вп+ї(Ь) берется вектор, касательный к кривой в точке Фк(Ь), т. е. Вп+ї(Ь) = Щк(Ь) Ц Щк(Ь) ||-ї. Построим матрицу преобразования В(Ь), у которой строки составлены из компонентов векторов Вї(Ь),..., Вп(Ь). В новой системе обозначим координаты точки У через X = (хї,..., хп+ї), тогда У = Фк(Ь) + В(Ь)Х и

X = ВТ (Ь)[У — Фк (Ь)] = ВТ Z. (14)

Сделаем, используя (14), замену искомых функций в системе (13), тогда

" *д?)г + ВЧ„§. (15)

аъ аъ аъ

Тогда из (13) и (15) получим

сIX _ <1ВТ(Ъ)

аъ аъ

В(Ъ)Х + Вт (ъ)

П(Ъ)Рк(Ъ)) - (В(Ъ)Х, П(Ъ)Рк(Ъ) + П{Ъ)Рк{Ъ)) (Рк(В(Ъ)Х + Фк(Ъ)),П{Ъ)Рк(Ъ))

хРк(Рк(В(ъ)Х + Фк(ъ)) - П(ъ)Рк(ъ)

(16)

Если нас интересует вопрос только об орбитальной устойчивости рассматриваемой периодической орбиты, то уравнение (12) можно не рассматривать, кроме того, можно ограничиться исследованием поведения интегральных кривых исходной системы, которые проходят при ъ = ъ°к через Q^, так что считаем, что начальное значение хП+1 = 0, а следовательно, хп+1 = 0 при ъ > ъ<к. Таким образом, в системе (16) в векторе X компонента хп+1 = 0.

Очевидно, что неравенство (8) не будет выполняться в точках Фк(ъ), достаточно близких к гиперплоскости Гк . Тогда аналогичные построения необходимо провести для промежутка [ък,ъ'к\, где ъ'к < ък+1. Следовательно, получим систему, аналогичную системе (16); далее систему вида (16) при ъ € \ък,ъ'к\ будем обозначать (16'); в ней используется вспомогательная матрица-функция, такая что

/7(7 \ ^к(Ък) _ Гк . Ек(Ък) _ Рк(Ък)

и1*Ц**)11_11 А Г [ к>\\Рк(ъ'к)\\- \\Рк(ъ'к)\\-

Причем матрица П(ъ) является непрерывно дифференцируемой и неособенной на [ък, ъ'к \.

Таким образом, гладкая дуга Мк разбивается на три участка, которые соответствуют промежуткам [ък,ъ'к\, [ъ'к,ъ<к\, \ъ°к, ък+1\. На промежутке [ък,ъ'к\ окрестность дуги Мк изучается в силу системы (16'), на [ъ'к, ък_\ - в силу системы (10), на \ъ0к, ък+1\ - в силу системы (16).

4. Изучение орбиты в целом. Рассмотренные построения могут быть проделаны в любой области С к, которая содержит частичную дугу Мк периодической орбиты М. Для того чтобы это было возможно, должны существовать матрицы типа П(ъ), моменты времени ък и ък, матрица преобразования В(ъ). Что касается матрицы преобразования В(ъ), которая строится в каждой точке ъ € [0, Т\, то она является непрерывно дифференцируемой везде, кроме точек склейки конечного числа дуг Мк. В каждой точке, которая не является точкой склейки, по вектору Рк(ъ) строится система попарно ортогональных и непрерывно дифференцируемых векторов В1(ъ),В2(ъ),..., Вп +1(ъ) на каждом \рк, ък+1\. Из них составляется матрица В(ъ), которая по построению является ортогональной матрицей при каждом ъ € [ък,ък+1 \.

Утверждение 3. Для того чтобы периодическое решение Ф(ъ) системы (2) было орбитально устойчивым, достаточно, чтобы при Ук вдоль дуг Мк осуществлялся последовательно процесс сжатия в силу решений систем вида (16'), (10), (16).

Рассмотренный подход решает задачу построения функции Ляпунова в каждой точке периодической орбиты М относительно расстояний от периодической орбиты

до точек любой исследуемой кусочно-гладкой траектории, т. е. речь идет о «сшивании» функции Ляпунова по непрерывности вдоль кусочно-гладкой периодической орбиты М исходной системы. Без введения вспомогательных функций вида П(ъ) в окрестностях точек переключения такое «сшивание» было бы в общем случае невозможно.

5. Матрица поворота. Для того чтобы продемонстрировать способ построения матриц вида П(ъ), используем традиционный подход к построению окрестности периодического решения, т. е. без введения матрицы В(ъ). Такой подход преобразует исходную систему уравнений в систему, позволяющую судить лишь о том, как ведут себя проекции интегральных кривых исходной системы на нормальной гиперплоскости Р4, меняющую положение в пространстве и связанную с изображающей точкой, которая движется вдоль периодической орбиты. Итак, рассмотрим систему вида (3). Если в ней существует стационарное колебание, то его орбита состоит из кусков траектории системы вида

X = АХ + Вшг, г = 1, 2. (17)

Пусть выполняются условия утверждения 1 или 2.

Предположим, что существует периодическое решение системы (3) с двумя точками переключения: X0 на гиперплоскости (Г,Х) = /1 и X0 на (Г,Х) = /2. Пусть траектория системы (3), в силу уравнения (17), при т 1 соединяет точки X0 и Х°. Этой траектории соответствует решение Х = Ф1(ъ), тогда система в вариациях относительно решения X = Ф1(ъ), в силу линейности системы (17), примет вид X = АХ (если снова вернуться к старым обозначениям текущих координат через Х). Сделаем замену переменных по формуле X = П(ъ)У, где матрица П(ъ) на соответствующем промежутке непрерывно дифференцируема, тогда переходим к системе вида

У = П-1(ъ)АП(ъ)У — П-1(ъ)П(ъ)У, (18)

т. е. (18) - это система в вариациях после указанной замены переменных.

В системе X = АХ + Вт1 сделаем замену X = X — А-1Вт1, тогда приходим к системе X' = АХ. Если (Г,Х) < /2, то (Г, [X — А-1Вт1 \) < /2 и (Г,Х) < 12 + (Г, А-1т1) = /2. Тогда если (Г,Х) = 12, то (Г, X) = 12; для (Г,Х) = 11 имеем (Г,Х) = 11 + (Г, А-1т1) = 11.

Пусть гиперплоскости Г1 соответствует уравнение (Г,Х) = /1, а Г2 - уравнение

(Г, X) = 12, точки переключения периодического решения X0 € Г1, X0 € Г2. Будем

считать, что траектория периодического решения не выходит из зоны неоднозначности функционала /(а), (Г, АХ10) > 0 и для любой точки X дуги М1, соединяющей точку X0 с точкой X0, выполняется условие (Г,АХ) > 0 (т. е. условие трансверсальности). Рассмотрим окрестность точки X10 и введем матрицу П1(ъ), исходя из условий

г ^, АХ0 , , аХс аХс

и---м = П\&о)----, ПЛ1С)---------~~, (19)

I\Г\\ || АХС II II АХС II ^ ;

т. е. П1(ъс) = Е. Предположим, что

П1(ъ) = (20)

где ъс - время перехода изображающей точки из положения X0 в положение Хс

из окрестности точки X0 в силу уравнения X' = АХ, т. е. АХс = АвМсX0, тогда

из первого равенства (19) для определения ъс при ъ0 = 0 получаем трансцендентное уравнение

ІАШ{ЦА-іє-м.г)=^ (21)

Если Ьс > 0 и Ьс меньше времени перехода из точки Хо в точку Х°, то для [0,ЬС]

построена матрица Пї(Ь) = еА(іс-і).

Рассмотрим теперь окрестность точки Х2° и примем точку Хс, принадлежащую этой окрестности и дуге Мї, за начальную точку, т. е. при Ьо = 0 Х = Хс, тогда Х2 = вАісХс. Выберем матрицу П2(Ь) из условий

^ ч лХс аХс ^ , т ^ , лХ°о Г

П2(іо)--------------------------------------~— —--~—і т* 6. П2(Ъо) — її П2(^с)-~- — ті----л-• (22)

|| АХС || || АХС || 2У0) ’ || АХ° || || Г || у >

Предположим, что

П2(Ь) = вм, (23)

тогда при Ьо = 0 П2(0) = I. Из второго равенства (22) для определения величины Ьс

получаем трансцендентное уравнение

І^Щі(Г,А-1є-а^Г)=Ї2. (24)

Если Ьс > 0 и Ьс < Ьї, то П2(Ь) = вАі для Ь Є [0,Ьс].

Таким образом, формулы (20) и (23) задают матрицы поворота на соответствующих промежутках.

В качестве величины Ьс выбираем наименьшие решения уравнений (21) и (24), удовлетворяющие неравенству 0 < Ьс <Ьї.

Обозначим Ьс, найденное из уравнения (21), Ьс = Ь'с, а Ьс, определенное из (24), Ьс = Ь'с,. Дуга Мї соответствует промежутку времени [0, Ьї], следовательно, должно выполняться неравенство 0 < Ь'с < Ьї — Ь', < Ьї. Тогда на \0,Ь'с] рассмотрим систему в вариациях

У = [П-ї АПї — П-ї Тії ]У, (25)

на [Ь'с,Ь]_ — Ь'с,] - систему

на [Ьї — Ь'с,Ь]_] - систему

У = АУ, (26)

У = [П-1АП2 — П-1 П2\У. (27)

Для сжатия, в силу систем (25) и (26), вдоль кусков траектории, соответствующих промежуткам [0,ъ'с\ и [ъ'с,ъ1 — ъ''\, достаточно, чтобы вещественные части всех собственных чисел матрицы А были отрицательными, при этом все решения системы (27) являются устойчивыми.

Пусть время перехода из точки Х2 в точку X0 равно ъ2, т. е. ъ2 - время возвращения в точку Х1 по дуге М2, тогда период решения ъ1 + ъ2 = Т. При сохранении условия

трансверсальности в окрестности точки Х2 находим значение ъ'с при П = П1(ъ), а в окрестности точки X0 - значение ъ'' при П = П2 (ъ), соответственно из уравнений (21) и (24). Промежуток [0,ъ2\ разбивается на три промежутка, как и [0, ъ 1 \.

Переобозначим, согласно с рассматриваемой дугой М^ (г = 1, 2), решения уравнений (21) и (24):

0 <ъ'сЛ < и — ъ'Ь <и, г =1, 2. (28)

Таким образом, теперь можно сформулировать следующее утверждение, касающееся системы (3).

Утверждение 4. Пусть параметры A, B, Г системы (3) таковы, что она имеет, по крайней мере, одно унимодальное периодическое решение, обладающее свойством трансверсальности в окрестностях точек переключения, тогда это решение будет орбитально устойчивым, если матрица A-гурвицева и существуют решения t'd и t"ci (i = 1, 2) уравнений (21) и (24), удовлетворяющие неравенствам (28).

Отметим также, что условия (4) в утверждении 1 и условия утверждения 2, накладываемые на параметры A,B и Г, определяют лишь два множества, которые имеют непустое пересечение в пространстве этих параметров.

6. Заключение. В работе были рассмотрены унимодальные периодические решения или решения с двумя точками переключения, которые нам каким-либо способом удалось найти, хотя в системах вида (3) могут существовать периодические решения и с большим числом переключений [15, 16], тогда в каждой области непрерывности Gk необходимо производить приведенные выше построения.

Литература

1. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гос. изд-во теор.-техн. лит., 1947. 447 с.

2. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гос. изд-во теор.-техн. лит., 1951. 216 с.

3. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы / пер. с англ. Е. М. Ливенсона; под ред. А. А. Маркова и др. Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1999. 407 с. (Birkhoff G. D. The dinamical systems.)

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

5. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 632 с.

6. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979. 400 с.

7. Зубов И. В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физматлит, 2003. 224 с.

8. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 271 с.

9. Macki W., Nistri P., Zecca P. Mathematical models for hysteresis // SIAM Rev. 1993. Vol. 35, N 1. P. 94-123.

10. Нелепин Р. А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л.: Судостроение, 1967. 447 с.

11. Astrom K. J. e. a. Recent advances in relay feedback methods -a survey // Proc. IEEE Conf. Systems, Man and Cybernetics. 1995. Vol. 3. P. 2616-2621.

12. Камачкин А. М., Михеев С. Е., Евстафьева В. В. Модели колебаний в нелинейных системах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та, 2004. 194 с.

13. Leonov G. A., Burkin I. M., Shepeljavyi A. I. Frequency methods in oscillation theory. Mathematics and Its Applications. Norwell, MA: Kluwer, 1996. 403 р.

14. Зубов Н. В., Зубов С. В. Математические методы стабилизации динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 286 с.

15. Varigonda S., Georgiou T. T. Dynamycs of Relay Relaxation Oscillators // IEEE Transactions on automatic control. 2001. Vol. 46, N 1. P. 46-77.

16. Каменская С. А. Анализ и стабилизация систем с релейным гистерезисным управлением: автореф. дис. на соискание учен. степени канд. физ.-мат. наук. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та, 2006. 21 с.

Статья принята к печати 19 мая 2011 г.