Периодические орбиты одного класса релейных свободных осцилляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ПЕТРОЗАВОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Март, № 2 Физико-математические науки 2014

УДК 681.5

АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ КАМАЧКИН

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики факультета прикладной математики - процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет (Санкт-Петербург, Российская Федерация) akamachkin@mail. ru

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ ОДНОГО КЛАССА РЕЛЕЙНЫХ СВОБОДНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Изучается окрестность кусочно-гладкого решения системы автоматического управления с релейным гистерезисом в контуре обратной связи. Получены достаточные условия трансверсальности траекторий, изолированности периодических решений и орбитальной устойчивости периодических решений.

Ключевые слова: периодическое решение, трансверсальность траектории, орбитальная устойчивость

ВВЕДЕНИЕ

Системы автоматического управления, содержащие релейный гистерезис в контуре обратной связи, известны давно и широко используются в настоящее время [8], [9]. Они исследовались как приближенными, так и аналитическими методами, но до сих пор многие вопросы динамики таких систем далеки от своего решения. В частности, не решен вопрос о разбиении пространства параметров этих систем на области различного динамического поведения. Продвижению в направлении решения этого вопроса аналитическими методами и посвящена данная работа.

Рассмотрим систему автоматического управления

X = AX + Bu , (1)

где u = /(о), о = (Г, Х), X е E постоянные векторы В, Г е En, A - (пхп) - постоянная вещественная матрица; (Г, Х) - скалярное произведение векторов Xи Г (Г Ф 0);/(о) - нелинейная неоднозначная функция, характеризующая нелинейный элемент систем:

f(a) = h ПРИ -*<СТ<*2’ (2)

v ' \m2 при £1 <а<+ю,

где m1 < 0 < m £1 < 0 < 12. Гистерезисная нелинейность релейного типа (2) вводится при математическом описании систем автоматического управления, если имеет место пространственное запаздывание управляющих механизмов. На плоскости (/ о) гистерезисная петля обходится против часовой стрелки. Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части (Re Xi < 0), (Г, В) Ф 0 и выполнены условия:

-(, ABmj )> 12, -(Г,ABm2)< ). (3)

Любая траектория системы (1), (2) состоит из кусков траекторий системы вида

X = AX + mtB (i = 1, 2). (4)

В фазовом пространстве точки «сшивания» этих кусков принадлежат поверхностям переключения (г, X) = Ii (i = 1,2), и, в частности, периодический режим может состоять из двух кусков траекторий в силу разных систем (4) (так называемая унимодальная периодическая орбита).

ОКРЕСТНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ

Обозначим M орбиту периодического режима в фазовом пространстве.

Решение системы (1), (2) - вектор-функция X(t, X0, m.), заданная и непрерывная при t > 0, X(0, X0, m.) = X0. Если (Г,X0) = ix, то эта векторфункция удовлетворяет равенству X0 = X(a>, X0, m) где X0 е M, ш - период решения соответствующего M, ш = t1 + t2 (t1 - время, соответствующее движению от одной гиперплоскости переключения до другой в силу (4) при i = 1, а t2 - время при i = 2). Функция X(t, X0, m) - дифференцируемая по t для всех t е (0, t1) и всех t е (t1, t1 + t2), поэтому в окрестности всей орбиты M невозможно рассматривать приведенную систему [1] системы (1),

(2). Действительно, построим гиперплоскость P, проходящую через X(t, X0, mi) при фиксированном t и определяемую уравнением

(X -X (t,X0,mi),X(t,X0,mi)) = 0 , (5)

где X е E Гиперплоскость является нормальной гиперплоскостью к кривой, определяемой X(t, X0, mi), при данном фиксированном t. На Pt можно ввести систему координат, выбрав в качестве ее начала точку X(t, X0, mi), а в качестве единичных ортов осей - попарно ортогональные и непрерывно дифференцируемые

© Камачкин А. М., 2014

114

А. М. Камачкин

векторы. Таким образом, переходим к исследованию окрестности траектории методами теории устойчивости [2]. В силу условий, наложенных на матрицу A, можно утверждать, что любая траектория X(t, X m) в силу системы (4) является асимптотически орбитально устойчивой. Именно из кусков этих траекторий составлена периодическая орбита M. Обозначим эти куски M(X m1) и M(Xn, mX Обозначим р(X,M) = inf IX - Y\I,

S(M, e) = {X: X e En, p(X, M) < e), S(M, e) - e -окрестность траектории, e > 0. Очевидно, что в точках переключения периодического режима воспользоваться изложенной методикой нельзя.

По аналогии с непрерывным случаем решение X(t, X m), которое соответствует орбите M, будем называть орбитально устойчивым, если для произвольного e > 0 существует такое S = S(e) > 0, что для любого X e S (M (X0, mi) ,S) при t > 0 будем иметь X(t, X, mt) e SyM(X0, mt .

Обозначим через X1 и X02 точки переключения периодического режима и (г,X0 ) = £, (г, X0 ) = £ 2. Ясно, что строить гиперплоскости Pt для исследования окрестности можно до тех пор, пока множество Sp = S(M(X0, m), S) n Pt имеет не более одной общей точки с (Г, X ) = £ г Обозначим S'p множество, имеющее одну общую точку с (Г, X ) = £. При этом можно считать, в силу вида системы (1), (2), что между S'p и соответствующей гиперплоскостью (Г, X ) = £; точки, принадлежащие периодическому режиму, могут быть представлены так:

X = X0 +1 (A X0 + m в)+о (It\), j = 1, 2,

где t принадлежит некоторой достаточно малой окрестности точки t = 0. Тогда, если выполняются в точках переключения следующие неравенства:

\гт (AX0 + m. B)| ГТ (AX0 + m2B)|

Q = -----\------------Г ^ - Ti--------------w

||Г|| AX02 + m. B ||r|||AX02 + m2B

\ГТ (AX0 + m2 B)| ГТ XX0 + m.B)|

N. = - ji-------------т ^ -\----------------т

11Г1 AX0 + m2 B ||r||||AX0 + m. B

= Q2,

= N2,

(6)

то периодический режим (или, иначе, орбита M) соответствует орбитально устойчивому решению системы (1), (2).

Условия (6) имеют прозрачный геометрический смысл, но в общем случае могут и не выполняться.

Пусть неравенства (6) не выполняются. Воспользуемся тем, что в окрестностях типа S(M(X0, m), S) вдоль траекторий M(X0, m1) и M(X0, m2) имеет место сжатие в плоскостях типа Pt. Обозначим в равенстве (5) Z=X-X(t, X m) Рассмотрим матричное уравнение ATV + VA = -W,

где V и W - постоянные симметрические матрицы, при этом V(Z) = ZTVZ и W(Z) = -ZTWZ - соответственно положительно определенная и отрицательно определенная формы.

Обозначим a = min1 k(V), a1 = max1 k(V) и

b = min 1 k (W), b1 = max 1 k (W), тогда в силу условий, наложенных на A, имеем 0 < a < a 0 < b < by Используя неравенство (6) и свойство экспоненциального сжатия вдоль траекторий, получаем, что для орбитальной устойчивости периодической траектории M должно выполняться неравенство

11 и a и и

Z„ >-L e-^N N2 Qi Q2 ZJ , a

где a = b2 (a1) ', Z0 - начальный вектор в некоторой нормальной гиперплоскости, содержащей множество вида S'p, то есть Z0 лежит в этом множестве. Таким образом, должно выполняться неравенство:

a1a-^e-awNlN2QlQ2 < 1. (7)

Предложение 1. Если у системы (1), (2) все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части, (Г, В) Ф 0 и выполняются неравенства (3), (6) или (3), (7), то периодический режим с двумя точками переключения является орбитально устойчивым периодическим решением системы (1), (2).

Отметим, что числа a, a1, b, b1 находятся не однозначно и зависят, например, от выбора матрицы W Кроме того, как правило, легче проверить выполнение неравенства (6) в некоторых множествах, содержащих точки переключения и непрерывно отображаемых в себя в силу решения системы (1), (2). Взяв в одном из этих множеств начальное приближение точки переключения, можно получить в силу системы (1),

(2) итерационный процесс, сходящийся к этой точке. Поэтому надо проверять неравенства

(6) в некоторых окрестностях точек X0 и X2. Из приведенных рассуждений следует, что мы рассматриваем изолированную периодическую траекторию, в окрестностях точек переключения которой траектории системы (4) не касаются, по крайней мере, одновременно гиперплоскостей переключения (Г,X) = £i (i = 1, 2).

ИЗОЛИРОВАННОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ

Обсудим условия изолированности орбит и свойство трансверсальности, то есть когда траектории системы, например вида (4), не касаются гиперплоскостей переключения. Условия касания траекториями поверхностей переключения: ГТ (AX + m В) = 0, i = 1, 2, откуда получаем:

rrAX = -rTmВ, i = 1, 2. (8)

Уравнение (8) - это уравнение гиперплоскости. Если ГТВ Ф 0, то в точках X на

Периодические орбиты одного класса релейных свободных осцилляторов

115

(Г, X) = £i (i = 1,2 нет одновременного касания в силу обеих систем (4), если m Ф m Таким образом, получаем уравнения прямых, лежащих на (Г, X) = £i (i = 1,2 и таких, что в точках этих прямых выполняется условие (8), то есть:

| ГТХ = £ j (j = 1,2),

\ГТАХ = -ГТВт1 j = 1,2), ГТВ Ф 0. (9)

Следовательно, точки переключения орбиты не должны принадлежать прямым (9) - это условие трансверсальности для системы (1), (2).

С геометрической точки зрения не должны касаться поверхностей переключения траектории в силу уравнения (4), приходящие в окрестность точки переключения орбиты M, так как если в этом случае уходящие из окрестности траектории касаются, то при переходе через точку переключения имеет место сжатие по отношению к изучаемой траектории M. Если наоборот, то имеет место удаление от изучаемой траектории M при рассмотрении изображающих точек в нормальных плоскостях P Это поясняет смысл неравенства (6).

Отметим, что условия (9) легко проверить, если знаем, хотя бы приближенно, координаты точек переключения M.

Условия изолированности орбиты тесно связаны с проблемой существования периодического решения системы (1) не только с функцией вида (2), но и с более сложными неоднозначными функциями f (о).

Периодические стационарные колебания можно построить, если найти все периодические решения интегрального уравнения

a(t) = Гтел‘ (Е-еЛшу1]еА{а~т)В f(a(T))dr +

, ° (10) + ГТ jV(< v]Bf[a(z))dz, о

где ш - период искомого периодического решения. Из уравнения (10) следует находить функцию o(t) и ее период ш. В (10) функция f(o(t)) имеет кусочно-постоянные значения, зависящие от положения текущей координаты X(t) в E Матрица (E - еАш) должна быть неособой, то есть среди собственных чисел матрицы А нет чисто мнимых вида pi, где p = 0, ±1, ±2, ..., тогда уравнение (6) имеет единственное решение [2]. В работе [9] утверждается, что для того, чтобы унимодальная периодическая орбита, то есть с двумя точками переключения, с полупериодом Т0 была изолированной, необходимо и достаточно, чтобы (в обозначениях оригинала [9])

N ( - E)n N (Г) = {0}, (11)

где N обозначает нуль-пространство соответствующей матрицы. Более того, существует континуум периодических орбит, когда (11) не выполняется. Этот результат появился посред-

ством уточнения работы [5], из условия существования отображения плоскости в плоскость и условия, что неподвижные точки этого отображения являются изолированными. Множество N(r) - это множество тех X, для которых ГТХ = 0, то есть это уравнение гиперплоскости, переходящей через точку O и аналогично множество N (еАТ° - E) - это множество тех X, для которых [eATo - E] X = Ои .

Условие (11) выполняется, если уравнение \jeAT° - EJ X = On имеет только тривиальное решение, а это происходит только тогда, когда rang \jeAT° - E] = n , то есть когда матрица

\[еАТ° -EJ - неособая.

Следовательно, условие (11) не накладывает никаких новых условий на матрицу A по сравнению с ранее известными условиями. Кроме того, условие (11) получено лишь для симметричного случая гистерезиса при m1 = -1, m2 = 1, £1 =-1, £ 2 = 1. При этом известны достаточные условия сведения системы (1), (2) к симметричной системе [3].

Таким образом, для общего случая системы

(1), (2) справедливо

Предложение 2. Если система (1), (2) имеет периодическую орбиту M с периодом ш и точки переключения этой орбиты не принадлежат множеству, определяемому условиями (9), матрица [E-еAw] - неособая, то тогда периодическая орбита M является изолированной.

Пример. Рассмотрим систему вида (1), (2), где

( -1 10 0 > ' 2"

А = -10 -1 0 , в = 2

, 0 0 -2 ,2,

Г

Г =

2/3 ^

2/3

4/3

£1

-1, £ 2 = 1,

: -1, m2 = 1.

При этом X = -1 ± 10i, 23 = -1, то есть все ReX < 0, и выполняется условие (3). Эта система имеет две унимодальные периодические орбиты. Первая орбита - устойчивая с точками переключения

Х1 = -Х02 @ (0,1438 0,0059 0,6752)Т,

вторая орбита является неустойчивой с точками переключения

Х1 = -Х02 @ (0,6469 0,3651 0,2440)Т.

Легко проверить, что второе равенство (9) не выполняется для этих точек. Обе орбиты являются изолированными.

Замечание. Сформулированные условия нисколько не уже условия изолированности (11),

116

А. М. Камачкин

кроме того, Предложение 2 годится не только для унимодальных орбит, а вообще для кусочногладких орбит. Например, можно считать, что траектория имеет 2т точек переключения (m > 1 и точек конечное число) и в окрестности каждой из них имеет место свойство трансверсальности (9). При этом должно дополнительно выполняться условие: существует такое а е (0, 1), что при любом j (1 < j < n) max Re А (A) < -a < 0.

ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Предположим, что нам удалось найти точки переключения периодической орбиты, то есть существует замкнутая траектория. Наша задача - исследовать эту траекторию на устойчивость. Каждая часть траектории в силу системы (4) может быть исследована с использованием нормальной плоскости Pt и уравнения Ляпунова, но этот подход не может быть использован в окрестностях точек переключения. Будем далее считать, что выполнены условия Предложения 2.

Пусть Х0 - точка переключения, лежащая на плоскости (Г,X) = I., и пусть угол а0 между векторами Г и AX0 - острый, то есть (Г, AX0) > 0

и 0 < cos а. < 1, где cos а = (о). Предполо-0 C0S ао \\Г\\\\АХ0\\

жим, что матрица A такова, что для любого вектора C выполняется условие

1 >

(AC, - C)

> cos \ —-a0 | = sina0.

(12)

Последнее условие перепишем так

(AC, - C) M||C||

arccos

(A, AXq )

ИМ

(12)

Пусть для наглядности n = 3 и пусть точка X1 принадлежит произвольной траектории, плоскости Pt и одновременно поверхности переключения, тогда вектор (X1 - X0) лежит в плоскости

Г

(Г,X) = I.. Построим систему ортов: гх = ^-ц,

Г2 = П AX° , где Пр AX0 - проекция вектора

\\Пр AX0\\

AX0 на плоскость (Г,X) = I, а орт Г3 выбирается так, чтобы он имел острый угол с векто-

3

ром (X1 - X0). Построим матрицу V = ^Vk, где

к =1

Vk = ГкГТк. Обозначим X переменную точку исследуемой траектории между плоскостью Pt и точкой X Рассмотрим функцию

F(X) = (X-X1)rV(X-X1) =.

= AXTVAX = £ДХГ VkAX = (X).

k=1 k=1 '

Точка X1 рассматривается как «неподвижная», то есть X1 не зависит от t. Тог-

да V(X ) = XT AT V DX + DXTV A DX. Матрица

V = ГГТ, поэтому

V (X)= XTATV1 DX + DXTV1 A DX <0, (13)

в силу того, что по условию трансверсальности (X, Г)> 0, а (Г, DX) > 0.

Выясним теперь знак V2 (X), то есть покажем, что

V2 (X) = XT AT V2 AX + AXTV2 AX =

П ’ 2 2 (14)

= XTATr2Г2 AX + AXT Г2 ГТ AX < 0.

Рассмотрим взаимное расположение векторов, входящих в выражение (14). Знак (Г DX) может быть любым, то есть (Г DX) < 0 или (Г2, DX) < 0. Выполняется условие AX^ AX0 при X^ X0, обозначаем a(t) угол между вектором (X1 - X) и плоскостью переключения, тогда выполняется условие apt)<Z(AX0, Г) = а0, то есть угол а0 - это угол максимального отклонения вектора (X1 - X) от (Г, X) = I,, a(t) ^ 0 при X ^ X0. Пусть при этом выполняется условие (12) при С = Г тогда величина (AX, Г2) всегда имеет знак, противоположный знаку (Г2, DX), следовательно, выполняется неравенство (14).

Из аналогичных соображений при С = Г3 следует, что

V3 (X)< 0. (15)

Если при движении плоскости вида Pt первой достигает поверхности переключения точ-каX = X то тогда все аналогично с переобозначением X1 = X0. Здесь для геометрической наглядности рассмотрен случай n = 3, но все можно перенести на случай n > 3. Из неравенств (13), (14) и (15) следует, что V (X) < 0 .

Полученная матрица V по построению -идемпотентная и, следовательно, тождественна единичной матрице. Рассмотрим матрицу W=ATV + VA, где матрица A - матрица нашей системы. Воспользуемся методом, позволяющим получать аддитивные свойства из известных мультипликативных (то есть используем кроне-керовскую сумму) [6], и следующим утверждением [4]: для отрицательной определенности матрицы Wнеобходимо выполнение -SpW >||W|| и достаточно, чтобы -SpW > Vn-11|W||£ . Это упрощенный критерий отрицательной определенности матрицы. Последнее неравенство в нашем случае представляется так:

Sp2A > -1----- Sp (AAT). (16)

2 + (n +1) v ’ v ’

Условие (16) позволяет построить функцию Ляпунова для тех участков траектории, где расстояние измеряется в плоскостях вида P и в целом позволяет построить функцию Ляпунова

Периодические орбиты одного класса релейных свободных осцилляторов

117

вдоль всей кусочно-гладкой замкнутой траектории.

В результате наших рассмотрений сформулируем

Предложение 3. Пусть выполнены все условия Предложения 2 относительно системы (1),

(2), все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части, (Г, B) Ф 0 и выполнены условия (3), условие (12) для каждой точки переключения периодической орбиты и условие (16), тогда периодический режим является орбитально устойчивым периодическим решением системы (1), (2).

Отметим, что условие (12) можно рассматривать как дополнительное к свойству трансвер-

сальности, а свойство (16) - как дополнительное условие на собственные числа матрицы A.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, получены достаточные условия существования изолированных периодических решений системы (1), (2), условие трансверсальности траекторий по отношению к поверхностям переключений, а также еще один вариант достаточных условий того, что периодическое решение является орби-тально устойчивым. Если возможно перейти к дискретному анализу системы (1), (2), то проблемы, рассмотренные в статье, не возникают [7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

2. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 631 с.

3. Каменская С. А. Анализ и стабилизация систем с релейным гистерезисным управлением: Автореф. дисс. ... канд. техн. наук. СПб., 2006. 21 с.

4. Михеев С. Е. Многомерная аппроксимация и интерполяция. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2012. 60 с.

5. A strom K. J. et al.Recent advances in relay feedback methods - a survey // Proc. IEEE Conf. Systems, Man and Cybernetics. 1995. Vol. 3. P. 2616-2621.

6. Bellman R. Introduction to matrix analysis. McGraw - Hill Book Comp., Inc., 1960. 368 p.

7. Kamackin A. M., Stepanov A. V. Stable periodic solutions of time delay systems containing hysteresis nonlinearities. Topics in Time-Delay Systems: Analysis, Algorithms and control // Springer series Lecture Notes in Control and Information Science. 2009. P. 121-133.

8. M a c k i W., N i s t r i P., Z e c c a P. Matchematical models for hysteresis // SIAM Rev. 1993. Vol. 35. № 1. P. 94-123.

9. Variganda S., Georgiou T. T. Dynamycs of Relay Relaxation Oscillators // IEEE Transactions on automatic control. 2001. Vol. 46. № 1. P. 46-77.

Kamachkin A. M., Saint Peterburg State University (Saint Petersburg, Russian Federation)

PERIODIC ORBITS OF SAME CLASS RELAY RELAXATION OSCILLATORS

A neighborhood of piecewise-smooth solution of the automatic control system with relay hysteresis in feedback circuit is considered. Sufficient conditions of transversality of trajectories, isolation, and orbit stability of periodic solutions are obtained.

Key words: Periodic solution, orbit stability, transversality

REFERENCES

1. Demidovich B. P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti [Lectures on mathematical theory of stability]. Moskow, Nauka Publ., 1967. 472 p.

2. Zubov V. I. Kolebaniya v nelineynykh i upravlyaemykh sistemakh [Oscillations of nonlinear and controllable systems]. St. Petersburg, Sudpromgiz Publ., 1962. 631 p.

3. Kamenskaya S. A.Analiz i stabilizatsiya sistem s releynym gisterezisnym upravleniem: Avtoref. diss. ... kand. tekhn. nauk [Analysis and stabilization of systems with relay hysteresis control: Author’s summary of Ph. phys. and math. sci. diss.]. St. Petersburg, 2006. 21 p.

4. Mikheev S. E. Mnogomernaya approksimatsiya i interpolyatsiya [Many-dimensional approximation and interpolation]. St. Petersburg, 2012. 60 p.

5. A strom K. J. et al. Recent advances in relay feedback methods - a survey // Proc. IEEE Conf. Systems, Man and Cybernetics. 1995. Vol. 3. P. 2616-2621.

6. Bellman R. Introduction to matrix analysis. McGraw - Hill Book Comp., Inc., 1960. 368 p.

7. Kamackin A. M., Stepanov A. V. Stable periodic solutions of time delay systems containing hysteresis nonlinearities. Topics in Time-Delay Systems: Analysis, Algorithms and control // Springer series Lecture Notes in Control and Information Science. 2009. P. 121-133.

8. M a c k i W., N i s t r i P., Z e c c a P. Matchematical models for hysteresis // SIAM Rev. 1993. Vol. 35. № 1. P. 94-123.

9. Variganda S., Georgiou T. T. Dynamycs of Relay Relaxation Oscillators // IEEE Transactions on automatic control. 2001. Vol. 46. № 1. P. 46-77.

Поступила в редакцию 22.10.2013