Управление динамикой гистерезисной системы с внешним воздействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10 Вып. 2

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.925

В. В. Евстафьева, А. М. Камачкин

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ ГИСТЕРЕЗИСНОЙ СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

Введение. В работе предлагается метод, позволяющий управлять динамическим поведением системы, которая содержит гистерезисную нелинейность и внешнее возмущение, приложенное к объекту управления. Изучаются вопросы существования колебательных решений в таких системах и возможность выбора параметров системы таким образом, чтобы в ней возникали колебательные режимы с заданными свойствами. Такая постановка задачи актуальна, и методы ее решения особенно интенсивно развиваются в последние годы [1].

Рассмотрим n-мерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида

Y = AY + Bu(cr) + Kf(t), a = {C,Y), (1)

в которой матрица А и векторы В, К, С вещественные и постоянные; Y - вектор состояний системы, Y £ Еп, и(р) - функционал, описывающий нелинейность типа неидеального реле с пороговыми числами i\,l2 и выходными числами mi,m2, при этом для определенности будем считать £\ < £2 и т\ < т^.

Функционал u(a(t)) определен для t > 0 на классе непрерывных функций и задается таким образом: из неравенства a(t) < t\ следует равенство и(а) = mi, из неравенства cr(i) > £2 - равенство и{а) = тг, а из неравенства £\ < cr(t) < £2 {h < t < t2) -равенство u(cr(ti)) = u(cr(i2)), т.е. в случае l\ < cr(0) < £2 функции a(t) отвечают два значения функционала, а если сг(О) < £\ или <т(0) > £2 ~ одно [2]. Гистерезисная петля, описываемая в координатах а,и уравнениями а = a(t),u = tx(cr(i)), обегается против хода часовой стрелки.

Функция /(f) описывает внешнее воздействие на систему или тестирующее воздействие на создаваемую автоматическую систему, которое, как правило, в инженерной практике проводится с помощью внешних возмущений типа скачка, экспоненты, полинома, синуса [3, 4].

Рассмотрим модель внешнего возмущения

т

fit) = /о + £ Mf^t + Ы» (2)

р=1

где fa, fp,<pp, otp — вещественные постоянные, р = 1,..., т.

В частных случаях функция f(t) принимает следующий вид

f(t) = eat sin(wf + уз)

© В. В. Евстафьева, А. М. Камачкин, 2004

(3)

либо

/СО = /о + /х sin(wt + + /2 sin(2wi + <р2).

(4)

Функция /(i) вида (3) описывает гармоническое колебание с убывающей (при а < 0) или возрастающей (при а > 0) амплитудой; функция f(t) вида (4) - бигармоническое внешнее воздействие, которое при /о = 0 является симметричным, а при /о ^ 0 - несимметричным. Именно несимметричное внешнее воздействие довольно часто встречается в приложениях [3, 5].

Система вида (1) при периодическом внешнем воздействии подробно изучена функциональными методами с точки зрения существования периодических режимов с периодом, равным периоду внешнего воздействия, когда система позитивная [2, 6, 7] или регулярная [8]. Эта терминология связана с выполнением таких жестких условий, как гурвицевость матрицы А, положительность при t > 0 импульсной характеристики h(t) = (eAtB,C), управляемость системы, наличие самого правого собственного числа а матрицы А, которое является простым вещественным и таким, что отвечающий ему собственный вектор не ортогонален вектору С.

Предлагаемый метод позволяет в ряде случаев решать указанный круг задач без . предположения о гурвицевости матрицы А и упомянутых выше жестких ограничений на вектор обратной связи С, т.е. система вида (1) может не иметь в случае f(t) = 0 периодических решений, а при наличии внешнего воздействия вида (2) не обязательно . ограничиваться лишь решениями с периодом, равным периоду гармонической составляющей внешнего воздействия [9].

В фазовом пространстве траектория любого решения системы (1) может быть составлена из траекторий в силу линейных систем вида

Y = AY + Bm1+Kf{t), У = AY + Вт2 + Kf(t), (5)

«сшивание» которых по непрерывности происходит в точках, лежащих на гиперплоскостях (С, У) = U (t = 1, 2) [10].

Будем искать решения системы (1) в классе непрерывных ограниченных функций с двумя точками переключения, которые совпадают с точками сшивания. Изображающая точка таких решений в фазовом пространстве системы (1) возвращается в каждую точку «сшивания» за время Тд. В дальнейшем Tg будем называть временем возврата, а искомые решения системы (1) - двуточечно-колебательными [11, 12].

Очевидно, что точки переключения обладают следующими свойствами:

Y* = Y{t0,mht0) = У(*о,лу,*о + 2Ъ),

(С, У) =4, ¿,¿ = 1,2.

Необходимые условия существования двуточечно-колебательных решений системы. Пусть выполняются такие условия:

- (С, А~1Вт2) < 4, - (С, A~lBmi) >

Они означают, что при f(t) = 0 система (1) имеет виртуальные точки устойчивости У = — А~1Впц (г = 1, 2), которые в фазовом пространстве системы лежат вне зоны неоднозначности функции и(сг) и являются достаточными для достижения изображающей точкой искомого решения гиперплоскостей.

Для аналитического представления решения системы (1) воспользуемся формой Ко-

У (г) = + I еЛ(<-г) [Втщ + К/[г)] ¿т.

to

Пусть система (1) имеет хотя бы одно двуточечно-колебательное решение с временем возврата Тв- Гиперплоскости сг = (г = 1,2), находящиеся в Еп, обозначим через Ь{. Пусть изображающая точка искомого решения системы (1) начинает свое движение в точке У1 € 1*1 в момент времени ¿о = 0 и достигает точки У2 6 ¿2 в момент времени ¿1 в силу системы (5) при условии, что т,- = т\. Затем она возвращается в точку У1 6 Ь\ в момент времени Тв в силу системы (5) при условии, что т,- = тг.

Учитывая вид функции и (сг) и выбранный класс решений системы (1), составляем вспомогательную систему трансцендентных уравнений относительно точек пересечения У1, У2 и моментов времени пересечения <х, Тв траекторий искомого решения с гиперплоскостями:

, ¿г = (С, У1),

(6)

¿2={С,У2),

где

и

У2 = еА(1У1 + J [Втп1 + К/(т)} йт,

о

Тв

У1 = еЛ<Тв"<1)у2 + J Вел(Тв~г) [Вт2 + К/{т)] ¿т. и

Систему (6) аналитически решить в общем случае невозможно. Однако ее можно использовать для получения условий существования Тв, У1, У2, приняв ¿1, Тв в качестве зависимых переменных от всех параметров исходной системы (1) и воспользовавшись теоремой о неявных функциях.

Рассмотрим систему (1) в частных случаях. Пусть матрица А имеет только простые, ненулевые, вещественные собственные числа Л,- (г = 1,..., п), и система (1) полностью управляема по отношению ко входу и (<т), т.е.

¿еЬ ||В,АВ,А2В,... ,Ап~хВ\ ^ 0.

Система (1) может быть приведена неособым преобразованием У = вХ к следующему каноническому виду [13]:

X = А0Х + В0и (<т) + К0/(<),

(?)

<т = (Г,Х),

где на диагонали матрицы Ао стоят ее собственные числа, вектор Во является единичным, К0 = 3~гК, Г = (71,.. .7п)*.

Коэффициенты 7,- (г = 1,..., га) вычисляются по формуле

• п

(8)

к=1

в которой .О'(А,-) =

<Ю(р)

йр

, .ЛТд. (А,-) = X) Ь»А'*(А|), где Д*(р) - алгебраическое р=Л; ¿=1

дополнение элемента определителя -О(р), стоящего на пересечении 2-й строки и к-то столбца, Л, - корни алгебраического уравнения

1>(р) = ёеЬ [а к а - &каР] = О,

(9)

8ка ~ символ Кронекера.

Матрица преобразования составляет вид

5= -

/ ЛЦАО 1У( АХ)

■ЛГп(А1) \ ^'(Аг)

М(Ап) X

■О'(Ап)

ДГ»(Х)

•О'(Ап) /

(10)

Далее полагаем [13], что = 0 (,?' = 1,... , в — 1, в + 1... , п), 7а ф 0. Пусть функция а (¿) принадлежит классу непрерывных, периодических функций. При выбранных условиях система п-го порядка расщепляется на системы более низкого порядка, которые могут быть последовательно проинтегрированы, что приводит к упрощению системы трансцендентных уравнений (6):

о

ь = р2 + еМТ»-«*) _ +ъко | еМТ»-г)/(т)Л,

(И)

Точки переключения X2 преобразованной системы (7) определяются следующим образом:

X1 = [Е - еА°Тв] г

1 (т*

| / ел°(т*-г) [В0т2 + КоПг)] йт +

+ ¡еАо(Тв-т) [ВоГП1 + Ко/ (т)] ¿А ^ 0 '

Х2 = [Е- еЛ°Тв]~1 (/е^(П-г) [Во7П1 + ^о/(т)] ¿т + 1о

(12)

Тв

+ ел0*1 ¡ел°(т*-тЦВот2 + Ко/{т)](1т^.

Основные результаты. В случае бигармонического внешнего воздействия вида (4) система трансцендентных уравнений (11) аналитически однозначно разрешается [9] относительно переменных ¿1 и Тв = кТ для заданного числа к € ЛГ, где Т — период внешнего воздействия /(2).

В работах [14, 15] доказаны теоремы существования единственного /гТ-периодичес-кого решения системы (1) и существования единственного асимптотически устойчивого Т-периодического решения рассматриваемого класса для вещественных, ненулевых, простых собственных чисел матрицы А.

г

В частных случаях (среди ненулевых, вещественных собственных чисел матрицы А есть одно число кратности два, среди простых, вещественных собственных чисел - одно нулевое, среди собственных чисел - нулевой корень кратности два) получены [16] достаточные условия существования единственного А:Т-периодического решения системы

(I) для заданного числа к £ N.

Известно [17, 18], что в случае Т-периодического внешнего воздействия в нелинейной системе могут существовать не только гармонические (Тв = Т) и субгармонические (:Тв =- кТ, к > 1, к £ ЛГ) колебания, но.и сопутствующие им супергармонические (Тв = Т/к, к > 1, к £ И) колебания.

Докажем теорему существования не более чем счетного множества Тв-периодических ' решений системы (1), где Тв = Т/к, к £ N.

Теорема 1. Пусть внешнее воздействие системы уравнений (1) задается Т-пе-риодической функцией /(¿) вида (4) с вещественными параметрами, а система (1) приведена неособым преобразованием У = вХ к каноническому виду (7) при следующих условиях:

1) собственные числа А,(г = 1,п) матрицы А - вещественные, простые, ненулевые;

2) ||В, АВ, А2В,..., А^В || ф 0;

3) £ скЩ (А,) = 0 и = 1,..., 8-1,з + 1, ...,п), £ скЩ (А.) ф 0, где Щ{р) - опре-к=1 •*=1

делитель матрицы А, в которой элементы к-го: столбца заменены компонентами

? вектора В.

Пусть {(<1, Т/к, X1, X2)}" - набор решений системы трансцендентных уравнений

(II), параметры которой удовлетворяют условиям ее разрешимости, где к, и £ N. Пусть хотя бы одну пару точек (Хг,Х2) можно соединить дугами интегральных кривых в силу системы (7) в предписанной им последовательности. Тогда существует по крайней мере одно периодическое решение системы (1) с периодом Тв — Т/к, к £ N, и точками. переключения У1,У2, принадлежащими гиперплоскостям вида {С, У) = = 1, 2), где У1 = вХ1, У2 = БХ2.

Доказательство. Интересующие нас решения системы (1) относятся к классу ограниченных, непрерывных функций с двумя точками переключения (точки сшивания траекторий, построенных в силу разных правых частей исходной системы), лежащих на гиперплоскостях вида (С, У) = 1{ (г = 1, 2), и временем возврата изображающей точки решения системы в каждую точку переключения в фазовом пространстве, равным Тв = Т/к, к £ N. В качестве ¿1 принимается момент времени первого переключения решения системы (1). Поэтому имеет место условие ¿1 < Тв- После того, как определен класс решений и задана последовательность перехода изображающей точки искомого решения с одной гиперплоскости на другую, строится вспомогательная система трансцендентных уравнений (11) относительно параметров решения системы (1), которую в общем виде не представляется возможным решить аналитическими методами.

При выполнении условий 1-3 теоремы 1 после неособого преобразования У = БХ система уравнений (6) расщепляется на упрощенную систему уравнений (11) относительно переменных ^ и Тв и формулы (12) для нахождения точек переключения X1, X2 в новых координатах.

В работе [16] определены условия разрешимости системы трансцендентных уравнений (И), которые являются необходимыми для существования решения исходной сис-.темы.

И только тогда, когда точки X1, X2 можно соединить дугами интегральных кривых в силу системы (7) в той последовательности, которая им предписана, можно утверждать о существовании периодического решения системы (7) с найденными парамет-

рами. Поскольку, исходная и каноническая системы эквивалентны в силу неособого преобразования, полученные результаты верны и для системы (1). Теорема доказана полностью.

В случае непериодического внешнего воздействия вида (3) определены [19] достаточные условия на параметры канонической, а значит, и исходной системы (в силу их эквивалентности), которые обеспечивают существование по крайней мере одного положительного решения ti, Тв системы трансцендентных уравнений (11).

В [16] доказана теорема о существовании .единственного двуточечно-колебательного решения для случая, когда собственные числа А,- (г = 1,..., п) матрицы А - вещественные, простые, ненулевые, разные, &ti = тгк/ш, Тв — ттт/ш, т > к, и,т, к £ N, а также определены условия достижимости в фазовом пространстве изображающей точкой двуточечно-колебательного .решения системы (1) гиперплоскостей вида cr(t) = Д(г = 1, 2), причем без касания:

(13)

Проведено [12] разбиение на подмножества пространства параметров системы трансцендентных уравнений (11). Перенесем обе части уравнений системы (11) в одну сторону и обозначим через -Fi(ti) функцию, полученную в первом уравнении, а через F2(ii, Тв) - во втором. Система трансцендентных уравнений (11) примет следующий вид:

Fi(t i) = 0, F2(h,TB) = 0. (14)

Принимая ti,Ts в качестве зависимых переменных от всех параметров системы (11), выпишем, согласно теореме о неявных функциях, условие однозначной и непрерывной разрешимости системы (14)

(18)'

dti.

йТв *

Подмножества в пространстве параметров системы (11), в которых нарушаются условия теоремы о неявных функциях, могут оказаться бифуркационными. В таких подмножествах колебательные решения могут исчезать либо появятся решения другого класса [20].

Сформулируем теорему о существовании асимптотически орбитально устойчивого двуточечно-колебательного решения системы (1).

Теорема 2. Пусть при а < 0 и Лу < 0 = 1,..., 5 — 1, в +1,..., п), Х3 ф 0 существует единственное двуточечно-колебательное решение системы (1) при внешнем воздействии вида (3) с параметрами (¿1 ,Тд,У1,У2); где первый момент переключения Ьх — ттк/и, время возврата Тв = пт/ш при заданных числах т, к £ N, гп > к и У1, У2 - точки переключения, принадлежащие гиперплоскостям вида (С, У) = Ц (г = 1,2). Пусть выполняются условия (13), (15). Тогда решение системы уравнений (1) указанного класса является асимптотически орбитально устойчивым.

. Построение управляющей функции, доставляющей системе колебательные решения с заданными свойствами. Рассмотрим вопрос выбора параметров функции и(сг), = и [(С, У)), чтобы обеспечить существование колебательных решений

системы (1), (3) с заданными колебательными свойствами (с двумя точками переключения на гиперплоскостях вида <т = (г = 1, 2) и временем возврата Тв = тгт/ш, где т € И) при условии, что все остальные параметры системы (1) - элементы а,-* матрицы А, элементы Ь* вектора В, в том числе и параметры а,и>,1р внешнего воздействия, - известны.

Для решения задачи воспользуемся системой трансцендентных уравнений (11), которая была получена при предположении, что ф 0, ц — 0, где — 1,..., в — 1, в + 1,..., п.

* Поэтому коэффициенты Ск (к = 1,... , п) выбираем из системы (8), а именно

п п

X) скХк (А,-) = О, X ЛГ* (А.) Ф 0, 3 = 1, 5-1,3+1,..., п. (16)

¿=1 к=1

Из системы уравнений (11) при условии А, > а выразим параметры ¿х, 12:

4 = (1 - еЛ,Гв)-1 { + ^ - , (17)

= + (18)

р Алгоритм выбора значений параметров ¿1, ¿2, ттц, тг, с* (к = 1,... , п) функции и(а), при которых в системе (1) при внешнем воздействии вида (3) существует единственное асимптотически орбитально устойчивое колебательное решение с двумя точками переключения У1, У2 на гиперплоскостях вида а = (г =1,2) и временем возврата Тв = 7гт/ш для заданного натурального числа т, разработан на основании теоремы 2 и заключается в следующем:

1) проверяем выполнение следующих условий: а < 0, ш > 0, ¿еЬ\\В,АВ,А2В, Ап~1В| ^ 0. Если условия выполняются, то

2) находим собственные числа А,-(г = 1 ,...,п) матрицы Л из уравнения (9). Если полученные собственные числа простые, вещественные, разные, причем А у < 0 (.7 = 1,..., ¿-1,5+1, п), А, > а, А, ф 0, у + ахсЬ%(и)/{\, - а)) = 0, то

3) строим матрицу 5 по формуле (10) и находим обратную ей матрицу 5-1,

4) вычисляем вектор Ко по формуле Ко = 8~1К. Если к® ^ 0, Щ = 0, где .у = 1,..., в — 1, з + 1,..., п, то

5) выбираем коэффициенты с* {к = 1,... , п) из системы (16),

6) находим величину 74 по формуле (8),

7) задаем значение параметра тти,

8) выбираем величину параметра тг > пц,

9) задаем числа ш, г € АГ: г < т,

10) вычисляем ¿1 и Тд по формулам <1 = чгг/ш, Тв = чгт/ш,

11) вычисляем параметр 1\ по формуле (17),

12) определяем значение параметра ¿2 по формуле (18). Если ¿2 > 1\, то

13) проверяем условия формулы (12). Если выполняются условия достижимости без касания, то

14) проверяем условия формулы (15). Если выполняются условия теоремы о неявных функциях, то

15) находим точки переключения в канонических переменных А"1, X2 по формулам

' 16) вычисляем точки переключения в исходных переменных У1, У2 по формуле У' = (г" =1,2).

Выбранные значения параметров £i, 12, mi, т^ и с* (к = 1,...,га) соответствуют существованию колебательного режима в системе (1), (3) рассматриваемого класса.

Summary

Yevstafyeva V. V., Kamachkin А. М. Control of dynamics of a hysteresis system with an external disturbance.

Problems of existence of oscillatory solutions in a non-linear system with both a relay hysteresis control and an asymmetrical external disturbance, which consists of harmonious functions with the amplitudes varying on the exponential law, axe considered. Sufficient conditions on the system coefficients at which in a system there exist oscillations of the certain type axe obtained. An analytical decision of a problem on construction of a controlling functional that guarantees existence of the oscillatory solutions with the given properties in the system is suggested.

Литература

1. Fradkov A. L., Pogromsky A. Yu. Introduction to control of oscillations and chaos. Singapore, 1998. 391 p.

2. Покровский А. В. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 16-23.

3. Бондарь Н. Г. Нелинейные колебания, возбуждаемые импульсами. Киев, 1978. 213 с.

• 4. Нелепин Р. А. Автоматическое управление судовыми энергетическими установками. Л., 1986. 295 с.

. 5. Maezawa S., Watanabe Т. Steady impact vibration of a body having hysteresis collisions characteristics Ц Theoretical and applied mechanics. Tokyo, 1973. Vol. 21. P. 61-77.

6. Красносельский M. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. M., 1983. 271 с.

7. Математическая теория систем / Под ред. М. А. Красносельского. М., 1986. 165 с.

8. Семенов М. Е. Математическое моделирование устойчивых периодических решений в системах с гистерезисными нелинейностями. Воронеж, 2002. 107 с. .

• 9. Евстафьева В. В. Алгоритм определения бифуркационных поверхностей в пространстве параметров гистерезисной системы с бигармоническим внешним воздействием. - СПб., 1995. 12 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 2700-В95 от 6 окт. 1995 г.

10. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М., 1951. 216 с.

11. Kamachkin А. М., Evstafyeva V. V. Calculation of closed trajectory of nonautonomus hysteresis control systems // Proc. of Third Intern, workshop "Beam dynamics & optimization" (BDO-96). St. Petersburg, 1997. P. 152-155.

12. Евстафьева В. В., Камачкин А. М. Динамика системы управления с неоднозначными нелинейностями при наличии внешнего воздействия // Анализ и управление нелинейными колебательными системами / Под ред. Г. А. Леонова, А. Л. Фрадкова. СПб., 1998. С. 37-54.

13. Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Р. А. Нелепина. М., 1971. 323 с.

14. Квитко А. П., Евстафьева В. В. Некоторые задачи динамики полёта: Учеб. пособие. СПб., 2000. 44 с.

15. Евстафьева В. В. Существование гармонических и субгармонических колебаний в нелинейных системах одного класса // Труды XXIV конференции молодых ученых мех.-мат. факультета Моск.-ун-та им. М. В. Ломоносова. 2002. С. 68-71.

16. Евстафьева В. В. Исследование динамики систем управления с неоднозначными нелинейностями и внешним воздействием: Автореф. канд. дис. СПб., 1998. 18 с.

17. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л., 1990. 320 с.

18. Камачкин A. M. К вопросу существования субгармонических колебаний гястере-зисной системы с периодическим внешним воздействием // Академик В. В. Новожилов -ученый, педагог, гражданин: Вопросы механики и процессов управления. Вып. 13 / Под ред. В. И. Зубова. Л., 1990. С. 220-224.

19. Квитко А. Н., Евстафьева В. В. Некоторые задачи управления движением: Учеб. пособие. СПб., 2000. 52 с.

20. Kamachkin A. M., Yevstafyeva V. V. Oscillation in a relay control system at anexternal disturbance // llth IFAC: Workshop. London, 2000. Vol. 2. P. 459-462.

Статья поступила в редакцию 10 мая 2004 г.