О необходимых условиях существования периодических решений в динамической системе с разрывной нелинейностью и внешним периодическим воздействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 2 (2011). С. 20-27.

УДК 517.925

О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ И ВНЕШНИМ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

В.В. ЕВСТАФЬЕВА

Аннотация. В евклидовом пространстве рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной нелинейностью типа неидеального реле и внешним непрерывным периодическим воздействием в правой части. Точными аналитическими методами получены необходимые условия на коэффициенты системы для существования периодических решений с заданными свойствами в задачах указанного класса. Предложен подход для нахождения моментов времени и точек переключения изображающей точки искомого решения в случае, когда период решения кратен периоду функции, описывающей внешнее возмущение.

Ключевые слова: точки переключения, вынужденные периодические колебания, автоматические системы управления, разрывная гистерезисная нелинейность.

Введение

Ключевой задачей в теории нелинейных колебаний является доказательство существования периодических режимов в нелинейных системах управления. В данной работе предлагается подход к решению этого вопроса для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих гистерезисную нелинейность и внешнее возмущение, приложенное к объекту управления. В качестве объекта управления можно рассматривать автоматические системы, используемые на морских судах, к примеру, системы управления курсом судна или успокоителей качки. Математические модели таких объектов исследования изучались рядом авторов (см., например, работы [1]—[3]).

В отличие от работы [3] автором данной статьи используется другой подход к исследованию систем рассматриваемого класса, ослаблены ограничения на изучаемую систему, ищутся периодические решения с периодом не только равным, но и кратным периоду внешнего возмущения. В работе [4] рассматривалось непериодическое внешнее воздействие с изменяющейся во времени амплитудой, а в отличие от [5] в данной работе сделан акцент на поиске моментов времени переключения, при которых происходит переключение искомых режимов, и анализе пространства коэффициентов исходной системы.

1. Постановка задачи

В n-мерном евклидовом пространстве En рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

У = AY + Bu(a) + Kf(t), а = (C,Y). (1)

V.V. Yeystafyeya, On necessary conditions for existence of periodic solutions in a dynamic system with discontinuous nonlinearity and an external periodic influence.

© Евстафьева В.В. 2011.

Поступила 18 января 2011 г.

Здесь матрица A, векторы B, K, C — вещественные и постоянные, Y — вектор состояний системы (Y Е En). Функция и(о) описывает нелинейность типа неидеального реле с пороговыми числами £1, t2 и выходными числами m1, m2. Положим для определенности, что £1 < £2 и mi < m2. Функция u(o(t)) определена для t > 0 в классе непрерывных функций, может принимать только два значения m1 и т2 и задается следующим образом. При o(t) < £1 выполнено равенство u(o(t)) = m1, а при o(t) > £2 — равенство u(o(t)) = m2. Если же £1 < o(t) < £2 при всех t1 < t < t2 и при этом o(t1) = £1 или o(t1) = £2, то положим u(o(t)) = u(o(t1)). Наконец, если £1 < o(t) < £2 при всех 0 < t < t2, то положим u(a(t)) = u0, где u0 — одно из чисел m1 или m2. В ситуации, когда имеет место последний из случаев, динамика системы будет различной в зависимости от выбранного начального состояния и0 реле. Петля гистерезиса, описываемая в координатах (а, и) уравнениями о = a(t), и = u(a(t)), обегается против хода часовой стрелки. Функция f (t) описывает внешнее воздействие на систему и принадлежит классу непрерывных периодических функций.

Рассматривается вопрос о существовании и нахождении таких моментов времени переключения, при которых в реле происходит переключение для возникновения и поддержания в системе периодических колебаний.

2. Общий подход к исследованию системы

В работе [3] А.В. Покровским получены сильные аналитические результаты для систем рассматриваемого класса. Доказана теорема о существовании, по крайней мере, одного асимптотически устойчивого решения с периодом, равным периоду внешнего воздействия. При этом предполагаются условие позитивности системы (ограничения на вектор коэффициентов обратной связи C) и гурвицевость матрицы A.

В данной работе для исследования систем вида (1) предлагается иной подход, позволяющий определять в пространстве коэффициентов системы такие множества, которым отвечают периодические решения с периодом, кратным периоду внешнего воздействия, а в случае равенства периодов снимаются выше упомянутые ограничения на систему.

В основе данного подхода лежат точные аналитические методы исследования, а именно, методы теории канонических преобразований систем, результаты В.И. Зубова [1], основанные на идеи построения вспомогательной системы с учетом свойства периодичности решения для автономных систем, и метод сечения пространства параметров системы, предложенный Р.А. Нелепиным [2].

В фазовом n-мерном пространстве траектория любого решения системы (1) может быть составлена из кусков траекторий в силу линейных систем следующего вида:

Y = AY + Bm1 + Kf (t), Y = AY + Bm2 + Kf (t). (2)

“Сшивание” кусков траекторий по непрерывности происходит в точках, лежащих на гиперплоскостях вида (C, Y) = £ (i = 1, 2).

Будем искать решения системы (1) в классе непрерывных, периодических функций для определенности с двумя точками переключения, которыми в дальнейшем будем называть точки “сшивания”. В n-мерном фазовом пространстве периодическим решениям системы (1) соответствуют замкнутые, ограниченные траектории. В расширенном (п + 1)-м пространстве (Y, t) периодическому решению системы (1) отвечает интегральная кривая, состоящая из нескольких интегральных кривых в силу разных систем вида (2). Эти кривые повторяются с некоторым периодом Tb , который в дальнейшем будем называть периодом вынужденных колебаний системы (1). Точки переключения Y1, Y2 периодического решения (точки “сшивания” кусков траекторий) обладают следующим свойством:

Yг = Y(to,mj,to) = Y(to,mj,to + Tb), (C,Yl) = 4 Vi,j,k = 1, 2,

т. е. можно выписать 8 различных систем в зависимости от выбранной последовательности движения изображающей точки периодического решения от одной гиперплоскости к другой гиперплоскости.

Рассмотрим решение системы (1) в форме Коши

Предположим, что система (1) имеет хотя бы одно периодическое решение с периодом Тв. Пусть изображающая точка искомого периодического решения системы (1) начинает свое движение в точке У1 на гиперплоскости а = £1 в момент времени = 0 и достигает точки У2 на гиперплоскости а = £2 в момент времени Ь1 в силу системы (2) при условии, что шг = т1. Затем она возвращается в точку У1 на гиперплоскости а = £1 в момент времени Тв в силу системы (2) при условии, что тг = Ш2.

Построим систему трансцендентных уравнений относительно точек переключения и моментов времени переключения, исходя из свойства периодичности искомого решения и учитывая, что точки переключения лежат на гиперплоскостях, а изображающая точка решения движется по траектории в предписанной выше ей последовательности. Имеем

ленными методами. Для разрешимости системы (3) в аналитическом виде преобразуем исходную систему.

Пусть для определенности матрица А имеет только простые, ненулевые, вещественные собственные числа Хі (і = 1,п), система (1) полностью управляема по отношению ко входу и(а), т. е. выполняется неравенство

В этом случае система (1) может быть приведена к каноническому виду неособым преобразованием У = БХ:

І

У (і) = еА(і-Іо)У (іо) + е-А(т-І) (БШі + К! (т)) йт (і =1, 2).

(3)

где

о

У1 = еА(Тв-Іі)У2 + еА(Тв -т) (Бш2 + К! (т ))йт.

/

І1

Полученную систему из 4-х уравнений можно решать относительно і1, Тв, У1, У2 чис-

аеі цб,аб,а2б,...,ап-1бц = о.

Х = АоХ + Боп(а) + Ко! (і), а = (Г,Х),

где

Коэффициенты ті (і = 1,п) вычисляются по формуле:

где П'(Хг) = ЛГ>^РР , Ск — элементы вектора С, Ык (Хг) = ^ Ь] (Хг). Здесь — Эле-

Р Р=\ ] = 1

менты вектора В, Djk — алгебраическое дополнение элемента а^к матрицы А, Хг — корни алгебраического уравнения D(p) = ёе1 [ака — $кар] = 0, ака — элементы матрицы А, 8ка — символ Кронекера. Матрица преобразования Б имеет следующий вид:

( МгХ) Мг(Хп) \

Б = -

&Х) ^(Хп)

Хп(Х1) Хп(Хп)

Х^^) ^(Хп)/

Далее, следуя [2], предполагаем, что (п — 1) корней уравнения D(p) = 0 совпадают с

п

(п — 1) корнями уравнения СкN(р) = 0. Тогда (п — 1) величин 'Уг, определяемых по

к=1

формуле (5), обращаются в нуль, а одна величина ^ не равна нулю. Индекс, при котором

'Уг = 0, обозначим через в, т. е. 'Ув = 0.

Таким образом, система п-го порядка распадается на системы более низкого порядка, которые могут быть последовательно проинтегрированы. Это приводит и к упрощению систему трансцендентных уравнений (3).

При условии, что = 0 (г = в), функция а(Ь) = (Г,Х(¿)) определяется из системы

первого порядка

а(г) = 'у.зХ.з, Хв = ХвХв + п(а) + к0°/(Ь), (6)

остальные переменные хг (г = в) определяются из неоднородных линейных уравнений первого порядка

Хг = Хг хг + п(а) + к0/(Ь), г = в. (7)

Выпишем дифференциальное уравнение относительно функции о(Ь):

д(г) = Хаа(г) + ъ(п(°(ь)) + к0/(Ь)). (8)

Поскольку ищутся периодические решения системы (1) и а(Ь) = &(х3(Ь)), то предполагаем, что функция а(Ь) относится к классу непрерывных периодических функций. С помощью решения уравнения (8) можно определить условия периодичности функции а(Ь) и его свойства (период Тв и момент времени переключения ¿1).

Решение системы уравнений (6), (7) имеет следующий вид:

£

Хг(Ь) = Хг(0)вх^ + ех ^ (п(а(т)) + к0/(т ))е-Х^ ¿т,

о

£

Хв(Ь) = а(Ь)/ъ = (оо/1в)еХа* + ех,г J(п(а(т) + (т))е-х“т¿т. (9)

о

Система уравнений (9) определяет точечное отображение одной плоскости переключения в другую. Выпишем решение уравнения (8) в общем виде

(г г

шг ^ е-ХдТ¿т + кО ! е-ХдТ/(т)йт

£о £о

с начальными и граничными условиями

£1 = а(£1, 0,ш1, 0), £2 = о(£1, 0,ш1,Ь1), £1 = а(£2,Ь1,ш2,Тв).

Система трансцендентных уравнений для нахождения только моментов времени переключения ¿1, Тв имеет следующий вид:

(2 = {(1 + )еЛЛ - + ък°* IеМН-т)/ (т)Лт,

о

(л = {і2 + 1т) еЛ’ЛТв) - ^ + ък0 |еЛ-(Т‘-т)/(т)йт. (10)

*1

Точки переключения X1, X2 преобразованной системы (4) определяются по следующим формулам:

/Те

X1 = (Е - єАоТеу1 П еАо(Те-т) (Вот2 + Ко/(т)) йт+

\*1

*1

I єАо(Те-т) (Вот1 + Ко/ (т)) йт о

X2 = (Е - еАоТв)-1 ^У еАо(*1-т) (Вот1 + Ко/(т)) йт+

Т \

еАон ! еАо(Тв-т) (Вот2 + Ко/(т)) йт І .

*1 /

3. Основной результат Рассмотрим модель внешнего возмущения следующего вида:

/(¿) = /о + /1 яіп(иі + у1) + /2 ят(2и + у2), (11)

где /о, /1, /2, у1, у2, и — вещественные постоянные.

Функцию /(¿) вида (11) можно рассматривать как укороченный ряд Фурье. Поскольку любая периодическая функция, удовлетворяющая принципу Дирихле, может быть представлена в виде сходящегося ряда Фурье, то представление (11) является приближением произвольного периодического внешнего воздействия.

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема. Пусть функция /(¿) имеет вид (11). Пусть система (1) имеет периодическое решение с периодом Тв = кТ, где к Є N Т = 2п/и, и > 0. Пусть все собственные числа матрицы А являются простыми, вещественными, и, по крайней мере, одно из них положительное (Ав > 0), причем элемент преобразованного вектора обратной связи Г отличен от нуля. Пусть, наконец, имеют место неравенства

1)

т2 - т1еЛзкТ + Ав(1 - еЛзкТ)()1/^з + к0°Ь) > 0, т1 < -А^^ + к°3Ь^ < т2,

где

ь = /о + /1 ^Іїї(у 1 + ¿1) + /2 8Іп(у2 + 62)

Ав л/А23 + и2 ^/А23 + 4и2 ,

¿1 = ахс^(ш/Хв), 82 = ах^(2ш/Хв);

2)

(£1 + у(ш1 + кО/о)) (еХ°кТН — 1) +

2 (^($1 + 81)еХзкТН — вт ^у 1п Н + $1 + 8^^ +

^\2 + 4и2 (^^($2 + 82)еХекТН — вт ^Х 1п Н + $2 + 8^ > 0,

где

Н = ___________________ш2 — ш1___________________;

Х,(1 — еХвкТ)(£1 /^з + к°°Ь) + ш2 — ш1еХвкТ ’

и равенство

3)

£2 = £\еХ°кТ Н + ^ (;>щ + кО/о )(еХ-кТ Н — 1)+

Хз

^^к+1у2 (^п($1 + 81)еХЛТН — вт ^Ху 1п Н + $1 + 8^ +

^\1 + 1у2 (ЗЫ$2 + 8'2)еХ'кТН — ^ (Т, 1п Н + $2 + 8'2)) •

Тогда система (10) имеет единственное решение ¿1 € (0,кТ), которое определяется по формуле ¿1 = кТ + Ху 1п Н.

Доказательство теоремы.

Система трансцендентных уравнений (10) при условии Хз > 0 принимает следующий вид:

£2 = \£1 + Х (ш1 + к°з/о) + 1^ к'/ 2 в1п($1 + 81) +

V Х Vх2 +у2

тХ0ь в1п($2+8-2>) еХ-‘- - хз+/—

Ъко/1 ■ ( + , , Г ^ 18к°о/2 . ,п + , , * ,

/Л2 , 2 81п(и11 + $1 + 80-/Л2 , , 2 в1п(2уЬ1 + $2 + 82),

Vх2 + У2 Vх2 + 4у

£1 = (£2 + Т~ (ш2 + к°°/о) + 1\к>8/ 2 в1п(уЬ1 + $1 + 81) +

V Х Vх2 +у2

^Х2 к+4ш2 в1п(2УЬ1 + $2 + 82^ ^{ТВ ~-Л) — Х (ш2 + к°о/о) —

132 3/1 2 в1п(уТв + $1 + 80-------Л2 ^/^ 2 81п(2уТВ + $2 + 82). (12)

Vх2 + У2 Vх2 + 4У

В случае, когда периодическое решение системы (1), (11) ищется с наперед заданным периодом, а именно, Тв = кТ, к € N Т = 2п/ш, система трансцендентных уравнений (12) зависит только от одной переменной ¿1, а в результате указанного выбора коэффициентов обратной связи ^г (г =1,п) аналитически разрешима относительно этой переменной.

Первое уравнение системы (12) подставим во второе уравнение и после преобразования имеем:

(1 - ) (а + Ък°^f + ^== srnfa + «+

, f2 2 sin(^2 + ^2П J + т1 (m2 - mieXskT) = ^(m2 - mi)eXs(kT-tl),

Л2 + 4u2 I I As Äg

отсюда получаем формулу для определения переменной ti.

Далее определим условия на параметры, при которых существует решение ti.

По предположению m2 > mi, поэтому в формуле, определяющей переменную ti, стоящее в знаменателе под логарифмом выражение должно быть положительным, отсюда следует первое неравенство условия 1) теоремы.

Поскольку переменная ti определена как первый момент переключения, то она, очевидно, должна принадлежать промежутку (0,kT), где k Е N. Это возможно, если выполняются следующие неравенства:

m2 - mi < Ag(1 - eXskT) (ti/Ys + kgL) + m2 - m,eXskT,

(1 - eXs kT) ( 0 ч m2

m2 - mi > As exkT \tl/ys + ksL) + exkT - mi■

После преобразования последние неравенства принимают вид второго неравенства условия 1) теоремы.

Условие 2) теоремы следует из предположения, что t2 > ti.

Решение ti является решением системы трансцендентных уравнений, если оно удовлетворяет первому уравнению системы (12). Отсюда следует условие 3) теоремы.

Теорема доказана полностью.

Замечание 1. Система неравенств и равенств в условиях 1)-3) доказанной теоремы установлена строгими аналитическими выкладками с использованием равносильных переходов и свойств логарифмической функции, поэтому представляется непротиворечивой. В связи с этим возможно построение примера существования kT-периодического решения. Действительно, например, при f (t) = 1 + 2sin(t+3) + 5sin(2t), TB = 2n, As = 0, 2, Ys = -0, 5 упомянутая система неравенств и равенств справедлива при mi = -5, m2 = 15, 73, ti = -6, kg. = -2, а система (10) имеет единственное решение ti = 3, 51.

Замечание 2. В теореме сформулированы необходимые условия существования периодического решения канонической системы уравнений, а в силу неособого преобразования — исходной системы. Кроме того, определены свойства искомого периодического решения для заданного периода Tb = kT, а именно, момент времени первого переключения ti и две точки переключения Yi = SXi, Y2 = SX2.

Замечание 3. Система трансцендентных уравнений составлена из необходимых условий существования хотя бы одного периодического решения с заданными свойствами. Поэтому условия на коэффициенты канонической системы, при которых система трансцендентных уравнений не имеет решения ti , определяют множества в пространстве коэффициентов канонической системы (в силу неособого преобразования в пространстве исходной системы), в которых не могут возникнуть искомые периодические решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 631 с.

2. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л.: Судостроение, 1967. 447 с.

3. Покровский А.В. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. C. 16-23.

4. Евстафьева В.В., Камачкин А.М. Динамика системы управления с неоднозначными нелинейностями при наличии внешнего воздействия // Анализ и управление нелинейными колебательными системами / Под ред. Г.А. Леонова, А.Л. Фрадкова. СПб.: Наука, 1998. C. 22-39.

5. Евстафьева В.В., Камачкин А.М. Управление динамикой гистерезисной системы с внешним воздействием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2004. Вып. 2. С. 101-109.

Виктория Викторовна Евстафьева,

Санкт-Петербургский государственный университет,

Университетская наб., 7/9,

199034, Санкт-Петербург, Россия E-mail: vica@apmath.spbu.ru