О многомерных системах с неединственным циклом и методе гармонического баланса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 5-21

= Математика =

УДК 517.925

О многомерных системах с неединственным циклом и методе гармонического баланса

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

Аннотация. Предложен новый подход к оценке числа периодических решений многомерных динамических систем.

Указан эффективный метод поиска периодических решений многомерных систем автоматического регулирования. Показано, что для многомерных регулируемых систем с неединственным циклом классический метод гармонического баланса может давать неверные результаты.

Ключевые слова: многомерные системы, циклы, метод

гармонического баланса.

1. Постановка задачи. Основная теорема

Предметом изучения в данной работе является автономная система вида

X = f (х), х £ Rn, (1)

имеющая единственное состояние равновесия х = 0. Относительно функции f (х) будем предполагать, что везде в Rn она удовлетворяет локальному условию Липшица. Это предположение, как хорошо известно, обеспечивает существование и непрерывную зависимость решений системы (1) от начальных данных в любой компактной области D £ Rn.

Нас будет интересовать задача оценки числа циклов системы (1). Этой задаче, исторически восходящей к известной шестнадцатой проблеме Гильберта, посвящено огромное число работ. Библиография этих работ содержится, например, в [1-3] — более двух тысяч ссылок. Все упомянутые работы посвящены вопросам оценки числа циклов систем второго порядка с полиномиальными нелинейностями.

Проблемы оценки числа циклов многомерных систем рассматриваются в сравнительно небольшом числе работ (см., например, [4-6]). При этом во всех этих работах существенно используется предположение о том, что для системы (1) выполнены условия обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона, предложенного Р.А. Смитом в работе [7]. Выполнение этих условий означает, в частности, что существует взаимно-однозначное соответствие между траекториями из w-предельного множества любой

ограниченной полутраектории системы (1) и траекториями некоторой двумерной системы. Именно это обстоятельство позволяет перенести на многомерный случай многие методы исследования двумерных систем, а также характерные для них результаты, касающиеся вопросов существования и устойчивости циклов.

Особенность данной работы состоит в том, что для системы (1) не предполагаются выполненными условия обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона. Используемый здесь подход к оценке числа циклов позволяет исследовать системы, к которым не применимы результаты работ [4-6].

Для начала введем некоторые понятия и обозначения, которые будут использованы ниже. Пусть дС — поверхность в Еп, гомеоморфная либо эллипсоиду, либо эллиптическому цилиндру с (г — 1) основанием (г ^ 2). Через С будем обозначать открытое множество в Кп с границей дС, а через С — его замыкание. В каждой точке х £ дС может быть определен вектор единичной нормали к поверхности п (х) так, что п (х) — непрерывная функция х. Будем говорить, что поверхность бесконтактна для траекторий системы (1), если для любого х £ дС выполнено fт (х) п (х) = 0. Аналогично определяется бесконтактная для траекторий системы (1) гиперплоскость {х : Нтх = 0}, где Н £ Кп — постоянный вектор. Будем говорить, что бесконтактная поверхность дС пересекается вовнутрь теми траекториями системы (1), которые ее встречают, если из условия х(Ь0) = (¿(¿о), &(Ь)) £ дС следует, что х (¿) £ С при £ > ¿0, и наружу, если из условия х (¿0) £ дС следует, что х (¿) £ Еп\С при £ > ¿0. Будем говорить, что гиперплоскость П обладает свойством возвращаемости, если для любого решения х (¿) системы (1) из условия х (0) = х0 £ П следует существование такого т (х0) > 0, что х [т (х0)] £ П.

Пусть И = Нт - п х п-матрица, имеющая 2 отрицательных и п — 2 положительных собственных значения. Положим £ (х) = хтИх. Множество К = {х : £ (х) ^ 0} называют двумерным конусом в Кп. Пусть V (х) — дифференцируемая функция, V (0) = 0. Будем предполагать, что множество К = {х : V (х) ^ 0} гомеоморфно двумерному конусу. Множество дК = = {х : V (х) = 0} будем называть границей множества К.

Теорема 1 (Основная теорема). Пусть выполнены следующие условия:

Существует такое число X > 0, что для производной V (х) функции V (х) в силу системы (1) при всех х £ Кп справедливо соотношение

V (х) + 2XV (х) ^ 0. (2)

Существуют бесконтактные для траекторий системы (1) поверхности дС\,дС2,дС3, гомеоморфные либо эллипсоиду, либо эллиптическому цилиндру с 1-основанием такие, что 0 £ Сг, и поверхности дС\ П К и дС3 П К пересекаются вовнутрь (наружу) теми траекториями системы (1), которые их встречают, а поверхность дС2 П К — наружу (вовнутрь).

Множества К П С1, К П С2, К П Сэ непусты, ограничены и К П С1 С К П С2 С К П С3.

Существует (п — 1)-мерная гиперплоскость П = {х : НТх = 0}, обладающая свойством возвращаемости для всех ограниченных на [0; то) траекторий системы (1) и такая, что «множество контакта» {х : НТх = 0, НТ/ (х) = 0} С Кп\К.

Тогда система (1) имеет не менее двух циклов.

Доказательство. Для определенности предположим, что поверхности дС1 П К и дСэ П К пересекаются вовнутрь, а поверхность дС2 П К — наружу. Из соотношения (2) следует [9], что множество К положительно инвариантно для траекторий системы (1).

Рассмотрим в Кп область О1, ограниченную поверхностями дК, дС2, дСз. В силу предположений 2) и 3) теоремы эта область непуста, ограничена и положительно инвариантна для траекторий системы (1). Пусть ^1 = = О1 П П. В силу условия 4) теоремы П П дК = 0. Поэтому множество 01 ограничено, замкнуто и гомеоморфно (п — 1)-мерному шару. Рассмотрим отображение и = и (х), которое ставит каждой точке х £ П точку х' £ П такую, что х [т (х0)] = х'. В силу инвариантности ограниченного множества

О1 для любого х £ ^1 такая точка х' существует и, более того, х' £ ^1. В силу условия 4) теоремы гиперплоскость П бесконтактна для траекторий системы

(1). Поэтому отображение и непрерывно на 01. Так как отображение и (х) переводит замкнутое, ограниченное, гомеоморфное выпуклому множество ^1 в себя, то в силу известной теоремы Брауэра оно имеет по крайней мере одну неподвижную точку ж. Поэтому в множестве О1 содержится по крайней мере один цикл системы (1).

Пусть О2 — множество, ограниченное поверхностями дС1, дС2 и дК, а Оэ — множество, ограниченное поверхностями дС1, и дК. Обозначим ^2 = = П П О2, ^э = П П Оэ.

В силу положительной инвариантности множества О1 и О2 и Оэ любая траектория с начальным условиями х (0) = х0 £ D2 «возвращается» в множество ^1 и 02 и Оэ. Обозначим через и02 образ 02 при отображении и. В силу предположений 2) теоремы (и02\02) П Б1 = 0, (и02\02) П Бэ = = 0 и и02 С Б1 и 02 и Бэ.

Очевидно, что множество ^2 гомеоморфно (п — 1)-мерному кубу. Пусть Т — гомеоморфизм у = Тх (х £ П,у £ Кп-1), переводящий множество Б2 в куб Z С Кп-1 с центром в точке у = в. Обозначим через Г2 грань куба Z, являющуюся образом дС2 П П П К, а через Г1 — грань куба Z, являющуюся образом одной из частей границы множества Б2, принадлежащей дК П П. Введем (п — 1)-мерном пространстве У прямоугольную ортонормированную систему координат у1 ,у2,.. .уп-1 с началом в точке в. В качестве оси ву1 выберем прямую, параллельную нормали к грани Г1, в качестве ву2 -прямую, параллельную нормали к грани Г2, остальные координатные оси

зададим произвольно в ортогональном дополнении к плоскости, заданной прямыми ву\ и %2- Наконец, обозначим через Пі отображение, определенное на ТП и переводящее куб Т^2 в множество ТП^.

Пусть Б (у) — отображение, определенное на ТП следующим образом: Б(у) = у — Пі (у). Если это отображение вырождено на границе дТ02 куба ТБ2, то есть существует уо Є дТ02 такое, что Б (у0) = 0, то П1(уо) = у0 и отображение Пі имеет неподвижную точку на Т^. Предположим, что отображение Б не вырождено на Т^. Определим линейное отображение Бі (у) = у', у' = Ау на ТП так: у[ = 1 уь у2 = — ±у2, уі = уі для і = 3, 4,...

... п — 1. Очевидно, что это отображение не вырождено на дТ^. Нетрудно убедиться, что для любого у Є дТБ2 векторы Б (у) и Б1 (у) направлены

Я(у) , Яі(у) тд

непротивоположно, то есть |^(У)| = |51(У)| . Из последнего соотношения и теоремы 5.6 [8] следует, что вращение векторных полей Б и Бі на дТ^2 одинаково. По теореме 5.8 [8] вращение векторного поля Бі на дТ^2 равно (—1). Так как вращение векторного поля Б на дТ^2 отлично от нуля, то по теореме 5.15 [8] поле Пі имеет по крайней мере одну неподвижную точку у0 на ТБ2: Пі (у0) = у0. Поскольку Пі = ТПТ-і, то ТПТ-і (у0) = у0 или П (ж0) = Ж0, где Х0 = Т-іу0 Є Б2.

Итак, отображение П имеет неподвижную точку в ^2, которая и будет начальным условием цикла, не имеющего общих точек с множеством Пі.

Теорема 1 доказана.

Замечание. Условие 1) доказанной теоремы может быть заменено любым другим условием, гарантирующим положительную инвариантность множества К для траекторий системы (1). Утверждение теоремы остается справедливым также и в том случае, когда множество К в ее формулировке заменено на множество К(7) = {х : V(х) ^ —^} с некоторым достаточно малым ^ > 0.

2. Системы автоматического регулирования

Широкий класс моделей систем автоматического регулирования может быть представлен в виде

г = Аг + Ъу(а), (3)

а = стг + @ф(а), ( )

где А — (п — 1) х (п — 1)-матрица, Ъ и с — (п — 1)-векторы, связанные соотношением

стЪ < 0, (4)

р(а) — непрерывная функция, в < 0.

Пусть ^ш(р) = ст(А — рІп-і)-іЬ = т(р)[п(р)]-і, где п(р) = det(pIn-l — А), а Іп-і единичная матрица — дробно-рациональная функция комплексного аргумента р. Дробь т(р)[п(р)]-і предполагается несократимой.

Теорема 2. Пусть существует такое число X > 0, что выполнены условия

I. При всех и ^ 0 справедливы неравенства

Re w(iu — X) < 0, lim и2 Re w(iu — X) < 0. (5)

II. Многочлен n(p — X) имеет один положительный корень и n — 2 корня

с отрицательными вещественными частями.

III. Для некоторого j1 £ (0, —Xß-1) многочлен [m(p) — ßn(p)]j1 + pn(p) имеет два корня с положительными вещественными частями.

IV. Для некоторого j2 £ (j1, —Xß-1) м,ногочлен [m(p) — ßn(p)]j2 + + +pn(p) гурвицев.

Тогда можно подобрать такую непрерывную функцию р(а), удовлетворяющую условиям

р(0) = 0, р(а)а > 0 при а = 0, (6)

что система (3) будет иметь единственную точку покоя и любое наперед

заданное число циклов.

Доказательство теоремы 2 предварим некоторыми вспомогательными построениями и утверждениями.

Из условия IV теоремы следует, что система (3) может быть приведена к виду x = Px + q^i(a), а = rTx, где P — n x n — гурвицева матрица, ^i(a) = = р(а) — j2а, rTP-1q = j-1. При этом из предположения (6) следует, что график функции ^i(a) пересекается с «характеристической прямой» а + + j—1p = 0 только в точке а = 0, р = 0. Поэтому, согласно лемме 2.1 [9] имеет место возвращаемость всех положительных ограниченных полутраекторий системы (3) на плоскость а = 0. Последнее утверждение означает, что если (z(t)^(t)) — ограниченное на [0, то) решение системы (3), то либо а(^ ^ 0 при t ^ +то, либо а^) бесконечное число раз меняет знак.

Пусть H = HT — не знакоопределенная (n — 1) x (n — 1)-матрица, р > 0

— число. Положим

а

V(x) = V(z, а) = zTHz — j p(s)ds, (7)

0

M1 = {(z, а) : V(z, а) ^ 0}, M2 = {(z, а) : |z|2 + а2 ^ р}.

Лемма 1. Пусть

1) существуют такие числа X > 0 и ¿1 > 0, что на решениях (z(t), а(^) системы (3) справедливо неравенство

V[z(t), а(t)] + 2XV[z(t), а^)] ^ — ¿1[|z(t)|2 + а2(Щ, (8)

2) существует множество М3 С М2 положительно инвариантное для траекторий системы (3).

Тогда существует такое число Y > 0, что множество М3 П {(z, а) : V(z,a) ^ —y} также положительно инвариантно для траекторий системы (3).

Доказательство. Из соотношения (8) следует [10], что множество Mi положительно инвариантно для траекторий системы (3) . Поэтому положительно инвариантным будет и множество Мз П Mi. Если (z(0), а(0)) £ £ М3 П М1, то при всех t ^ 0 выполнено условие |z(t)|2 + a2(t) ^ р. Выберем

Y £ (0, ¿1р(2Л)_1). Тогда из (8) и предположения V[z(to), cr(to)] = -Y следует, что V[z(t0),a(t0)] ^ 2ЛY - S1p < 0. Последнее соотношение и доказывает справедливость утверждения леммы 1.

Положим в (3) р(а) = л2а, где ц2 определено условием IV теоремы. Обозначим через A n х n-матрицу линейной системы, полученной из (3) после такой замены. По условию теоремы эта матрица гурвицева. Обозначим b = col (b, в),x = col (z, а). Найдем n х n-матрицу Q = QT > 0 из уравнения Ляпунова

QA + A Q = -In (9)

и положим к = 4s|Qb|2, где s — наибольшее собственное значение матрицы Q. Пусть v1 = max|а|, где T = {x : xTQx ^ к}. Нетрудно показать (см.,

например, [5]), что v1 = д/ксТQ-1c, где с = col (0,..., 1).

Лемма 2. Если в системе (3) |^>(а) - < а при |а| ^ v1a, то

поверхность dG1 = {x : xTQx = ка2} бесконтактна для траекторий системы (3) и пересекается вовнутрь всеми траекториями этой системы, которые ее встречают.

Доказательство. Запишем систему (3) в виде

x = Ax + bp1 (а), ^1(а) = <^(а) - ц2а. (10)

Введем в рассмотрение функцию W(x) = xTQx - Y^ покажем, что для производной этой функции в силу системы (10) выполнено условие W"(x) < 0 при W(x) = 0 и Y1 > ка2. В самом деле, из уравнения (9) следует, что

W = — | x |2 + 2xT Qbp1(a). (11)

По определению числа s справедливо неравенство xTQx ^ s|x|2. Поэтому при W(x) = 0 выполнено соотношение x ^ д/Y1s-1. Отсюда и из (11) выводим W < — |x|2 + 2|x||Qc|a = -|x|(|x| - 2|Qb|a) ^ 0 при Y1 ^ ка2.

Для завершения доказательства леммы остается только заметить, что из определения числа v1 следует, что max |а| ^ v1 а, где T1 = {x : xTQx ^ ка2}.

Попытаемся подобрать симметрическую (п — 1) х (п — 1)-матрицу Н и функцию ^(а) так, чтобы для функции (7) и некоторого 5 > 0 на решениях системы (3) выполнялось неравенство

У[г(£),а(£)] + 2АУ[г(£),ст(£)] ^ —5|^(^)|2. (12)

Неравенство (12) запишем в виде

2гт (г)Н [Лхг(г) + Ъ<р(а(Щ — р(а(г))ст z(í) — в^2(а(£)) —

сг(*) (13)

—2\} р(а(т))^(т) < —5|г(t)|‘2, о

где Л\ = Л + Х1п-1. Функцию р(а), удовлетворяющую условиям (6), выберем так, чтобы она была дифференцируемой везде на (—то, то) за исключением, может быть, конечного числа точек, в которых ее производная терпит разрывы первого рода. При этом во всех точках непрерывности ц>'(а) выполняется условие

ф'(о) < —\/3-1. (14)

Тогда неравенство (13) будет справедливым, если при всех г € Еп-1, £ € Е и некотором 5 > 0 выполняется соотношение

2гтН[Л\г + Ь£] — £стг < —5|г|2. (15)

По частотной теореме 2.7 [9] для существования матрицы Н = Нт и числа 5, удовлетворяющих неравенству (15), необходимо и достаточно выполнения соотношений (5). Заметим, что из (15) вытекает равенство

2НЬ — с = 0. (16)

Полагая в (15) £ = 0, получаем

2гтНЛхг < —5гтг. (17)

Поскольку, согласно условию II теоремы 2, матрица Л\ имеет ровно одно положительное собственное значение и п — 2 собственных значений с отрицательными вещественными частями, то по теореме 2.2 [9] из (17)

следует, что матрица Н неособая и имеет ровно одно отрицательное и

п — 2 положительных собственных значений. Из (16) и (4) следует, что стН-1с = 2стЬ ^ 0. Из свойств спектра матрицы Н и последнего неравенства по теореме 2.10 [9] заключаем, что

{г : гтНг < 0} П {г : стг = 0} = 0. (18)

Теперь мы можем непосредственно перейти к построению функции <^(а), обладающей описанными выше свойствами, такой, чтобы система (3) имела заданное число циклов.

Пусть ^>(0) = 0, ^(0) = ¡11, где ц1 определено условием III теоремы. Обозначим через Л матрицу линейной системы, полученной из (3) заменой ф(а) на Ц1а. Эта матрица имеет ровно два собственных значения с

положительными вещественными частями. Пусть У\(х, а) = гтИг — 0.5р1а2. Используя соотношения (13) и (15) для производной этой функции в силу полученной линейной системы имеем

VI + 2\У\ < —ф|2 — ш(Х + вц,\)а2. (19)

Поскольку у матрицы И = diag [И, —0.5р1 два отрицательных и п — 2

положительных собственных значения, то из неравенства (19) вытекает, что

матрица А + Л1п имеет ровно два собственных значения с положительными вещественными частями. Поэтому матрица А не имеет собственных значений в полосе —Л ^ И,ер ^ 0. Из неравенства (19) и теоремы 2.4 [9] следует существование квадратичной формы и (г, а) такой, что для ее производной и (г, а) в силу линейной системы с матрицей А выполнено неравенство

и(г,а) + VI(г, а) ^ ¿о(|г|2 + а2) (20)

а

с некоторым ¿0 > 0. Очевидно, VI(г, а) = V(г, а) — / (ц1а — ф(а))б,а, где

о

функция V(г, а) определена соотношением (7). Поэтому неравенство (20) можно переписать так:

а

1)(г,а) + V(г, а) ^ ¿о(|г|2 + а2) + J (р\а — ф(а))йа. (21)

о

Обозначим через и (1)(г, а) производную и (г, а) в силу системы (3). Легко видеть, что при малых |г|2 + а2 выполняется соотношение и(1)(г, а) = = и (г, а) + +о(|г|2 + а2). Кроме того, в силу условия (0) = ¡11, очевидно,

а

что / (^1а — ф(а))б,а = о(|г|2 + а2). Поэтому из неравенства (21) вытекает о

что

и(1)(г, а) ^ —V(г, а) + ¿о(|г|2 + а2) + о(|г|2 + а2). (22)

Пусть числа р1 > 0, 62 > 0 таковы, что <50(|г|2 + а2) + о(|г|2 + а2) ^ ^ ¿2(|г|2 + а2) при |г|2 + а2 ^ р1. Из (22) получаем, что

и(1)(г,а) ^ ¿2(|г|2 + а2) при V(г, а) ^ 0, |г|2 + а2 ^ р1. (23)

Определим теперь число ^1 так же, как это было сделано выше в лемме 2, зададимся произвольным числом а > 0 и рассмотрим на отрезке [—^а, V!а] произвольную кусочно дифференцируемую функцию <^(а), удовлетворяющую условиям (6) и (14) (в точках непрерывности ее производной), а также соотношениям ц>'(0) = р1, |^>(а) — р2а| < а.

Прежде всего, заметим, что для выбранной таким образом функции <^(а) для всех решений (г(Ь),а(Ь)) системы (3), для которых |а(Ь)| ^ v1а при Ь £ [0, то) выполнено неравенство более сильное, чем (12), а именно

неравенство (8). Действительно, в силу (14) существует такое число е > 0,

Поскольку <(0) = 0, (0) = ц.\, то для некоторого р > 0 на отрезке [—

о

Из (13), (24), (25) и вытекает справедливость неравенства (8) с некоторым > 0, где матрица H является решением неравенства (15).

Пусть Q решение уравнения (9). Из способа выбора функции <(а) и леммы 2 следует, что множество G1 = {(z, а) : (col (z,a))TQ col (z,a) ^ ^ ка2} положительно инвариантно для траекторий системы (3) и его граница dGi пересекается вовнутрь всеми траекториями этой системы, которые ее встречают. По доказанному выше, положительно инвариантным для траекторий системы (3) будет и множество K = {(z, а) : V(z, а) ^ ^ 0}. Поэтому множество Gi П K также положительно инвариантно и для любого решения (z(t),a(t)), начинающегося в этом множестве, справедливо соотношение |a(t)| ^ ^ia. Значит на этом решении справедливо соотношение (8). Из (23) следует, что на любом таком решении выполнено и второе условие леммы 1, где в качестве M3 можно взять множество {(z,a) : U(z,a) ^ ¿3} с достаточно малым 53 > 0. Поэтому существует число y > 0 такое, что множество D = Gi П K(7) = {V(z,a) ^ —7} П M3 положительно инвариантно для траекторий системы (3).

Рассмотрим множество Q = D П {(z,a) : а = 0} П {(z,a) : cTz > 0}. В силу определения множества D и соотношения (18), это множество является ограниченным, замкнутым, гомеоморфным выпуклому множеству и бесконтактным для траекторий системы (3). Поскольку все решения системы, начинающиеся в множестве Q, ограничены, то для таких решений имеет место возвращаемость на множество Q. Для произвольной точки (z0, 0) £ Q определим t(z0)так, что (z(t(z0),a(t(z0)) £ Q и (z(t),a(t)) £ Q при t £ (0,t(z0)). В силу бесконтактности множества Q, определенное таким образом отображение непрерывно и имеет в множестве Q неподвижную точку, определяющую начальное условие цикла, целиком содержащегося в множестве D.

Продолжим теперь конструирование нелинейности <(а) таким образом, чтобы система (3) имела по крайней мере еще два цикла, не содержащихся в множестве D. Положим ai = max |<(а) — ц ia|, где

1Л\ определено условием III теоремы 2, и продолжим ^>(ст) вне отрезка [—^10,^1 а] произвольным образом (с сохранением непрерывности и

что

а

а

(24)

о

о

^ia,^ia] при а = 0 выполняется неравенство |<(а)|а i > р. Поэтому

а

(25)

аЄ[—via,via]

кусочной непрерывности производной) так, чтобы в точках непрерывности производной выполнялось условие (14) и соотношение \ф(а) — ц ia\ < а\. Перепишем систему (3) в виде

x = Ax + Ьф2(а), a = cTx, (26)

где n x n-матрица A, а также n-векторы x и b, c определены выше, ф2(а) = = <p(a) — ¡lia.

Напомним, что матрица A имеет ровно два собственных значения с положительными вещественными частями и не имеет собственных значений в полосе —Л ^ Rep ^ 0. Поэтому существует неособая матрица M такая, что B = M-1AM = diag (A1, A2), где A1 — (n — 2) x (n — 2)-гурвицева матрица, а A2 — антигурвицева матрица, размером 2 x 2. Выполнив в системе (26) замену переменных x = My, приведем ее к виду

У1 = A2yi + g&>: a = CT My,y = col (yi ,*). (27)

где col (gl(a),g2(a)) = M~lb^2(a). Пусть по-прежнему H = diag [H, — 0.511 ],

N = M T H M = ( NLT l2

Из (19) вытекает существование такого е > 0, что выполнено неравенство yTN(B + Л1п)у ^ —e\My\2. Полагая в последнем неравенстве yl = 0,y2 = 0 и учитывая что \My\ ^ |y2|(|M-1|)-1, приходим к соотношению

у2> N22(A2 + ЛЬ)у2 < —е\у2\(\M-1|)-2.

Из этого соотношения и антигурвицевости матрицы A2 вытекает, что N22 < 0.

Положим Fy = col (0,y2). Функция (7) в новых переменных может

а

быть записана в виде V(y) = yTNy — f ф2(s)ds. При yl = 0,y2 = 0 имеем:

о

О

V(y) = yTN22y2 — f ^>2(s)ds, где a = cTMFy = lTy2. По теореме о среднем о

а

значении можем записать J ф2(s)ds = ф2(та)а, где т £ (0,1). Поэтому,

о

учитывая, что \ф2(a)| < а1, заключаем, что V(y) < 0 при |y2| > а1 \l\k-1, где k — абсолютная величина наибольшего собственного значения матрицы N22.

Из определения g2(a) вытекает, что |g2(a)| ^ |M-lb|al. Отсюда и из второго уравнения системы (27) следуют соотношения d

dt\У212 = yT(A2 + A, )У2 + 2y2g2(a) > 0 при |y2| > 2|M-l\\b\aik-1,

где ki — наименьшее собственное значение положительно определенной матрицы A2 + AT.

Из приведенных рассуждений вытекает, что цилиндрическая поверхность

dG2 = {x : \FM-1x\2 = т}, где т > max ^a1\l\k-1, 2\M—11|6|a1 k-1j,

бесконтактна для траекторий системы (3), имеет непустое пересечение с положительно инвариантным множеством K(7) = {V(z,a) ^ —7} для достаточно малого 7 > 0 и, наконец, пересекается наружу всеми траекториями этой системы, которые ее встречают.

Определим число v2 следующим образом:

v2 = max \а\, R = {x : V(x) ^ 0, \FM-1x\2 ^ max(\l\k-1a1, 2\M-1\\6\k-1a1).

R

Пользуясь приведенными рассуждениями, нетрудно убедиться в том, что выполнение соотношения \^>(а) — fi1 а\ < а1 только на отрезке [—^2,^2] гарантирует существование поверхности dG2 с описанными выше свойствами.

Пусть а2 = max \^>(а) — ¡л2а\, а числа v1, к и матрица Q те же, что

[-V2V2]

фигурируют в формулировке леммы 2. Продолжим функцию ^>(а) на промежуток [—^1^2,^102] с сохранением всех требуемых свойств так, чтобы на этом промежутке выполнялось соотношение \^(&) — Ц2&\ < ®2. Тогда по лемме 2 поверхность dG3 = {x : xTQx = ка^} бесконтактна для траекторий системы (3) и пересекается вовнутрь всеми траекториями этой системы, которые ее встречают.

Обозначим через G1,G2,G3 выпуклые оболочки поверхностей dG1,dG2,dG3 и пусть K(7) = {V(z,a) ^ —7} с достаточно малым положительным 7. Множество K (7 ), как было установлено ранее, положительно инвариантно для траекторий системы (3). Пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые были приведены при доказательстве теоремы 4 [5], нетрудно убедиться в том, что множества K(y) П G1,K(7) П G2,K(7) П G3 непусты и справедливы включения K(7) П G1 С K(7) П G2 С K(7) П G3. Гиперплоскость П = {x : а = 0}, как было показано ранее, обладает свойством возвращаемости. Из соотношения (18) следует, что множество контакта {x : а = 0, cTz = 0} содержится в множестве Rn\K(7). Таким образом, опираясь на теорему 1 и замечание к ней, мы можем заключить, что система с выбранной указанным выше образом нелинейностью <^(а) имеет не менее двух циклов, не содержащихся в множестве D.

Итак, нам удалось сконструировать нелинейность <^(а) так, что система (3) имеет не менее трех различных циклов. Продолжая процесс конструирования <^(а) аналогичным образом, мы получим систему, обладающую любым наперед заданным числом периодических решений.

Теорема 2 доказана.

3. Пример

Рассмотрим систему

¿1 = ¿2

¿2 = -4z2 - 20^>(à) à = ¿i - <р(а)

(28)

Здесь A

p(p+4) '

20

Выберем Л = 3.8. Легко проверить, что для указанного Л выполнены условия ¡-IV теоремы 2, где можно положить = 0.5, ц,2 = 2. Матрицу

следующим образом. Сначала потребуем выполнения соотношения (16). Это требование приводит к равенствам —40Н12 = 1, —40^22 = 0. Подберем теперь Ни так, чтобы выполнялось неравенство (17) с некоторым достаточно малым ô. Учитывая найденные ранее значения Н12 = —40_1, Н22 = 0, приходим к требованию Н11 < 0. Таким образом, в качестве Нц можно взять любое отрицательное число.

Положим ф (а) = /Л1а на [—0.01; 0.01]. Найдем а как расстояние от точки (0.01; 0.005) до прямой ф (а) = ц2а. Получим а = 0.0067.

Найдем матрицу Q как решение уравнения (9). Получим Q =

Q. Получим vi = 245.462. В соответствии с леммой 2 при выполнении неравенства

Заметим, что оценка сверху интервала значений а, при которых должно быть выполнено условие (29) для найденного а, может быть улучшена, если воспользоваться фактом положительной инвариантности конуса К = = {(г, а) : V(г, а) ^ 0}. Воспользуемся тем, что имеет место произвол в выборе матрицы Н, участвующей в определении множества К, и положим, например, Н\\ = —120. Теперь длину интервала с1\ изменения а, на котором должно выполняться неравенство (29), найдем так:

0, 5(1\ = тах |а| , где 0 = {х : хтQx ^ ка2} П К, х = со1 (г, а).

Получим |а| ^ 0.0156.

являющуюся решением неравенства (15), будем искать

Найдем число vl по формуле vl = д/кСQ 1С, где С = col (0, 0,1), к = 4s|Qb|2, b = col (0, —20, —1), s — наибольшее собственное значение матрицы

(à) - H2à\ < а |à| = v1a = 1.647.

Продолжим ф(а) вне отрезка [—0.0156; 0.0156] нечетным образом так, чтобы в точках непрерывности производной выполнялось условие (14) и соотношение \ф(а) — ц \а\ < ai, где ai = 0.0771 — расстояние от точки (0.0156; 0.0078) до прямой ф (а) = ¡iia. Тогда в инвариантном множестве K существует «выбрасывающая поверхность». На самом деле для появления выбрасывающей поверхности достаточно, чтобы условие \ф(а) — ц ia\ < ai выполнялось при \а\ ^ d2, где d2 > 0.0156 — некоторое

число. Для нахождения этого числа реализуем процедуру, описанную ранее при доказательстве теоремы 2.

Представим систему (28) в виде x = Ax + Ьф2(а), а = сТх, где векторы Ь

~ ( 01 0 \

и с определены выше, A = 0 —4 —10 .

1 0 —0.5

Положим M = Re (Г) +1т(Г), где Г - матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A.

Выполнив замену переменных х = Mу, приведем систему к виду (27), где , . ... . ( 0.0221 —1.4832

Ai = 4.544, А2 = ^ 1.4832 0.0221

Вспомним, что множество K будет положительно инвариантным относительно траекторий системы (28) при любом выборе матрицы H.

Заметим также, что K С Ф = |х : xTHх< 0|, где H = diag [H, —0.5Л], поэтому при нахождении оценки снизу для V2 можно заменить множество K на множество Ф.

( _7 -40-i \

Положим здесь H = ( 40_i 0 ), N = MT H M. Тогда

( —0.3173 0.7192 —0.8141 \

N = 0.7192 —2.2152 1.7785 .

—0.8141 1.7785 —2.0951

В соответствии с описанной ранее процедурой находим V2 ^ 0.3352. Наконец, вычислим a2 = max \ф(а) — ц,2а\ = 0.221. Вне отрезка

[-V2V2]

[—0.3352; 0.3352] продолжим ф (а) произвольным образом так, чтобы выполнялось условие \ф(а) — ц,2а\ ^ 0.221.

Итак, можно взять:

0.4944 + 2а при — 0.3352 < а,

—0.0084 + 0.5а при — 0.3352 <а < —0.0156,

0.015 + 2а при — 0.0156 <а < 0.01, ф (а) = 0.5а при — 0.01 < а < 0.01, (30)

—0.015 + 2а при 0.01 <а < 0.0156,

0.0084 + 0.5а при 0.0156 <а < 0.3352,

—0.4944 + 2а при а > 0.3352.

Тогда по теореме 2 система (28) с нелинейностью (30) имеет не менее трех циклов.

Результаты численного интегрирования системы (28) представлены на рис. 1 и 2, при этом на рис. 1 представлены устойчивые циклы (малый и большой) в Я3, а на рис. 2 — проекции малого цикла на плоскости (XI ,х3) и (х2 ,х3). Третий цикл, амплитуда которого по выходу а находится в интервале (0.0156; 0.3352), численным интегрированием обнаружить не удается ввиду его неустойчивости.

Рис. 1. Результаты численного интегрирования системы (28) в R3

Рис. 2. Проекции малого цикла на плоскости (xi,х3) и (х2,х3)

Как видно, из рис. 2, малый цикл имеет амплитуду колебания координаты хз (выход а для исходной системы) менее 0.0156.

Для поиска периодических решений в инженерных расчетах часто используют классический метод гармонического баланса (метод описывающей функции). Данный метод заключается в следующем

[11]. Предполагается, что система (28) имеет периодическое решение х (t) = col (z (t), а (t)), для которого а (t) = a sinut. Амплитуда a и частота

ш в случае нечетной функции р (а) ищутся [11, с. 303] как решение системы уравнений:

í 1 + ф (a) Re [G (гш)] = 0; ( )

\ Im[G (гш)] = 0, (31)

где G (p) — передаточная функция системы (28) от входа р к выходу (—а),

Ф (а) = Па f Р (a sin 0) sin @d6. па о

Для нашего примера G (p) = pp+4¡++2° •

Тогда Re[G (гш)] = — „2(186+^2), Im[G (гш)] = „у-¿2) •

График функции Ф (а) представлен на рис. 3.

—'—і—'—і—і—і—і—і—>—і—>—і—'—і

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Рис. 3. График функции Ф(а)

Второе уравнение системы (29) имеет решение ш = ±2, при этом первое уравнение системы (29) приобретает вид Ф (а) = 1. Легко проверить (см. также рис. 3), что это уравнение имеет единственное решение а и 0.594.

Таким образом, согласно классическому методу гармонического баланса система (28) имеет единственное периодическое решение, которое является орбитально устойчивым в малом [12].

Хорошо известно, что приближенный (т.е. строго математически не обоснованный) метод гармонического баланса может давать неверные результаты. Приведенный пример показывает, что в случае систем автоматического регулирования, обладающими несколькими циклами, метод гармонического баланса обнаруживает только некоторые из них. В рассмотренном примере он не обнаруживает циклы с «малой» амплитудой.

Список литературы

1. Reyn J.A. Bibliography of the Qualitative Theory of Quadratic Systems of Differential Equations in the Plane. Delft: Delft University, 1994. Report №94-02. P. 320.

2. Chavarriga J., Grau M. Some open Problems Related to 16th Hilbert Problem // Scienrific. Ser. A. Math. Sci. 2003. V.9. P.1-26.

3. Li J. Hilbert’s 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2003. V.13, №1. P.47-106.

4. Буркин И.М. О структуре минимального глобального аттрактора многомерных систем с единственным положением равновесия // Дифференциальные уравнения. 1997. Т.33, №3. C.418-420.

5. Буркин И.М. О явлении буферности в многомерных динамических системах // Дифференциальные уравнения. 2002. Т.38, №5. C.585-595.

6. Буркин И.М., Якушин О.А. О многомерном варианте тринадцатой проблемы Смейла // Изв. ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула. 2004. Вып.1. C.12-29.

7. Smith R.A. The Poincare-Bendixon theorem for certain differential equations of higher order // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1979. V.83. Sect. A. P.153-172.

8. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

9. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний: В 2 ч. Ч.1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. СПб.: СПбГУ, 1992. 368 с.

10. Гелиг А.Х., Леонов Г.А, Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

11. Халил Х.К. Нелинейные системы. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 832 с.

12. Леонов Г.А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах // Прикладная математика и механика. 2010. Т.24. Вып.10. C.37-73.

Буркин Игорь Михайлович (bim@klax.tula.ru), д.ф.-м.н., зав. кафедрой, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Соболева Дарья Владимировна (dv-soboleva@yandex.ru), ассистент, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

On multidimensional systems with nonunique cycle and describing function method

I.M. Burkin, D.V. Soboleva

Abstract. New approach to estimation of periodic solution quantity for multidimensional dynamic systems is developed. We suggest efficient search method

of periodic solutions for multidimensional automatic control systems. The article shows that for multidimensional controlled systems with nonunique cycle wrong results may obtain by using classical describing function method.

Keywords: multidimensional systems, cycles, describing function method.

Burkin Igor (bim@klax.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, chair of department, department of mathematical analysis, Tula State University.

Soboleva Darya (dv-soboleva@yandex.ru), assistant, department of mathematical analysis, Tula State University.

Поступила 07.09.2011