Диффеоморфизмы многомерного пространства с бесконечным множеством устойчивых периодических точек Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 3

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

ДИФФЕОМОРФИЗМЫ МНОГОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА С БЕСКОНЕЧНЫМ МНОЖЕСТВОМ УСТОЙЧИВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОЧЕК

Е. В. Васильева

С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, [email protected]

В предлагаемой работе рассматривается диффеоморфизм (т + п)-мерного пространства в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат. Предполагается наличие нетрансверсальной гомоклинической точки. Цель работы — показать, что при выполнении определенных условий, наложенных, прежде всего, на характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий, окрестность гомокли-нической точки содержит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отрицательны и отделены от нуля. Из статей [1-4] следует, что при определенном способе касания этих многообразий окрестность гомоклинической точки может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но, по крайней мере, один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода. В работах [5, 6] показано, при каких условиях диффеоморфизм плоскости может иметь счетное множество устойчивых периодических точек с характеристическими показателями, отделенными от нуля. Пример такого диффеоморфизма плоскости приведен в книге [7]. Основная цель данной работы — показать, что этот результат имеет место также для диффеоморфизмов многомерного пространства в себя.

Пусть / — указанный диффеоморфизм, т. е.

/ . Кт+п ^ (0) =0

В дальнейшем через (X) обозначаются векторы (т + п)-мерного пространства,

где

х = со1(х1,..., хт), у = со1(у1 ,...,уп).

© Е.В.Васильева, 2012

Предположим, что в некоторой окрестности V начала координат диффеоморфизм / имеет вид

'(;)=(£)■ (1)

где Л, М —диагональные квадратные матрицы порядка т и п соответственно, т. е.

Л = diag [Ль А2,... ,Лт],

М = diag [м1, М2, • • •, Мп],

причем

0 < Л1 < Л2 < ... < Л т < 1 < М1 < М2 < • • • < Мп.

Таким образом, предполагается, что собственные числа матриц Л, М действительны. Пусть

Л = Лт, М = М1М2 ...Мп.

Предположим, что

лм < 1. (2)

Пусть, как обычно, Шя (0), Ши (0) — устойчивое и неустойчивое многообразия точки нуль. Ясно, что в окрестности V многообразие Ш®ос(0) совпадает с линейным подпространством, натянутым на оси (0x1, 0x2,..., 0жт), а Шис(0) — с линейным подпространством, натянутым на оси (0у1, 0у2,..., 0уп).

Считаем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразия содержит отличную от нуля точку, называемую гомоклинической точкой, причем эта точка является точкой касания этих многообразий. Обозначим через р и ц две точки из орбиты гомоклинической точки, лежащие в V, и такие, что ц € ШОс(0), р € Шис(0). Ясно, что в координатах ж, у ц = (ж0, 0), р = (0, у0), где

Ж ^ со1(жо , . . . , Хт ),

у0 = со1(у0,...,уП).

Пусть

ж0 > 0, г = 1, 2,. .., т,

г (3)

у0 > 0, г = 1, 2,..., п.

Из определения гомоклинической точки следует, что существует натуральное число ш такое, что /ш (р) = ц. Пусть и — выпуклая окрестность точки р такая, что и С V, /ш (и) С V. Обозначим через Ь сужение fш | и, ясно, что Ь — отображение класса С1, а ДЬ(0) —невырожденная квадратная матрица; запишем ее в следующем виде:

ЯЬ(0) = (А В'

где А, $ — квадратные матрицы порядков т и п соответственно. Известно, что

det £Ь(0) > 0. (4)

Предположим, что матрица S имеет вид

/ 0 ^12 «13 0 0 «23

5 =

00

0

у 0 0 0 ... 0 )

т. е. яц =0, г > ].

Ясно, что ¿е! 5 = 0, поэтому точка ц является точкой касания устойчивого и неустойчивого многообразий.

Ранее в работах [5, 6] рассматривался случай диффеоморфизма плоскости, т.е. предполагалось, что т = п = 1, в этом случае матрица ££(0) имела вид

«1п

«2п

«п—1п 0

££(0)

а Ь с 0

Ьс < 0.

В данной работе рассматривается диффеоморфизм многомерного пространства в себя, в этом случае матрица 5 также может быть нулевой, если это не противоречит условию (4). Однако, например, при п = 2, т = 1 матрица 5 должна быть ненулевой, т. к. в противном случае условие (4) не выполняется. В качестве примера можно рассмотреть

010 ££(0) = 10 0 1 100

где 5 :

Запишем отображение £ в координатах х, у: £(0) =

х0 + Ах + В(у - у0) + у(х, у - у0) Сх + 5(у - у0) + <(у - у0) + ф(х, у - у0)

(6)

где у, ф — непрерывно дифференцируемые вектор-функции, равные нулю вместе со своими частными производными первого порядка, если х = 0, у = у0.

Из работ [1-4] следует, что в случае, когда п =1, 5 = 0, а функция ф зависит только от х, при условии

3(0) = </(0) = ... = 1)(0)=0, <(к)(0) = 0, к> 1,

(7)

окрестность и может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но, по крайней мере, один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода. Ясно, что условия (7) определяют характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий в точке ц.

Пусть N положительная постоянная такая, что

ду(х,у - у0)

дх

дф(х, у - у0)

дх

< N

< N

ду(х,у - у0)

ду

дф(х, у - у0)

ду

< N

(х, у) е и.

Кроме того, пусть

d = max[n(||S || + N), 1].

Перейдем к описанию характера касания устойчивого и неустойчивого многообразий, для этого наложим дополнительные ограничения на функции g и —. Пусть gi, — i (где i = 1, 2,..., n) —координатные функции этих вектор-функций. Предположим, что скалярная функция — представляет собой функцию m + n — i аргументов, точнее,

—i = —i(xi,...,xm,yi+i — y°+1,...,y„ — y°°), i = 1, 2,. .., n, (9)

т.е. —i является функцией m + n — 1 аргумента, а —n зависит только от x. Кроме того, предположим, что gi зависит только от i переменных, а именно,

gi = gi(yi — y0, ...,yi — y0), i = 1,2, ...,n, (10)

т. е. gi является функцией одной переменной, а gn — n переменных.

Для того чтобы описать характер касания Ws (0), W"(0) в точке q, рассмотрим две положительные последовательности, стремящиеся к нулю, которые обозначим как <7fc, £fc, кроме того, предположим, что последовательность убывает, точнее

o"fc > afc+i > 0, £fc > 0,

lim ak = lim ek = 0.

k—k—

Пусть

ak — £k > ak+i + £k+i (11)

для любого k.

Условия (11) означают, что интервалы (<Tk — £k; ak + £k) не пересекаются между собой.

Пусть lk строго возрастающая последовательность натуральных чисел, такая,

что

(AM)lk < (8d)-"ek. (12)

В дальнейшем уточним, насколько быстро последовательность lk стремится к бесконечности.

Кроме вышеперечисленных последовательностей для описания свойств функции g определим следующие последовательности векторов:

ek =col(ak ,Alk ,...,Alk),

где £k — n-мерные векторы,

yk = y0 + ek,

xk = [E — Л1к [x0 + B£k ], (13)

тk = g(£k) — Myk + Cxk + S£k.

Ясно, что yk, тk — n-мерные векторы, а xk — m-мерные. В дальнейшем координаты этих векторов записываются как

yk = col(yk ,...,уП ), тk = col(Tk ,...,тП), xk = col(xk ,...,xt).

Очевидно, что ёе^Е - Л1к А] = 0 для достаточно больших номеров к, поэтому

2

определение последовательности х2 корректно.

Определим последовательности Д2, г = 1, 2,..., п, как

А? = £2,

1

А? = (4Й)1—4 £2 (М1 ...№—1)^, г = 2,...

Ясно, что

Пусть

А? > Д2к > ... > ДП > 0,

Иш дк = 0, г = 1,2,...,п.

2—

|т21 < 0, 25А2(м»)—, г = 1, 2,..., п. (14)

Кроме того, предполагаем, что существует постоянная а > 1, такая, что

|д' (¿1)| <М—,

¿1 е [«г? - £2;«2 + £2], д<(гь... ,¿4)

, (15)

¿1 е [«2 - £2; «2 + £2], ¿¿[А1к - А2; А1к +Д2], г = 2,..., п, ^ = 1, 2,..., г.

Окончательно, вектор функция д является функцией класса С1 в окрестности нуля и удовлетворяет условиям (10), (14), (15). Ясно, что последние условия определяют характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий в точке ц. Кроме того, из условий (15) следует, что сама функция д и все ее производные первого порядка обращаются в нуль в начале координат. Помимо этого из (15) имеем

Ищ Иш

2—г 2 2—

Последние соотношения показывают, что последовательность 12 стремится к бесконечности достаточно быстро. Более того, по заранее заданным последовательностям «2, £2, имеющим все вышеперечисленные свойства, можно определить нужную последовательность 12 и построить требующуюся функцию д.

Теорема. Пусть дан диффеоморфизм / (п + т)-мерного пространства в себя с неподвижной седловой точкой в начале координат, имеющий нетрансверсальную гомоклиническую точку р. Пусть выполнены условия (1-6), (8-15), тогда окрестность и точки р содержит счетное множество устойчивых периодических точек, чьи характеристические показатели отделены от нуля. Доказательству теоремы предпошлем лемму. Пусть

¿2 = шах[2А1к «2, 4(||В|| + N )А1к £2 ]. Лемма. Пусть и2 — следующие множества

и2 = {(х,у) : ||х - х21| <¿2, |у - у2| < Д2, г = 1, 2,...,п},

тогда

!гкЦйк) С ик, (16)

где ик замыкание V

п.

Доказательство леммы. В двумерном случае, т.е. при т = п = 1, утверждение леммы следует из работы [6], в многомерном — доказательство проводится аналогично.

Доказательство теоремы. Из условий (16) следует, что при любом к (может быть, начиная с некоторого номера) окрестность Цд точки (хк, ук) содержит неподвижную точку отображения f1к Ь, которая является периодической точкой диффеоморфизма f с периодом (^ + ). Эти точки обозначим как Гк = (хк, ук).

Пусть

Ак = А +

АГ * Ь(гй),

Ск = С +

Ск =

дх ' дф{гк) дх '

%(уй ~ Уо) ду

Вк

В +

5к = 5 +

д<р(гк)

ду дф{гк) ду ,

Ясно, что имеют место следующие соотношения:

Иш Ак

к—

А,

Иш Вк

к—

В,

Иш Ск

к—

= Л1* Ак :к = \ИСк

Л1* Вк М(5к + Ск)

С,

Иш Ск

к—

(17)

Пусть «¿^ (к),д^- (к) — элементы матриц 5к, Ск соответственно. Из условий (9), (10), (15) имеем

(к) = 0, г > 54; (к) = 0,

(к)| , г >

(18)

п+т

Пусть х(р) = 5^ ( — 1)п+т-г^»рп+т-г —характеристический многочлен матрицы ^к,

¿=0

причем 70 = 1. Известно, что 7¿ (при г = 1,..., п + т) представляют собой сумму всех возможных главных миноров порядка г матрицы 2к. В свою очередь, главным минором матрицы называется такой минор, у которого номера выбранных строк совпадают с номерами столбцов. Точнее, любому фиксированному набору из г строк матрицы, где 1 < г < т + п, соответствует единственный набор столбцов с такими же номерами. На пересечении этих строк и столбцов лежат элементы матрицы, которые представляют собой главный минор матрицы порядка г. Таким образом,

Y¿

5>

(¿)

где ^ —главный минор матрицы 2к порядка г. Суммирование в последней сумме ведется по всем возможным наборам из г номеров, выбранным из последовательности 1, 2,..., п+т. Ясно, что число слагаемых в этой сумме равно СП+т (числу сочетаний). Очевидно, что

71 = Тг 2к = Тг(Л1* Ак) + Тг(М£к Ск),

7п+т = detSk > 0.

к

0

Пусть г < п, выберем г строк матрицы 22 таким образом, чтобы т +1 < ¿1 < ¿2 < ... < ¿4 < т + п, где через ^ обозначены номера выбранных строк. Пусть 04 — соответствующий главный минор; ясно, что этот минор является главным минором матрицы М1к (6*2 + ^2). Очевидно, что указанная матрица имеет вид

м(62 + зо = М

^ дц(к) д21(к)

«12(к) д22(к)

«1з(к) «2з(к)

дп-и(к) дп-12(к) дп-1э(к) V дш(к) дп2(к) д„з(к)

«1п(к) \ «2п(к)

дп-1п(к) дпп(к) /

а ее главный минор порядка г записывается как

=

д«1«1(к) (к) ... (к)

д«2«1(к) д«2«2(к) ... ^(к)

д«л(к) (к) ... дм*(к)

а

Известно, что каждое слагаемое определителя имеет в качестве сомножителя ровно один элемент своей последней строки, поэтому, учитывая соотношения (18), легко видеть, что минор 04 можно представить как

04 = (Мп-4+1 . . . МпМ-а)1к Д (к),

где Д4(к) ограничены при любых номерах к.

В случае если минор 04 не является главным минором матрицы М1к(62 + 32), т. е. если хотя бы один номер выбранной строки матрицы 22 не превосходит т, то хотя бы одна из строк минора составлена из элементов строки матрицы (Л1к А2 ;Л1к В 2), поэтому такой минор можно записать как

04 = (А^„-4+2 . . .Мп)1к #4 (к),

где Н4(к) ограничены при любых к.

Окончательно, пусть г < п, тогда соответствующий коэффициент характеристического многочлена х(р) представим как

74 = (Мп-4+1 .. .Мпм-а)1кР(к) + (А^п-4+2 . ..Мп)1к^4(к), (19)

где Р4(к),^4(к) ограничены по к.

Аналогично, пусть п < г < (п + т), тогда

74 = (Ап+т-4+2 . . . Атм)1к ^4 (к), (20)

где ^4(к) ограничены по к.

Из свойств характеристического многочлена и условий (19), (20) имеем

71

= (МпМ-а)1к Р1(к)+ А1к д!(к),

где Р1 (к),^(к) ограничены,

7п+т = (А1 ... Атм)1к ^п+т(к),

где Иш ^п+т(к) = det ДЬ(0) > 0.

С другой стороны, пусть р!, р2,..., рп+т — корни характеристического многочлена х(р), очевидно, что они зависят от к. Известно, что среди корней могут быть кратные и комплексно-сопряженные. Запишем х(р) как

n+m n+m

x(p) = (-1)n+m п (p - pi)= ^(-1)n+m->n+m-i^ pi2 ...pti

i=1 i=0 (i)

откуда

Yi = ePtiPt2 •••Pti' (21)

(i)

суммирование ведется по всем возможным наборам индексов ti, ¿2, • • •, ti, выбранным из конечной последовательности индексов 1, 2,..., n + m. Ясно, что число слагаемых в сумме, стоящей в правой части формулы (21), равно Cn+m (числу сочетаний). Пусть w = (n + m)-1. Предположим, что

nw ln(Ap)

а < 1----, (22)

In р,

покажем, что тогда существует положительная постоянная T, не зависящая от k, такая, что

|pi(k)| < Tp-(a-1)n-l£fc, i = 1, 2,..., n + m, (23)

где Pi (k) —корни характеристического многочлена.

Неравенства (23) докажем от противного, т. е. предположим, что (23) не выполняются для бесконечного числа индексов k, точнее, существует подпоследовательность индексов sk (limk—TO sk = и последовательность номеров jk, 1 < jk < n + m,

таких, что

Pjfc (sk )=r(sk )p-(a-1)n-1lk,

lim |r(sk)| =

k—

Для простоты последующих рассуждений предположим, что sk = k, jk = 1 для любого k, тогда получим

P1 (k) = r(k)p-(a-1)n-l£fc,

lim |r(k)| =

k—

Покажем, что из равенств (24) следует

(24)

P1EPt2Pt3 ...Pti = ri(k)p-(a-1)n~ ilk, i = 2, 3,..., n + m,

(i) (25)

lim |ri(k)| =

k—

где ¿2,¿3, • • •, ti —произвольный набор индексов, выбранный из конечной последовательности индексов 2, 3,..., n + m, а суммирование ведется по всем возможным указанным наборам; ясно, что число слагаемых в сумме равно СП+т_1.

Докажем равенства (25) по индукции. Учитывая предположения (24), получаем

n+m

-(a-1)n-1\"fc р (k) + f л (a-1)n-°

Y1-P1 =E Pi = p-(a-1)n-1lfc (MnM-(a-1)n-^ (k)+(Ap(a-1)n-1) fcQ1(k) - r(k)

i=2

Кроме того, из условия (22) следует

МпМ-аМ(а-1)п 1 < М-(а-1)М(а-1)п 1 < 1,

АМ(

таким образом, представим

а-1)п

< А(АМ)-™ = А1-™< 1,

п+т

Рг=Ц-{а-1)П~ х{к),

4=2

где Г1 (Л;) определяется равенствами (26), причем

Ит |Г1(&)| = оо.

2—► ^

В результате

Пусть

п+т

Р1 Е = Г(к)Г1(к)М-(а-1)п"2^.

4=2

ясно, что

Г2(к) = Г(к)Г!(к);

Иш |Г2(к)| = те;

2—

из последнего соотношения следует равенство (25) при г = 2.

База индукции установлена, перейдем к доказательству индукционного перехода. Пусть г < п, из условий (21) имеем

74 - Р1е Р«2 ."Р^ = е Р«1 Р«2 ."Р^,

(4) (4),«1>1

(27)

в левой части последних равенств суммирование ведется по всем возможным наборам из г -1 индексов, выбранным из конечной последовательности номеров 2, 3,..., п + т, в правой части — по всем возможным наборам из г индексов, выбранным из той же конечной последовательности номеров. Из условий (19) имеем

74 - Р1 Е Р«2 ... Р^ = М-

(4)

Мп-4+1 . . . МпМ М

аМ(а-1)п ^ Д(к)+

+ (АМ

п-4+2 . . . МпМ

(а-1)п - 14У* Р4(к)д4(к) - Г4(к)

(28)

Кроме того, учитывая (22), получаем

Мп-4+1 . . . МпМ М

аМ(а-1)п 4 < м-(а-1)м(а-1)п 4 < 1,

Амп-4+2МпМ(а-1)п - 4 < Ам(Ам)-™4 = (Ам)1-ш4 < 1.

В результате имеем

(4),«1>1

(а-1)п 41^

где Ti(k) определяется равенствами (28). Ясно, что

lim \Ti(k)\ = +00; k—

пусть

Ti+1(k) = T(k)Ti(k), (29)

тогда

P1 Е •••Pti = p-(a-1)n-1 (i+1)lkri(k), (30)

(i),ti>l

причем

lim |Гт(к)| =

k—

Таким образом, равенства (25) доказаны для случая i < n + 1.

Докажем индукционный переход при n +1 < i < n + m. Из неравенств (27) имеем

Yi - Pi Е Pt2 • • • Pti = Е Pti Pt2 • • • Pti = (i) (i),ti >1

(An+m-i+1 • • • Amp1+(a-1)n-1^lfc Qi(k) - ri(k)

, (31)

из неравенства (22) имеем

A„+m-i+1 • • • AmM1+(«-1)n-1i < (AM)1-wi < 1,

из равенств (31) получим

]T ptlpt2...pti = v-i<*-Vn-lie>°ri(k),

(i),t1>1

где Ti(k) определяется последними равенствами, кроме того,

lim \Ti(k)\ = +00.

k—

Окончательно, учитывая предположения (24), определения (29), получаем равенства (34), которые доказывают индукционный переход и в этом случае. Пусть i = m + n, тогда равенства (25) имеют вид

P1P2

где

• • • Pn+m М ( )( ) rn+m(k)

lim |rm+„(k)| =

k—

с другой стороны,

P1P2 • • • Pm+n = (A1 • • • Amp)lfc Qn+m(k),

следовательно,

Гт+п(к) = (A1 • • • AmМ1+(а - 1)(nw)-^ Qn+m(k),

из неравенства (22) имеем

(Ai ...Am^-1^) -1) < 1,

таким образом, получаем, что rm+n(k) ограничены по k. Следовательно, получено противоречие, которое показывает, что предположения (24) не справедливы. Таким образом, доказаны неравенства (23).

Известно, что характеристические показатели периодических точек г^ диффеоморфизма f определяются как

V(k) = (w + 4)-1 ln |pi(k)|, i = 1, 2,. .., m + n,

откуда, с учетом (23), получаем

vAk) < (lv + 4)_1[lnT - an^1£k ln ¡j\ < ——In ¡л, i = 1, 2,..., то + n,

2n

последние неравенства справедливы для всех номеров k, начиная с некоторого номера. Теорема для случая выполнения неравенства (22) доказана. Пусть (22) не верно, точнее, если справедливо соотношение

а > 1 — nwln(A^)(ln^)-1,

то легко показать, применяя аналогичные рассуждения, что корни характеристического многочлена х(р) удовлетворяют неравенству

|pi(k)| < S(A^)wlfc, i = 1, 2,..., m + n,

где S — положительная величина, не зависящая от k. Из последних неравенств следует утверждение теоремы для этого случая. Теорема доказана.

Литература

1. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклиниче-ской кривой // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. №8. С. 1411-1419.

2. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической точкой // Докл. РАН. 1993. Т. 330. №2. С. 144-147.

3. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклини-ческими кривыми // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286. №5. С. 1049-1053.

4. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1973. Vol. 12. P. 9-18.

5. Васильева Е. В. К вопросу устойчивости периодических точек, лежащих в окрестности гомоклинической точки // Докл. РАН. 2005. Т. 400. №2. С. 151-152.

6. Васильева Е. В. Устойчивые периодические точки двумерных диффеоморфизмов класса // Вестн. Санкт-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 20-26.

7. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 304 с.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.