Гладкие диффеоморфизмытрехмерного пространства с устойчивыми периодическими точками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.53

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4

ГЛАДКИЕ ДИФФЕОМОРФИЗМЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА С УСТОЙЧИВЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ*

Е. В. Васильева

С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, ekvas1962@mail.ru

В предлагаемой работе рассматривается Сг-гладкий (г > 1) диффеоморфизм трехмерного пространства в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Цель работы — показать, что при выполнении определенных условий, наложенных, прежде всего, на характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий, окрестность гомокли-нической точки содержит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отрицательны и отделены от нуля. Из статей [1-3] следует, что при определенном способе касания этих многообразий окрестность гомоклинической точки может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но, по крайней мере, один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода. В работах [4, 5] показано, при каких условиях диффеоморфизм плоскости может иметь счетное множество устойчивых периодических точек с характеристическими показателями, отделенными от нуля. Пример такого диффеоморфизма плоскости приведен в книге [6]. Диффеоморфизм многомерного пространства в себя класса С1 рассматривался в работе [7], в которой предполагалось, что матрица Якоби указанного диффеоморфизма является диагональной в начале координат. В данной работе показывается, что диффеоморфизм трехмерного пространства произвольного класса гладкости может иметь счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля, причем матрица Якоби у такого диффеоморфизма не должна быть диагональной в начале координат.

Пусть / — диффеоморфизм трехмерного пространства в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат, а именно / : М3 ^ М3, /(0) = 0.

Предположим, что собственные числа матрицы Д/(0) действительны (в данной работе рассматривается только этот случай). Пусть диффеоморфизм / линеен в некоторой окрестности начала координат V, тогда

Возможны следующие случаи: 1) матрица Д/(0) является диагональной (этот случай рассмотрен в работах [5, 7]); 2) Д/(0) не является диагональной, т.е. среди собственных чисел матрицы имеется кратное собственное число. Если в случае 2) матрица

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00624). © Е.В.Васильева, 2013

(1)

/А 0 0\

Д/(0) имеет вид Д/(0) = 11 А 0 1 , где 0 < |А| < 1 < м, то окрестность нетранс-

\0 0 м)

версальной гомоклинический точки может содержать бесконечное множество устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. Этот результат следует из работ [5, 7].

В данной работе предполагается, что Д/(0) имеет вид

А00

Д/(0) = 10 М 0 I , (2)

\0 1 М/

где 0 < А < 1 < |м|.

Предположим, что собственные числа А, м матрицы Д/(0) положительны, кроме того, пусть

АМ2 < 1. (3)

Пусть, как обычно, Шя (0), Ш"(0) —устойчивое и неустойчивое многообразия точки нуль. Ясно, что в окрестности V многообразие Ш®ос(0) совпадает с осью (0ж), а (0) — с плоскостью (0у, 0г).

Считаем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий содержит отличную от нуля точку, называемую гомоклинической точкой, причем эта точка является точкой касания этих многообразий. Обозначим через р и д две точки из орбиты гомоклинической точки, лежащие в окрестности V, и такие, что д € Ш®ос(0), р € Шг"е(0). Ясно, что в координатах ж, у, г эти точки запишутся так: д = (ж0, 0, 0), р =(0,у0,г0). Пусть

ж0 > 0, у0 > 0, г0 > 0. (4)

Из определения гомоклинической точки следует, что существует натуральное число ш такое, что /ш (р) = д. Пусть и — выпуклая окрестность точки р такая, что и С V, /ш (и) С V. Обозначим через Ь сужение /ш |и. Ясно, что Ь — отображение класса Сг (г > 1), а ДЬ(0) —невырожденная матрица. Предположим, что

(«1 в2 аз\

Ь 0 0 I , (5)

С1 С2 0 /

причем аз Ь С2 > 0.

Ясно, что точка д является точкой касания устойчивого и неустойчивого многообразий. Запишем отображение Ь в координатах ж, у, г

'ж0 + «1Ж + а2(у - у0) + аз(г - г0) + у(ж, у - у0, г - г0)^ Ь |у | = | Ьж + ^(у - у0, г - г0) + —(ж) | , (6)

С1ж + С2(у - у0) + х(ж, у - у0) + д(г - г0)

где у, х, д — функции класса Сг (г > 1) в окрестности начала координат, равные нулю вместе со своими производными первого порядка в начале координат. Предположим, что производные первого порядка функций у, —, х ограничены в окрестности и положительной постоянной М.

Опишем характер касания многообразий Ws(0), W"(0) в точке q. Для этого рассмотрим две положительные последовательности, стремящиеся к нулю, которые обозначим CTfc, £fc, и предположим, что последовательность ak убывает, точнее ak > ak+i,

£k > 0, lim ak = lim ek. k—k— Пусть для любого к выполнено соотношение

ak - £k - ak+i - £k+i > 0. (7)

Предположим, что mk — возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что

(AM2)mk <£k (8)

для любого к. В дальнейшем уточним, насколько быстро последовательность mk стремится к бесконечности.

По введенным последовательностям определим следующие величины: xk = Amfc (x0 + a,2Amk + a3ak)(1 - ai Amk )-1, yk = y0 + Amk, zk = z0 + ak, Ak = £kM-mfc, 5k = max[Amfc ak, 4(M + |as|)Amk £k ].

Обозначим через d следующую величину: d = min [1, 0.25 (|c2| + M)-1] . Пусть Cr-гладкие (r > 1) функции g, h удовлетворяют нижеперечисленным условиям:

|h(Amfc ,ak) + bxk - (y0 + Amk )| < 0.25 Amk,

jg(ak) + cixk + C2Amk + mk M-mfc+1(y0 + Amk) - (z0 + ak )| < 0.25 Ak. (9)

Предположим, что при некотором значении а > 1 производные первого порядка функций g, h удовлетворяют следующим неравенствам:

dh(s,t)

ds

< M-2amfc,

dh(s,t)

dt

<M-2amfc, (10)

где s e [Amk - Ak,Amk + Ak ], t e [ak - £k,ak + £k],

У (1)1 <М-2ат, где I е [ак - ек,ак + £к]. (11)

Условия (9) показывают, что последовательность шк должна стремиться к бесконечности достаточно быстро.

Определим последовательность множеств

ик = {(х, у, г) : |х - Хк | < ¿к, |У - Ук | < d Ак, |г - гк | < £к}.

Ясно, что ик С и при достаточно больших к.

Теорема. Пусть дан диффеоморфизм / трехмерного пространства в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат, имеющий нетрансверсаль-ную гомоклиническую точку р. Пусть выполнены условия (1) - (11), тогда окрестность и точки р содержит счетное множество устойчивых периодических точек диффеоморфизма /, причем характеристические показатели у этих точек отделены от нуля.

Доказательству теоремы предпошлем лемму.

Лемма. Пусть выполнены условия теоремы, тогда справедливы следующие включения:

ГкЦйк) с ик, (12)

где ик замыкание ик.

Доказательство леммы в двумерном случае следует из работы [4], в рассматриваемом случае доказательство проводится аналогично.

Доказательство теоремы. Из (12) следует, что при любом k (может быть, начиная с некоторого номера) окрестность Uk содержит неподвижную точку отображения fmfc L, которая является периодической точкой диффеоморфизма f с периодом (w + mk). Обозначим эти точки и их координаты следующим образом: Sk = (Xk ,y0 + yk 0 + ¿k).

Для того чтобы оценить характеристические показатели точек Sk, надо оценить собственные числа матрицы DfmkL(sk). Ясно, что эта матрица имеет вид

Dfmk L(sk) =

Amk ai(k) Amfc a2(k) Amk a3(k)

b(k) Mmfc h1(k) h2(k) ^mk pmfc-1b(k) + pmfc c1(k) mk pmfc-1h1(k)+pmfc c2(k) mk pmfc-1h2(k) + pmfc g(k),

где

(1Л , дфк) ns , дфк) дфк)

а1(к) = а1-\--——, a2(fc) = a2H--——, а3(к) = а3 Н--——,

Ъ{к) = Ъ + ф (хк), с1{к) = с1Л----, с2{к) = с2Л----,

dy dz

, /,ч dh(yk,zk) ,n dh(yk,zk) . . .

-ду-' =-~Q~Z-' 9{k) = g{zk)•

Из последних соотношений и условий (10), (11) получим

lim a,j(k) = a (г = 1, 2, 3), lim b(k) = b, lim cj(k) = cj (г = 1, 2),

k—k—k—

|hi(k)| <M-2amk (г = 1, 2), |g(k)| <M-2amk.

Обозначим через 0j(k), г = 1,2, 3, главные миноры второго порядка матрицы DfmkL(sk). Главным минором матрицы называется такой минор, у которого номера выбранных строк совпадают с номерами столбцов.

Пусть P (р) —характеристический многочлен матрицы Dfmk L(sk). Он имеет вид

P (Р) = £ Pj(k)p'

3—i

где

Po(k) = -1, P1(k)=TrDfmk L(sk),

P2(k) = E öi(k), P3(k) =detDfmkL(sk). i=1

С другой стороны, P (р) можно представить как

3

P(р) = -П(Р - Pi(k)),

i=1

где Рг(к), г = 1, 2, 3 — корни характеристического многочлена. Из условий (13) имеем

Р1 (к) = Р1(к)+ Р2(к)+ рз(к),

Р2(к) = Р1 (к)р2(к) - р1(к)рз(к) - р2(к)рз(к),

Р3(к) = р1(к)р2 (к)рз(к).

Выберем положительную величину 7, удовлетворяющую следующему неравенству:

2 1п ^ + 1п Л"

0 < y < min

а — 1, —-

3 1п ^

Из результатов работы [7] следует, что для фиксированной величины 7 существует положительное значение Т такое, что

|р»(к)| < , г = 1, 2, 3; (14)

последние неравенства справедливы при достаточно больших номерах к.

Известно, что характеристические показатели периодических точек вк диффеоморфизма / определяются как ^¿(к) = (^+тк)-1 1п |р^(к)|, г = 1, 2, 3, откуда с учетом (14) получим

^¿(к) < (^ + тк)-1(1пТ - 7тк 1п< -0.57 1пг = 1, 2, 3;

последние неравенства справедливы для всех номеров к, начиная с некоторого номера.

Теорема доказана.

Литература

1. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической кривой // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №8. С. 1411-1419.

2. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической точкой // Доклады академии наук. 1993. Т. 330, №2. С. 144-147.

3. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1973. Vol. 12. P. 9-18.

4. Васильева Е. В. Устойчивые периодические точки двумерных диффеоморфизмов класса C1 // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 20-26.

5. Васильева Е. В. Гладкие диффеоморфизмы плоскости с устойчивыми периодическими точками, лежащими в окрестности гомоклинической кривой // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1355-1360.

6. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 304 с.

7. Васильева Е. В. Диффеоморфизмы многомерного пространства с бесконечным множеством устойчивых периодических точек // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 3. С. 3-13.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.