CC BY
21
УДК 517.958
Р. С. МАКИН
о гомоклинических траекториях
для одной задачи динамики реакторов
Рассмотрены свойства решений одной нелинейной модельной задачи динамики реакторов. В качестве модельной задачи взята широко используе.мая модель нелинейной динамической системы, где перенос нейтронов описывается в многогрупповом диффузионном приближении. Установлено существование грубой гомоклиниче-ской траектории рассматриваемой динамической системы, а также существование расщепления нетриви-ального гиперболического множества, гомеоморфного канторову совершенному множеству.
1. В практике расчётов часто рассматривается в качестве модельной задачи динамическая система реактора в многогрупповом диффузионном приближении, которая описывается следующей системой уравнений [1-
3]:
м
и-' 5 = -Ы> - Ф, Т)Ф + (I - р Т)Ф 4- X
01 /,=|
ее
(1)
ы
= -гС + р /(х, Т)ф(х, Т),
а (*)<% = -£Т+ /с/, (х, Т)Ф(х, Т),
Ь/ = -\ciiv Ц(х^га<3Ь= -<И\/ ¿(х^гск!/,
с начальными и граничными условиями
Ф'(х,0) = ФДх); Ск(х,0) = С1 (х); Т(х, 0) = ; (2)
ЗФ'"/ +^(х)Фу|г=0; (3)
а(х)Т{хл)+ (] (х) (/? (х), %га<1х Т{х, / ))| г = О , (4)
где ^^/^у ) - производная по конормали к поверхности
Г= /с = 1 9...,М',п(х) - внешняя нормаль к границе Г выпуклой офаниченной области Кв точке*.
За точку отсчёта температуры 7(.х,/) принята температура окружающей среды. В системе (1)-(4)
Ф{х,1)=сЫ{ф\...,Ф":}Дх,1)=со1{С„...,См}-
Хл =со/{хл-.-,Хл}; Р =ео/{р|,...,Рд,};и=^'вгК(-х).-Рт(^)}; 2 = ......ги\\
{ф, т)}м = (х, Т)=-[е/(х, Т)+г{ (х, г)] ■ {Х(х,т% = ъг(х,т)^л
/Х(х,т) = Ф7(х5?);иДх) - плотность и скорость нейтронов в группе;;
/ А/
/ 1У1
Ск{х>{) - концентрация источников запаздывающих нейтронов в группе к; V, (3 - ^ Ра-
N
ч аг=1 /
действительные положительные константы, /с = ] = [1].
Существование и некоторые свойства решения задачи (1) - (3) установлены в работах [3, 4], в том числе для системы (1) - (3) с системой автоматического регулирования - в работе [2]; существование положительного стационарного решения для этой системы доказано в [5]. Аналогичная задача в газокинетическом приближении рассмотрена в работах [6,7].
В работе [8] было установлено существование множества гиперболических неподвижных точек и гиперболических траекторий (равномерных или неравномерных) для этой задачи, что позволило приступить к описанию глобальной динамики поведения решений (см. также [6-8,11]).
© Р. С. Макин, 2005
Вестник УлГТУ 1/2005
Если у динамической системы имеется гомоклиническая траектория состояния равновесия, то при малых по времени периодических возмущениях она может расщепиться с образованием в её окрестности грубой гомоклинической траектории гиперболической периодической орбиты. Это, в свою очередь, означает существование у возмущённой динамической системы нетривиального гиперболического множества [12], гомео-морфного канторову совершенному множеству. Впервые достаточные условия грубого расщепления были сформулированы в работе [13] для аналитических двумерных динамических систем; в работах [14,15] этот результат был установлен для дважды дифференцируемых систем.
Условие I. Пусть V а Я' - ограниченная область с границей Г класса Ляпунова. Внутри объём V разделён на (7У+1) зону поверхностями Г1= которые являются поверхностями Ляпунова, гомео-морфны сфере и не пересекаются между собой и с поверхностью Г.
Условие 2. Функции а(х),/)(х),а(х),& (х^я^х) ограниченные, измеримые, удовлетворяю-
щие условиям:
О < и ¡п < и' (х) < и < оо; 0 < а ,„ < а (х) < а м < оо; О < с1т < с!(х)<с1м < со; 0 < ат < а(х)<ам < со;
] = 1,...,т; а.,и/, ап 6/, В/ = сот1, / = т,М\
при хе У{ а(х) = а,(х),/)7.(х) = Вп(х),(1(х) = ¿Дх)9а(х),/)у(х)е С^К,),/ =
а(х),&Дх)е С1 (Г),у = 1На Г. функции а(х),В- (х),с1(х) могут терпеть разрывы первого рода, 2 = при этом выполнены условия согласования:
дФ
)
= о,
(5)
г.
= 0;
= 0,
(6)
г,
нее;
где
где /т
^ г,±о аналогично
- производные по конормали к поверхности раздела зон Г1 по разные стороны от
для
положительные
постоянные;
Условие 3, Будем считать, что существуют у0, /0, 1 < г0, у0 < га, такие, что
Рл, >0, у = 1,...,т; \<1<^<М
(определение области У0 дано ниже).
Пусть р(х),хе V - ограниченная измеримая функция, для которой 0 < р;;г < р(х)< рм <оо. Обозначим через Ц>{У\ р) гильбертово пространство функций со скалярным произведением
(фД|/) = |<^хр(х)ф(х)ц/(х), ||ф 2 = Пусть также С"(к) - банахово пространство функций
V
ф(х),хе у,с°(у)=с(у). Введём гильбертовы пространства Щрр — 1,2. По определению
т. е. класс функций, полученный замыканием в норме4 /
Ш
/II2+1 л
/=1
. Аналогично вводится про-
странство У/]. Пространства т У\ р = 1Д) определим как произведение га копий
\
пространств 12(И;р|.)(сЛ(к);й^/' ,р = 1,2), где р;(х),хе V - ограниченная измеримая функция, О < Р;„ < р,-(х)< < оо; р = = 1,...,т. Обозначим через множе-
ство функций из для которых выполнены граничные условия (3) ((4)) и условия согласования
(5) ((6)). Из теоремы вложения следует, что Щ2,„(У;£) с Щ2(У) с с(й); Щ2М(У; Ь) с Щ2(У) С С,,,(к). Лемма 1 ([16,9]. Пусть выполнены Условия I, 2. Тогда
1) Ь - замкнутые в /^(К),/^ т\У) самосопряжённые операторы со всюду плотными в
АМА.М Областями определения Щ2(У;*),В(Ь) = №2т(У-,Ь);
2) для любой функции ф (х) £ /^„(К)) уравнение (!($) = /(/хр = /) однозначно разрешимое о(е)(в(ь));
3) операторы £~19Е1 являются положительными вполне непрерывными операторами из /^(К) я
4»
операторы I, L положительно определены, т. е.
L, (К) г/ ю
Условие 4, Будем считать, что функции £/(лг, Т),г = s,cl,f] (х, 7") при любой фиксированной
T[x)g I^{V\Cl) являются измеримыми ограниченными в V функциями, причём равномерно по Те Ц{У\а) справедливы оценки:
О < Q,m < min Qt„ < I/(г, Т) < max < QMi < со, О <со„,,. < min ю^ < Е^у(х,Г)< max <a>w < со,
где xe V,QJtncùf ,QtjJ(ù, - константы, t = m,M\ i = a,j\s\ = . Отметим, что возможны случаи,
когда s 0 при Х6 V\ У0,
где ={x:S^(x;r)>0J = Ufm} Je R\i0 = {1,2,...,^+!}.
как
Далее так же, как и в [2,3], предположим, что Е/(л;Г)5/ = рассматриваемые
отображения из в ^{У), обладают липшицево непрерывной производной Фреше
(г,Г). Таким образом, если Т,Т},Т2 е а), то
Ч (х, т]
< ж '
ЫУпУ+иг) 1 '
VI е-* J
'т
<ж°
'»bU^)
где хе - константы, /с = 1,2; / = s,a9f; ¿9j =
/
\
2. Введем гильбертово пространство H
\
"v"
Л/
/
вектор-функций
ф(/) = со/{ф,С1,...,СЛ//,г} с обычным определением скалярного произведения и нормы. Запишем систему
(7)
(1) - (4) в виде задачи Коши в гильбертовом пространстве Н
= г 6 [О,Г], ф(о) = ф0 = со/{фо,С.....с! д}.
Здесь Л = ¿//¿^1—г,,...,—а-1^}. Областью определения оператора А является множество
П{А)= 0{Ь)хЬ1(У)х...хЬ1(У)х0(£);
(—\ — м
k=i
^ = Р,/(х,/;Г)Ф,/с = 1,...,М; FA/+1 =/са'7,
/>(*,'/; r) = u{(l-ß 7)-Z(x,/; Г)}.
Обозначим через C([0, 7]; E) банахово пространство функций, непрерывных из [0?7"] в Е, через C([0J]-E) - непрерывно дифференцируемых из [0,7] в Е. Пространства ^([О, 7"];is),Cj;([0, Т\'9Е)у
р < со , определяются как прямая сумма пространств СД[0,7^];2£),С!,([0, Т\\Ё) соответственно.
по
Условие 5, Положим, что функции 7),/ = равномерно
Г Е [0,71], Т> 0, удовлетворяют Условиям 4 и, кроме того, непрерывно дифференцируемы по / Е [0, Т\ , причём
(хаТ)-Т>(*«;Т2\ < д*- Т2\; ^(*,/;Г?'(*,«;Т2\< £\Т,-Т2\-
/ = ь Е [0,Г],Г> 0; .ХЕ К; Г,Е =СОЛ^>0,/С = 1,2; =
Определение. Вектор-функцию ф(/)е С]р([О,Т\Н)П Ср(¡0, Т\В(А)),р = т+ М+1, удовлетворяющую дифференциальному уравнению и начальному условию (7), будем считать решением задачи Коши (7). Заметим, что данное определение является определением сильного решения задачи (7).
ТЕОРЕМА I. Пусть выполнены Условия 1-5 относительно коэффициентов системы (1) - (4). Тогда для
любой ф0 Е существует единственное решение задачи Коши (7) (системы (1)-(4)
ф(О Е С\([о, Г];Я)П с;([о, г]; П{а)},р = т+ М+\, для всех Т>0 с оценкой
sup
О </<Г
щ
+ su
н 1<1<Г
+
+
sup||7{^<Cfp
0 Я<Т
о
+
н
ф
о
о2 +
т
(8)
п
IV2 ) 9
где С = СОШ1 > 0 ^ не зависит от ф(/) и ф0. Оценка (8) говорит о непрерывной зависимости решения от начальных условий.
Доказательство теоремы 1 приведено в работах [2, теорема 1], [3] и основано на лемме 1 и свойствах операторов Ь и £, порождающих С0 - полугруппу положительных сжимающих операторов V^А) с оценкой ¡и^АХ^н ^ ехр(~ РоО* Ро = т1п|/ сот1 > 0 (см. леммы 2, 3 работы [2]).
Существование положительного стационарного решения системы (1) - (4) установлено в работе [5].
3. В дальнейшем удобно записать задачу (7) в следующем виде:
ф Е Н, 0 - период, 8 > 0 - некоторый параметр;
я(ф)- (ф),4;ф)- ^(ф) = со1< (ф),;(г,ф) =
I м+\ I
\
= со/{/^в1(г; ф .., }; (ф) = Г) +
Д-=1
Задача (9) порождает в Н х N. N = 7?/(ггЮ<ЗТ), локальный по времени диффеоморфизм , причём
определён для всех / Е при достаточно малых 8 > 0. В этом можно убедиться методом последова-тельных приближений.
24 ' Вестник УлГТУ 1/2005
/ /л!
(9)
В работах [3,8] установлены следующие результаты.
Лемма 2. Пусть выыполнены Условия 1-5. Тогда для состояния равновесия О о (/) невозмущённой (в = 0) задачи (9) справедливы соотношения
Нтоо(0 = 0, АоМ)еН \fteRUR).
/->±со
При этом гомоклиническая траектория и о (/) стремиться к нулю при I —> +оо, касаясь собственного подпространства Ц оператора А, отвечающего собственному значению ¡1 ; аналогично, при
/ —> —со НгП1)о(0= 0 и касается собственного подпространства отвечающего собственному
значению
X оператора А.
Кроме того, для любого 8 > О
Пт|оо(/| -ехр(-ц +5)/ = 0,. Нт Ьо(/| ехр-(А,+8)/= 0.
/—>+оо11 IIН о11 \\Н
Условие 6. Нелинейные отображения $(ф ): И —» И , ): Я х N —> Я принадлежат классу гладкости = т+ М+1. При этом 5(0) = 0;£>5(0) = 0;2)25(0) = 0,
где - производная Фреше оператора в точке и 6 Я .
Обычно условие 6 для рассматриваемого класса задач выполняется [4,5].
Условие 7, Существует кососимметрическая, непрерывная, слабо невырожденная билинейная (симплек-тическая) форма О : Я х Я —> и гладкая функция Н: Н Я такие, что для любых и 6 /)( Д) и
ф е Я справедливо соотношение )= !)#(«)ф , где 4>(м) = + Ви.
Рассмотрим также линейную задачу
полученную линеаризацией задачи (7) (системы (1)-(4)) в окрестности её стационарного положительного решения.
Здесь у (/) = со1 (х, /), С,,..., См ,т (х, £) |: [0,7]-> = ^ + : Н(а)-* Н,Н(А) -банахо-
(10)
во пространство, состоящее из элементов О(а) с нормой ш = А\} ;Л : Я —> Я -линейный ограни-
ченный оператор в условиях теоремы 1 [3,4].
Рассмотрим полугруппу Г* : Н х N -> Н N, порождаемую задачей (7). Пусть П : Я х N Я
- каноническая проекция. Определим отображение Пуанкаре для полугруппы Ту на сечении
Я х{/0}: (ф)= п(т^8(ф;/0)),Г0 е [0,Г]. Очевидно, 0) = 0,а Т - периодическим орбитам отвечают неподвижные точки Р? . Установлены следующие результаты для задачи (10) [3,8].
'о
Лемма 3. Пусть выполнены Условия 1-6. Тогда существует единственная неподвижная точка «£(/0) отображения Р^ такая, что Бир Ыг (/0 1 = 0(е ) для всех достаточно малых 8 > 0. При этом
/иф.г] 1И
зресП% [й, 0о)) = {ехр(7\ (/0))} и {ехр(7це (/0))} и а £ (/0).
где ехр(7Хе (?0)), ехр(7це(*0)) - простые собственные числа линеаризованного оператора в
точке Ме(^). причём Нш Бир ^ (*0 )-А.1 + |це (/0 )- Ц } = 0, а СТе(/0) - подмножество спектра, лежащее
<Ао.т] ч
внутри круга р(е ) < 1, где р(е) не зависит от I; здесь - простые собственные числа невозмущённой спектральной задачи для задачи (10).
Рассмотрим шар Въ(/0) радиуса 8 с центром в точке и (г0,8) и отображение
: Д (?0) -> Я, : м(г0,8 ) м(/0 + Г;е ). Из леммы 3 следует, что и(*0,8 ) - неподвижная точка ото-
бражения Р? , значит, она также является неподвижной точкой отображения ^ : Д (/0 ) -> Я (подробнее
см. в [3,5]). Отсюда также следует, что отображение : Вг (/0)—> Д (/0) - сжимающее [3], и справедлива
оценка
ZMj(i4,s)J V«(í0,e)e Bt(/0),
(П)
а функция С(г) непрерывна и не зависит от /0 е [О//1] \/с > 0 .
По теореме об инвариантных многообразиях неподвижной точки диффеоморфизма ([17], §5) следует, что неподвижная точка 0 отображения Р^ имеет одномерное устойчивое, одномерное неустойчивое инвариантные многообразия и центральное инвариантное многообразие коразмерности два. Отсюда и из леммы 2 следует, что устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия отображения Р^ совпадают с гомокли-
нической траекторией невозмущённого уравнения.
Из леммы 3 и теоремы об инвариантных многообразиях неподвижной точки вытекает
Лемма 4. В условиях леммы 3 гиперболическая неподвилсная точка и(/0, б) отображения Р1 для всех достаточно малых £ > 0 обладает единственными локальными инвариантными многообразиями: К (ме (/0 )) - сильно устойчивым; И'™. (ис (/0 )) -
неустойчивым, причём такими, что:
I.
точке собственных подпространств оператора
DP) {llz (/0)) для собственных чисел exp\T\iz (/0)] < 1 и ехр[Т\ (/0)] > 1, соответственно.
2.
3.
4.
lim
/!—>+ СО
lim
л-»-»
щ
e^[-«7tHeOo)+8)] = 0, VÜeH£fe(0) и V5 >0.
И
(p*J(ü)-Ze(t0) ехр[л7(-Хс(ф8)1=0. vüe « V8 >0.
И
5.
при
/0 Е [о, г] CL - близко множеству |l)o(/): t>U
при
W¿c (i¿z (/0)) равномерно по /0 G [0,7] Ск - близко множеству t < U
s ->0 Ví*,/ceZ\-
Щос (Ue Оо )) равномерно по
s —> 0 V/*, /ceZ\
Устойчивое инвариантное многообразие И^Дие (í0)) неподвижной точки Uz (t0) отображения Р) имеет коразмерность единицу.
4. Рассмотрим вопрос о расщеплении гомоклинической траектории. Пусть УЕ(0 = (Ме(0»') " периодическая траектория полупотока F^; W¡(K.(у г ), (у е ) и Щ*()С(у£ ) - устойчивое, сильно устойчивое и неустойчивое локальные инвариантные многообразия траектории у Е , соответственно. В таком случае
к (»= fe)) == к (т с) п (я х {/0}), иг о,)) = с (у,) п (я х {í0 }),
сМ=С(ге) п (Я X {/„}),
и нас интересует поведение Щос{иг (/0)),W¡*oc\Uz (t0)) Ve > 0, достаточно малых, и характер их пересечения. Везде далее отсутствие индекса «loe» означает рассмотрение глобального инвариантного многообразия.
Выберем точку и о е {uo(/)l t е Г> i) о = 1>о(0); пусть М- гиперплоскость в Н коразмерности 1, проходящая через точку 1)о и трансверсально пересекающая гомоклиническую траекторию Г. В силу леммы 4,
Щос (Ме Оо)) трансверсально пересекает гиперплоскость А/в единственной точке f wc(/0) J для всех доста-
точно малых 8 > 0 . Аналогично определяется точка uz (f0).
Рассмотрим функцию Де (/0) = Q
Aíuo(0), We(í0)-WeOo)
. В работах [17,18] установлена лемма, по-
зволяющая вычислить первый член разложения
д£ оо )
по 8 .
$
Лемма 5. Пусть выполнено Условие 7. Тогда в условиях леммы 3 равномерно по I € ¡0,7'] справедливо разложение
AE(/0)=-|U(/0>+O(S2),
00
где ц(/0) = |¿7Ц4,(йо(/~¿0))],4>о(/-/0),.
(12)
(13)
-00
Доказательство. Пусть UR(t,t0)
решение задачи (9), удовлетворяющее условию
Установленные свойства решений задачи позволяют утверждать, Яа (/,/0,С ) < С8 2, здесь при фиксированном / константа с не зависит от /0 е [О, 7].
что
где
Очевидно,
~dt
Рассмотрим
ДЕ (l,tQ ) = Q[4) О(/ - /о)), иг (t,t0)- Wc (/, f0 )j.
Заметим,
что
а остаточ-
М^О = Де(Мо)-Л:(МоМ(Мо,4 где Да£ (/, /0) = ф(и о О - /0)), 8^ (м0 )],а е {н Д ный член /0,с) допускает при фиксированном г оценку ||/2(/,Г0,е)|| <С82 равномерно по е[0,Г].
Функции Д"(/,/0),а е {и,Я}, удовлетворяют соотношению
dt
>4
+
+п
которое в силу Условия 7 (автономности невозмущённой задачи (9)) эквивалентно следующему соотношению:
d^ dt
(м0) = Q[4>о(t - /0)), 85(r5uо(i -/0))].
(14)
Проинтегрируем соотношение (14) с индексом а = S по / от to до оо, а с индексом а =и - по / от - со до t0> после чего сложим полученные выражения. В результате получим требуемое разложение (12). Доказательство завершено.
Для дальнейшего введём следующие определения.
9 { \ О
Символом W* (0) обозначим центральное инвариантное многообразие точки 0 отображения Р , отвечающее части спектра а0 U {ц}- Если L - линейное подпространство пространства Н , то через LQ обозначим косоортогональное дополнение I? = \и Vl) е ¿J. Напомним также, что Ц = Т0 Ц, = Т0 Щ'()С{О)> гДе i "" касательное подпространство к многообразию в точке и . Назовём
гомоклиническую траекторию Dou) симметричнои, если DB^o(t))=DB^o(-t)) VteR. Сформулируем результат о точке трансверсального пересечения.
ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены условия леммы 5 и форма Q не вырождена на подпространстве Если гомоклиническая траектория Do(/) симметрична, а функция (/0) имеет невырожденный нуль,
то
устойчивое и неустойчивое W" [и?, (^)j многообразия неподвижной точки Uz (/0) отобра-
жения Р] для достаточно малых 8 > 0 имеют точку трансверсального пересечения.
Доказательство. Рассмотрим уравнение в вариациях для гомоклинической траектории
dv
dt
- Ао + uo(0) = uo.
(15)
Для задачи (15) существует полная система собственных и присоединенных векторов (с.п.в.), асимптотическое поведение которых при / —> ±оо совпадает с асимптотическим поведением с. п. в. задачи [8]
cto dt
= A.), uo(0) = uo.
Для упрощения записи будем рассматривать только собственные векторы задачи (15): ф0(/),ф, (/),ф (/),..., что не теряет общности дальнейших рассуждений (подробнее о системе с.п.в.
рассматриваемой задачи изложено в работах [3.4,8]). Замыкание п(ф) = [ф0(0),ф, (0),ф-совпадает с пространством Н .
Решение ф0(/) отвечает собственному числу ХуА\1и=\\\1и\ фД/) - собственному числу \1,
А\1 к = |Л1[/ г, а ф .(/),/ = 2,3,—» отвечают собственным (и присоединённым) числам из спектрального множества а 0.
Произвольное аффинное подпространство проходящее через точку Оо, естественным образом отожествляется с касательным подпространством • Н . Далее не будем делать различия между подпространствами ^'Н и аффинными подпространствами, проходящими через точку и о.
Пусть £м = £'М-Юо, = X = Е'+ио5 где и - подпространства, натянутые, соответ-
ственно, на векторы ф0(0),ф, (0); - замыкание линейной оболочки собственных (присоединённых) векторов п(ф);£!= п(ф). Рассмотрим . В силу полноты системы с.п.в. задачи (15).
0Л(О = с7(')ехр(-
0„(/) = ф"(/)ехр(-Та)-\|/и(0->0 V*
В силу автономности невозмущенной задачи (9) форма не вырождена на ® Ц и О^/ и,1|/ 5
О
* о,
поэтому при £
п(ф;(0),ф;(0)) = О ехр{-ц/)р'(г)
= о(ё„ (г)+М7м Д, (г)+м7-> 0.
Таким образом, Е1 ФБ'У - двумерное симплектическое подпространство. Покажем, что
(Г „©£'.,)° =£'.
Действительно, для невозмущённой задачи (9) п(ф0(0),ф/с(0)]= о(ф0(/),фд.(/)] V/е Я,к
(16) eZ\ Но
при
t -00
о,
а
и
остается ограниченной величиной, следовательно,
н
^(ф Д0)?фд.(0)|-О, /се . Аналогично, можно показать, что зом,
= 0, к е 77. Таким обра-
Если
каноническая
проекция,
то
Г=х(£')=х^1®г.)ае£'] =х(Н) = х[(2'.,еГ„)Пф(2'1еГ„)]=(Е',©Е'„)П, что и требовалось
установить. \
Из соотношения (16) следует, что в касательном подпространстве • Н выполняется соотношение
(п)
Теорема об инвариантных многообразиях состояния равновесия эволюционного уравнения [17] и асим-
птотическое поведение системы с.п.в. Щф ] при I -> +оо [8] позволяют утверждать, что
(18)
Поскольку главный член разложения (12) не зависит от секущей гиперплоскости Л/, то без ограничения общности можно считать М = Е Ф Е ..
л //
Рассмотрим локальную систему координат (лс центром в точке ио,Оо = (0,0,0), где
хе 6 . По теореме о возмущении инвариантных многообразий [17] иг (/0) находятся в
г(е) - окрестности точки ио равномерно по /0е[0,Г], причем г(г)<0(г) для всех достаточно малых 8 > 0. Если в{г,Оо)е И - открытый шар радиуса г{г) с центром в точке ио, то при достаточно малых 8 > 0 компонента связности точки 1)о во множестве (0)П ) задаётся в системе координат
(х,у, т) графиком гладкой функции 2 = ф(х,^),ф(0,0) = 0 . Компонента связности точки Ис(/0) во множе-
|ме (/0)] П в[г,ио ) задаётся графиком гладкой функции 1 = Ф€ (х,в системе координат
стве
(х,у, z), причём, согласно (18), £>ф(0,0)= 0 . По теореме о возмущении инвариантных многообразий
sup =\D0t(x,y,to\ =0(s),
(х.ул0)
где D<Pt(x,y9t0) - производная функции по переменным (х9у) в точке {x,y,t0). Отсюда и из неравенства г (г ) < 0(s ) следует оценка
sup фг(х,у910)- inf фг{хгу,10) = о(е2). (19)
(.Y.>\/0) (v.V./ц)
Пусть У^оХ^^о))- ® локальной системе координат
(х, у, z) ^(о о (0)) = (0,§,0), поэтому
Ae0o) = Q[(O^5O)5(OAze(/o))J. (20)
Следовательно, в силу разложения (20) и существования невырожденного нуля t0 у функции ц(/0) (лемма 5), для достаточно малых 8 >0 найдутся значения аргумента $ <tQ <t[2\ в которых функция z8(i0) принимает значения разных знаков, поскольку в двумерной плоскости Еу © = {(х,у, z): Х= 0} вектор (0,0,Zc(/0)) меняет ориентацию относительно вектора Кроме того,
lim /q,z€(4^(s))= 0(е),2 = 1,2. Но в таком случае из соотношения (19) вытекает существование
Б—>0
значения аргумента /0=т(е) такого, что точка иг.(т(е)) принадлежит графику функции
Фг (х, у (е )), lim х (г) =t*0.
£ —>0
Рассмотрим инвариантные подмногообразия Щ)С(уЕ) и Щ'(К.(уе) в фазовом пространстве Н х N.
Очевидно, dim Щ'г(уе)= 2, И£г(уе) = 1 • Для достаточно малых 8 > 0
О * W(yt )n W (уе) 3 Гс = («I (т (в )),т (е)): / s Л |.
В силу соотношения (20), разложения (12) и неравенства ^ ПРИ достаточно маль1Х 8 > ^
dz^
-, , чч ^ 0 . Следовательно, касательное пространство 7;_.......
(т (е)) (т (£ )J Нт (£ ))-т (£) J
Таким образом, Гъ - грубая гомоклиническая траектория.
А
С другой стороны, поскольку двумерное подмногообразие Щ'ос{у Е) инвариантно, полупоток F] на нём порождается гладким векторным полем [17]. Следовательно, касательный вектор к траектории Гъ в точке
III(х (8 )),т (е ) существует и его tQ -компонента равна единице. В таком случае любой касательный вектор к
(х (е ))^х {т(е)} в точке Мс(т(8)),т(е)^ линейно независим с касательным вектором к кривой Гг
с в
этой же точке. Поэтому, предположив, что И7" и РР(х (вкасаются друг друга в точке
ик (х (е )), получаем, что I [ не является грубой гомоклинической траекторией.
Таким образом, точка 1/е(х(е)) является точкой трансверсального пересечения многообразий
IV1 ьи (х (е и IV* (т (е ))1 , что завершает доказательство теоремы.
Следствие /. Установленное существование расщепления грубой гомоклинической траектории ОС (1) -(2) означает, в свою очередь, существование у возмущённой ОС нетривиального гиперболического множества, гомеоморфного канторову совершенному множеству [19].
Следствие 2. Установленное в теореме 1 существование трансверсальной гомоклинической точки пересечения влечёт за собой, в силу общности предположений, существование бесконечного, по крайней мере счётного, множества гомоклинических точек пересечения с различными траекториями [19].
Замечание /. Условия существования невырожденного нуля у функции связаны с исследованием
конкретной модели ОС в соответствующих функциональных пространствах. Для случая многогрупповой диффузионной модели переноса с учётом запаздывающих нейтронов подробности можно найти в работах [3,5].
Предложенный в работе подход в полной мере приложим к более сложным моделям динамических систем. Единственным условием при этом должно быть наличие информации о свойствах решения и характере спектра рассматриваемой нелинейной динамической системы, что само по себе является чрезвычайно трудной задачей [2-6,20].
Укажем на некоторые появляющиеся возможности описания общей картины поведения динамических систем с использованием полученных в настоящей работе строгих результатов. Вводя марковское разбиение процессов переноса в нелинейных системах (впервые для стационарного оператора переноса оно было введено в работах [21,22], см. также работу [5]), используя также понятия топологических марковских цепей и гиперболических множеств, можно прийти к конструктивному построению таких важных для динамических систем инвариантных множеств, как гиперболический аттрактор, топологическая энтропия и ёмкость, характеризующие разнообразие и стохастичность решений нелинейных систем [19].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Емельянов, И. Я. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов / И. Я. Емельянов, П. А. Гаврилов, Б. Н. Селиверстов. - М.: Атом из дат, 1975.
2. Макин, Р. С. Об ограниченности области притяжения стационарного решения нелинейной диффузионной системы уравнений динамики регулируемого реактора // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т.27. -Вып.З. - С.511-520.
3. Макин, Р. С. Некоторые математические задачи нелинейной теории реакторов. Часть 4. Свойства решений линеаризованной задачи динамики реактора в многогрупповом диффузионном приближении // Сб. трудов. - Димитровград: ГНЦ РФ НИИАР, 2000. - Вып.1. -С.56-88.
4. Макин, Р. С. О существовании ведущего собственного значения для одной линеаризованной задачи динамики реакторов // Функц. анализ и его приложения. 1987. -Т.20. - Вып.1. - С.80-81.
5. Макин, Р. С. О стационарных решениях одной нелинейной системы уравнений динамики реактора с распределёнными параметрами // Дифференциальные уравнения, 2004 (в печати).
6. Макин, Р. С. О свойствах решений и полноте собственных функций одной интегродифференциальной системы уравнений динамики реактора // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24, №10. - С. 1811-1818.
7. Кузнецов, Ю. А. Об одной нелинейной интегро-дифференциальной системе уравнений кинетики реакторов / Ю. А, Кузнецов, В. В. Шашков // Дифференциальные уравнения. - 1980. - Т. 16, №2. - С. 2230-2246.
8. Макин, Р. С. Об асимптотике решения некоторых задач динамики реакторов // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Ядерная техника и технология. - 1992. -13ып.6. - С. 59-67.
9. Горбунов, В. П. Нелинейная динамика ядерных реакторов / В. П. Горбунов, С. Б. Шихов. - М.: Атомиз-дат, 1973.
Ю.Крянев, А. В. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ / А. В. Крянев, С. Б. Шихов. - М.: Энергоатомиздат, 1983.
1 ГГоряченко, В. Д. Исследование динамики ядерных реакторов качественными методами / В. Д. Горяченко, С. Л, Золотарев, В. А. Колчин. - М.: Энергоатомиздат, 1988.
12.Смейл, С. Дифференциальные динамические системы // Успехи мат. наук. - 1970. - Т.25, №1. - С.113-185. *
13. Мельников, В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Труды Моск. мат. общества. - 1963.-Т. 12. -С.3-52.
14.Holmes, P. J. Averaging and chaotic motions in forced oscillations // SIAM J. Appl. Math., 1980. - Vol.38. -P.65-80.
15.Greenspan, В., Holmes P.J. Homoclinic orbits, subharmonics and global bifurcations in forced oscillations // Nonlinear Dynamics and Turbulence. C.Barenblatt, G.Iooss, D.D Joseph eds.Pitman. - London, 1981.
16.Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. - М.: Наука, 1964.
17.Hirsch, M. Pugh С., Shub M. Invariant Manifolds // Lecture Notes in Math. - 1977 - №583.
18. Holmes, P.J., Marsden J.E. A partial differential equation with infinitely many periodic orbits: chaotic oscillations of a forced beam// Arch. Rat. Mech. Anal., 1981. - Vol.43. - P. 135-165.
19.Песин, Я. Б. Общая теория гладких гиперболических динамических систем // Современные проблемы математики, фундаментальные направления. - 1985. - Т.2. - С. 123-173.
20.Макин, Р. С. О спектре стационарного односкоростного уравнения переноса с изотропным рассеянием // Доклады АН СССР. - 1984. - Т. 274, №3. - С.536-540.
21.Макин, Р. С. О спектре стационарного односкоростного уравнения переноса с анизотропным рассеянием // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Ядерная техника и технология. - 1995. - Вып. 1. - С. 13-19.
22.Макин, Р. С. О свойствах решений одной задачи динамики реактора с учётом ксеноновых колебаний // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40, №4. - С. 1-11.
Мании Руслан Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Ядерные реакторы» ДИТУ Д. Сфера деятельности - теория переноса; математические основы теории реакторов; нелинейные динамические системы.
\
$
