О стационарных решениях нелинейной динамики реакторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

Р. С. МАКИН

О СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕИНОИ ДИНАМИКИ РЕАКТОРОВ

1

Проведён анализ нелинейной стационарной модели динамики реактора с распределёнными параметрами. Найдены условия существования точек бифуркации (точек рождения малых по норме решений) для нелинейной системы уравнений. Установлено наличие точек бифуркации и характер поведения решения в окрестности этих точек. Даны конструктивные оценки расстояния между точками бифуркации для рассматриваемой системы уравнений.

Ключевые слова: нелинейная динамика, реактор, точки бифуркации, свойства решений

1. В математической теории динамики реакторных систем с распределёнными параметрами достаточно широко рассматривается нелинейная система [1,2]

яф _____ м

и-1 — = -М>-Цх;Т)Ф + (1 - (3 (х;Т)Ф + (*,/),

к=\

ОТ

(1)

а {*)дТ/д1 = + (х\Т)Ф(х,1)9

Ь/ = /у6..}; =(х) /,

с начальными и граничными условиями

Фу 0) = Ф1 {х\ Ск (х,0) = Ско (х), Т(х,0) = Т0 (х\ (2)

дФj /дNj+bj(x)ФJ|г =0; (3)

а(х)Т(х,1) + с1(х)(п(х),^ас1хТ(х^)) =0, (4)

где дФ] /дМ; = И]{х)[п(х),%уа<1 Фу)- произвольная по конормали к поверхности Г

= к = 19...9М\ п[х) - внешняя нормаль к границе Г выпуклой ограниченной области

V в точке х. За точку отсчёта температуры Т(х,{) принята температура окружающей среды. В системе (1)-(4) Ф(х,г)= сс?/{ф1,...,фт}, со1{с]9...,см}; %ак =

= -|Щ(х;Т)+1Цх;^ {ъ{х;Т% = ^{х;Т\ * * у; {Рр(х'9Т)}„ = г1рГ {х;Т);

плотность и скорость нейтронов в группе у; ск (х,/) - концентрация источников запаздывающих

( и \

нейтронов в группе £; v, , Р ^, (0 <)р =^Р

к

\ *«1 )

- действительные положительные постоянные;

- действительные неотрицательные постоянные, к -1 = 1

© Р. С. Макин, 2006 24

Существование и свойства решений задачи (1) - (4) установлены в работах [3,4]. Рассмотрению подлежит нелинейная стационарная система уравнений

dk ск (*)»

__ _ А/ _

__ _ _ *=' (5)

где ф0 = col{p¿(х),...,ф0т(х)}, ф = а?/{с,(х),...,сЛ/(х)}.

Вопросы существования и устойчивости положительных стационарных решений задачи (5), (3), (4) в одногрупповом приближении (m = l) рассмотрены в работах [1-3]; близкие вопросы для других модельных задач динамики реакторов - в работах [2,5,6].

Условие 1. Пусть V а 7?3 - ограниченная область с границей Г класса Ляпунова. Внутри объём V разделён на (iV+l) зону поверхностями = которые являются поверхностями

Ляпунова, гомеоморфны сфере и не пересекаются между собой и с поверхностью Г.

Условие 2. Функции a (x),Dj(x),\jj(x),a(x),bj(x),d(x) ограниченные, измеримые, удовлетворяющие условиям:

О <uJm <иj (х) <ui < оо; 0 «х„, <а (х) <а„ < со;

О <dm <d(x)<dM < оо; 0 <ат<а(х)<ам <оо;

0<bi<bj(x)<bJM<co; 0<Di<Dj(x)<DJM<co-

• • •

j = 1,...,/и;а,,о/,anbj,dnDJt -const, t-m,M\ при xe Vi a(x) = aI(x),Z>y(x)= Dj{ ,d(x) = d((x),a(x),D-(x)e C'(f,), i = l,...,Af+l;

a(x),bj (x) e C1 (.Г), j = l,...,m. На Г1 функции a (x), Dj (x), d(x) могут терпеть разрывы первого рода, i = 1,...,N, при этом выполнены условия согласования:

[T(x,t)] | =0; [dT(x9t)/m]|r =0,

дФ] dNj

= 0,

(6)

г,

(7)

где дФ] I дМ] | ^ ^ - производные по конормали к поверхности раздела зон Г1 по разные от неё стороны; аналогично для 7"(х,г). г5,у,к - положительные постоянные; > -} =1,...,ти;5 = 1,...,М;/ = 1,

Условие 3. Будем считать, что сугцествуют у0,/0,/с0, 1 < у0,/0 < т, 1 < < Л/, такие, что

£Л-о(х;Г)>0, хеУ0^У,ТеЯ\

РАо >0, > 0,7 = (определение области У0 дано ниже).

Пусть р(х),хе К - ограниченная измеримая функция, для которой 0 < рт < р(х)< р^ < оо. Обозначим через /^(К;р) гильбертово пространство функций /(х),хе К, со скалярным произве-

дением (ф,\|/)= J^xp (х)р (х)|/(х), ||ф|2 = (ф,ф)^(к;р)- Пусть также C"{v) - банахово пространство

функций ф(х),х€ V, с° (к) = с(к). Введём гильбертовы пространства W2P, р = 1,2. По определению

лы

И^ = Ф е. класс функций, полученный замыканием в норме

/=|

2

и4

/Г+1||/

. Ана-

логично вводится пространство ^.Пространства Ь1т(У\ р) (с", (к (К),/? = 1,2^ определим как произведение т копий пространств ^(^р,.) ^С" (к);^ = 1,2|, где р^х^хеГ-

ограниченная измеримая функция, 0 < р'т < р,(х)< р'м < со; р = р,рт},/ = 1 ,...,т . Обозначим через Щ2т(У',Ь)(Щ2(У;£)) множество функций из Щ2„,(У)(Щ2(У)), для которых выполнены граничные условия (3) ((4)) и условия согласования (6) ((7)). Из теоремы вложения следует, что

Щ2 (У;е) с (V) с с{г); (Г;1) с (V) с Си (7).

Лемма 1 ([1,7,8]). Пусть выполнены Условия 1,2. Тогда

1) 1,Ь - замкнутые в 1^{У\Ь1т{У) самосопрялсённые операторы со всюду плотными в

областями определения D{í)=W^(У\l\D{l)=Wlrn{V\L); 2) для любой функции

(р (х) е А, (К)(ф (х) € уравнение £(р = /(/хр = /) однозначно разрешимо в »'

3) операторы -¿Г1, /Г1 являются положительными вполне непрерывными операторами из -^(У) в ¿2 (V) и ш ¿2 ш (К) в т(У); операторы I и Ь положительно определены, т. е.

т

у/едф (¿/,/)>гЙ и V/ 6 0(1).

Условие 4. Будем считать, что функции 2/(х, 7"),/ = ^,<3,/; 2'~*7'(х; 7") при любой фиксированной Т[х)е являются измеримыми ограниченными в V функциями, при этом равномерно по Т[х)е Ц(у\а) справедливы оценки:

О < < шп < 2/(х, Т) < тах < < со,

. 7=1,.../я 7=1,.../и

О < соот < тш а>* < (г, Г) < тах о £ < со м < со,

1,7=1,.../я сэ7=1,.../я

(8)

где хеУ;П£,- константы; аи/ = шт{От/,сот(.};сгм = тах{ам,юм};г = 5,¿г,/; а, =сгй= = 1,...,/и. Отметим, что возможны случаи, когда =0 при

хеУ\У0;где У0=1)У^, У^ = {х:2^ (х;Г)>0,у = 1,...,/и|,Ге/?1,г0 = {1,2,...,Л^ + 1}.

Далее тал: же, /сак и в [4], положим, что функции 2/(лг, Ту, (х, 7), / = з,а,/, рассматриваемые как отображения из Ц{у\а) в /^(К), обладают липгиицево непрерывной производной Фреше 2'/ (х,7"), (х, Г). Таким образом, если Т,Т^Т2 е Ц{у\(х\ то

Ч(*>Т)

< «';

^(У-а^^У)

<кПТх-Т2

(9)

где - положительные постоянные, тк = тах |, А: = 1,2; г = а,/; = 1,...,т.

2. Запишем систему уравнений (5) с вводом параметра А, аналогично тому, как это делается с вводом величины кэф для условно-критической задачи [1,2]

¿(х;Г)ф0=Г^(*;Г)ф0; = (10)

где Т) = (1 -р(л-;Г)+£^(л-;Т\ ^(ф0;т) = (х;Г>70;Т)=-1 + и(х;Т),

А=1

С учётом свойств операторов £ и Ь (см. лемму 1) перепишем систему (10) в виде

ф0=г'л(ф0;:г); Г = я(ф0;Г),

где ^(ф0;г)= 1-1(х;Г){^(х;Г)р0},л(ф0;Г)=: ¿Т'^ф^г)}, причём справедливо

(И)

соотношение

¿-1(х;Г)=[-£ + 1(;с;7')]"1 = [1-Ъ(х,Т)о\1 в. (12)

Здесь -ЬС = 1,1 - тождественный в Ь2т{У) оператор, С = (Иа§\ \dygi(x,y)\, g¡(x,y) - функция

Грина оператора с краевыми условиями (3) и условиями сопряжения (6), / = 1 ,...,т .

Введём пространство Ж, = ^2т(У)х ¿2(у) и конус неотрицательных функций

К = К = Кт х К, где К - конус в Ь2{у\ Кт - конус в Ь2 т(у) [9]. Для дальнейшего потребуются некоторые определения [6,9]. Решение системы (10) называется полусобственным вектором оператора С = (А,В), если ф0 ^0. Соответствующее этому решению число X называется полусобствен-

ным, а ¡1 = X - полухарактеристическим числом оператора С. Полусобственные векторы ф = |р0;г} оператора С образуют условно-непрерывную ветвь длиной г, если для границы £ любого открытого в Ь2т{У) множества М э0 из шара кр0 <гг, ее (ОД), существует такой по-

лусобственный вектор ф = ^р0;оператора С, что ф0 е 5 . Если г может быть взято любым, то ветвь имеет бесконечную длину. Оператор Я имеет на Кг = Кт Г) Д, Д = ^ф0 : |фо

< г мо-

нотонную миноранту Я0, если существует такой оператор Я0, что: (а) Я0 монотонен; (б) для любого Ф0 е Кг Лф0 > Я0(р0; (в) существует такой элемент (0 е Кт, что сЯ^зе > > 0,0 < I < у ,

где у - такое число, что ф0 — уае е Кт \/ф0 е К г.

ТЕОРЕМА 1. Пусть выполнены Условия 1-4. Тогда полусобственные векторы ¡Ф0;Г| оператора С = образуют в конусе К условно непрерывную ветвь бесконечной длины.

Для доказательства нам потребуются следующие леммы.

Лемма 2. Оператор С = {А,Ву.2 —является положительным вполне непрерывным оператором.

Доказательство. Для любой фиксированной Ь2{У) справедливо

Г1 (х;Т) = = [-Ь +ад//]~1 [1-Я(Г)]"1, где Я(т) = [-Ь+стм/]-1 [аи1-Х(х;Г)]. С помощью леммы 1 нетрудно получить оценки (-¿н-а^/)1 <(ам+у£) ,

|д(Г)|| ^(^д/ ~ат)(ал/ +У1) 1 =Я откуда сразу вытекает существование оператора

[/-^(Г^'фо = (7,)ср0,ф0 е Ь1т(у). Положительная обратимость оператора [/- Г)о]

*=о

< 1 и операции спектрального сдвига для С(Х0). Отсюда так-

следует из оценки |E(x; T)g(Xq |

bjy)

же вытекает положительность и полная непрерывность оператора

т),

а также положительная

ограниченная обратимость [/ - Я (7*)].

Нетрудно, по аналогии с работой [11], установить непрерывную зависимость этих операторов от Т{х). Рассмотрим оператор ^(ф0;г): гЬ20;т) = £/'*{х;Г>р0* (х); он ограничен. По-

кажем его непрерывность. Для этого достаточно показать, что оператор Д.(фо = /¡*(х^)фо (х) непрерывен \7Т(;с)€ Ь2{у\ к = .

Рассмотрим разность

ДЦ - А {< + V;Т +т;) - Dk (ф01;Т) = J* (г,т(х) +т„< (фJ

+

+

fa,T}eL2 =12(V)XL2(V), где \ykn,ik„}eL\ при-

чем Ц^'д'}

к\\ + il*

пК

И

О при п-> оо, к = 1 . Для Дл справедлива оценка

л

<а

м

Если установить оценку -» О при п —> оо, А: = 1,...,/и, то в силу (20) будет справедлива оценка

л

О, «—>оо, /с = 1,...,/я,

откуда непосредственно следует непрерывность оператора /)Дфо;Г), а значит и оператора F(ф0;Г): Т -> Ь2{у\ Оценка (21) получена в работе [11], лемма 2, что и требовалось установить.

Непрерывность оператора £)(ф 0; г) = Т\р 0}: Z -» Llm (у),

непосредственно следует из

его представления

2(ф0;Г) = со/[{^(х;Г)ф0}1,...,{^(л:;Г)ф0}т], = , определения (10)

и Условий 2,4. Заметим, что в силу определения оператора

операторы А и В представимы

в виде

Л(ф0;г)= [- L +о„/]"' {[/ - R{r)l' е(Фо;г|

так что А и В - вполне непрерывные операторы; из Условия 3 следует их положительность, что завершает доказательство леммы.

Лемма 3. В условиях теоремы 1 справедливы утверждения: 1) При всех Т <=Кр,Кр =КГ\Бр>Ор=1т: Т ^ < р|, оператор ^(ф0;г) имеет на Кг общую монотонную

миноранту А^, где р иг могут быть любыми; 2) Оператор в\ср„;Г) Уф 0 е К г преобразует К в себя, р = ka , г

I

Ф)

, г может быть любой.

Результаты лемм 2 и 3 показывают, что система (11) удовлетворяет всем требованиям теоремы 5 работы [6] с произвольным г. Поэтому у оператора С в конусе К существует условно непрерыв-

ная ветвь полусобственных векторов бесконечной длины, отвечающих полусобственному числу X оператора С. Но тогда и система (5) обладает бесконечной ветвыо стационарных решений

{рох;Са;Гх}, причем (б е А"т;(б е АГ,/ = 1 ,...,М . Теорема доказана полностью.

3. Рассмотрим рождение малых по норме решений системы (5) и связанных с этим явлением точек бифуркации. Число А,0 называется точкой бифуркации [12] для нелинейного оператора Л

Аф =Хф, Л9 =0 ,

если по любым 8,5 > 0 можно указать такое собственное (полусобственное) число X оператора Л, что \Х-Х0 <8 и хотя бы для одного собственного (полусобственного) элемента ф0 оператора А,

отвечающего Х0,|ф0 <8 . Точками бифуркации оператора А могут быть только собственные числа его дифференциала Фреше в нуле.

Наряду с системой (11) рассмотрим линейную операторную систему

Ф0 = Г'Г1 (я-;6 )}ф0; Т = кГ1 {^(ф0;8)}.

(13)

Функция Т(х) из (13) находится однозначно, если известна функция ф0 е Ь2ш(у), которая определяется из первого уравнения системы (13).

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены Условия 1-4. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Уравнение

Х(р0 = Мр0, N = L-1(x;в)F(x;e),

имеет единственную (с точность до нормы) неотрицательную ио(х)е Ь2т(У), которой отвечает простое положительное число Х0.

функция т0(х), которую найдём из второго уравнения системы (13):

(14)

собственную функцию Паре (и о Д0) отвечает

(15)

Л -

2. Точка Х0 является точкой бифуркации системы (5).

3. Существуют числа р0>0,50>0 такие, что при \Х-Х0 <Ь0sign(X-XQ) = signJQ, Ыо [-Р'у. (л:;9 )т

]мо

, система уравнений (5) или (11) имеет в шаре

О0|| -

Фо

¿2»

м к=1

<Ро

/) О

динстеенно

г\п о

положительное

ГЛОТИОИИО

р V I * (Ли

£о (А,) = со1 |ф0 (х),С! [х),...,см (х),Г(х)|, непрерывно зависящее от X, причём справедлива оценка со

Для доказательства нам потребуются следующие технические леммы.

Лемма 4. В условиях теоремы 2 Зг0 > 0 такое, что Уф 0 (х) е ВГо =

< г01 уравнение Т - в(ф 0; г) однозначно разрешимо относительно Т(х) ¿2 .тОО )

= Ф

= £2»:|р

в 12(к). Решение имеет вид Т = к((р0), где V : йг 12(у) является ограниченным положительным вполне непрерывным оператором, сильно дифференцируемым по Фреше [12], причём

Из леммы 4 вытекает, что при (р0 е Д второе уравнение системы (11) разрешимо относительно 7"(л:), вследствие чего эта система сводится к операторному уравнению

ф„ - Г'Г'1 {V (?0)} ^(г, V (ф 0 )ф0 )| * Г1'Г (ф„). (16)

Из лемм 2,4 и Условий 2-4 следует полная непрерывность и положительность оператора г(ф0).

Лемма 5. Оператор г(ф0): И —> Ь2 т(V) дифференцируем по Фреме, причём V (9) = N, где

оператор N определён соотношением (14). Кроме того, оператор г(ф0] в шаре допускает представление

г(ф0)= А^ф0 + с(ф0)+^(ф0),

(17)

где с(ф0) - однородный оператор второго порядка, т. е. с(аф0) = а 2с(ф 0), который имеет вид

с(ф 0) = г1 (е ){fy fee )\v\ (е - гг fee (e Jf„ k- (e )f(x-q },

и оператор

£>(ф 0) имеет более высокий порядок. В ксоюдом шаре , р < г0, справедливы оценки:

с(ф 1)-с(ф ;)

<0)р

Ф i-ф о

Ь(Ф ¿)-я(Ф о2) <а(р)

Ф о -Ф о

¿>(фо)

/

= 0

h

.т

\

<Р

о

\

(18)

¿2.« у

где ф0,ф qG D , i = 1,2; со = ccwsi > 0; lima(p)/ p = 0.

Для завершения доказательства теоремы 2 необходимо установить существование ведущего собственного значения у линейного оператора N. Сама по себе эта задача не является простой [1,2,4,10,14], но она облегчается тем обстоятельством, что оператор N похож на оператор условно-критической задачи в многогрупповом диффузионном приближении, рассмотренной в работе [14]. Поэтому некоторые выкладки будем опускать.

В условиях теоремы 2 для функции ф0(х)е D(L) запишем уравнение (14) в следующем экви-

валентном виде

ф0 = ст(*;е)ф0+г^(*;е)ф0,

(19)

где Сгеа2 - полный оператор, в то время как подпространство нулей Р^р) оператора F(л;0) не равно нулю в пространстве Ь2т{у) в общем случае и к операторному уравнению (19) неприменима

теория М. В. Келдыша (определение пространств а ^,0 < р < оо, можно найти в [15, Гл.2]). Множество нулей оператора ,р(;с;9) плюс замыкание его области значений исчерпывает всё рабочее гильбертово пространство функций задачи [14]. Далее, где это не вызовет недоразумений, будем опускать обозначение 0 нулевого множества.

Наряду с уравнением (19) нам понадобится сопряжённое с ним [1,2, 14]

^0 = GTi0+rVF>0.

(20)

Далее без потери общности будем считать, что оператор С отвечает самосопряжённым краевым условиям, т. е. С = . Запишем оператор В = ОЕ в эквивалентном виде В = 01, где Я - ограниченный симметричный оператор, составленный из элементов оператор-матрицы Г . При этом возможны следующие случаи:

(а) X, ^ 0,/к ф О, 1,к = 1; элементы {б1},. диагонального оператора £ имеют вид |С/| = х,ПЛ9 а для элементов г1] оператора Л получаем г{} = /¿Г1 = г]{ при

А*/, У

А*/

т

ы

ш т т

(в) X» # о,/ >О, 1,к = 1 ,...,т;{<5} = /ПX*;= П "Ри ' "М = Х,Ш» !

к*19] ш

( \ т

00 ги =0,Д = 0,1 <¿<^</^1 <у<т2<>ет2; {о}. = {О}.Х/П/*»1'*^

' А*/

ш т

т

Ю X/, =0,Д^0,1<^<т1<т;1<у<т2<т,т1<т2; {с}. НФ/^ -1 т -1

Пусть - ортопроектор на подпространство нулей оператора Я,Р2 = I-Р] - ортопроектор на замыкание его области значений. Тогда в пространстве Ь2р(У)(р = т в случаях (а), (с);

р = /и-5,5 = тт{щ,т2\ в случаях (в) и (с!)) с помощью ортогонального разложения

¿2 (К) = Ё2 Ф 1\Х2 - р (у),Р? = Р* = Р.,1 = \,2\6шЬ12 < оо, наведена структура пространства Понтрягина с индефинитным скалярным произведением [16]. В силу свойств оператор-матрицы Т7

О

[14] подпространство Ь2 есть множество функций, сосредоточенных на У0 с: V, и обладает всеми свойствами гильбертова пространства. Более того, в силу свойств оператор-матрицы Ь22 = Ь2(уо)(= Н2) и справедлива.

Лемма 6. Пусть выполнены Условия 1-4. Тогда оператор В аннулируется только в нуле пространства Н 2; система корневых векторов оператора В полна в Н 2, а все его собственные значения, за исключением, быть может, конечного числа, лежат на вещественной оси.

Доказательство. Заметим, что оператор Я представим в виде Я = I + 5 - ограниченный и симметричный оператор, причём из свойств Т7 следует, что множество а (£) П(-°°,-1) = {0}. Кроме того, Р2СгР2 ес72(Я2) и самосопряжённый в Н2 оператор, а также

(У + Р25Р2)Ч{20(Р25Р2)}1П20(Р25/,2) = {0}. Здесь а (А) - спектр; 2Х{А) - корневой линеал

оператора А, отвечающий одному и тому же значению X, и вектор и = 0 [15]; А1 - ортогональное дополнение к А. Из результатов теоремы 9 работы [17] и предложения 1°, гл.5, §8 работы [15] следуют утверждения леммы.

С помощью введённых ортопроекторов Р1 каждый вектор й е Ь2 р (V) однозначно разложим в сумму й = йх + м2, где щ = Ргйп ¿ = 1,2. Подставим это разложение в уравнение (19), к полученному уравнению применим последовательно операторы /[, Р2, что с учётом Рй^ = 0 даёт систему, из ко-

торой однозначно находим уравнение для и2:

«2 = Ай2 + Х~1Вй2,

(21)

где А =

+ J\ ;AEGa0(H2)',J - тождественный оператор в Я2, Уравне-

ние (21) аналогично уравнению (19), но теперь рассматривается в подпространстве Я 2, где, согласно лемме 6, оператор В полный.

Проведя аналогичные выкладки для уравнения (20), придём к аналогичному уравнению в Я

и2 = Л+и2 + Х~]В+\э2.

(22)

ТЕОРЕМА 3. Пусть выполнены условия леммы 6. Тогда справедливы следующие утверэ/сдеиия. 1) В случаях (а), (с) система корневых векторов оператора N = (</ —1 В полна в пространстве

Н 2; в случаях (в), (ф система корневых векторов оператора И* = (3 - А* ) В* полна в Н 2. Более того, для всякого вектора ф0 е е соответствующий ему ряд по системе корне-

вых векторов оператора образует в Н 2 базис суммирования методом Абеля порядка

а >2. 2,) Оператор N является и0 - положительным относительно конуса К2 с Н2 неотрица-

тельных функций оператором и справедливы неравенства Т| 2 ( / ) и0 < М/ < Г|, ( /) м0'

Л/ (/) > 0;г70,/ е К2,г = 1,2 • 3) Оператор N имеет собственное значение Х0 (> \ ), которому отвечает единственная (с точностью до нормировки) собственная функция и0еК2,1= 1,2,.... 4) Оператор N является фокусирующим и для него справедлива оценка

|Х,.(^)|<[(х(^)-1)/(хЮ + 1)]\(^). (23)

где X (лг) =Л, (7)/Лг (7).7 е К2;г'Д = 1.2,....

Доказательство. Заметим, что если оператор N обладает полной системой корневых векторов, то этим свойством будет обладать всякий подобный ему оператор \У~ХК\У, где ]У - ограниченный в

Я2 оператор. Поэтому в случаях (а), (с) рассматриваем оператор Ы = где

В ест 2(Н 2),Аесу (Я 2), ограниченной обратимости оператора (У - можно добиться операцией спектрального сдвига. Отсюда из леммы 6 и эквивалентности уравнений (14) и (19) вытекает, что оператор N аннулируется только в нуле пространства Я 2 и выполнены требования теоремы 8 работы [18]. В случаях (в) и (<1) совершенно аналогичным образом рассматривается оператор

АГ = В+ - А+) , что завершает доказательство п. 1) теоремы 3. Пункт 2) теоремы 3 устанавливается на основе оценки функции Грина g¡ (х,у) [8, теорема 23], Условия 3 и свойств коэффициентов задачи, 2 = 1,...,/» . Из свойств конуса К2 следует, что из м0-положительности оператора N вытекает существование у него ведущего собственного значения Х0, которому отвечает единственная (с точностью до нормы) собственная функция й0еК2. Из определения фокусирующего оператора [19] заключаем, что оператор N фокусирует в нормальную компоненту конуса с константой фокусирования х (^0 • Оценка (23) следует из результатов работ [19, 20], что завершает доказательство теоремы 3.

СЛЕДСТВИЕ 1. Значение X = 0 принадлежит точечному спектру уравнения (19) (или (20)); в то же время эта точка есть точка непрерывного спектра уравнения (21) (или (22)).

В общем случае система корневых векторов исходной задачи (13), отвечающих нулевым собственным значениям, не обладает свойством полноты в пространстве плотности потоков Ь2 т (Г). Для

замкнутости этой системы к ней необходимо присоединить корневые векторы, отвечающие точке

Л = 0.

СЛЕДСТВИЕ 2. [14] В случае одномерной геометрии система собственных векторов оператора образует ряд Маркова, а отвечающие им собственные значения положительные и простые; оператор принадлежит классу операторов, не повышающих числа перемен знака, а также фокусирующих в нормальную компоненту конуса (см. [21,22]).

4. В общем случае установление существования точек бифуркации системы (13) связано с детальным анализом спектра оператора N, проведение которого сопряжено со значительными трудностями. Более успешное продвижение в этом направлении возможно в случае одномерной геометрии, который представляет интерес в практике расчётов динамики реакторных систем [1,2,8]. Справедлива

ТЕОРЕМА 4. Пусть выполнены Условия 1-4. Тогда в случае одномерной геометрии справедливы следующие утверждения.

1. Каждое собственное значение '^¿(М} оператора ТУ,у = 0,1,2,..., является точкой бифур-

отве-

кации оператора Т (ф~0), а значит и системы (5), причём каждой точке бифуркации Xj (tV) чает непрерывная ветвь полусобственных элементов оператора Т (ф0). Все интервалы (А, оД",,),(А,1,,А,",),...,(А,А,принадлежат спектру а (Т) оператора Г(ф"0) системы (5) или (11), где Х\ >Xk > Х"к,к = 0,1,2,....

2. Паре |г7у (х),Xj (Af) J уравнения (25) отвечает функция т . (л:), которую находим из второго уравнения системы (13) т . = MU^j — 0,1,.... Существуют числа р ■ >0,5у >0, такие, что при | X - Xj <5 j sign (X-Xj^J = sign Jj

J J - Xj

u], [f v {x-fi )ij - A,yz v )Ty ] uj

Kàv)

и* - решения уравнения (20), система уравнений (5) (или (11)) имеют в шаре

м

И = + М«г> +2|К||12(и) < Ру'V / = сЫ{«' (х)>с{>»•><& М>Т] (х)\ единственную

А» 1

полусобственную функцию vjf j(X)> непрерывно зависящую от X, причём справедлива оценка

о.

j

X Xj

<|{/^A,)||<Qy X-Xj >Cïj,(ùj - const > 0,j = 0,1,2,....

3. Для оператора N справедливы оценки

Замечание. Характер поведения решения в окрестности точки бифуркации и представления (17) оператора Т (ф0) свидетельствуют о том, что ненулевые решения появляются как слева, так и справа

от точки бифуркации. Поэтому, в отличие от большинства задач механики, гидродинамики, где точка бифуркации играет роль критической силы, критической скорости, для рассматриваемого класса нелинейных модельных задач динамики реакторов точки бифуркации не играют таковой роли.

Отметим, что вопрос сплошности (или несвязности компонент) спектра оператора Г(ф0) остаётся открытым.

БИБШОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 2. Крянев, А. В. Вопросы математической

, ^ « _ „ тт „ теории реакторов. Нелинейный анализ / А. В.

1. Горбунов, В П. Нелинейная динамика £ р Шихов. _ м, Дтомиздат, 1983.

ядерных реакторов (Анализ методами А. М. Ляпунова) / В. П. Горбунов, С. Б. Шихов. - М.: Атомиздат, 1975.

3. Кузнецов, Ю. А., Шашков // Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький, 1979. - Вып. 3.-С. 163-169.

4. Макин, Р. С. // Функц. анализ и его приложения. - 1987.-Т. 27.-Вып. 1.-С. 80-81.

5. Москалев, О. Б. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1964. - Т. 4. - № 3. - С. 599-604.

6. Бахтин, И. А. // Сибир. матем. журнал. -1965. - Т. 6. - № 5. - С. 949-957.

7. Ладыженская, О. А.Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. - М.: Наука, 1964.

8. Новиков, В. М. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов / В. М. Новиков, С. Б. Шихов. - М.: Атомиздат, 1982.

9. Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский. -М.: Наука, 1962.

10. Stewart H.B. // J.Math. Anal. Appl., 1976. V. 54.-№ 1. Р. 59-78.

11. Кузнецов, Ю. А., Шашков В. В. Об одной нелинейной системе уравнений кинетики ядерного реактора // Материалы научной конференции механико-математ. факультета Горьков-ского гос. ун-та. - 1979. - С. 113-133.

12. Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский.-М.: Наука, 1962.

13. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М.: Наука, 1977.

14. Макин, Р. С., Шихов С. Б. // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23. -№ 10. - С. 1812-1815.

15. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов / И. Ц. Гохберг,М. Г. Крейн. - М.: Наука, 1965.

16. Азизов, Т. Я., Иохвидов И. С. // Успехи мат. наук. - 1971. - Т. 26. - Вып. 4 (№ 160). - С. 43-92.

17. Азизов, Т. Я. // Докл. АН СССР. — 1971. — Т. 200. -№ 5. - С. 1015-1017.

18. Маркус, А. С. // Докл. АН СССР. - 1964. -Т. 155. -№ 4. - С.753-756.

19. Забрейко, П. П., Красносельский М. А., Покорный Ю. В. // Функц. анализ и его приложения. - 1971. - Т. 5. - № 4. - С 9-17.

20. Красносельский, М. А., Соболев А. В. // Функц. анализ и его приложения. - 1983. - Т. 17. -№ 1.-С. 73-74.

21. Макин, Р. С. // Докл. АН СССР. - 1984. -Т. 274.-№3..-С. 536-540.

22. Красносельский, М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М. А. Красносельский. - М.: Гос-техиздат, 1956.

Макин Руслан Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Ядер- -ные реакторы» ДИТУД. Сфера деятельности -теория переноса, математические основы теории реакторов, нелинейные динамические системы

л