Научная статья на тему 'Приближенные методы исследования бифуркационных задач с простым вырождением'

Приближенные методы исследования бифуркационных задач с простым вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
101
40
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ибрагимова Л. С.

В статье изучается задача о бифуркации ненулевых решений операторного уравнения. Получены новые достаточные условия бифуркации, приводящие к итерационным процедурам построения бифурцирующих решений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ибрагимова Л. С.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Приближенные методы исследования бифуркационных задач с простым вырождением»

НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ДОКЛАДЫ раздел МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и МЕХАНИКА

УДК 517.91

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ БИФУРКАЦИОННЫХ ЗАДАЧ С ПРОСТЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ Ибрагимова Л.С.

В статье изучается задача о бифуркации ненулевых решений операторного уравнения. Получены новые достаточные условия бифуркации, приводящие к итерационным процедурам построения бифурцирующихрешений.

Основным объектом исследования является операторное уравнение

X = Р(X, Л), X е Е , (1)

где Р(X, Л) - вполне непрерывный оператор, действующий в нормированном пространстве Е и зависящий от параметра ЛеА, Л - нормированное пространство. Пусть Р(0, Л) = 0 .

Число Л0 называют [1] точкой бифуркации уравнения (1), если существует последовательность Лт сходящаяся к Л0, такая что при Л = Лт уравнение (1) имеет ненулевое решение х = хт, причем

||хт || —— 0. К задачам о точках бифуркации приводят многие теоретические и практические задачи (см., например,[1,2]).

Одним из основных в задаче о точках бифуркации является вопрос о построении бифурцирующих решений Л их. Ниже приводится схема решения этой задачи, основанная на идеях метода функционализации параметра [3].

1. Основные предположения. Для простоты будем рассматривать уравнение (1) в гильбертовом

пространстве н , а параметр Л будем считать скаляром, т.е. Ле Я . Пусть оператор Р(X, Л) непрерывно

(по норме операторов ) зависит от параметра Л и является гладким в окрестности точки х = 0. Тогда уравнение (1) может быть записано в виде

х = А(Л)х + а(х,Л), х е Н, (2)

где А(Л) = Рх (0,Л) - производная Фреше оператора Р в нулевой точке, а нелинейный оператор а( х, Л) удовлетворяет соотношению

Иш ^ = 0.

1X1—0 ||х||

Операторы А(Л) и а(х,Л) являются вполне непрерывными по X и непрерывными по Л.

Точками бифуркации могут быть (см.[3]) только такие значения Л0 , что Iе &( А(Л0))(^(А) - спектр

оператора А). Это условие является необходимым, но не достаточным для бифуркации. Всюду ниже предполагается, что выполнены условия:

I. Число 1 является простым собственным значением оператора А(Л0 ) .

II. Операторы А(Л) и а( х;Л) являются гладкими по совокупности переменных в окрестности Л0 и

X = 0.

Из условия I следует, что оператор А(Л0 ) и сопряженный оператор А (Л0 ) имеют единственные с точностью до сомножителя собственные векторы е0 и g0 соответственно: А(Д)е0 = е0, А (Л0)§0 = §0. Можно считать, что векторы в0 и §0 нормированы исходя из соотношений ||е01| = 1 и (б0, §0 ) = 1. Согласно теории возмущений [4] оператор А(Л) при Л близких к Л0 имеет простое собственное

значение т(Л) , где т(Л) - непрерывная функция и тЛ)=1 . Классическим достаточным условием бифуркации [3] является следующая теорема.

Теорема. Пусть функция т(Л) -1 меняет знак при переходе через точку Л0. Тогда Л0 является точкой бифуркации уравнения (2).

4

раздел МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и МЕХАНИКА

Ниже предлагаются новые достаточные условия бифуркации, которые приводят к методу построения бифурцирующих значений.

2. Построение собственных значений. Для получения достаточного условия бифуркации изучим

поведение функции т(Л)- собственного значения оператора А(Л) при Л близких к Л0 .

Обозначим через Н0 одномерное подпространство, содержащее вектор в0. Подпространство Н0 будет собственным подпространством оператора А(Л0 ) , отвечающим собственному значению 1.

Так как 1 является изолированным собственным значением вполне непрерывного оператора А ( Л0 ) , то согласно спектральной теории линейных ограниченных операторов [4] пространство Н может быть представлено в виде Н = Н 0 0 Н0 , где Н 0 - указанное выше одномерное подпространство, а

Н 0 -

дополнительное инвариантное для АЛ) подпространство. При этом спектр О оператора А(Л0)

представим в виде О = О1 и О2, где О1 = {1} , а О2 = О \ О1 - спектр оператора

А(Л0 ) : Н0 — Н0 . В частности, 1ёО(А(Л0): Н0 — Н0) и , следовательно, существует

ограниченный обратный (А(Л0) — 1) 1 : Н0 —— Н0.

Определим действующие в пространстве Н операторы проектирования на подпространства Н0 и Н 0 соответственно

РX = (X,§0), Р0X = (1 — Р0)X, (3)

а также оператор

Яx = —Р0 X + (А(Л0) — 1)—1Р0 X. (4)

Функцию т(Л) назовем главной асиптотикой собственного значения т(Л) оператора А(Л),

если т(Л)—т (Л) = о(| л—Л01) при л —— л0 .

Определим вспомогательную функцию

<Р(Л) = ((А(Л) — А(Л0 ))е0, § 0). (5)

Из условия II следует, что функция Р(Л) представима в виде

Р(Л) = ^(Л —Л) + о(\ Л — Л0 |), (6)

где к0 = (А (Л0 )б0, §0) ; здесь А (Л) - производная оператора А(Л) по параметру Л . Ниже будем считать, что наряду с I и II также выполнено условие

III. Имеет место соотношение (А (Л0 )б0, §0) Ф 0 .

Следующее утверждение определяет главную асимптотику собственного значения т(Л).

Теорема2. При Л близких к Л0 оператор А(Л) имеет близкое к 1 простое собственное значение

т(Л) , главной асимптотикой которого будет функция /И1 (Л) = 1 + р(Л), где Р(Л) - функция (5).

3. Достаточные условия бифуркации и асимптотические формулы. Вернемся к задаче о точках бифуркации основного уравнения (2). Верна

ТеоремаЗ. Пусть выполнены условия 1-111. Тогда Л0 - точка бифуркации уравнения (2).

Справедливость этой теоремы следует из теорем 1 и 2, а также из следующей леммы.

Лемма1. Пусть выполнено условие 111. Тогда функция т(Л)—1 меняет знак при переходе через точку

Л,

Приведем схему, позволяющую получить асимптотические формулы для бифурцирующих решений уравнения (2) в условиях теоремы 3.

Пусть X0 = £в0, где £ > 0 - вспомогательный малый параметр. Решение уравнения (2) будем искать

вблизи X0 при значениях Л близких к Л0 . Не ограничивая общности, можно считать, что Л0 Ф °. Воспользуемся методом функционализации параметра [2]. С этой целью определим функционал

Л

Л(X) = —— (X,§0). Тогда Л(£е0) = Л0. Подставляя данный функционал в уравнение (2), получим £

уравнение X = А(Л( X )) X + а( X, Л( X )) , не содержащее параметр Л , или уравнение

Р(X) ° X — А(Л(X))X — а(x,Л(X)) = 0. (7)

Определим также операторы

Р0(X) ° X — А(Л(X))X, /(X) = —а(x,Л(X)). (8)

Тогда Р (X) ° Р0 (X) + /(X) .

Для построения решения уравнения (7) применим модифицированный метод Ньютона-Канторовича с возмущениями [5]. С этой целью приведем некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма2. Оператор Р0(X) дифференцируем при любом X е Н и его производная Фреше имеет вид

Р'^ )к = к — Л(И) А'(Л( X)) X — А(Л( X ))к (9)

Справедливость леммы устанавливается простым подсчетом.

При X = X0 оператор (9) имеет вид

РХ x0)к = к — Л0(к, § 0) А'е0 — Ак , (10)

где А = А(Л0), А' = А' (Л0).

ЛеммаЗ. Пусть выполнено условие 111. Тогда оператор (10) непрерывно обратим.

Следующая теорема содержит условия, при которых бифурцирующие решения уравнения (7) можно строить на основе итераций метода Ньютона.

Теорема4. Пусть выполнены условия 1-111. Тогда уравнение (7) в каждом шаре

£ и п £

Т(X,),—) = {X : р — x01| £ —} при малых £ > 0 имеет ненулевое решение X£ , которое можно получить

как предел последовательных приближений

Xn+1 = X — (Р0/( ^ —1 Р(X, ^ п = ^Л... (11)

где X0 = £в0. При этом —— 0 и Л(X£ ) —— Л0 при £ —— 0.

Итерационная процедура (11) может быть использована и для получения асимптотик бифурцирующих решений.

Пусть нелинейность а(X,Л) представляется в виде а(X, Л) = а2 (X, Л) + Ь(X, Л), где а2 (X, Л) содержит квадратичные по X слагаемые, а Ь(X, Л) - слагаемые более высокого порядка. Тогда верна

Теорема5. Существующие в условиях теоремы 4 бифурцирующие решения X£ уравнения (2) и

соответствующие значения параметра Л£=Л(X£ ) представляются в виде

X £ =£е0 +£ е1 + о(£2), Л£ =Л0 +Л + о(£2),

где Л1 = (Жа2(е0,Л0Х go)Лo, е1 = ^а2(е0,Л0) и Ж = (Р0/ (Xo)) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

2. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. // Applied Mathematical Sciences (V.112), Springer-Verlag, New-York etc., 1995.

3. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: "Наука". 1975.

4. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир,1975.

5. Красносельский М. А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. -- М.: "Наука". 1966.

Поступила в редакцию 06.07.05 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.