Исследование основных сценариев бифуркаций функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 2 (2014). С. 104-112.

УДК 517.956

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СЦЕНАРИЕВ

БИФУРКАЦИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

М.Г. ЮМАГУЛОВ, Д.А. ЯКШИБАЕВА

Аннотация. В работе исследуются основные сценарии бифуркаций функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего типа с периодической правой частью и нелинейных автономных уравнений с последействием. Используется операторный метод исследования многопараметрических бифуркаций, приводящий к новым достаточным признакам бифуркаций и позволяющий получить приближенные формулы для возникающих решений. В качестве приложения рассмотрены задачи о точках бифуркации для модификаций уравнений Дуффинга и Хатчинсона-Райта.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, системы с запаздыванием, динамические системы, бифуркация, операторный метод, функционализа-ция параметра, асимптотические формулы.

Mathematics Subject Classification: 34C23, 34K05, 34K13, 34K18

1. Постановка задачи

В статье рассматриваются системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа вида

а а

dxt) = J [drR(t,T)] x(t — т) + J КQ(t,T)]Ф[х(г — т)] + F (t,xt) , (1)

0 0 где x £ RN. Здесь a > 0, R(t,T), Q(t,T) — это (N x N) матрицы, элементы которых определены при — ж < t < ж, 0 ^ т ^ а, являются функциями ограниченной вариации по т и непрерывны в среднем по t в следующем смысле: для любого t выполняются равенства

а а

Й / \\Q(t',T) — Q(t,T)WdT = 0;

00

функции R(t,T) и Q(t,T) являются T-периодическими по t: R(t + T,t) = R(t,T~), Q(t + T,t) = Q(t,T). В (1) используется обозначение xt ={x(t — ф\),..., x(t — ф3)),

0 ^ ф\ < ф2 < ... < ф3 ^ a, s — натуральное число. Нелинейность F(t,xt) не представляет-

а

ся в виде некоторого интеграла J [dTA(t, т)] ^[x(t — т)]. Пусть y = (yi,y2,..., ys); предпола-

0

гается, что вектор-функции Ф^), F(t,y) непрерывно дифференцируемы по совокупности M.G. Yumaguloy, D.A. Yakshibaeva, Study of main scenarios of bifurcation for functional

DIFFERENTIAL TIME-DELAY EQUATIONS.

© Юмагулов М.Г., Якшибаева Д.А. 2014.

Работа поддержана Минобрнауки РФ (соглашение 14.В37.21.0358) и частично РФФИ (гранты 11-01-97009 и 12-01-00567-а).

Поступила 25 ноября 2013 г.

lim \\R(t',T) — R(t,T )\\dT

tf >t I

0

переменных и равномерно по Ь удовлетворяют условиям

ф(х) 11= о (І X II2) , II X Н ^, II Р(і,у) ||= О (І у II2) , II у Н 0

Г(Ь+Т, у) = Г(Ь, у). Здесь и всюду ниже через || • || обозначается евклидова норма векторов

К уравнениям вида (1) могут быть сведены многие представляющие интерес уравнения с последействием (см., например, [1]—[3]). В частности, если Л(Ь,т), Q(Ь,т) и Г(Ь,Хь) не зависят от Ь, получим автономное уравнение

Системы (1) и (2) имеют решение х = 0. Важной характеристикой этого решения является свойство гиперболичности. Приведем соответствующие определения.

Рассмотрим сначала уравнение (1). Обозначим через V матрицу монодромии линейной системы

Решение х = 0 системы (1) называют (см., например, [3]) гиперболической точкой равновесия, если матрица V не имеет собственных значений равных 1 по модулю. В противном случае х = 0 называют негиперболической точкой равновесия системы (1).

Рассмотрим теперь автономное уравнение (2). Определим характеристический квазимногочлен

отвечающий линейной части уравнения (2). Решение х = 0 называют гиперболической точкой равновесия системы (2), если квазимногочлен (3) не имеет чисто мнимых нулей. В противном случае х = 0 называют негиперболической точкой равновесия системы (2).

В приложениях системы (1) и (2) обычно зависят от параметров, изменение которых могут изменять свойства гиперболичности, что приводит к различным бифуркациям в окрестности точки х = 0. Исследованию бифуркаций в функционально-дифференциальных уравнениях запаздывающего типа посвящено большое число работ (см., например, [4]-[8]), в которых предложены эффективные подходы, позволяющие получить признаки бифуркаций, приближенное представление решений, исследовать их устойчивость. Эти подходы используют метод нормальных форм Пуанкаре, теорему о центральном многообразии, топологические методы и др.

В настоящей работе исследуются задачи о бифуркации периодических решений уравнений (1) и (2). Для решения этих задач предлагается развитие операторного метода исследования многопараметрических бифуркаций [9]. Указанный метод позволяет установить достаточные условия бифуркации и получить асимптотические формулы для бифурциру-ющих решений. В отличие от обычно применяемых методов, предлагаемый алгоритм не требует построения нормальных форм и интегральных многообразий, что позволяет во многих случаях упростить приближенное исследование бифуркаций и получить простые признаки бифуркаций непосредственно в терминах исходной задачи.

и матриц в пространствах или Л5; интегралы в (1) понимаются в смысле Лебега-Стил-

тьеса.

а

а

йх(і)

йі

J [йт Е(т)] х(і - т) + ! [йт Я(г )]Ф[х{і - т)] + Р (хг)

0

0

а

0

(3)

2. Сценарии бифуркаций для неавтономных систем

Рассмотрим сначала систему вида (1), зависящую от скалярного или векторного параметра в и с Т-периодической по Ь правой частью:

а{в) а{в)

= ! К я(в,г,г)] х(ь — т)+ ! К Я(в,ь,г )]Ф[в,х(г — т)] + ^ (в,ь,х*), (4)

о о

где о(в) — непрерывно дифференцируемая функция такая, что 0 < о(в) < Т.

Значение в = в0 называют точкой бифуркации в окрестности решения х = 0, если х = 0 является негиперболической точкой равновесия уравнения (4) при в = в0.

Обозначим через V(в) матрицу монодромии линеаризованной системы (4). Ниже рассмотрим ситуации, когда матрица монодромии V(в0) имеет простое собственное значение

Р 1 Р

1 или пару простых собственных значений е±2прг/д, где 0 ^ — ^ - и — - рациональная

Я 2 Я

несократимая дробь. В обоих случаях предполагается, что остальные собственные зна-

чения матрицы V(во) не равны по модулю 1. В зависимости от этих случаев возможны различные сценарии локальных бифуркаций в окрестности состояния равновесия системы

(4).

2.1. Бифуркации вынужденных колебаний. В случае, когда V(в0) имеет простое собственное значение 1 и остальные собственные значения по модулю не равны 1, коразмерность бифуркации равна одному. В этом случае естественно считать, что параметр в является скалярным. Здесь основным сценарием бифуркации является возникновение (при переходе параметра в через в0) у системы (4) в окрестности точки равновесия х = 0 ненулевых Т-периодических колебаний малой амплитуды. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение в0 параметра в называют точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (4), если для любого £ > 0 найдется такое в = в(е), при котором система (4) имеет ненулевое Т-периодическое решение х(Ь,£), причем в(£) ^ в0 и тах ||х(Ь,£)|| ^ 0 при

£ ^ 0. *

Приведем достаточный признак бифуркации вынужденных колебаний. С этой целью по функции х = х(Ь), заданной на отрезке [0,Т], и числу т, 0 < т < Т, определим функцию и(Ь) и оператор Е (т) равенствами

и(Ь) = х (Т ■ Ь) и Е и(в) =

Введем в рассмотрение оператор

* /

В(в)и(Ь) = и(1) + Т I -тК(в,Тв,т)Е ^ и(в) I -в,

который действует и непрерывен в пространстве Ь2[0,1] с плотной областью определения

С [0,1].

Лемма 1. Если V(в0) имеет простое собственное значение 1, то оператор В(в0) : Ь2 ^ Ь2 имеет простое собственное значение 1.

Доказывается лемма несложными вычислениями.

Пусть е(Ь) - собственная функция оператора В(в0), соответствующая собственному значению 1. Сопряженный оператор В*(в0) : Ь2 ^ Ь2 также имеет собственное значение 1,

которому отвечает собственная функция в*(Ь). Функции в(Ь) и в*(I) выберем в соответствии с условием (в, в*) = 0; здесь и всюду ниже (•, •) означает скалярное произведение в ^2.

Теорема 1. Пусть V(в0) имеет простое собственное значение 1, и выполнено соотношение

(Б'е (во )в,в*) = 0; (6)

тогда значение в0 параметра в является точкой бифуркации вынужденных колебаний уравнения (4).

Здесь Б'в оператор, полученный дифференцированием оператора Б (в) по в. Доказательство этого и других утверждений работы приводится ниже в п. 4.

2.2. Бифуркация субгармонических колебаний. Рассмотрим теперь случай, когда матрица монодромии V(в0) имеет пару простых собственных значений вида e m q,

где 0 ^ ^ - и — — рациональная несократимая дробь, причем остальные собственные

q 2 q

значения матрицы V(в0) не равны по модулю единице. В этом случае коразмерность бифуркации равна двум. Здесь естественным будет предположение, что параметр в является двумерным, то есть в = (а, в), где а и в - скалярные параметры. Положим в0 = (а0,в0). Основным сценарием бифуркации является возникновение в окрестности точки равновесия x = 0 при переходе параметра в через в0 периодических решений периода qT.

Значение в0 параметра в называют точкой бифуркации субгармонических колебаний периода qT системы (4), если каждому е > 0 соответствует такое в = в(е), при котором система (4) имеет ненулевое qT-периодическое решение x(t,e), причем в(е) ^ во и max \\x(t, е) || ^ 0 при е ^ 0.

Определим оператор В(а,в) по аналогии с (5), где вместо значения T, будет значение qT.

Лемма 2. Пусть матрица монодромии V(в0) имеет пару простых собственных значений

±2ni р а ^ — ^ - — £ тт

вида e q, где 0 - и---рациональная несократимая дробь. Пусть при этом мат-

q 2 q

рица V(во) не имеет других собственных значений, равных 1 по модулю. Тогда оператор В(ао,во) '■ L2 ^ L2 имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2.

Обозначим через e = e(t) и д = g(t) линейно независимые собственные функции оператора В0 = В(ао, в0) '■ B0e = e, В0д = д. Сопряженный оператор ВО также имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2, которому отвечают собственные функции e* = e* (t) и д* = g*(t). Эти функции можно выбрать исходя из соотношений

(e,e*) = (д,д*) = 0, (e,g*) = (g,e*) = 0. (7)

Теорема 2. Пусть в условиях леммы 2 выполнено соотношение

А = det

(Б'а(ao^o)e,e*) (Б'в(ао, во)e, e*) (Б'а (ао,во)e,g*) (Бв (ао,во)e,g*)

= О.

Тогда пара чисел (а0,в0) является точкой бифуркации субгармонических колебаний системы (4).

Здесь В'а и В'р — операторы, полученные дифференцированием оператора В (а, в). Пример 1. Рассмотрим модифицированное уравнение Дуффинга

y',(t) + ау,(г - -) + Q + в cos ^ y(t) = -(y(t - 2))3 sint. (9)

Полагая х\ = у', х2 системы (4), где

у и х = (х\,х2)1 , уравнение (9) представим в виде равносильной

К(а,13Л.,т)=( -ак(т(т- 4 - (1 + в0°8 Ь) к(тМ , Ф(а,в,х) = х

Я(а,в, Ь, т)

0

0 —к(т — 2) вт Ь 00

Г (а, в, Ь, х^ = 0.

Здесь к(т) — функция Хевисайда.

Изучим вопрос о локальных бифуркациях системы в окрестности точки равновесия х = 0. В данном примере Т = 2п. Матрица монодромии линеаризованного уравнения (9) при а0 = 0 и во = 0 имеет полупростое собственное значение —1 кратности 2, то есть

пару простых собственных значений вида е±2пг« при — = —. Поэтому для уравнения (9)

Ч 2

выполняется указанное в теореме 2 необходимое условие бифуркации субгармонических колебаний при ч = 2.

Простым подсчетом можно убедиться, что в рассматриваемом примере определитель (8) является ненулевым, а именно Д = —4п2. Следовательно, согласно теореме 2 пара а0 = 0 и в0 = 0 образует точку бифуркации удвоения периода уравнения (9), то есть в окрестности нулевого решения возникают нестационарные 4п-периодические решения.

3

3. Сценарий бифуркации для Автономных систем

Рассмотрим теперь автономную систему вида (2) с последействием, зависящую от параметра в:

а{в) а{в)

= ! К Я(в,т)] х(Ь — т )^У К Я(в,т )]Ф(в,х(Ь — т)) + Г (в,хг) , (10)

оо

где о(в) > 0. Параметр в предполагается скалярным.

Значение в = во называют точкой бифуркации в окрестности решения х = 0 уравнения (10), если характеристический квазимногочлен Ь(—,в) при в = в0 имеет чисто мнимые нули — = ±ш0, где и0 > 0.

Ограничимся рассмотрением наиболее интересного случая, когда ш0 > 0; этот случай отвечает бифуркации Андронова-Хопфа. Значение в = в0 называют точкой бифуркации Андронова-Хопфа системы (10), если существуют вп ^ в такие, что при в = вп уравнение (10) имеет нестационарное периодическое решение хп(Ь), причем тах ||хп(Ь)|| ^ 0 при п ^ то.

Приведем достаточный признак бифуркации Андронова-Хопфа. Для этого определим действующий в пространстве Ь2[0,1] с плотной областью определения С[0,1] оператор

В(в,Т)и(Ь) = и(1) + Т { йтЕ(в,т)Е ^ и(в) 1 -в. (11)

Лемма 3. Пусть при некотором ш0 > 0 выполнено равенство Ь(±ш0,в0) = 0, при этом Ь(±1ти0 ,в0) = 0, т = 0, 2, 3,.... Тогда оператор В (в0,Т0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2.

Обозначим через е = е(Ь), д = д(Ь), е = е*(Ь) и д = д*(Ь) собственные функции операторов В (во, То), В*(в0,Т0) соответственно. Собственные функции выбраны исходя из соотношений (7).

Теорема 3. Пусть в условиях леммы 3 выполнено соотношение

(Б'в (То,во )в,в*) (ВТ (То,во)е,е*)

(В' (То, во)в, д*) (ВТ(То, во)в, д*)

= 0,

;12)

2п

где Т0 = —. Тогда значение во параметра в является точкой бифуркации Андронова-Хоп-

Шо

фа уравнения (10).

Здесь Б'в и Б’т — операторы, полученные дифференцированием оператора Б(в,Т) по в и Т соответственно.

Пример 2. Рассмотрим уравнение Хатчинсона-Райта (см.[11]) вида

П

х'(Ь) = —— х(Ь — в)[1 + х(Ь)], в > 0 ,

В этом уравнении параметром является запаздывание в.

В рассматриваемом примере имеем

П П

а (в) = в, Я(в,г ) = — — И (т — в), Я(в,г) = 0, Е [х(Ь),х(Ь — ф\(в))] = ——х(Ь)х(Ь — Из первого условия теоремы 3 получаем систему

13)

/ СОЄ Г"Щт} Н(т — во) = 0,

о V 0 /

/йіп (Т0т) ^Н(т — во) = ТО,

которая имеет решение в0 = 1 + 4п, п > 0, п — целое и Т0 = 4.

Пусть, например, в0 = 1 и Т0 = 4. Тогда проверка соотношения (12) приводит к равенству

0

П П_

' 4 16

П

32'

Таким образом, условия теоремы 3 выполненыб и, следовательно, число во = 1 является точкой бифуркации Андронова-Хопфа уравнения (13).

4. Доказательство основных утверждений

Доказательство теоремы 1. Для доказательства теорем 1-3 используется операторный метод исследования локальных бифуркаций операторных уравнений (см. [9] и [12]).

Перейдем к операторному уравнению.

п(ї) = Б(в)п(і) + Ь[в,п(і)], (14)

где Б(в) - оператор (5), а Ь[в,п(ї)] - оператор:

і (г{в)

, п(і)] = Т

т

[(1ТЯ(в,Тв,т)] Е \^т) Ф[в,п(з)] )ds+

оо

+ТІ (V ^в,Ts,E(фT^j п^),...,Е

:15)

Простая поверка показывает, что Т-периодические решения х(Ь) уравнения (4) совпадают с решениями и(Ь) уравнения (14).

В основе процедуры построения бифурцирующих решений уравнения (14) положим метод функционализации параметра [13] и модифицированный метод Ньютона-Канторовича с возмущениями [14].

і

На первом этапе рассматривается функционализированное уравнение

п = Б(в(п))п + Ь[в(п),п], (16)

где в(п) — непрерывный функционал, который предлагается выбрать в виде

в

в(п) = — (п, в*), є

где в* — собственная функция оператора Б*, є > 0 — вспомогательный малый параметр. Если п* — решение уравнения (16), то п* решение уравнения (14) при в = в(п*).

На втором этапе уравнение (16) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого

(16) представляется в виде

О(п) + W (п) = 0, (17)

где О(п) = п — Б[в(п)]п, W(п) = —Ь[в(п),п].

Операторы О и W действуют в пространстве Ь2[0,1] и зависят от параметра є > 0, но для простоты изложения в обозначениях операторов є не использует-

ся. Пространство Ь2 можно представить в виде Ь2 = Но ф Но, где Но — собственное подпространство, отвечающее простому собственному значению 1 оператора Бо : Бо = Б (во), а Но — дополнительное инвариантное для Бо подпространство. Положим О'(єв)к = к — Б(во)к — во(к,в*)Б'(во)в и по = єв; из условия (7) следует, что существует ограниченный оператор Го = [О'(по)]-1 : Ь2 ^ Ь2, при этом оператор Го не зависит от є. Оператор Го может быть вычислен по формуле Гоу = ко + ко, где

(У,в*)в

ко =

во (Б'(во)в, в*)

ко = (1 — Бо)-1

(у, в*)Б'(во)в

У

(Б>(в0)в,в*) \ •

Лемма 4. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда, при всех малых е > 0 уравнение (17) имеет нетривиальное решение и(е), которое может быть получено как предел последовательных приближений

ип+1 = ип — Г0С(ип) — (ип),п = 0,1, 2,..., (18)

где щ = щ(Ь) = ее(Ь).

Из приведенных выше построений следует, что уравнение (14) при в = в[и(е)] имеет

ненулевые решения и(е), такие что || и(е) — ее ||= о(е), в[и(е)] ^ в0 при е ^ 0. Это

завершает доказательство теоремы 1.

Отметим, что из леммы 4 следует существование функции в(е) = в[х(е)] такой, что при в = в(е) уравнение (4) имеет ненулевое Т-периодическое решение х(Ь,е): х(0,е) = х(е). При этом значения функций в(е) и х(е) могут быть построены итерациями (18), где и(Ь) = х(Т ■ Ь).

Доказательство теоремы 2. Задача о бифуркации субгармоничеких колебаний уравнения (4) равносильна задаче о бифуркации малых ненулевых решений операторного уравнения

и(Ь) = Б (а, в )и(Ь) + Ь(а, в,и(Ь)), (19)

где Б(а,в) и Ь[а,в,и(Ь)] определяются как (5) и (15) соответственно.

На первом этапе доказательства рассматривается функционализированное уравнение

и = Б (а (и), в (и))и + Ь[а(и), в(и),и], (20)

где а(и) и в (и)) — непрерывные функционалы, которые предлагается выбрать в виде

а(и) = а0 + - [(и,е*) — е], в (и) = в0 + ~(и,д*); ее

здесь е > 0 вспомогательный малый параметр.

На втором этапе уравнение (20) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого (20) представляется в виде (17), где О(п) = п — Б[а(п),в(п)]п, W(п) = —Ь[а(п),в(п),п].

Пространство Ь2 можно представить в виде Ь2 = Но ф Но, где Но - собственное подпространство, отвечающее полупростому собственному значению 1 кратности 2 оператора Бо : Бо = Б(ао,во), а Но - дополнительное инвариантное для Бо подпространство. Положим О'(єв)к = к — [(к, в*)Б'а(во)в + (к, д*)Б'р(во)в] — Бок и по = єв; из условия (8) теоремы следует, что существует ограниченный оператор Го = [О'(по)]-1 : Ь2 ^ Ь2, при этом оператор Го не зависит от є. Оператор Го может быть вычислен по формуле Гоу = ко + ко, где

ко = Му)в + (y)g,

h = (I - Bo) [y + Ja(y)B'a (в0)e + Jp (y)B'e Ш^.

Здесь Ja(y) и Jf3(y) вычисляются по формуле

Ja(y)

JP (y)

1

(y,e*) (y,g*)

(Б'а (а0,в0)е,е*) (Б'р (а0,в0)е,е*)

(Б'а(а0,в0)е,д*) Б(а0,в0)е,д*)

Лемма 5. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда при всех малых е > 0 уравнение

(17) имеет решение и(е), которое может быть получено как предел последовательных приближений

ип+1 = ип — Г0С(ип) — (ип),п = 0,1, 2,..., (21)

где и0 = и0(Ь) = ее(Ь). Из приведенных построений следует, что уравнение (19) при а = а[и(е)] и в = в[и(е)] имеет ненулевые решения и(е), так что || и(е) — ее ||= о(е), а[и(е)] ^ а0, в[и(е)] ^ в0 при е ^ 0. Это завершает доказательство теоремы 2.

Отметим, что из леммы 5 следует существование функций а(е) = а[х(е)] и в(е) = в[х(е)] таких, что при а = а(е) и в = в(е) уравнение (4) имеет ненулевое ([Т-периодическое решение х(Ь,е) такое, что х(0,е) = х(е). При этом значения функций а(е), в(е) и х(е) могут быть построены итерациями (21).

Доказательство теоремы 3. Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 2. Основным при этом является операторное уравнение

и(Ь) = Б (в,Т )и(Ь) + Ь[в,Т,и(Ь)],

где оператор Б(в,Т) определяется равенством (11), а нелинейность Ь[в,Т,и(Ь)] - равенством

t <г(в)

b[в, u(t)] = T

т

[dTQ}(в,т)] E yTj $^u(s)] )ds+

00

+T j(f (e.E^-T'j u(s],...,e(-T) ds.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548 с.

2. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

4. B. Balachandran, T. Kalmar-Nagy, D. Gilsinn Delay Differential Equations. Recent Advances and New Directions. Springer, New York, NY, 2009.

5. Колесов Ю.С. Обоснование метода квазинормальных форм для уравнения Хатчинсона с малым коэффициентом диффузии // Известия РАН. Сер. матем., 2001. Т. 65, № 4. С. 111-132.

6. D. Roose, R. Szalai Continuation and bifurcation analysis of delay differential equations // Numerical continuation methods for dynamical systems. Springer, Dordrecht, 2007. P. 359-399.

7. D. Schley Bifurcation and stability of periodic solutions of differential equations with state-dependent delays // European Journal of Applied Mathematics. 2003. V. 14, № 1. P. 3-14.

8. Каменский М.И., Лысакова Ю.В., Нистри П. О бифуркации периодических решений для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием // Автоматика и телемеханика, 2008, № 12, C. 41-46.

9. Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С, Муртазина С.А., Юмагулов М.Г Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в мноопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал, 2010. Т. 2, №4. С. 3-26.

10. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекторяим дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966. 332 с.

11. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. 1985. 280 с.

12. Ибрагимова Л.С., Юмагулов М.Г. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем // Автоматика и телемеханика, 2007. № 4. С. 3-12.

13. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. M.: Наука. 1975. 512 с.

14. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. M.: Наука. 1969. 456 с.

Марат Гаязович Юмагулов,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: yum_mg@mail.ru

Дина Ахатовна Якшибаева,

Сибайский институт (филиал) Башкирский государственный университет, ул. Белова, 21,

453837, г. Сибай, Россия E-mail: K_dina_a@mail.ru