Научная статья на тему 'Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах'

Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

249
51
Поделиться
Ключевые слова
бифуркация / динамические системы / операторные уравнения / функционализация параметра / асимптотические формулы

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Вышинский Александр Алексеевич, Ибрагимова Лилия Сунагатовна, Муртазина Сария Аширафовна, Юмагулов Марат Гаязович

Работа посвящена изложению нового операторного метода исследования широкого класса бифуркационных задач с многомерным вырождением. Метод позволяет обнаруживать бифуркационные значения параметров; он приводит к итерационной процедуре и асимптотическим формулам приближенного исследования задач, зависящих от многих параметров. Приводятся приложения в теории динамических систем: в задачах о бифуркации неподвижных точек, вынужденных колебаний и автоколебаний.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Вышинский, Александр Алексеевич, Ибрагимова Лилия Сунагатовна, Муртазина Сария Аширафовна, Юмагулов Марат Гаязович,

A new operator method for investigating a large class of bifurcation problems with multidimensional degenerations is considered. The method makes it possible to detect bifurcation parameter values; it leads to an iteration procedure and asymptotic formulae for approximate investigation of problems depending on many parameters. Applications to the theory of dynamical systems are discussed, e.g. in problems on bifurcation of fixed points, forced oscillations and self-oscillations.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 3-26.

УДК 517.91

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПРАВИЛЬНОЙ БИФУРКАЦИИ В МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

А.А. ВЫШИНСКИЙ, Л.С. ИБРАГИМОВА, С.А. МУРТАЗИНА,

М.Г. ЮМАГУЛОВ

Аннотация. Работа посвящена изложению нового операторного метода исследования широкого класса бифуркационных задач с многомерным вырождением. Метод позволяет обнаруживать бифуркационные значения параметров; он приводит к итерационной процедуре и асимптотическим формулам приближенного исследования задач, зависящих от многих параметров. Приводятся приложения в теории динамических систем: в задачах о бифуркации неподвижных точек, вынужденных колебаний и автоколебаний.

Ключевые слова: бифуркация, динамические системы, операторные уравнения, функционализация параметра, асимптотические формулы

Динамические системы, как правило, зависят от внешних и внутренних параметров. Изменение этих параметров может приводить к качественным перестройкам функционирования системы — различным бифуркациям. Одними из основных при исследовании бифуркаций являются вопросы о достаточных признаках бифуркаций и приближенном построении возникающих решений системы. Исследованию таких вопросов посвящена обширная литература (см., например, [1]—[5] и имеющуюся там библиографию). При этом большинство работ посвящено изучению однопараметрических систем, линеризованные уравнения которых имеют простые вырождения. Вместе с тем следует отметить, что многие теоретические и практические задачи приводят к системам, зависящим от многих параметров и имеющим сложные вырождения.

В настоящей статье приводятся основные положения нового операторного метода исследования широкого класса бифуркационных задач с многомерным вырождением. Метод позволяет обнаруживать бифуркационные значения параметров; он приводит к итерационной процедуре построения решений и асимптотическим формулам, позволяющим провести приближенное исследование задач, зависящих от многих параметров. Приводятся приложения в теории дискретных динамических систем, в задачах о бифуркации вынужденных колебаний, диффеоморфизмов и автоколебаний. Часть приводимых здесь результатов анонсирована в работах [6, 7], некоторые приложения рассмотрены в [8, 9].

A.A. Vyshinskiy, L.S. Ibragimova, S.A. Murtazina, M.G. Yumagulov, An operator method for approximately studying regular bifurcation in multiparameter dynamical systems.

© Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. 2010.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ 10-01-93112-НЦНИЛ_а и 08-01-97020 ("Поволжье"), а также гранта АН РБ по программе ГНТП РБ "Критические технологии Республики Башкортостан: физико-математические принципы и технические решения.

Поступила 5 апреля 2010 г.

1. БИФУРКАЦИИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.

В этом параграфе приводятся основные положения предлагаемого метода исследования бифуркационных задач. Рассматривается операторное уравнение

х = В(^)х + Ь(х,^), х Е Ям, ^ Е Дт, (1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в котором матрица В(^) гладко (непрерывно дифференцируемо) зависит от параметра а нелинейность Ь(х, ^) также гладко зависит от ^ и представима в одном из следующих видов:

• либо

Ь(х,^) = &2(х,^) + Ьз(х,^), (2)

• либо

Ь(х,^) = Ьз(х,^) + Ь4(х,^), (3)

• либо

Ь(х, ^) = Ь>2(х, ^) + Ьз(х, ^) + &4 (х, ^), (4)

где Ь2 (х,^) и Ь3 (х,^) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по х слагаемые, а Ь3(х, ^) и Ь4(х,^) являются гладкими по х, при этом Ь3(х,^) = 0(||х||3) и Ь4(х, ^) = 0(||х||4), х ^ 0, равномерно по ^.

Уравнение (1) при всех значениях ^ имеет нулевое решение.

Приводимые ниже результаты остаются справедливыми (с естественными модификациями) и в случаях, когда нелинейность Ь(х, ^) определена по х и ^ лишь в некоторых окрестностях точек х = 0 и ^ = ^0.

Ниже основным будет следующее понятие.

Пусть е € — некоторый ненулевой вектор. Значение ^0 параметра ^ назовем пра-

вильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению вектора е, если существуют £0 > 0 и определенные при £ Е [0, £0) непрерывные функции ^ = ^(£) и х = х(£) такие, что:

1) ^(0) = ^0 , х(0) = 0;

2) ||х(£) — £е|| = о(£) при £ ^ 0;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3) для каждого £ ^ 0 вектор х(£) является решением уравнения (1) при ^ = ^(£).

Векторы х(£ и значения ^(£) назовем бифурцирующими решениями уравнения (1).

Правильные точки бифуркации соответствуют тому, что уравнение (1) при ^ = ^(£) имеет решение х = х(£ так, что кривая х = х(£) в пространстве Ям при £ ^ 0 асимптотически стремится к прямой х = £е (см. Рис.1).

Рис. 1 (правильная бифуркация)

Очевидно следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть значение ^0 параметра ^ является правильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению вектора е. Тогда вектор е будет собственным для матрицы В(^0), отвечающим собственному значению 1.

В силу этой леммы правильные точки бифуркации уравнения (1) имеет смысл искать лишь среди тех ^0, при которых матрица В(^0) имеет собственное значение 1. При этом в качестве направления следует использовать собственный вектор е.

В настоящей статье задача о правильных точках бифуркации рассматривается в двух основных случаях, когда матрица В(^0) имеет:

1) простое собственное значение 1;

2) полупростое собственное значение 1 кратности 2.

1.1. Случай простого собственного значения 1. Рассмотрим сначала задачу о пра-

вильных точках бифуркации операторного уравнения (1), когда матрица В(^0) имеет простое собственное значение 1. Параметр ^ в этом случае естественно считать скалярным, а

именно, пусть ^ Е (^0 — 5, ^0 + 5), где 5 — некоторое положительное число. Приводимые в

этом пункте построения и утверждения получены в [6].

Пусть е и д — собственные векторы оператора В(^0) и сопряженного оператора В * (^0), соответствующие собственному значению 1. Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

||е|1 = 1, (е,д) = 1 • (5)

Через В'(^) обозначим производную оператора В(^) по параметру ^.

Теорема 1. Пусть оператор В (^0) имеет простое собственное значение 1. Пусть

(В'(^0)е,д)=0 • (6)

Тогда ^0 является правильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению векторов е и — е.

1.1.1. Вспомогательные сведения. Приведем впомогательные сведения, необходимые для приближенного построения существующих в условиях теоремы 1 бифурцирующих решений х = х(£ и ^ = ^(£) уравнения (1). Без ограничения общности можно считать, что ^0 = 0.

Пусть Н0 — это одномерное подпространство пространства Н = Ям, содержащее вектор е, т.е. Н0 является собственным подпространством оператора В0 = В(^0), отвечающим собственному значению 1. Пространство Н = Ям может быть представлено в виде

Н = Н0 ® Н0, где Н0 — дополнительное к Н0 инвариантное для В0 подпространство.

Подпространство Н0 может быть описано равенством

Н0 = {х : х Е Н , (х, д) = 0} .

Спектр а оператора В0 : Н ^ Н представим в виде а = а1 и а2, где а1 = {1}, а а2 — спектр оператора В0 : Н0 ^ Н0. В частности, 1 / а (В0 : Н0 ^ Н0) и, следовательно, существует оператор

(I — В0)-1 : Н0 ^ Н0. (7)

Определим действующий в Н оператор

Пт, = К — ^0(К, д)В'е — В0К, К Е Н ,

где обозначено В0 = В(^0) и В' = В'(^0). В силу условия (6) оператор ^ : Н ^ Н обратим. Положим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Г0 = ^-1 : Н ^ Н. (8)

Оператор (8) может быть вычислен в соответствии со следующим утверждением.

Лемма 2. Оператор Г0 при любом у Е Н вычисляется по формуле Г0у = К0 + К0, где

(у,д)е

К0 = —

МВ' е,д)’

1.1.2. Главные асимптотики и тип бифуркации. Приведем асимптотические формулы для существующих в условиях теоремы 1 бифурцирующих решений х = х(е) и ц = ц(е) уравнения (1).

Теорема 2. Пусть нелинейность Ь(х,ц) представляется в виде (2). Тогда существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие решения х(е) и ц = ц(е) уравнения (1) представимы в виде

ний х(е) и р = р(е) уравнения (1).

Из теоремы 2 следует, что если нелинейность Ь(х, р) начинается с квадратичных слагаемых, то главные асимптотики бифурцирующих решений уравнения (1) имеют вид (9). Ясно, что в формулах (9) вместо е можно использовать и вектор —е; в этом случае вместо д следует использовать вектор —д. При этом вектор е! из (10) не изменится, а число р! поменяет знак. Следовательно, верна

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 1 выполнено равенство (2), при этом

Тогда правильная бифуркация по направлению векторов е и —е уравнения (1) является двусторонней: бифурцирующие решения х(е) уравнения (1) существуют как при р < р0, так и при р > р0.

Пусть для определенности р! > 0. Тогда при всех малых е > 0 верно неравенство р(е) > р0. Следовательно, уравнение (1) при р = р0 + ер! + о(е) > р0 имеет решения х = ее + е2е! + о(е2), а при р = р0 — ер! + о(е) < р0 — решения х = —ее + е2е! + о(е2).

В дальнейшем отмеченное в теореме 3 свойство бифуркации будем называть свойством транскритичности. Другими словами, правильную бифуркацию будем называть транскритической, если бифурцирующие решения х(е) уравнения (1) существуют как при р < р0, так и при р > р0 (см. Рис. 2).

Теорема 4. Пусть нелинейность Ь(х,ц) представляется в виде (3). Тогда существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие решения х(е) и ц = ц(е) уравнения (1) представимы в виде

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(10)

(9)

и Го — оператор (8).

Формулы вида (9) будем называть главными асимптотиками бифурцирующих реше-

(Ь2 (е,Цо),9) = 0.

(11)

X

і

Рис. 2 (транскритическая бифуркация)

х(е) = ее + е3е2 + о(е3), ц(е) = цо + е2Ц2 + о(е2),

(12)

где

_Т и Г \ — (Ьз (Є,Ц0),д) /-.оч

е2-Го6з(е,/іо), Ц>2 —-----(~В^ё~д)—'

Таким образом, если нелинейность Ь(х, ц) начинается с кубических слагаемых, то главные асимптотики бифурцирующих решений уравнения (1) имеют вид (12). Легко видеть, что вектор е2 из (13) заменится на —е2, а число ц2 не изменится, если заменить е на —е, а д на —д. Следовательно, верна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 5. Пусть в условиях теоремы 1 выполнено равенство (3), при этом

(Ьз (е,цо),д) = 0- (14)

Тогда правильная бифуркация по направлению векторов е и —е уравнения (1) является односторонней: бифурцирующие решения уравнения (1) возникают только при ц > ц0 (если ц2 > 0) или только при ц < ц0 (если ц2 < 0). При этом возникают два семейства бифурцирующих решений:

х+ (е) = ее + е3е2 + о(е3), х- (е) = —ее — е3е2 + о(е3).

В дальнейшем правильную бифуркацию будем называть бифуркацией типа вилки, если бифурцирующие решения х(е) уравнения (1) существуют или только при ц < ц0, или только при ц > ц0 (см. Рис. 3). В условиях теоремы 5 имеет место бифуркация типа вилки.

Рис. 3 (бифуркация типа вилки)

1.1.3. Асимптотические формулы второго порядка. Наряду с главными асимптотиками (9) и (12) могут быть получены и асимптотические формулы более высокого порядков. Приведем для иллюстрации схему получения асимптотики второго порядка.

Пусть нелинейность Ь(х, р) представима в виде (4). Обозначим Ь2 = Ь2(е, р0),

Ь2х = Ь2х (е> р0^ Ь2М = Ь2М(е> р0^ Ь3 = Ь3(е, р0^ В' = В'(р0) и В" = В"(р0).

Теорема 6. Пусть нелинейность Ь(х, р) представима в виде (4). Тогда существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие решения х(е) и р = р(е) уравнения (1) представимы в виде

х(е) = ее + е2 ех + е3е2 + о(е3), р(е) = р0 + ер! + е2р2 + о(е2), (15)

где ех и рх — определены равенствами (10),

е2 = Го ^рх^Гобг + ^-В"е + 62жГо62 + Р1&2м + 63^ , (16)

р2 = (е2 ,д )р0. (17)

Здесь Г0 — оператор (8),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При рх = 0 формулы (16) и (17) становятся более простыми:

г _V (И' V И I И \ п _ (^2жГо&2 + &з 1 я) /1 ©\

е2 - I 0{О2х\- 0о2 + о3), р2 —----(В^Гд)-----‘

1.1.4■ Тип бифуркации: особый случай. В теоремах 3 и 5 соотношения (11) и (14) определяют тип бифуркации: транскритический или типа вилки. Если же, например, (b2(e, ^0), g) = 0, то тип бифуркации теорема 3 не определяет. В этом случае можно воспользоваться следующим утверждением.

Теорема 7. Пусть в условиях теоремы 1 нелинейность b(x, ß) представима в виде

(4). Пусть

ti. \ п (bs + b'2xT0b2,g)

(h,g) = 0, =-------(B,eg) ¿0,

где, как обычно, b2 = b2(e, ß0), b3 = b3(e, ß0) и У2х = b2x(e,ß0). Тогда имеет место бифуркация типа вилки: бифурцирующие решения уравнения (1) по направлению векторов e и

—e возникают только при

ß(£) = ßo + £2ß2 + o(£2) •

При этом возникают два семейства бифурцирующих решений

Х+ (s) = £e + £ ei + £ e2 + o(£ ) , X—(£) = —£e + £ ei — £ e2 + o(£ ) ,

где

e1 = (1 — B0) 1b2 , e2 = Г0Ь2ХГ0Ь2 ! здесь (I — B0)-1 — оператор (7).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, в условиях теоремы 7 бифурцирующие решения возникают только при ß > ß0 (если ß2 > 0) или только при ß < ß0 (если ß2 < 0).

Справедливость этой теоремы следует из формул (15) и (18).

1.2. Случай полупростого собственного значения 1. Рассмотрим теперь задачу о правильных точках бифуркации операторного уравнения (1), когда матрица B(ß0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Параметр ß в этом случае естественно считать двумерным, а именно, пусть ß = (a,ß), где а и ß — скалярные параметры. Тогда уравнение (1) примет вид

x = B(a,ß)x + b(x, a,ß). (19)

Обозначим ß0 = (a0,ß0) и B0 = B(a0,ß0).

Пусть e и g — линейно независимые векторы, так что B0e = e и B0g = g. Сопряженный оператор Bq также имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2, которому отвечают собственные векторы e* и g*. Эти векторы можно выбрать исходя из соотношений:

(e, e*) = (g, g*) = 1, (e, g*) = (g, e*) = 0. (20)

Замечание 1. В качестве вектора e может быть выбран любой из собственных векторов матрицы B(ß0), отвечающий собственному значению 1, при этом можно считать, что ||e|| = 1. Векторы g, e* и g * подбираются в соответствии с соотношениями (20).

Правильные бифуркации уравнения (19) можно изучать, выбрав в качестве “направления” любой из собственных векторов оператора B0, отвечающих собственному значению 1. Для определенности выберем собственный вектор e.

Теорема 8. Пусть оператор B0 = B(a0,ß0) имеет полупростое собственное значение

1 кратности 2. Пусть

(B¿(ao,ßo)e, e*) (Be(ao,ßo)e, e*)

_ (Ba(ao,ßo)e,g*) (Be(ao,ßo)e,g*) _

Тогда ß0 является правильной точкой бифуркации уравнения (19) по направлению вектора e.

det

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= 0. (21)

Здесь Б'а и Вв — операторы, полученные дифференцированием оператора B(а, в) по а и в соответственно.

Доказательство теоремы 8 приводится в п. 5.

Подчеркнем, что в теореме 8 речь идет о правильной бифуркации по направлению собственного вектора e оператора Во, отвечающего полупростому собственному значению 1 кратности 2. В отличие от случая простого собственного значения 1, когда бифуркация может иметь только два направления e и —е, в рассматриваемом случае бифуркация может иметь континуум различных направлений вида e(t) = е cost + g sin t, 0 ^ t ^ 2n.

1.2.1. Вспомогательные сведения. С целью получения асимптотических формул для существующих в условиях теоремы 8 бифурцирующих решений уравнения (19) приведем вспомогательные сведения.

Пусть Н0 — это двумерное подпространство пространства Н = Ям, содержащее векторы е и д, т.е. Н0 является собственным подпространством оператора В0, отвечающим полупростому собственному значению 1 кратности 2. Пространство Н = Ям может быть представлено в виде Н = Н0 ® Н0, где Н0 — дополнительное к Н0 инвариантное для В0 подпространство. Подпространство Н0 может быть представлено равенством

Н0 = {х : х Є Н, (х, е*) = 0, (х, д*) = 0}.

Спектр а оператора В0 : Н ^ Н представим в виде а = а1 и а2, где а1 = {1}, а а2 = а\а1

— спектр оператора В0 : Н0 ^ Н0. В частности, 1 / а(В0 : Н0 ^ Н0); следовательно, существует обратный оператор

(I — В0)-1 : H0 ^ H0.

(22)

Определим действующий в H оператор

Fh = h — [(h, е*)Бае + (h, g*)Б^Є — B0h, h Є H ,

(23)

где обозначено В^, = В^,(«о, во) и В^ = В^(«о, во). В силу условия (21) оператор ^ : Н ^ Н обратим. Положим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(24)

Г

F-1 : H ^ H.

Оператор (24) может быть вычислен в соответствии со следующим утверждением.

Лемма 3. Оператор Г0 = F 1 при любом y Є H вычисляется по формуле Г0у = h0+h0

h0 = Ja(y)e + J (У^ h0 = (1 — B0) 1 [y + Ja(y)Bae + Je(y)B3e] .

Здесь (I — B0) 1 — оператор (22), а функционалы Ja (y) и Je (y) — это компоненты

вектора

J(y) =

Ja (y) Je (y)

который вычисляется по формуле J(y) = — Q Y(y), где

Q =

(B¿(а0,в0)e, e*) (Be(а0, в0)e, e*)

(Ba(а0,e0)e,g*) (Be(a0,e0)e,g*) _

Y(y) =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(y, e*)

(y,g*)

В справедливости леммы 3 можно убедиться непосредственным подсчетом.

1.2.2. Главные асимптотики. Приведем главные асимптотики для существующих в условиях теоремы 8 бифурцирующих решений х = х(е), а = а(е) и в = в(е) уравнения (19). При этом основное внимание будет уделено рассмотрению правильной бифуркации по направлению вектора е.

Как и в п. 1.1, будем рассматривать различные случаи, когда нелинейность Ь(х, а, в) представима в одном из видов (2)-(4).

Ниже используются обозначения

Ь2 = Ь2(е, а0,в0), Ь3 = Ь3(е, а0,в0), (25)

Ь2ж = Ь2ж(е а0, в0), Ь2а = Ь2а(е а0, в0), Ь2в = Ь2в(е а0, в0). (26)

Теорема 9. Пусть нелинейность Ь(х, а, в) представима в виде (2). Тогда существующие в условиях теоремы 8 бифурцирующие решения х(е), а(е) и в (е) уравнения (19)

представимы в виде

х(е) = ее + е2еі + о(е2), а(е) = а0 + еаі + о(е), в(е) = в0 + еві + о(е), (27)

где

еі = Г0Ь2, аі = </а(Ь2), ві = 1 в (Ь2). (28)

Доказательство теоремы 9 приводится в п. 5.

Таким образом, если нелинейность Ь(х, а, в) начинается с квадратичных слагаемых, то главные асимптотики бифурцирующих решений уравнения (19) имеют вид (27).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 10. /р44 Пусть нелинейность Ь(х, а, в) представима в виде (3). Тогда существующие в условиях теоремы 8 бифурцирующие решения х(е), а(е) и в(е) уравнения (19) представимы в виде

х(е) = ее + е е2 + о(е ), а(е) = а0 + е а2 + о(е ), в(е) = в0 + е в2 + о(е ), (29)

где

е2 = Г0Ь3, а2 = 1 а (Ь3), в2 = (Ь3). (30)

Доказательство теоремы 10 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 9. Таким образом, если нелинейность Ь(х, а, в) начинается с кубических слагаемых, то главные асимптотики бифурцирующих решений уравнения (19) имеют вид (29).

1.2.3. Асимптотические формулы второго порядка. Наряду с главными асимптотиками (27) и (29) бифурцирующих решений уравнения (19) могут быть получены и асимптотические формулы более высокого порядков. Приведем схему получения второй асимптотики.

Теорема 11. Пусть нелинейность Ь(х, а, в) представима в виде (4). Тогда существующие в условиях теоремы 8 бифурцирующие решения х(е), а(е) и в (е) уравнения (19) представимы в виде

х(е) = ее + е еі + е е2 + о(е ), (31)

а(е) = а0 + еаі + е2а2 + о(е2), в(е) = в0 + еві + е2в2 + о(е2), (32)

где еі, аі и ві — определены равенствами (28),

е2 = ^(^ + 63), а2 = За(<Р + Ь3), в2 = ^3(<£ + Ь3);

здесь

2

V3 = «і^аГобг + АВ/?Го^2 + + аівіВ^еЧ-

+^^дае + Ь2хГ0Ь2 + аіЬ2а + (і\Ь'2(і.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Здесь Г0 — оператор (24), В'а, В?, Впаа, В'^, В?? — операторы, полученные дифференцированием оператора В(а, в) по а и (или) в нужное число раз в точке (а0, в0); используются также обозначения (25) и (26).

Доказательство теоремы 11 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 9.

1.2.4. Тип бифуркации: особый случай. В приложениях часто встречается ситуация, когда в соотношениях (32) выполнены равенства а1 =0 и ß1 = 0. В этом случае теорема 11 принимает вид

Теорема 12. Пусть нелинейность b(x,a,ß) представима в виде (4). Пусть

(62,e*) = (b2,g*) = 0. (33)

Тогда существующие в условиях теоремы 8 бифурцирующие решения x(£), а(£) и ß(£)

уравнения (19) представимы в виде

x(£) = £e + £2ei + £3e2 + o(£3) , (34)

а(£) = ао + £2а2 + o(£2), ß(£) = ßo + £2ß2 + o(£2), (35)

где

e1 = (1 — B0) 1 b2 , e2 = Г0(62хГ0b2 + b3) , а2 = Ja (62хГ0 b2 + b3) , ß2 = Jß (62хГ062 + b3)!

здесь (I — B0)-1 — оператор (22).

2. БИФУРКАЦИИ в ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

В качестве первого приложения рассмотрим задачу о локальных бифуркациях в дискретных динамических системах, зависящих от скалярного или векторного параметра ß и описываемых уравнением

xfc+1 = f (xfc,ß), k = 0,1, 2, ••., (36)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Всюду ниже предполагаются выполненными условия:

D1. функция f (x, ß) определена при всех x G RN и ß G Rm, при этом она непрерывно дифференцируема по x и ß;

D2. уравнение (36) при всех значениях ß имеет нулевую неподвижную точку x = 0, т.е.

f (0, ß) = 0.

Приводимые ниже результаты остаются справедливыми (с естественными модификациями) и в ряде случаев, когда условия D1 и D2 заменены более слабыми предположениями, в частности, когда функция f (x, ß) определена по x и ß лишь в некоторых окрестностях точек x = 0 и ß = ß0.

2.1. Основные сценарии локальных бифуркаций. При изменении параметра ß поведение системы (36) может качественно изменяться: могут появиться или исчезнуть неподвижные точки или циклы различных периодов, может измениться характер их устойчивости и т.п., то есть возможны различные бифуркации. Ниже будем рассматривать локальные бифуркации в окрестности неподвижной точки x = 0 системы (36).

Обозначим через A(ß) = fX(0, ß) матрицу Якоби вектор-функции f (x,ß), вычисленной в точке x = 0. Неподвижную точку x = 0 системы (36) при ß = ß0 называют гиперболической, если матрица Якоби A(ß0) не имеет собственных значений, равных по модулю 1. В противном случае говорят, что неподвижная точка x = 0 системы (36) является негиперболической.

Пусть при некотором ß = ß0 неподвижная точка x = 0 системы (36) является негиперболической, т.е. матрица Якоби A(ß0) имеет одно или несколько собственных значений, равных по модулю 1. В этом случае возможны различные сценарии локальных бифуркаций в окрестности точки x = 0. Эти сценарии определяются свойствами спектра матрицы A(ß0). Основными здесь являются следующие случаи, когда матрица A(ß0) имеет:

H1) простое собственное значение 1;

H2) простое собственное значение —1;

Н3) пару простых комплексно сопряженных собственных значений е±2пЛ, где 0 < в < 1 и

в рационально: в = — — несократимая дробь, причем в ф д 2

Н4) имеет пару простых комплексно сопряженных собственных значений е±2п0*, где

0 <в< 1 и в — иррационально.

Во всех этих случаях предполагается, что остальные собственные значения матрицы А(р0) не равны по модулю 1; случаи Н3) и Н4) возможны только при N ^ 2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2.1.1. Случай Н1): бифуркация неподвижных точек. Случай Н1) приводит к двум основным сценариям — транскритической бифуркации и бифуркации типа вилки, связанным с возникновением у системы (36) при р близких к р0 в окрестности точки х = 0 новых неподвижных точек.

Значение р0 назовем точкой бифуркации неподвижных точек системы (36), если для каждого £ > 0 найдется р = р(£), ||р(£) — р0У < £, такое, что при р = р(£ система (36) имеет неподвижную точку х = х(£), при этом 0 < ||х(£)|| < £.

Простейшие уравнения, описывающие бифуркации указанного типа:

хга+1 = рхп — хП , (транскритическая); (37)

хга+1 = рхп — хП , (вилка); в обоих случаях бифуркационным является значение р0 = 1.

2.1.2. Случай Н2): бифуркация удвоения периода. Случай Н2) приводит к бифуркации удвоения периода (или субгармонической бифуркации), связанной с возникновением у системы (36) при р близких к р0 в окрестности точки х = 0 циклов периода 2.

Значение р0 назовем точкой бифуркации удвоения периода (или точкой бифуркации

2-циклов) системы (36), если для каждого £ > 0 найдется р = р(£), ||р(£) — р01| < £, такое, что при р = р(£ система (36) имеет цикл х0(£),х1 (£) периода 2, при этом 0 < ||х^(£)|| < £, 3 = 0,1.

Например, для уравнения (37) значения р = —1 и р = 3 являются точками бифуркации удвоения периода.

2.1.3. Случай Н3): бифуркация д-циклов. В этом случае одним из возможных сценариев является возникновение у системы (36) при р близких к р0 в окрестности точки х = 0 циклов периода д, т.е. имеет место бифуркация д-циклов (соответствующее определение аналогично введенному выше определению точек бифуркации 2-циклов). Указанный сценарий реализуем лишь в многомерных системах (36), зависящих от двух и большего числа параметров, т.е. если х € Ям и р € Ят при N т ^ 2.

2.1.4. Случай Н4): бифуркация Андронова-Хопфа. Случай Н4) наиболее сложен для исследования. Здесь возможны различные сценарии бифуркаций. Укажем один из них, при этом откажемся от ограничения, что 9 иррационально.

1121

Пусть в (0 < в < 1) — таково, что в ф Пусть для простоты N = 2. То-

2 3 3 4

гда при каждом близком к р0 значении р в окрестности точки х = 0 фазовый портрет системы (36) содержит замкнутую кривую 7(р), ограничивающую область притяжения или отталкивания неподвижной точки х = 0. Кривая 7(р) является инвариантной для системы (36). Динамика системы (36) на кривой 7(р) может оказаться весьма сложной, содержащей семейство периодических и квазипериодических орбит. Такой сценарий называют бифуркацией Андронова-Хопфа.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2.2. Переход к операторному уравнению. В этом параграфе основное внимание уделяется исследованию локальных бифуркаций системы (36) в случаях H1)-H3). Эти случаи характеризуются возникновением у системы (36) при ß близких к ß0 в окрестности точки x = 0 ненулевых неподвижных точек или циклов периода q, q ^ 2. Для исследования соответствующих бифуркаций предлагается перейти к эквивалентной задаче для операторных уравнений.

2.2.1. Бифуркация стационарных решений. В случае H1) матрица A(ß0) имеет простое собственное значение 1. Коразмерность такой бифуркации равна одному; другими словами, наименьшая размерность пространства Rm параметра ß, которая содержат данную бифуркацию в устойчивой форме, равна одному. Поэтому естественным будет предположение, что параметр ß является скалярным, а именно, пусть ß £ [ß0 — 5, ß0 + 5], где 5 — некоторое положительное число.

В задаче о бифуркации стационарных решениях системы (36) естественно перейти к уравнению

x = / (x,ß), (38)

решения которого и определяют неподвижныые точки системы (36). В силу предположений D1 и D2 уравнение (38) представимо в виде

x = A(ß)x + a(x,ß), (39)

где A(ß) = /X(0,ß), а нелинейность a(x,ß) удовлетворяет соотношению

||a(x,ß)|| .

lim sup —г—-— = 0. (40)

llxll^0 |jU-^o|^ä llx|l

Уравнение (39) является уравнением вида (1). Поэтому для анализа рассматриваемой бифуркации можно воспользоваться схемой, приведенной в п. 1.1.

С этой целью, как и в указанном пункте, обозначим через е и g — собственные векторы матрицы A(ß0) и сопряженной матрицы A*(ß0), соответствующие собственному значению

1. Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами (5).

Из теоремы 1 вытекает

Теорема 13. Пусть матрица A(ß0) имеет простое собственное значение 1. Пусть

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(A'(ß0)e,g) = 0.

Тогда ß0 является точкой бифуркации неподвижных точек системы (36), при этом бифуркация является правильной по направлению векторов e и —е.

Асимптотические формулы для бифурцирующих решений системы (36) и тип бифуркации в условиях теоремы 13 могут быть определены в соответствии с теоремами 2-7. В частности, из этих теорем следует, что если нелинейность a(x, ß) в правой части уравнения (39) начинается с квадратичных (кубических) слагаемых, то бифуркация, как правило, является транскритической (типа вилки).

2.2.2. Бифуркация удвоения периода. В случае H2) матрица A(ß0) имеет простое собственное значение —1. Коразмерность такой бифуркации равна одному. Поэтому (как и в случае H1)) естественным будет предположение, что параметр ß является скалярным, а именно, ß £ [ß0 — 5, ß0 + 5], где 5 — некоторое положительное число.

В задаче о бифуркации удвоения периода системы (36) естественно перейти к уравнению

x = / (2) (x,ß) , (41)

где /(2) (x,ß) = /(/(x, ß), ß). Очевидна

Лемма 4. Вектор х* является решением уравнения (41) тогда и только тогда, когда х* либо является неподвижной точкой системы (36), либо определяет цикл х0 = х*, х1 = / (х0,р) периода 2 этой системы.

Уравнение (41) представимо в виде

х = А2 (р)х + Ь(х,р), (42)

где нелинейность Ь(х, р) удовлетворяет аналогичному (40) соотношению; Ь(х, р) и а(х, р) связаны равенством

Ь(х, р) = А(р)а(х, р) + а(А(р)х + а(х, р), р). (43)

В рассматриваемом случае матрица А2 (р0) имеет простое собственное значение 1. Уравнение (42) является уравнением вида (1). Поэтому для анализа рассматриваемой бифуркации можно воспользоваться схемой, приведенной в п. 1.1.

С этой целью положим В(р) = А2 (р0) и обозначим через е и $ — собственные векторы матрицы В(р0) и сопряженной матрицы В*(р0), соответствующие собственному значению

1 (или, что равносильно, соответствующие собственному значению —1 матрицы А(р0) и сопряженной к ней). Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(5).

Теорема 14. Пусть матрица А(р0) имеет простое собственное значение -1. Пусть

(А/(р0)е,$) = 0.

Тогда р0 является точкой бифуркации 2-циклов системы (36).

Это утверждение является следствием теоремы 1, примененной к уравнению (42). Действительно, из указанной теоремы следует, что существуют £0 > 0 и определенные при £ € [0, £0) непрерывные функции р = р(£ и х = х(£), такие, что уравнение (42) при р = р(£) имеет решение х = х(£ так, что кривая х = х(£) в пространстве Ям при £ ^ 0 асимптотически стремится к прямой х = £е и при этом р(£ ^ р0. Тогда векторы х0 = х(£ и х1 = /(х0,р(£)) определяют цикл периода 2 системы (36) при р = р(£).

С целью определения асимптотических формул для бифурцирующих решений системы (36) и типа бифуркации в условиях теоремы 14 приведем вспомогательное утверждение. Пусть нелинейность а(х, р) в правой части уравнения (39) представима в виде

а(х,р) = а2(х,р) + а3(х, р), (44)

где а2(х, р) — квадратичная нелинейность, а а3 (х, р) содержит члены более высокой степени. Равенство (44) влечет аналогичное соотношение для нелинейности (43):

Ь(х, р) = &2(х, р) + Ьз (х, р), в котором квадратичая нелинейность Ь2(х,р) имеет вид

&2(х, р) = А(р)а2(х, р) + а2(А(р)х, р).

Лемма 5. Пусть матрица А(р0) имеет простое собственное значение —1. Пусть выполнено равенство (44). Тогда,

(ь2(е,р0),$) = 0 .

Таким образом, для анализа бифуркации удвоения периода системы (36) можно воз-пользоваться теоремой 7. Из нее, в частности, следует, что бифуркация удвоения периода, как правило, является типа вилки. Когда параметр р, непрерывно изменяясь, переходит через критическое значение р0, у уравнения (42) возникают два семейства бифурцирую-щих решений х+ (£ и х-(£), которые и определяют рождающиеся циклы периода 2 системы (36).

2.2.3. Бифуркация д-циклов. В случае Н3) матрица А(р0) имеет пару простых комплекс-

Р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

но сопряженных собственных значений е±2жвг, где в =--------несократимая дробь, причем

1д в ф Коразмерность такой бифуркации равна 2. Поэтому естественным будет предположение, что параметр р является двумерным, а именно, можно положить р = (а, в), где а и в — скалярные параметры.

В задаче о бифуркации д-циклов системы (36) естественно перейти к уравнению

х = /(9) (х,р) , (45)

где

/(д) (х,^) = / (/(• ■ ■(/(х,^),^) ■ ■ ■)).

Очевидна

Лемма 6. Вектор х* является решением уравнения (45) тогда и только тогда, когда х* либо является неподвижной точкой системы (36), либо определяет цикл х0 = х*, х1 = /(х0,р), х2 = /(х1,р), ... , хг-1 = /(хг-2,р) периода г этой системы, где г — делитель числа д.

Например, если д = 6, то решения уравнения (45) могут быть либо неподвижными точками системы (36), либо ее циклами периода 2, 3 или 6.

Уравнение (45) представимо в виде

х = А9 (р)х + Ь(х,р), (46)

где нелинейность Ь(х, р) удовлетворяет аналогичному (40) соотношению; для Ь(х, р) и а(х,р) несложно получить аналог равенства (43). Отметим также, что в рассматриваемом случае матрица А9(р0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2.

Учитывая предположение, что параметр р является двумерным, а именно, р = (а, в), перепишем уравнение (46) в виде

х = А9(а, в)х + Ь(х, а, в). (47)

Уравнение (47) является уравнением вида (19). Поэтому для анализа рассматриваемой бифуркации можно воспользоваться схемой, приведенной в п. 1.2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С этой целью положим р0 = (а0, в0), В (а, в) = А9 (а, в), В0 = В(а0, в0). Обозначим через

е, $, е* и $* — собственные векторы матрицы В0 и сопряженной матрицы В*, соответству-

ющие собственному значению 1. Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами (20).

Из теоремы 8 вытекает

Теорема 15. Пусть матрица А(а0, в0) имеет пару простых комплексно сопряжен-

Р

ных собственных значений е±2жвг, где 9 = - (р < д) — несократимая дробь. Пусть

д

det

(А*(«0,в0)е, е*) (Ав(«0,в0)е,е*) (Аа(а0,в0)е,#*) (Ав(а0,в0)е,£*) _

= 0.

Тогда р0 = (а0,в0) является точкой бифуркации д-циклов системы (36).

Это утверждение является следствием теоремы 8, примененной к уравнению (47). Действительно, из указанной теоремы следует, что существуют £0 > 0 и определенные при £ € [0, £0) непрерывные функции а = а(£), в = в(£) и х = х(£), такие, что уравнение (47)

при а = а(£) и в = в(£) имеет решение х = х(£) так, что кривая х = х(£) в пространстве Ям при £ ^ 0 асимптотически стремится к прямой х = £е и при этом а(£) ^ а0, в(£) ^ в0. Тогда при всех малых £ > 0 векторы

х0 = х(£), х1 = /(х0,р(£)), х2 = /(х1,р(£)), ... ,х,-1 = /(х,-2, р(£)) определяют циклы периода д системы (36) при р = р(£) = (а(£),в(£)).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2.2.4. Тип бифуркации д-циклов. Для бифурцирующих решений х = х(£), а = а(£) и в = в(£)) уравнения (47) имеют место асимптотические формулы вида (31) и (32) (с соответствующими модификациями). Вместе с тем здесь имеют место и свои особенности. В частности, вид этих формул зависит от свойства четности числа д.

Пусть нелинейность а(х, р) в правой части уравнения (39) представима в виде

а(х, р) = а2(х, р) + а3(х, р) + а4 (х, р), (48)

где а2 (х, р), а3(х, р) — квадратичная и кубическая нелинейности соответственно, а а4(х, р) содержит члены более высокой степени.

Теорема 16. Пусть в условиях теоремы 15 число д является четным. Пусть выполнено равенство (48). Тогда имеют место равенства (33) и, следовательно, для бифурцирующих решений х = х(£), а = а(£) и в = в(£) уравнения (47) имеют место представления вида (34) и (35).

3. Бифуркация вынужденных колебаний.

В этом параграфе в качестве второго приложения рассматривается задача о бифуркации вынужденных колебаний в системах, динамика которых описывается неавтономными дифференциальными уравнениями с периодической правой частью.

3.1. Вспомогательные сведения. Приведем сначала некоторые вспомогательные сведения. Рассмотрим дифференциальное уравнение

х/ = /(х, £) , х € Ям. (49)

Пусть выполнены условия:

a) функция /(х, £) определена при всех х € Ям и £ € Я1;

b) функция /(х, £) непрерывна по £ и непрерывно дифференцируема по х, при этом каждое начальное условие х(£0) = х0 однозначно задает решение х(£) уравнения (49), определенное при всех £ € [£0, £0 + Т];

c) функция /(х, £) является Т-периодической по £: /(х,£ + Т) = /(х, £).

Обозначим через ит оператор сдвига [10] по траекториям системы (49) за время от £ = 0 до £ = т > 0. Оператор ит ставит в соответствие каждой точке х0 новую точку х1 = х(т); здесь х(£) — решение уравнения (49), задаваемое начальным условием х(0) = х0. Оператор ит : Ям ^ Ям является диффеоморфизмом.

В силу периодичности функции /(х, £) по £ траектории точек (х, £) и (х, £ + Тт), где т € ^, одинаковы. Поэтому изучение уравнения (49) может быть сведено к изучению диффеоморфизма и = Цр. Другими словами, уравнение (49) может быть ассоциировано с гладкой дискретной динамической системой, описываемой уравнением:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

х„+1 = и(х„), п = 0, 1, 2..., (50)

где и — оператор сдвига по траекториям системы (49) за время от 0 до Т.

Неподвижные точки системы (50) определяют начальные значения Т-периодических решений уравнения (49), а циклы периода р — начальные значения его рТ-периодических решений.

Пусть, наряду с а)-с), выполнено условие:

^ уравнение (49) имеет нулевое решение х = 0, т.е. /(0, £) = 0.

В этом случае уравнение (49) может быть представлено в виде

х/ = А(£)х + а(£, х), х € Ям, (51)

где А(£) = /X(0,£), а нелинейность а(£, х) удовлетворяет соотношению

шах ||а(£,х)|| = 0(||х||2), ||х^ —^ 0.

Наряду с (51) будем рассматривать линейное уравнение

х/ = А(£)х. (52)

Обозначим через Н(£) фундаментальную матрицу решений системы (52), т.е. решение

задачи Н/ = А(£)Н, Н(0) = I. Матрицу V = Н(Т) называют матрицей монодромии

линейной системы (52), а ее собственные значения — мультипликаторами системы (52).

Характер устойчивости решения х = 0 уравнения (49) определяется свойствами мультипликаторов линейной системы (52): если все мультипликаторы по модулю меньше единицы, то решение х = 0 будет устойчивым, если же хотя бы один мультипликатор по модулю больше единицы, то решение х = 0 будет неустойчивым.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если система (52) не имеет мультипликаторов, равных по модулю 1, то неподвижная точка х = 0 системы (49) называется гиперболической. В окрестности гиперболической точки система (49) структурно устойчива.

Пусть и и V — это операторы сдвига за время от £ = 0 до £ = Т по траекториям систем (49) и (52) соответственно. Известно следующее утверждение (см., например, [10])

Лемма 7. Матрица Якоби иХ (0) оператора и(х) совпадает с оператором V.

3.2. Задача о бифуркации вынужденных колебаний. Рассмотрим теперь систему, динамика которой описывается дифференциальным уравнением, зависящим от скалярного или векторного параметра р:

х/ = /(х,£, р), х € Дм, р € Як. (53)

Всюду ниже предполагаются выполненными условия:

Р1. /(х, £, р) определена при всех х € Ям, £ € Я1 и А € 0(р0, £0) (здесь 0(р0, £0) — шар радиуса £0 > 0 с центром в точке р0 € Як),

Р2. /(х, £, р) непрерывна по £ и непрерывно дифференцируема по х и р, при этом каждое начальное условие х(£0) = х0 однозначно задает решение х(£) уравнения (53), определенное при всех £ € (-то, то);

Р3. /(х, £, р) является Т-периодической по £: /(х, £ + Т, р) = /(х, £, р);

Р4. уравнение (53) при всех значениях р имеет нулевое решение х = 0, т.е.

/ (М,р) = °.

Приводимые ниже построения применимы и в ряде случаев, когда условия Р1 и Р2 заменены более слабыми предположениями, в частности, когда функция /(х, £, р) определена по х лишь в некоторой окрестности точки х = 0.

В силу условий Р1 и Р4 уравнение (53) может быть представлено в виде

х/ = А(£, р)х + а(х, £, р), (54)

где

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А(£,р) = УХ (0,£,р)

- матрица Якоби вектор-функции /(х, £, р), вычисленная в точке х = 0, а нелинейность а(х,£, р) равномерно по р € П(р0, £0) и £ € [0,Т] удовлетворяет соотношению

||а(х,£, р)|| = 0(||х||2) при ||х|| — 0.

Функции A(t, р) и а(ж,£, р) являются T-периодическими по t.

Наряду с (54) будем рассматривать линейное уравнение

ж7 = A(t, р)ж . (55)

Критическими для уравнения (53) будут те значения р0 параметра р, при которых один или несколько мультипликаторов системы (55) по модулю равны единице. Изменение параметра р в окрестности р0 может приводить к различным локальным бифуркациям в окрестности точки ж = 0.

Изучению вопросов о локальных бифуркациях для уравнений типа (53) посвящена обширная литература (см., например, [10, 11]). Рассмотрены различные сценарии бифуркаций, предложены эффективные качественные и приближенные методы их исследования.

Систему (53) будем ассоциировать с дискретной динамической системой, описываемой уравнением

Xn+i = U(ж„,р), n = 0, 1, 2..., (56)

где U(*,р) — оператор сдвига по траекториям системы (53) за время от 0 до T. Система (56) в силу предположения P4 при всех значениях параметра р имеет неподвижную точку ж = 0, т.е. U(0, р) = 0.

Задача о бифуркации вынужденных колебаний системы (53) эквивалентна задаче о локальных бифуркациях в окрестности неподвижной точки x = 0 системы (56). Для уравнения (56) имеют место те же бифуркации, что и для рассмотренных в предыдущем параграфе дискретных систем вида (36) (при изменении параметра р могут появиться или исчезнуть неподвижные точки или циклы различных периодов, может измениться характер их устойчивости и т.п. ). Однако задача о вынужденных колебаниях имеет свою специфику, на которой здесь остановимся.

3.3. Основные сценарии локальных бифуркаций. Обозначим через V(р) матрицу монодромии системы (55). Из леммы 7 следует, что операторы U(ж, р) и V(р) связаны равенством

U(ж,р) = V(р)ж + v(x, р), (57)

в котором оператор у(ж,р) удовлетворяет соотношению

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

sup ||^(ж)У = 0(||ж||2) при ||ж|| ^ 0. м

Как было указано выше, сценарии бифуркаций системы (53) определяются свойствами

спектра оператора V(р0). Здесь, в частности, возможны случаи, когда матрица V(р0)

имеет:

1) простое собственное значение 1;

2) полупростое собственное значение 1 кратности 2;

3) полупростое собственное значение —1 кратности 2;

4) пару простых комплексно сопряженных собственных значений е±2пЛ, где 0 < в < 1 и в рационально {в ф -);

5) имеет пару простых комплексно сопряженных собственных значений e±2n0i, где

0 <в< 1 и в — иррационально.

Замечание 2. В отличие от приведенных на стр. 11 основных случаях, определяющих сценарии бифуркации дискретных систем, в задаче о бифуркации вынужденных колебаниях не возникает случай, когда матрица V(р0) имеет простое собственное значения -1.

В зависимости от указанных случаев возможны различные локальные бифуркации в окрестности состояния равновесия системы (53). Приведем соответствующее определение.

Пусть д — натуральное число. Значение р0 параметра р называется точкой бифуркации дТ-периодических решений системы (53), если каждому £ > 0 соответствует такое р = р(е), при котором система (53) имеет ненулевое дТ-периодическое решение х(£, £), при этом шах ||х(£, е)|| — 0 при £ — 0. При д = 1 будем говорить о бифуркации вынужденных

колебаний, а при д ^ 2 — о бифуркации субгармонических колебаний.

Случаи 1) и 2) приводят к бифуркации вынужденных колебаний, случаи 3) и 4) — к бифуркации субгармонических колебаний, случай 5) — к бифуркации почти периодических колебаний. Ограничимся рассмотрением случая 1); случаи 2)-4) могут быть рассмотрены по той же схеме, что и аналогичные случаи, рассмотренные во втором параграфе (см. стр. 11).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть оператор V(р0) имеет простое собственное значение 1, т.е. линейная система (55) при р = р0 имеет однопараметрическое семейство Т-периодических решений. В этом случае естественно предполагать, что параметр р является скалярным. Здесь основным сценарием является бифуркация вынужденных колебаний системы (53).

Рассматриваемый случай попадает под указанный на стр. 11 случай Н1), поэтому в задаче о бифуркациях вынужденных колебаний системы (53) естественно перейти к уравнению вида (39), а именно, к уравнению х = и(х, р) или, с учетом равенства (57), — к уравнению

х = V(р)х + у(х, р).

Пусть е и е* — это собственные векторы, соответствующие простому собственному значению 1 операторов V(р0) и V* (р0) соответственно. Векторы е и е* будем считать выбранными в соответствии с равенством (е, е*) = 1.

Обозначим через х(£, р) решение задачи Коши

х/ = А(£, р)х , х(0) = е.

Функция х(£,р0) является Т-периодическим решением системы (55) при р = р0. Ниже основным будет число

£0 =^^ [А(£,р)х(£,р)]^=мо^,е*^ . (58)

Из теоремы 1 следует

Теорема 17. Пусть линейная система (55) при р = р0 имеет однопараметрическое семейство Т-периодических решений. Пусть £0 = 0. Тогда р0 является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (53).

В приложениях часто матрица А(£, р0) не зависит от £. В этом случае несложно показать, что число (58) принимает вид

£0 = ^^ [А(^ р)]^=Мох(£,р0Же*^ .

Приближенное исследование рассматриваемой бифуркации можно проводить по схеме, приведенной в п. 1.1.

4. Бифуркации автоколебаний

В этом параграфе в качестве третьего приложения рассматривается задача о бифуркации автоколебаний.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4.1. Основные сценарии бифуркаций автоколебаний. Рассматривается система, динамика которой описывается дифференциальным уравнением

ж7 = f (ж,р), ж G , р G , (59)

правая часть f (ж, р) которого гладко зависит от ж и р. Пусть при всех р, близких к р0, система (59) имеет нестационарное T-периодическое решение ж = ^0 (t). Пусть для простоты выполнено условие:

P1) решение ^o(t) не зависит от параметра р.

При изменении параметра р может измениться характер устойчивости решения ^0(t), что, в свою очередь, может привести к различным бифуркациям: возникновению в окрестности решения ^0 (t) новых периодических колебаний, бифуркации удвоения периода и другим сценариям [1, 12].

Полагая h = ж — ^0 (t), перейдем от (59) к уравнению с T-периодической по t правой частью

h7 = A(t, р)Л. + g(t, Л.,р), h G , (60)

где A(t, р) = fX(^0(^,р), а нелинейность g(t, h, р) удовлетворяет условию

sup Уд^Лр^! = ||h|l ^ 0.

Нулевое решение системы (60) соответствует периодическому решению ж = ^0 (t) системы (59).

Наряду с уравнением (60) будем рассматривать линейное уравнение

h7 = A(t, р)Л.. (61)

Пусть V(р) — оператор сдвига по траекториям системы (61) за время от t = 0 до t = T.

Так как уравнение (59) при всех р имеет нестационарное T-периодическое решение ж = ^0(t), то линейная система (61) имеет нестационарное T-периодическое решение h = ^0 (t). Поэтому система (61) при всех р имеет мультипликатор р0 = 1. Другими словами, матрица V(р) при всех р имеет собственное значение р0 = 1 и ему отвечает отвечает

собственный вектор е0 = ^0 (0).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если система (61) при р = р0 не имеет других мультипликаторов, равных по модулю 1, то цикл ^0(t) называется гиперболическим. В окрестности гиперболического цикла система (59) структурно устойчива. Следовательно, значение р0 будет бифуркационным, если только система (61) при р = р0, наряду с мультипликатором р0 = 1, будет иметь, по крайней мере, еще один мультипликатор р1, равный по модулю 1.

Пусть цикл ж = ^0 (t) системы (59) является негиперболическим. В зависимости от значений р1 возможны следующие основные варианты:

2п T

1) Pl = 1, 2) Pl = -1, 3) Р1 = где о; = —, 0 < (3 < Т и (3 ±

В случае 1) типичным сценарием бифуркации является возникновение у системы (59) в окрестности T-периодического решения ж = ^0(t) новых периодических решений с периодом, близким к T; этот сценарий будем называть бифуркацией периодических решений: см. Рис. 4 и Рис. 5.

Рис. 4 (транскритическая бифуркация)

Рис. 5 (бифуркация типа вилки)

В случае 2) типичным сценарием является возникновение у системы (59) в окрестности Т-периодического решения х = ^0(£) новых периодических решений с периодом, близким к 2Т; этот сценарий будем называть бифуркацией удвоения периода (см. Рис. 6).

Рис. 6 (бифуркация удвоения периода)

Р

Случай 3) наиболее сложен для исследования. Здесь при [3 = —Т и малых д (д = 3 и д = 4) у системы (59) в окрестности решения х = ^0(£) могут возникать периодические решения периода дТ. При д ^ 5 или иррациональных ^ возможна бифуркация рождения двумерного тора (см. Рис. 7).

Рис. 7 (бифуркация рождения двумерного тора)

Отметим также, случаи 2) и 3) возможны лишь, когда размерность фазового пространства N ^ 3.

4.2. Отображение Пуанкаре и переход к операторным уравнениям. В фазовом пространстве системы (59) решение х = ^о(^) описывает некоторую замкнутую траекторию. Можно считать, что ^о(0) = 0. Проведем через точку 0 трансверсальную к траектории ^0(£) гиперплоскость Е0. Выберем на Е0 систему координат так, чтобы начала координат пространств Е0 и совпали. Очевидно, что любая траектория, соответствующая решению системы (59), выпущенная из точки Л Є Е0, близкой к 0, через некоторое время Т*, близкое к Т, вновь пересечет гиперплоскость Е0 в точке (см. Рис. 8).

Рис. 8 (отображение Пуанкаре)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, получим некоторое отображение Р(-,р) : Е0 ^ Е0 (так, что

Р(К^р) = К2), определенное в окрестности нулевой точки пространства Е0. Отображение Р(-,р) называют отображением Пуанкаре; по построению имеем Р(0, р) = 0. Неподвижные точки оператора Р(■, р) соответствуют точкам пересечения траекторий периодических решений системы (59) с гиперплоскостью Е0.

Используя отображение Пуанкаре, задачи о локальных бифуркациях системы (59) в окрестности решения х = ^0(£) можно свести к задаче о бифуркации неподвижных точек операторных уравнений. А именно, в случае 1) получим, что оператор Р(-,р0) имеет простое собственное значение 1 и, следовательно, для исследования соответствующей бифуркации можно перейти к уравнению

К = Р(К,р), К е Е0 . (62)

Аналогично, в случае 2) можно перейти к уравнению

К = Р2(К, р), К е Е0.

Рассмотрение случая 3) ограничимся обсуждением ситуации, когда /3 = —Т при малых д.

д

Здесь естественно рассматривать уравнение

К = Р9(К, р), К е Е0.

4.3. Достаточные условия бифуркации. Приведем достаточные условия бифуркации периодических решений системы (59). Пусть имеет место случай 1), т.е. р1 = 1.

Так как матрица V(р) при всех р имеет собственное значение р0 = 1, то транспонированная матрица V*(р) также при всех р имеет собственное значение р0 = 1. Ниже для простоты будем считать, что наряду с Р1) выполнено еще одно предположение:

Р2) оператор V* (р) при всех р имеет не зависящий от р собственный вектор $0, отвечающий собственному значению р0 = 1.

В этом случае в качестве Е0 удобно выбирать гиперплоскость

Е0 = {х : (х, ^о) = 0 } ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

которая будет инвариантным подпространством для оператора V(р) при всех р.

Оператор V(р0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2, при этом ему, кроме собственного вектора е0 = ^0 (0), отвечает еще один собственный вектор е1 Є Е0, по направлению которого и возникают бифурцирующие решения (62). Сопряженный оператор V* (р0) также имеет полупростое собственное значение 1 и соответствующие собственные векторы $0 и ^1. Тогда приведенное в теореме 1 достаточное условие бифуркации вида

(6) в рассматриваемой задаче может быть сформулировано в виде.

Теорема 18. Пусть р1 = 1 и

т

^,51 | = 0, (63)

А\1 ((^рм^рм м)

где x(t, р) — решение задачи

о

х' = А(^,р)х ( )

х(0) = в1. ( )

Тогда р0 — точка бифуркации периодических решений системы (59).

Непосредственная проверка условия (63) обычно сопряжена с трудностями, так как требует решения системы (64) с периодической правой частью. В важном частном случае, когда матрица А(£, р0) = А0 не зависит от £, теорему 18 можно сформулировать в виде.

Теорема 19. Пусть р1 = 1 и

, т г ч

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Д = (у (^,ро)^0 (^) + / А0 еАо(*-5) ^ (5,ро)^0 =0 .

00 Тогда р0 — точка бифуркации периодических решений системы (59).

В качестве примера рассмотрим систему

.T; = _(1 + /,)ll_l2 + .Tlx? + ^ + "

т/xf + Xj

Ж2 = Х1 - (1 + Ñx2 + Ж2^-^==+ ^

\AÍ +

(65)

2 і ^2 2

У этой системы существует 2п-периодическое решение X = ^0(t) = (cos t; sin t)T при всех р.

Применим для исследования системы (65) вышеприведенную схему. Отметим, что условия P1) и P2) для нее выполнены.

Матрица A(t, р) в рассматриваемом примере имеет вид

A(t ) { (1 — р) cos2t — 1 + (1 — р) sin t cos t

( , р) у 1 + (1 — р) sin t cos t (1 — р) sin21

Обозначим через V(р) оператор сдвига линейной системы х; = A(t, р)х за время от 0 до 2п. Оператор V(р) при всех р имеет собственное значение 1, при этом собственным является вектор е0 = ^0(0) = (0; 1)T. При р = р0 = 1 оператор V(р) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Кроме вектора е0, для оператора V(р0) собственным является вектор ei = (1; 0)T. Вектор $1 совпадает с вектором ei.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Непосредственным вычислением можно убедиться, что в нашем примере число А из теоремы 19 равно —2п. Следовательно, значение р = 1 является точкой бифуркации периодических решений системы (65).

В этом можно убедиться и непосредственно. Действительно, наряду с решением ^0 (t) система (65) имеет также решение ^i(t, р) = (р cost; р sin t)T, совпадающее с ^0(t) при р = 1. В данном примере происходит бифуркация, аналогичная транскритической. При р < 1 цикл ^0(t) является устойчивым, а цикл ^i (t, р) — неустойчивым. При р > 1 цикл ^i (t, р) становится устойчивым, а цикл ^0(t) — неустойчивым.

5. Доказательства основных утверждений Доказательство теоремы 8.

В основу доказательства теоремы 8 положим метод функционализации параметра [13], [14] и модифицированный метод Ньютона-Канторовича с возмущениями [15].

На первом этапе двумерный параметр р = (а, в) в уравнении (19) заменяется вектор-функцией р(х) = (а(х),в(x)), где а = a(x), в = в(x) — некоторые непрерывные функционалы. Тогда уравнение (19) примет вид

x = B[а(х), в(x)]x + b[x, а(х), в(x)], (66)

которое уже не содержит параметров а и в. Если x* является решением уравнения (66),

то оно является решением уравнения (19) при р = р^*).

Функционалы a(x), в(x) выберем в виде

а(х) = а0 + - [(ж, е*) - е\, /3(ж) = (30 + -(ж, #*); (67)

£ £

здесь £ > 0 — вспомогательный малый параметр.

На втором этапе уравнение (66) (при фиксированных значениях параметра £ > 0) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого уравнение (66) представляется в виде

F (x) = G(x) + W (x) = 0, (68)

где G(x) = x — B[a(x), в(x)]x и W(x) = —b[x, a(x), в(x)].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Решения уравнения (68) будем искать в шаре

£

S(e) = {х : ||ж — £е11 ^

Непосредственным подсчетом устанавливается справедливость вспомогательных утверждений.

Лемма 8. Оператор G(x) дифференцируем при любом x G H, и его производная Фреше имеет вид

G'(x)h = h-----[(h, е*)В'а(а(х), ¡3(x)) + (h, g*)В>/3(а(х), ¡3(x))] x — B(a(x), (3(x))h.

Лемма 9. Производная оператора G/(x) при всех малых £ > 0 на шаре S(£) удовлетворяет условию Липшица:

||G/(x) — G/(y) || ^ Le||x — у||, x, у G S(£), где константа Le зависит от £ и не зависит от x, у G S(£).

Положим x0 = £e. Тогда G/(x0) = F, где F — оператор (23). Оператор G/(x0) обратим, и для него верна лемма 3. Положим Г0 = [G/(x0)]-1 (см. равенство (24)).

Приведенные вспомогательные утверждения означают, что для уравнения (68) выполняются все условия сходимости метода Ньютона-Канторовича, следовательно верна

Лемма 10. Пусть оператор B0 = B(а0,в0) имеет полупростое собственное значение

1 кратности 2 и пусть выполнено условие (21). Тогда при всех малых е > 0 уравнение (68) имеет решение х(е) G S(е), которое может быть получено как предел последовательных приближений

Xn+1 = - roG(x„) - ToW(xn), n = 0,1, 2,... (69)

Из приведенных построений следует, что уравнение (19) при а = а[х(е)] и в = в[х(е)]

имеет ненулевые решения х(е), так что ||х(е) — ее|| = о(е), а[х(е)] ^ а0, в [х(е)] ^ в0 при

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

е ^ 0. Отсюда получим справедливость теоремы 8.

Доказательство теоремы 9.

Пусть выполнено (2). Для доказательства теоремы 9 используется тот факт, что каждая итерация в (69) определяет соответствующую асимптотику для бифурцирующих решений уравнения (68).

Из (69) имеем

х1 = х0 — r0F(х0) = х0 — Г0(х0 — B(а05 в0)х0 — b2(х0J а05 в0) — b3 (х0, а05 в0)) =

= ее + £2Г0&2 + е3Г Ьз + о(е3).

Отсюда

х(е) = ее + е2Г0&2 + 0(е3); (70)

тогда ei = Г0&2.

Подставляя (70) в функционалы (67), получим

ск[х(е)] = ско Н—[(х(е), е*) — е] = o¡o Н—[(ее + е2Го&2 0(е3), е*) — е] =

ее

= а0 + е(Г^2, е*) + 0(е2),

/?[х(е)] = Ро Н—(х(е), <jf*) = Ро Н—(ее + е2Го&2 0(е3), g*') =

ее

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= в0 + g*) + 0(е2).

Следовательно,

а1 = (Г0b2,e*) = J1(b2), в1 = (Г0Ь2, g*) = J2(b2).

Здесь Г0 — оператор (24). При доказательстве используются также обозначения (25) и (26). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 400 с.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 560 с.

3. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем, с обзором последних достижений. М.: МЦНМО. 2005. 464 с.

4. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. 1985. 280 с.

5. Yu.A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Applied Mathematical Sciences (V.112), Springer-Verlag, New-York etc.. 1995.

6. Ибрагимова Л.С, Юмагулов М.Г. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем, // Автоматика и телемеханика. 2007. № 4. С.

3-12.

7. Юмагулов М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах // Доклады Академии наук. 2009. Т. 424, № 2. C. 177-180.

8. Юмагулов М.Г., Вышинский А.А., Нуров И.Д., Муртазина С.А. Операторный метод исследования локальных бифуркаций многопараметрических динамических систем, // Вестник Санкт-Петербургского госуниверситета. Серия 10 (Прикладная математика, информатика, процессы управления). 2009. Вып. 2. C. 146-155.

9. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация 4п-периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрономический журнал. 2009, Т. 86, № 2. С. 170-174.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

10. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравненийю М.: Наука. 1966. 332 с.

11. Шильников Л.П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.

12. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС. 2004.

13. Козякин В.С., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Доклады АН СССР. 1980. Т. 254. № 5. С. 1061-1064.

14. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975. 511 с.

15. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближённое решение операторных уравнений. М.: Наука. 1969. 456 с.

Александр Алексеевич Вышинский,

Сибайский институт (филиал) Башкирского госудаственного университета, ул. Белова, 21,

453837, г. Сибай, Россия E-mail: sanek3484@gmail.com

Лилия Сунагатовна Ибрагимова,

Башкирский государственный аграрный университет, ул. 50-летия Октября, 34,

450001, г. Уфа, Россия E-mail: lilibr@mail.ru

Сария Аширафовна Муртазина,

Сибайский институт (филиал) Башкирского госудаственного университета, ул. Белова, 21,

453837, г. Сибай, Россия E-mail: sariamurtaz@mail.ru

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Марат Гаязович Юмагулов,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: yum_mg@mail.ru