CC BY
94
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 3-26.
УДК 517.91
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПРАВИЛЬНОЙ БИФУРКАЦИИ В МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
А.А. ВЫШИНСКИЙ, Л.С. ИБРАГИМОВА, С.А. МУРТАЗИНА,
М.Г. ЮМАГУЛОВ
Аннотация. Работа посвящена изложению нового операторного метода исследования широкого класса бифуркационных задач с многомерным вырождением. Метод позволяет обнаруживать бифуркационные значения параметров; он приводит к итерационной процедуре и асимптотическим формулам приближенного исследования задач, зависящих от многих параметров. Приводятся приложения в теории динамических систем: в задачах о бифуркации неподвижных точек, вынужденных колебаний и автоколебаний.
Ключевые слова: бифуркация, динамические системы, операторные уравнения, функционализация параметра, асимптотические формулы
Динамические системы, как правило, зависят от внешних и внутренних параметров. Изменение этих параметров может приводить к качественным перестройкам функционирования системы — различным бифуркациям. Одними из основных при исследовании бифуркаций являются вопросы о достаточных признаках бифуркаций и приближенном построении возникающих решений системы. Исследованию таких вопросов посвящена обширная литература (см., например, [1]—[5] и имеющуюся там библиографию). При этом большинство работ посвящено изучению однопараметрических систем, линеризованные уравнения которых имеют простые вырождения. Вместе с тем следует отметить, что многие теоретические и практические задачи приводят к системам, зависящим от многих параметров и имеющим сложные вырождения.
В настоящей статье приводятся основные положения нового операторного метода исследования широкого класса бифуркационных задач с многомерным вырождением. Метод позволяет обнаруживать бифуркационные значения параметров; он приводит к итерационной процедуре построения решений и асимптотическим формулам, позволяющим провести приближенное исследование задач, зависящих от многих параметров. Приводятся приложения в теории дискретных динамических систем, в задачах о бифуркации вынужденных колебаний, диффеоморфизмов и автоколебаний. Часть приводимых здесь результатов анонсирована в работах [6, 7], некоторые приложения рассмотрены в [8, 9].
A.A. Vyshinskiy, L.S. Ibragimova, S.A. Murtazina, M.G. Yumagulov, An operator method for approximately studying regular bifurcation in multiparameter dynamical systems.
© Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. 2010.
Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ 10-01-93112-НЦНИЛ_а и 08-01-97020 ("Поволжье"), а также гранта АН РБ по программе ГНТП РБ "Критические технологии Республики Башкортостан: физико-математические принципы и технические решения.
Поступила 5 апреля 2010 г.
1. БИФУРКАЦИИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.
В этом параграфе приводятся основные положения предлагаемого метода исследования бифуркационных задач. Рассматривается операторное уравнение
х = В(^)х + Ь(х,^), х Е Ям, ^ Е Дт, (1)
в котором матрица В(^) гладко (непрерывно дифференцируемо) зависит от параметра а нелинейность Ь(х, ^) также гладко зависит от ^ и представима в одном из следующих видов:
• либо
Ь(х,^) = &2(х,^) + Ьз(х,^), (2)
• либо
Ь(х,^) = Ьз(х,^) + Ь4(х,^), (3)
• либо
Ь(х, ^) = Ь>2(х, ^) + Ьз(х, ^) + &4 (х, ^), (4)
где Ь2 (х,^) и Ь3 (х,^) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по х слагаемые, а Ь3(х, ^) и Ь4(х,^) являются гладкими по х, при этом Ь3(х,^) = 0(||х||3) и Ь4(х, ^) = 0(||х||4), х ^ 0, равномерно по ^.
Уравнение (1) при всех значениях ^ имеет нулевое решение.
Приводимые ниже результаты остаются справедливыми (с естественными модификациями) и в случаях, когда нелинейность Ь(х, ^) определена по х и ^ лишь в некоторых окрестностях точек х = 0 и ^ = ^0.
Ниже основным будет следующее понятие.
Пусть е € — некоторый ненулевой вектор. Значение ^0 параметра ^ назовем пра-
вильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению вектора е, если существуют £0 > 0 и определенные при £ Е [0, £0) непрерывные функции ^ = ^(£) и х = х(£) такие, что:
1) ^(0) = ^0 , х(0) = 0;
2) ||х(£) — £е|| = о(£) при £ ^ 0;
3) для каждого £ ^ 0 вектор х(£) является решением уравнения (1) при ^ = ^(£).
Векторы х(£ и значения ^(£) назовем бифурцирующими решениями уравнения (1).
Правильные точки бифуркации соответствуют тому, что уравнение (1) при ^ = ^(£) имеет решение х = х(£ так, что кривая х = х(£) в пространстве Ям при £ ^ 0 асимптотически стремится к прямой х = £е (см. Рис.1).
Рис. 1 (правильная бифуркация)
Очевидно следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть значение ^0 параметра ^ является правильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению вектора е. Тогда вектор е будет собственным для матрицы В(^0), отвечающим собственному значению 1.
В силу этой леммы правильные точки бифуркации уравнения (1) имеет смысл искать лишь среди тех ^0, при которых матрица В(^0) имеет собственное значение 1. При этом в качестве направления следует использовать собственный вектор е.
В настоящей статье задача о правильных точках бифуркации рассматривается в двух основных случаях, когда матрица В(^0) имеет:
1) простое собственное значение 1;
2) полупростое собственное значение 1 кратности 2.
1.1. Случай простого собственного значения 1. Рассмотрим сначала задачу о пра-
вильных точках бифуркации операторного уравнения (1), когда матрица В(^0) имеет простое собственное значение 1. Параметр ^ в этом случае естественно считать скалярным, а
именно, пусть ^ Е (^0 — 5, ^0 + 5), где 5 — некоторое положительное число. Приводимые в
этом пункте построения и утверждения получены в [6].
Пусть е и д — собственные векторы оператора В(^0) и сопряженного оператора В * (^0), соответствующие собственному значению 1. Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами:
||е|1 = 1, (е,д) = 1 • (5)
Через В'(^) обозначим производную оператора В(^) по параметру ^.
Теорема 1. Пусть оператор В (^0) имеет простое собственное значение 1. Пусть
(В'(^0)е,д)=0 • (6)
Тогда ^0 является правильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению векторов е и — е.
1.1.1. Вспомогательные сведения. Приведем впомогательные сведения, необходимые для приближенного построения существующих в условиях теоремы 1 бифурцирующих решений х = х(£ и ^ = ^(£) уравнения (1). Без ограничения общности можно считать, что ^0 = 0.
Пусть Н0 — это одномерное подпространство пространства Н = Ям, содержащее вектор е, т.е. Н0 является собственным подпространством оператора В0 = В(^0), отвечающим собственному значению 1. Пространство Н = Ям может быть представлено в виде
Н = Н0 ® Н0, где Н0 — дополнительное к Н0 инвариантное для В0 подпространство.
Подпространство Н0 может быть описано равенством
Н0 = {х : х Е Н , (х, д) = 0} .
Спектр а оператора В0 : Н ^ Н представим в виде а = а1 и а2, где а1 = {1}, а а2 — спектр оператора В0 : Н0 ^ Н0. В частности, 1 / а (В0 : Н0 ^ Н0) и, следовательно, существует оператор
(I — В0)-1 : Н0 ^ Н0. (7)
Определим действующий в Н оператор
Пт, = К — ^0(К, д)В'е — В0К, К Е Н ,
где обозначено В0 = В(^0) и В' = В'(^0). В силу условия (6) оператор ^ : Н ^ Н обратим. Положим
Г0 = ^-1 : Н ^ Н. (8)
Оператор (8) может быть вычислен в соответствии со следующим утверждением.
Лемма 2. Оператор Г0 при любом у Е Н вычисляется по формуле Г0у = К0 + К0, где
(у,д)е
К0 = —
МВ' е,д)’
1.1.2. Главные асимптотики и тип бифуркации. Приведем асимптотические формулы для существующих в условиях теоремы 1 бифурцирующих решений х = х(е) и ц = ц(е) уравнения (1).
Теорема 2. Пусть нелинейность Ь(х,ц) представляется в виде (2). Тогда существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие решения х(е) и ц = ц(е) уравнения (1) представимы в виде
ний х(е) и р = р(е) уравнения (1).
Из теоремы 2 следует, что если нелинейность Ь(х, р) начинается с квадратичных слагаемых, то главные асимптотики бифурцирующих решений уравнения (1) имеют вид (9). Ясно, что в формулах (9) вместо е можно использовать и вектор —е; в этом случае вместо д следует использовать вектор —д. При этом вектор е! из (10) не изменится, а число р! поменяет знак. Следовательно, верна
Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 1 выполнено равенство (2), при этом
Тогда правильная бифуркация по направлению векторов е и —е уравнения (1) является двусторонней: бифурцирующие решения х(е) уравнения (1) существуют как при р < р0, так и при р > р0.
Пусть для определенности р! > 0. Тогда при всех малых е > 0 верно неравенство р(е) > р0. Следовательно, уравнение (1) при р = р0 + ер! + о(е) > р0 имеет решения х = ее + е2е! + о(е2), а при р = р0 — ер! + о(е) < р0 — решения х = —ее + е2е! + о(е2).
В дальнейшем отмеченное в теореме 3 свойство бифуркации будем называть свойством транскритичности. Другими словами, правильную бифуркацию будем называть транскритической, если бифурцирующие решения х(е) уравнения (1) существуют как при р < р0, так и при р > р0 (см. Рис. 2).
Теорема 4. Пусть нелинейность Ь(х,ц) представляется в виде (3). Тогда существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие решения х(е) и ц = ц(е) уравнения (1) представимы в виде
(10)
(9)
и Го — оператор (8).
Формулы вида (9) будем называть главными асимптотиками бифурцирующих реше-
(Ь2 (е,Цо),9) = 0.
(11)
X
і
Рис. 2 (транскритическая бифуркация)
х(е) = ее + е3е2 + о(е3), ц(е) = цо + е2Ц2 + о(е2),
(12)
где
_Т и Г \ — (Ьз (Є,Ц0),д) /-.оч
е2-Го6з(е,/іо), Ц>2 —-----(~В^ё~д)—'
Таким образом, если нелинейность Ь(х, ц) начинается с кубических слагаемых, то главные асимптотики бифурцирующих решений уравнения (1) имеют вид (12). Легко видеть, что вектор е2 из (13) заменится на —е2, а число ц2 не изменится, если заменить е на —е, а д на —д. Следовательно, верна
Теорема 5. Пусть в условиях теоремы 1 выполнено равенство (3), при этом
(Ьз (е,цо),д) = 0- (14)
Тогда правильная бифуркация по направлению векторов е и —е уравнения (1) является односторонней: бифурцирующие решения уравнения (1) возникают только при ц > ц0 (если ц2 > 0) или только при ц < ц0 (если ц2 < 0). При этом возникают два семейства бифурцирующих решений:
х+ (е) = ее + е3е2 + о(е3), х- (е) = —ее — е3е2 + о(е3).
В дальнейшем правильную бифуркацию будем называть бифуркацией типа вилки, если бифурцирующие решения х(е) уравнения (1) существуют или только при ц < ц0, или только при ц > ц0 (см. Рис. 3). В условиях теоремы 5 имеет место бифуркация типа вилки.
Рис. 3 (бифуркация типа вилки)
1.1.3. Асимптотические формулы второго порядка. Наряду с главными асимптотиками (9) и (12) могут быть получены и асимптотические формулы более высокого порядков. Приведем для иллюстрации схему получения асимптотики второго порядка.
Пусть нелинейность Ь(х, р) представима в виде (4). Обозначим Ь2 = Ь2(е, р0),
Ь2х = Ь2х (е> р0^ Ь2М = Ь2М(е> р0^ Ь3 = Ь3(е, р0^ В' = В'(р0) и В" = В"(р0).
Теорема 6. Пусть нелинейность Ь(х, р) представима в виде (4). Тогда существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие решения х(е) и р = р(е) уравнения (1) представимы в виде
х(е) = ее + е2 ех + е3е2 + о(е3), р(е) = р0 + ер! + е2р2 + о(е2), (15)
где ех и рх — определены равенствами (10),
е2 = Го ^рх^Гобг + ^-В"е + 62жГо62 + Р1&2м + 63^ , (16)
р2 = (е2 ,д )р0. (17)
Здесь Г0 — оператор (8),
При рх = 0 формулы (16) и (17) становятся более простыми:
г _V (И' V И I И \ п _ (^2жГо&2 + &з 1 я) /1 ©\
е2 - I 0{О2х\- 0о2 + о3), р2 —----(В^Гд)-----‘
1.1.4■ Тип бифуркации: особый случай. В теоремах 3 и 5 соотношения (11) и (14) определяют тип бифуркации: транскритический или типа вилки. Если же, например, (b2(e, ^0), g) = 0, то тип бифуркации теорема 3 не определяет. В этом случае можно воспользоваться следующим утверждением.
Теорема 7. Пусть в условиях теоремы 1 нелинейность b(x, ß) представима в виде
(4). Пусть
ti. \ п (bs + b'2xT0b2,g)
(h,g) = 0, =-------(B,eg) ¿0,
где, как обычно, b2 = b2(e, ß0), b3 = b3(e, ß0) и У2х = b2x(e,ß0). Тогда имеет место бифуркация типа вилки: бифурцирующие решения уравнения (1) по направлению векторов e и
—e возникают только при
ß(£) = ßo + £2ß2 + o(£2) •
При этом возникают два семейства бифурцирующих решений
Х+ (s) = £e + £ ei + £ e2 + o(£ ) , X—(£) = —£e + £ ei — £ e2 + o(£ ) ,
где
e1 = (1 — B0) 1b2 , e2 = Г0Ь2ХГ0Ь2 ! здесь (I — B0)-1 — оператор (7).
Таким образом, в условиях теоремы 7 бифурцирующие решения возникают только при ß > ß0 (если ß2 > 0) или только при ß < ß0 (если ß2 < 0).
Справедливость этой теоремы следует из формул (15) и (18).
1.2. Случай полупростого собственного значения 1. Рассмотрим теперь задачу о правильных точках бифуркации операторного уравнения (1), когда матрица B(ß0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Параметр ß в этом случае естественно считать двумерным, а именно, пусть ß = (a,ß), где а и ß — скалярные параметры. Тогда уравнение (1) примет вид
x = B(a,ß)x + b(x, a,ß). (19)
Обозначим ß0 = (a0,ß0) и B0 = B(a0,ß0).
Пусть e и g — линейно независимые векторы, так что B0e = e и B0g = g. Сопряженный оператор Bq также имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2, которому отвечают собственные векторы e* и g*. Эти векторы можно выбрать исходя из соотношений:
(e, e*) = (g, g*) = 1, (e, g*) = (g, e*) = 0. (20)
Замечание 1. В качестве вектора e может быть выбран любой из собственных векторов матрицы B(ß0), отвечающий собственному значению 1, при этом можно считать, что ||e|| = 1. Векторы g, e* и g * подбираются в соответствии с соотношениями (20).
Правильные бифуркации уравнения (19) можно изучать, выбрав в качестве “направления” любой из собственных векторов оператора B0, отвечающих собственному значению 1. Для определенности выберем собственный вектор e.
Теорема 8. Пусть оператор B0 = B(a0,ß0) имеет полупростое собственное значение
1 кратности 2. Пусть
(B¿(ao,ßo)e, e*) (Be(ao,ßo)e, e*)
_ (Ba(ao,ßo)e,g*) (Be(ao,ßo)e,g*) _
Тогда ß0 является правильной точкой бифуркации уравнения (19) по направлению вектора e.
det
= 0. (21)
Здесь Б'а и Вв — операторы, полученные дифференцированием оператора B(а, в) по а и в соответственно.
Доказательство теоремы 8 приводится в п. 5.
Подчеркнем, что в теореме 8 речь идет о правильной бифуркации по направлению собственного вектора e оператора Во, отвечающего полупростому собственному значению 1 кратности 2. В отличие от случая простого собственного значения 1, когда бифуркация может иметь только два направления e и —е, в рассматриваемом случае бифуркация может иметь континуум различных направлений вида e(t) = е cost + g sin t, 0 ^ t ^ 2n.
1.2.1. Вспомогательные сведения. С целью получения асимптотических формул для существующих в условиях теоремы 8 бифурцирующих решений уравнения (19) приведем вспомогательные сведения.
Пусть Н0 — это двумерное подпространство пространства Н = Ям, содержащее векторы е и д, т.е. Н0 является собственным подпространством оператора В0, отвечающим полупростому собственному значению 1 кратности 2. Пространство Н = Ям может быть представлено в виде Н = Н0 ® Н0, где Н0 — дополнительное к Н0 инвариантное для В0 подпространство. Подпространство Н0 может быть представлено равенством
Н0 = {х : х Є Н, (х, е*) = 0, (х, д*) = 0}.
Спектр а оператора В0 : Н ^ Н представим в виде а = а1 и а2, где а1 = {1}, а а2 = а\а1
— спектр оператора В0 : Н0 ^ Н0. В частности, 1 / а(В0 : Н0 ^ Н0); следовательно, существует обратный оператор
(I — В0)-1 : H0 ^ H0.
(22)
Определим действующий в H оператор
Fh = h — [(h, е*)Бае + (h, g*)Б^Є — B0h, h Є H ,
(23)
где обозначено В^, = В^,(«о, во) и В^ = В^(«о, во). В силу условия (21) оператор ^ : Н ^ Н обратим. Положим
(24)
Г
F-1 : H ^ H.
Оператор (24) может быть вычислен в соответствии со следующим утверждением.
Лемма 3. Оператор Г0 = F 1 при любом y Є H вычисляется по формуле Г0у = h0+h0
h0 = Ja(y)e + J (У^ h0 = (1 — B0) 1 [y + Ja(y)Bae + Je(y)B3e] .
Здесь (I — B0) 1 — оператор (22), а функционалы Ja (y) и Je (y) — это компоненты
вектора
J(y) =
Ja (y) Je (y)
который вычисляется по формуле J(y) = — Q Y(y), где
Q =
(B¿(а0,в0)e, e*) (Be(а0, в0)e, e*)
(Ba(а0,e0)e,g*) (Be(a0,e0)e,g*) _
Y(y) =
(y, e*)
(y,g*)
В справедливости леммы 3 можно убедиться непосредственным подсчетом.
1.2.2. Главные асимптотики. Приведем главные асимптотики для существующих в условиях теоремы 8 бифурцирующих решений х = х(е), а = а(е) и в = в(е) уравнения (19). При этом основное внимание будет уделено рассмотрению правильной бифуркации по направлению вектора е.
Как и в п. 1.1, будем рассматривать различные случаи, когда нелинейность Ь(х, а, в) представима в одном из видов (2)-(4).
Ниже используются обозначения
Ь2 = Ь2(е, а0,в0), Ь3 = Ь3(е, а0,в0), (25)
Ь2ж = Ь2ж(е а0, в0), Ь2а = Ь2а(е а0, в0), Ь2в = Ь2в(е а0, в0). (26)
Теорема 9. Пусть нелинейность Ь(х, а, в) представима в виде (2). Тогда существующие в условиях теоремы 8 бифурцирующие решения х(е), а(е) и в (е) уравнения (19)
представимы в виде
х(е) = ее + е2еі + о(е2), а(е) = а0 + еаі + о(е), в(е) = в0 + еві + о(е), (27)
где
еі = Г0Ь2, аі = </а(Ь2), ві = 1 в (Ь2). (28)
Доказательство теоремы 9 приводится в п. 5.
Таким образом, если нелинейность Ь(х, а, в) начинается с квадратичных слагаемых, то главные асимптотики бифурцирующих решений уравнения (19) имеют вид (27).
Теорема 10. /р44 Пусть нелинейность Ь(х, а, в) представима в виде (3). Тогда существующие в условиях теоремы 8 бифурцирующие решения х(е), а(е) и в(е) уравнения (19) представимы в виде
х(е) = ее + е е2 + о(е ), а(е) = а0 + е а2 + о(е ), в(е) = в0 + е в2 + о(е ), (29)
где
е2 = Г0Ь3, а2 = 1 а (Ь3), в2 = (Ь3). (30)
Доказательство теоремы 10 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 9. Таким образом, если нелинейность Ь(х, а, в) начинается с кубических слагаемых, то главные асимптотики бифурцирующих решений уравнения (19) имеют вид (29).
1.2.3. Асимптотические формулы второго порядка. Наряду с главными асимптотиками (27) и (29) бифурцирующих решений уравнения (19) могут быть получены и асимптотические формулы более высокого порядков. Приведем схему получения второй асимптотики.
Теорема 11. Пусть нелинейность Ь(х, а, в) представима в виде (4). Тогда существующие в условиях теоремы 8 бифурцирующие решения х(е), а(е) и в (е) уравнения (19) представимы в виде
х(е) = ее + е еі + е е2 + о(е ), (31)
а(е) = а0 + еаі + е2а2 + о(е2), в(е) = в0 + еві + е2в2 + о(е2), (32)
где еі, аі и ві — определены равенствами (28),
е2 = ^(^ + 63), а2 = За(<Р + Ь3), в2 = ^3(<£ + Ь3);
здесь
2
V3 = «і^аГобг + АВ/?Го^2 + + аівіВ^еЧ-
+^^дае + Ь2хГ0Ь2 + аіЬ2а + (і\Ь'2(і.
Здесь Г0 — оператор (24), В'а, В?, Впаа, В'^, В?? — операторы, полученные дифференцированием оператора В(а, в) по а и (или) в нужное число раз в точке (а0, в0); используются также обозначения (25) и (26).
Доказательство теоремы 11 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 9.
1.2.4. Тип бифуркации: особый случай. В приложениях часто встречается ситуация, когда в соотношениях (32) выполнены равенства а1 =0 и ß1 = 0. В этом случае теорема 11 принимает вид
Теорема 12. Пусть нелинейность b(x,a,ß) представима в виде (4). Пусть
(62,e*) = (b2,g*) = 0. (33)
Тогда существующие в условиях теоремы 8 бифурцирующие решения x(£), а(£) и ß(£)
уравнения (19) представимы в виде
x(£) = £e + £2ei + £3e2 + o(£3) , (34)
а(£) = ао + £2а2 + o(£2), ß(£) = ßo + £2ß2 + o(£2), (35)
где
e1 = (1 — B0) 1 b2 , e2 = Г0(62хГ0b2 + b3) , а2 = Ja (62хГ0 b2 + b3) , ß2 = Jß (62хГ062 + b3)!
здесь (I — B0)-1 — оператор (22).
2. БИФУРКАЦИИ в ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
В качестве первого приложения рассмотрим задачу о локальных бифуркациях в дискретных динамических системах, зависящих от скалярного или векторного параметра ß и описываемых уравнением
xfc+1 = f (xfc,ß), k = 0,1, 2, ••., (36)
Всюду ниже предполагаются выполненными условия:
D1. функция f (x, ß) определена при всех x G RN и ß G Rm, при этом она непрерывно дифференцируема по x и ß;
D2. уравнение (36) при всех значениях ß имеет нулевую неподвижную точку x = 0, т.е.
f (0, ß) = 0.
Приводимые ниже результаты остаются справедливыми (с естественными модификациями) и в ряде случаев, когда условия D1 и D2 заменены более слабыми предположениями, в частности, когда функция f (x, ß) определена по x и ß лишь в некоторых окрестностях точек x = 0 и ß = ß0.
2.1. Основные сценарии локальных бифуркаций. При изменении параметра ß поведение системы (36) может качественно изменяться: могут появиться или исчезнуть неподвижные точки или циклы различных периодов, может измениться характер их устойчивости и т.п., то есть возможны различные бифуркации. Ниже будем рассматривать локальные бифуркации в окрестности неподвижной точки x = 0 системы (36).
Обозначим через A(ß) = fX(0, ß) матрицу Якоби вектор-функции f (x,ß), вычисленной в точке x = 0. Неподвижную точку x = 0 системы (36) при ß = ß0 называют гиперболической, если матрица Якоби A(ß0) не имеет собственных значений, равных по модулю 1. В противном случае говорят, что неподвижная точка x = 0 системы (36) является негиперболической.
Пусть при некотором ß = ß0 неподвижная точка x = 0 системы (36) является негиперболической, т.е. матрица Якоби A(ß0) имеет одно или несколько собственных значений, равных по модулю 1. В этом случае возможны различные сценарии локальных бифуркаций в окрестности точки x = 0. Эти сценарии определяются свойствами спектра матрицы A(ß0). Основными здесь являются следующие случаи, когда матрица A(ß0) имеет:
H1) простое собственное значение 1;
H2) простое собственное значение —1;
Н3) пару простых комплексно сопряженных собственных значений е±2пЛ, где 0 < в < 1 и
в рационально: в = — — несократимая дробь, причем в ф д 2
Н4) имеет пару простых комплексно сопряженных собственных значений е±2п0*, где
0 <в< 1 и в — иррационально.
Во всех этих случаях предполагается, что остальные собственные значения матрицы А(р0) не равны по модулю 1; случаи Н3) и Н4) возможны только при N ^ 2.
2.1.1. Случай Н1): бифуркация неподвижных точек. Случай Н1) приводит к двум основным сценариям — транскритической бифуркации и бифуркации типа вилки, связанным с возникновением у системы (36) при р близких к р0 в окрестности точки х = 0 новых неподвижных точек.
Значение р0 назовем точкой бифуркации неподвижных точек системы (36), если для каждого £ > 0 найдется р = р(£), ||р(£) — р0У < £, такое, что при р = р(£ система (36) имеет неподвижную точку х = х(£), при этом 0 < ||х(£)|| < £.
Простейшие уравнения, описывающие бифуркации указанного типа:
хга+1 = рхп — хП , (транскритическая); (37)
хга+1 = рхп — хП , (вилка); в обоих случаях бифуркационным является значение р0 = 1.
2.1.2. Случай Н2): бифуркация удвоения периода. Случай Н2) приводит к бифуркации удвоения периода (или субгармонической бифуркации), связанной с возникновением у системы (36) при р близких к р0 в окрестности точки х = 0 циклов периода 2.
Значение р0 назовем точкой бифуркации удвоения периода (или точкой бифуркации
2-циклов) системы (36), если для каждого £ > 0 найдется р = р(£), ||р(£) — р01| < £, такое, что при р = р(£ система (36) имеет цикл х0(£),х1 (£) периода 2, при этом 0 < ||х^(£)|| < £, 3 = 0,1.
Например, для уравнения (37) значения р = —1 и р = 3 являются точками бифуркации удвоения периода.
2.1.3. Случай Н3): бифуркация д-циклов. В этом случае одним из возможных сценариев является возникновение у системы (36) при р близких к р0 в окрестности точки х = 0 циклов периода д, т.е. имеет место бифуркация д-циклов (соответствующее определение аналогично введенному выше определению точек бифуркации 2-циклов). Указанный сценарий реализуем лишь в многомерных системах (36), зависящих от двух и большего числа параметров, т.е. если х € Ям и р € Ят при N т ^ 2.
2.1.4. Случай Н4): бифуркация Андронова-Хопфа. Случай Н4) наиболее сложен для исследования. Здесь возможны различные сценарии бифуркаций. Укажем один из них, при этом откажемся от ограничения, что 9 иррационально.
1121
Пусть в (0 < в < 1) — таково, что в ф Пусть для простоты N = 2. То-
2 3 3 4
гда при каждом близком к р0 значении р в окрестности точки х = 0 фазовый портрет системы (36) содержит замкнутую кривую 7(р), ограничивающую область притяжения или отталкивания неподвижной точки х = 0. Кривая 7(р) является инвариантной для системы (36). Динамика системы (36) на кривой 7(р) может оказаться весьма сложной, содержащей семейство периодических и квазипериодических орбит. Такой сценарий называют бифуркацией Андронова-Хопфа.
2.2. Переход к операторному уравнению. В этом параграфе основное внимание уделяется исследованию локальных бифуркаций системы (36) в случаях H1)-H3). Эти случаи характеризуются возникновением у системы (36) при ß близких к ß0 в окрестности точки x = 0 ненулевых неподвижных точек или циклов периода q, q ^ 2. Для исследования соответствующих бифуркаций предлагается перейти к эквивалентной задаче для операторных уравнений.
2.2.1. Бифуркация стационарных решений. В случае H1) матрица A(ß0) имеет простое собственное значение 1. Коразмерность такой бифуркации равна одному; другими словами, наименьшая размерность пространства Rm параметра ß, которая содержат данную бифуркацию в устойчивой форме, равна одному. Поэтому естественным будет предположение, что параметр ß является скалярным, а именно, пусть ß £ [ß0 — 5, ß0 + 5], где 5 — некоторое положительное число.
В задаче о бифуркации стационарных решениях системы (36) естественно перейти к уравнению
x = / (x,ß), (38)
решения которого и определяют неподвижныые точки системы (36). В силу предположений D1 и D2 уравнение (38) представимо в виде
x = A(ß)x + a(x,ß), (39)
где A(ß) = /X(0,ß), а нелинейность a(x,ß) удовлетворяет соотношению
||a(x,ß)|| .
lim sup —г—-— = 0. (40)
llxll^0 |jU-^o|^ä llx|l
Уравнение (39) является уравнением вида (1). Поэтому для анализа рассматриваемой бифуркации можно воспользоваться схемой, приведенной в п. 1.1.
С этой целью, как и в указанном пункте, обозначим через е и g — собственные векторы матрицы A(ß0) и сопряженной матрицы A*(ß0), соответствующие собственному значению
1. Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами (5).
Из теоремы 1 вытекает
Теорема 13. Пусть матрица A(ß0) имеет простое собственное значение 1. Пусть
(A'(ß0)e,g) = 0.
Тогда ß0 является точкой бифуркации неподвижных точек системы (36), при этом бифуркация является правильной по направлению векторов e и —е.
Асимптотические формулы для бифурцирующих решений системы (36) и тип бифуркации в условиях теоремы 13 могут быть определены в соответствии с теоремами 2-7. В частности, из этих теорем следует, что если нелинейность a(x, ß) в правой части уравнения (39) начинается с квадратичных (кубических) слагаемых, то бифуркация, как правило, является транскритической (типа вилки).
2.2.2. Бифуркация удвоения периода. В случае H2) матрица A(ß0) имеет простое собственное значение —1. Коразмерность такой бифуркации равна одному. Поэтому (как и в случае H1)) естественным будет предположение, что параметр ß является скалярным, а именно, ß £ [ß0 — 5, ß0 + 5], где 5 — некоторое положительное число.
В задаче о бифуркации удвоения периода системы (36) естественно перейти к уравнению
x = / (2) (x,ß) , (41)
где /(2) (x,ß) = /(/(x, ß), ß). Очевидна
Лемма 4. Вектор х* является решением уравнения (41) тогда и только тогда, когда х* либо является неподвижной точкой системы (36), либо определяет цикл х0 = х*, х1 = / (х0,р) периода 2 этой системы.
Уравнение (41) представимо в виде
х = А2 (р)х + Ь(х,р), (42)
где нелинейность Ь(х, р) удовлетворяет аналогичному (40) соотношению; Ь(х, р) и а(х, р) связаны равенством
Ь(х, р) = А(р)а(х, р) + а(А(р)х + а(х, р), р). (43)
В рассматриваемом случае матрица А2 (р0) имеет простое собственное значение 1. Уравнение (42) является уравнением вида (1). Поэтому для анализа рассматриваемой бифуркации можно воспользоваться схемой, приведенной в п. 1.1.
С этой целью положим В(р) = А2 (р0) и обозначим через е и $ — собственные векторы матрицы В(р0) и сопряженной матрицы В*(р0), соответствующие собственному значению
1 (или, что равносильно, соответствующие собственному значению —1 матрицы А(р0) и сопряженной к ней). Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами
(5).
Теорема 14. Пусть матрица А(р0) имеет простое собственное значение -1. Пусть
(А/(р0)е,$) = 0.
Тогда р0 является точкой бифуркации 2-циклов системы (36).
Это утверждение является следствием теоремы 1, примененной к уравнению (42). Действительно, из указанной теоремы следует, что существуют £0 > 0 и определенные при £ € [0, £0) непрерывные функции р = р(£ и х = х(£), такие, что уравнение (42) при р = р(£) имеет решение х = х(£ так, что кривая х = х(£) в пространстве Ям при £ ^ 0 асимптотически стремится к прямой х = £е и при этом р(£ ^ р0. Тогда векторы х0 = х(£ и х1 = /(х0,р(£)) определяют цикл периода 2 системы (36) при р = р(£).
С целью определения асимптотических формул для бифурцирующих решений системы (36) и типа бифуркации в условиях теоремы 14 приведем вспомогательное утверждение. Пусть нелинейность а(х, р) в правой части уравнения (39) представима в виде
а(х,р) = а2(х,р) + а3(х, р), (44)
где а2(х, р) — квадратичная нелинейность, а а3 (х, р) содержит члены более высокой степени. Равенство (44) влечет аналогичное соотношение для нелинейности (43):
Ь(х, р) = &2(х, р) + Ьз (х, р), в котором квадратичая нелинейность Ь2(х,р) имеет вид
&2(х, р) = А(р)а2(х, р) + а2(А(р)х, р).
Лемма 5. Пусть матрица А(р0) имеет простое собственное значение —1. Пусть выполнено равенство (44). Тогда,
(ь2(е,р0),$) = 0 .
Таким образом, для анализа бифуркации удвоения периода системы (36) можно воз-пользоваться теоремой 7. Из нее, в частности, следует, что бифуркация удвоения периода, как правило, является типа вилки. Когда параметр р, непрерывно изменяясь, переходит через критическое значение р0, у уравнения (42) возникают два семейства бифурцирую-щих решений х+ (£ и х-(£), которые и определяют рождающиеся циклы периода 2 системы (36).
2.2.3. Бифуркация д-циклов. В случае Н3) матрица А(р0) имеет пару простых комплекс-
Р
но сопряженных собственных значений е±2жвг, где в =--------несократимая дробь, причем
1д в ф Коразмерность такой бифуркации равна 2. Поэтому естественным будет предположение, что параметр р является двумерным, а именно, можно положить р = (а, в), где а и в — скалярные параметры.
В задаче о бифуркации д-циклов системы (36) естественно перейти к уравнению
х = /(9) (х,р) , (45)
где
/(д) (х,^) = / (/(• ■ ■(/(х,^),^) ■ ■ ■)).
Очевидна
Лемма 6. Вектор х* является решением уравнения (45) тогда и только тогда, когда х* либо является неподвижной точкой системы (36), либо определяет цикл х0 = х*, х1 = /(х0,р), х2 = /(х1,р), ... , хг-1 = /(хг-2,р) периода г этой системы, где г — делитель числа д.
Например, если д = 6, то решения уравнения (45) могут быть либо неподвижными точками системы (36), либо ее циклами периода 2, 3 или 6.
Уравнение (45) представимо в виде
х = А9 (р)х + Ь(х,р), (46)
где нелинейность Ь(х, р) удовлетворяет аналогичному (40) соотношению; для Ь(х, р) и а(х,р) несложно получить аналог равенства (43). Отметим также, что в рассматриваемом случае матрица А9(р0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2.
Учитывая предположение, что параметр р является двумерным, а именно, р = (а, в), перепишем уравнение (46) в виде
х = А9(а, в)х + Ь(х, а, в). (47)
Уравнение (47) является уравнением вида (19). Поэтому для анализа рассматриваемой бифуркации можно воспользоваться схемой, приведенной в п. 1.2.
С этой целью положим р0 = (а0, в0), В (а, в) = А9 (а, в), В0 = В(а0, в0). Обозначим через
е, $, е* и $* — собственные векторы матрицы В0 и сопряженной матрицы В*, соответству-
ющие собственному значению 1. Эти векторы будем считать выбранными в соответствии с равенствами (20).
Из теоремы 8 вытекает
Теорема 15. Пусть матрица А(а0, в0) имеет пару простых комплексно сопряжен-
Р
ных собственных значений е±2жвг, где 9 = - (р < д) — несократимая дробь. Пусть
д
det
(А*(«0,в0)е, е*) (Ав(«0,в0)е,е*) (Аа(а0,в0)е,#*) (Ав(а0,в0)е,£*) _
= 0.
Тогда р0 = (а0,в0) является точкой бифуркации д-циклов системы (36).
Это утверждение является следствием теоремы 8, примененной к уравнению (47). Действительно, из указанной теоремы следует, что существуют £0 > 0 и определенные при £ € [0, £0) непрерывные функции а = а(£), в = в(£) и х = х(£), такие, что уравнение (47)
при а = а(£) и в = в(£) имеет решение х = х(£) так, что кривая х = х(£) в пространстве Ям при £ ^ 0 асимптотически стремится к прямой х = £е и при этом а(£) ^ а0, в(£) ^ в0. Тогда при всех малых £ > 0 векторы
х0 = х(£), х1 = /(х0,р(£)), х2 = /(х1,р(£)), ... ,х,-1 = /(х,-2, р(£)) определяют циклы периода д системы (36) при р = р(£) = (а(£),в(£)).
2.2.4. Тип бифуркации д-циклов. Для бифурцирующих решений х = х(£), а = а(£) и в = в(£)) уравнения (47) имеют место асимптотические формулы вида (31) и (32) (с соответствующими модификациями). Вместе с тем здесь имеют место и свои особенности. В частности, вид этих формул зависит от свойства четности числа д.
Пусть нелинейность а(х, р) в правой части уравнения (39) представима в виде
а(х, р) = а2(х, р) + а3(х, р) + а4 (х, р), (48)
где а2 (х, р), а3(х, р) — квадратичная и кубическая нелинейности соответственно, а а4(х, р) содержит члены более высокой степени.
Теорема 16. Пусть в условиях теоремы 15 число д является четным. Пусть выполнено равенство (48). Тогда имеют место равенства (33) и, следовательно, для бифурцирующих решений х = х(£), а = а(£) и в = в(£) уравнения (47) имеют место представления вида (34) и (35).
3. Бифуркация вынужденных колебаний.
В этом параграфе в качестве второго приложения рассматривается задача о бифуркации вынужденных колебаний в системах, динамика которых описывается неавтономными дифференциальными уравнениями с периодической правой частью.
3.1. Вспомогательные сведения. Приведем сначала некоторые вспомогательные сведения. Рассмотрим дифференциальное уравнение
х/ = /(х, £) , х € Ям. (49)
Пусть выполнены условия:
a) функция /(х, £) определена при всех х € Ям и £ € Я1;
b) функция /(х, £) непрерывна по £ и непрерывно дифференцируема по х, при этом каждое начальное условие х(£0) = х0 однозначно задает решение х(£) уравнения (49), определенное при всех £ € [£0, £0 + Т];
c) функция /(х, £) является Т-периодической по £: /(х,£ + Т) = /(х, £).
Обозначим через ит оператор сдвига [10] по траекториям системы (49) за время от £ = 0 до £ = т > 0. Оператор ит ставит в соответствие каждой точке х0 новую точку х1 = х(т); здесь х(£) — решение уравнения (49), задаваемое начальным условием х(0) = х0. Оператор ит : Ям ^ Ям является диффеоморфизмом.
В силу периодичности функции /(х, £) по £ траектории точек (х, £) и (х, £ + Тт), где т € ^, одинаковы. Поэтому изучение уравнения (49) может быть сведено к изучению диффеоморфизма и = Цр. Другими словами, уравнение (49) может быть ассоциировано с гладкой дискретной динамической системой, описываемой уравнением:
х„+1 = и(х„), п = 0, 1, 2..., (50)
где и — оператор сдвига по траекториям системы (49) за время от 0 до Т.
Неподвижные точки системы (50) определяют начальные значения Т-периодических решений уравнения (49), а циклы периода р — начальные значения его рТ-периодических решений.
Пусть, наряду с а)-с), выполнено условие:
^ уравнение (49) имеет нулевое решение х = 0, т.е. /(0, £) = 0.
В этом случае уравнение (49) может быть представлено в виде
х/ = А(£)х + а(£, х), х € Ям, (51)
где А(£) = /X(0,£), а нелинейность а(£, х) удовлетворяет соотношению
шах ||а(£,х)|| = 0(||х||2), ||х^ —^ 0.
Наряду с (51) будем рассматривать линейное уравнение
х/ = А(£)х. (52)
Обозначим через Н(£) фундаментальную матрицу решений системы (52), т.е. решение
задачи Н/ = А(£)Н, Н(0) = I. Матрицу V = Н(Т) называют матрицей монодромии
линейной системы (52), а ее собственные значения — мультипликаторами системы (52).
Характер устойчивости решения х = 0 уравнения (49) определяется свойствами мультипликаторов линейной системы (52): если все мультипликаторы по модулю меньше единицы, то решение х = 0 будет устойчивым, если же хотя бы один мультипликатор по модулю больше единицы, то решение х = 0 будет неустойчивым.
Если система (52) не имеет мультипликаторов, равных по модулю 1, то неподвижная точка х = 0 системы (49) называется гиперболической. В окрестности гиперболической точки система (49) структурно устойчива.
Пусть и и V — это операторы сдвига за время от £ = 0 до £ = Т по траекториям систем (49) и (52) соответственно. Известно следующее утверждение (см., например, [10])
Лемма 7. Матрица Якоби иХ (0) оператора и(х) совпадает с оператором V.
3.2. Задача о бифуркации вынужденных колебаний. Рассмотрим теперь систему, динамика которой описывается дифференциальным уравнением, зависящим от скалярного или векторного параметра р:
х/ = /(х,£, р), х € Дм, р € Як. (53)
Всюду ниже предполагаются выполненными условия:
Р1. /(х, £, р) определена при всех х € Ям, £ € Я1 и А € 0(р0, £0) (здесь 0(р0, £0) — шар радиуса £0 > 0 с центром в точке р0 € Як),
Р2. /(х, £, р) непрерывна по £ и непрерывно дифференцируема по х и р, при этом каждое начальное условие х(£0) = х0 однозначно задает решение х(£) уравнения (53), определенное при всех £ € (-то, то);
Р3. /(х, £, р) является Т-периодической по £: /(х, £ + Т, р) = /(х, £, р);
Р4. уравнение (53) при всех значениях р имеет нулевое решение х = 0, т.е.
/ (М,р) = °.
Приводимые ниже построения применимы и в ряде случаев, когда условия Р1 и Р2 заменены более слабыми предположениями, в частности, когда функция /(х, £, р) определена по х лишь в некоторой окрестности точки х = 0.
В силу условий Р1 и Р4 уравнение (53) может быть представлено в виде
х/ = А(£, р)х + а(х, £, р), (54)
где
А(£,р) = УХ (0,£,р)
- матрица Якоби вектор-функции /(х, £, р), вычисленная в точке х = 0, а нелинейность а(х,£, р) равномерно по р € П(р0, £0) и £ € [0,Т] удовлетворяет соотношению
||а(х,£, р)|| = 0(||х||2) при ||х|| — 0.
Функции A(t, р) и а(ж,£, р) являются T-периодическими по t.
Наряду с (54) будем рассматривать линейное уравнение
ж7 = A(t, р)ж . (55)
Критическими для уравнения (53) будут те значения р0 параметра р, при которых один или несколько мультипликаторов системы (55) по модулю равны единице. Изменение параметра р в окрестности р0 может приводить к различным локальным бифуркациям в окрестности точки ж = 0.
Изучению вопросов о локальных бифуркациях для уравнений типа (53) посвящена обширная литература (см., например, [10, 11]). Рассмотрены различные сценарии бифуркаций, предложены эффективные качественные и приближенные методы их исследования.
Систему (53) будем ассоциировать с дискретной динамической системой, описываемой уравнением
Xn+i = U(ж„,р), n = 0, 1, 2..., (56)
где U(*,р) — оператор сдвига по траекториям системы (53) за время от 0 до T. Система (56) в силу предположения P4 при всех значениях параметра р имеет неподвижную точку ж = 0, т.е. U(0, р) = 0.
Задача о бифуркации вынужденных колебаний системы (53) эквивалентна задаче о локальных бифуркациях в окрестности неподвижной точки x = 0 системы (56). Для уравнения (56) имеют место те же бифуркации, что и для рассмотренных в предыдущем параграфе дискретных систем вида (36) (при изменении параметра р могут появиться или исчезнуть неподвижные точки или циклы различных периодов, может измениться характер их устойчивости и т.п. ). Однако задача о вынужденных колебаниях имеет свою специфику, на которой здесь остановимся.
3.3. Основные сценарии локальных бифуркаций. Обозначим через V(р) матрицу монодромии системы (55). Из леммы 7 следует, что операторы U(ж, р) и V(р) связаны равенством
U(ж,р) = V(р)ж + v(x, р), (57)
в котором оператор у(ж,р) удовлетворяет соотношению
sup ||^(ж)У = 0(||ж||2) при ||ж|| ^ 0. м
Как было указано выше, сценарии бифуркаций системы (53) определяются свойствами
спектра оператора V(р0). Здесь, в частности, возможны случаи, когда матрица V(р0)
имеет:
1) простое собственное значение 1;
2) полупростое собственное значение 1 кратности 2;
3) полупростое собственное значение —1 кратности 2;
4) пару простых комплексно сопряженных собственных значений е±2пЛ, где 0 < в < 1 и в рационально {в ф -);
5) имеет пару простых комплексно сопряженных собственных значений e±2n0i, где
0 <в< 1 и в — иррационально.
Замечание 2. В отличие от приведенных на стр. 11 основных случаях, определяющих сценарии бифуркации дискретных систем, в задаче о бифуркации вынужденных колебаниях не возникает случай, когда матрица V(р0) имеет простое собственное значения -1.
В зависимости от указанных случаев возможны различные локальные бифуркации в окрестности состояния равновесия системы (53). Приведем соответствующее определение.
Пусть д — натуральное число. Значение р0 параметра р называется точкой бифуркации дТ-периодических решений системы (53), если каждому £ > 0 соответствует такое р = р(е), при котором система (53) имеет ненулевое дТ-периодическое решение х(£, £), при этом шах ||х(£, е)|| — 0 при £ — 0. При д = 1 будем говорить о бифуркации вынужденных
колебаний, а при д ^ 2 — о бифуркации субгармонических колебаний.
Случаи 1) и 2) приводят к бифуркации вынужденных колебаний, случаи 3) и 4) — к бифуркации субгармонических колебаний, случай 5) — к бифуркации почти периодических колебаний. Ограничимся рассмотрением случая 1); случаи 2)-4) могут быть рассмотрены по той же схеме, что и аналогичные случаи, рассмотренные во втором параграфе (см. стр. 11).
Пусть оператор V(р0) имеет простое собственное значение 1, т.е. линейная система (55) при р = р0 имеет однопараметрическое семейство Т-периодических решений. В этом случае естественно предполагать, что параметр р является скалярным. Здесь основным сценарием является бифуркация вынужденных колебаний системы (53).
Рассматриваемый случай попадает под указанный на стр. 11 случай Н1), поэтому в задаче о бифуркациях вынужденных колебаний системы (53) естественно перейти к уравнению вида (39), а именно, к уравнению х = и(х, р) или, с учетом равенства (57), — к уравнению
х = V(р)х + у(х, р).
Пусть е и е* — это собственные векторы, соответствующие простому собственному значению 1 операторов V(р0) и V* (р0) соответственно. Векторы е и е* будем считать выбранными в соответствии с равенством (е, е*) = 1.
Обозначим через х(£, р) решение задачи Коши
х/ = А(£, р)х , х(0) = е.
Функция х(£,р0) является Т-периодическим решением системы (55) при р = р0. Ниже основным будет число
£0 =^^ [А(£,р)х(£,р)]^=мо^,е*^ . (58)
Из теоремы 1 следует
Теорема 17. Пусть линейная система (55) при р = р0 имеет однопараметрическое семейство Т-периодических решений. Пусть £0 = 0. Тогда р0 является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (53).
В приложениях часто матрица А(£, р0) не зависит от £. В этом случае несложно показать, что число (58) принимает вид
£0 = ^^ [А(^ р)]^=Мох(£,р0Же*^ .
Приближенное исследование рассматриваемой бифуркации можно проводить по схеме, приведенной в п. 1.1.
4. Бифуркации автоколебаний
В этом параграфе в качестве третьего приложения рассматривается задача о бифуркации автоколебаний.
4.1. Основные сценарии бифуркаций автоколебаний. Рассматривается система, динамика которой описывается дифференциальным уравнением
ж7 = f (ж,р), ж G , р G , (59)
правая часть f (ж, р) которого гладко зависит от ж и р. Пусть при всех р, близких к р0, система (59) имеет нестационарное T-периодическое решение ж = ^0 (t). Пусть для простоты выполнено условие:
P1) решение ^o(t) не зависит от параметра р.
При изменении параметра р может измениться характер устойчивости решения ^0(t), что, в свою очередь, может привести к различным бифуркациям: возникновению в окрестности решения ^0 (t) новых периодических колебаний, бифуркации удвоения периода и другим сценариям [1, 12].
Полагая h = ж — ^0 (t), перейдем от (59) к уравнению с T-периодической по t правой частью
h7 = A(t, р)Л. + g(t, Л.,р), h G , (60)
где A(t, р) = fX(^0(^,р), а нелинейность g(t, h, р) удовлетворяет условию
sup Уд^Лр^! = ||h|l ^ 0.
Нулевое решение системы (60) соответствует периодическому решению ж = ^0 (t) системы (59).
Наряду с уравнением (60) будем рассматривать линейное уравнение
h7 = A(t, р)Л.. (61)
Пусть V(р) — оператор сдвига по траекториям системы (61) за время от t = 0 до t = T.
Так как уравнение (59) при всех р имеет нестационарное T-периодическое решение ж = ^0(t), то линейная система (61) имеет нестационарное T-периодическое решение h = ^0 (t). Поэтому система (61) при всех р имеет мультипликатор р0 = 1. Другими словами, матрица V(р) при всех р имеет собственное значение р0 = 1 и ему отвечает отвечает
собственный вектор е0 = ^0 (0).
Если система (61) при р = р0 не имеет других мультипликаторов, равных по модулю 1, то цикл ^0(t) называется гиперболическим. В окрестности гиперболического цикла система (59) структурно устойчива. Следовательно, значение р0 будет бифуркационным, если только система (61) при р = р0, наряду с мультипликатором р0 = 1, будет иметь, по крайней мере, еще один мультипликатор р1, равный по модулю 1.
Пусть цикл ж = ^0 (t) системы (59) является негиперболическим. В зависимости от значений р1 возможны следующие основные варианты:
2п T
1) Pl = 1, 2) Pl = -1, 3) Р1 = где о; = —, 0 < (3 < Т и (3 ±
В случае 1) типичным сценарием бифуркации является возникновение у системы (59) в окрестности T-периодического решения ж = ^0(t) новых периодических решений с периодом, близким к T; этот сценарий будем называть бифуркацией периодических решений: см. Рис. 4 и Рис. 5.
Рис. 4 (транскритическая бифуркация)
Рис. 5 (бифуркация типа вилки)
В случае 2) типичным сценарием является возникновение у системы (59) в окрестности Т-периодического решения х = ^0(£) новых периодических решений с периодом, близким к 2Т; этот сценарий будем называть бифуркацией удвоения периода (см. Рис. 6).
Рис. 6 (бифуркация удвоения периода)
Р
Случай 3) наиболее сложен для исследования. Здесь при [3 = —Т и малых д (д = 3 и д = 4) у системы (59) в окрестности решения х = ^0(£) могут возникать периодические решения периода дТ. При д ^ 5 или иррациональных ^ возможна бифуркация рождения двумерного тора (см. Рис. 7).
Рис. 7 (бифуркация рождения двумерного тора)
Отметим также, случаи 2) и 3) возможны лишь, когда размерность фазового пространства N ^ 3.
4.2. Отображение Пуанкаре и переход к операторным уравнениям. В фазовом пространстве системы (59) решение х = ^о(^) описывает некоторую замкнутую траекторию. Можно считать, что ^о(0) = 0. Проведем через точку 0 трансверсальную к траектории ^0(£) гиперплоскость Е0. Выберем на Е0 систему координат так, чтобы начала координат пространств Е0 и совпали. Очевидно, что любая траектория, соответствующая решению системы (59), выпущенная из точки Л Є Е0, близкой к 0, через некоторое время Т*, близкое к Т, вновь пересечет гиперплоскость Е0 в точке (см. Рис. 8).
Рис. 8 (отображение Пуанкаре)
Таким образом, получим некоторое отображение Р(-,р) : Е0 ^ Е0 (так, что
Р(К^р) = К2), определенное в окрестности нулевой точки пространства Е0. Отображение Р(-,р) называют отображением Пуанкаре; по построению имеем Р(0, р) = 0. Неподвижные точки оператора Р(■, р) соответствуют точкам пересечения траекторий периодических решений системы (59) с гиперплоскостью Е0.
Используя отображение Пуанкаре, задачи о локальных бифуркациях системы (59) в окрестности решения х = ^0(£) можно свести к задаче о бифуркации неподвижных точек операторных уравнений. А именно, в случае 1) получим, что оператор Р(-,р0) имеет простое собственное значение 1 и, следовательно, для исследования соответствующей бифуркации можно перейти к уравнению
К = Р(К,р), К е Е0 . (62)
Аналогично, в случае 2) можно перейти к уравнению
К = Р2(К, р), К е Е0.
Рассмотрение случая 3) ограничимся обсуждением ситуации, когда /3 = —Т при малых д.
д
Здесь естественно рассматривать уравнение
К = Р9(К, р), К е Е0.
4.3. Достаточные условия бифуркации. Приведем достаточные условия бифуркации периодических решений системы (59). Пусть имеет место случай 1), т.е. р1 = 1.
Так как матрица V(р) при всех р имеет собственное значение р0 = 1, то транспонированная матрица V*(р) также при всех р имеет собственное значение р0 = 1. Ниже для простоты будем считать, что наряду с Р1) выполнено еще одно предположение:
Р2) оператор V* (р) при всех р имеет не зависящий от р собственный вектор $0, отвечающий собственному значению р0 = 1.
В этом случае в качестве Е0 удобно выбирать гиперплоскость
Е0 = {х : (х, ^о) = 0 } ,
которая будет инвариантным подпространством для оператора V(р) при всех р.
Оператор V(р0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2, при этом ему, кроме собственного вектора е0 = ^0 (0), отвечает еще один собственный вектор е1 Є Е0, по направлению которого и возникают бифурцирующие решения (62). Сопряженный оператор V* (р0) также имеет полупростое собственное значение 1 и соответствующие собственные векторы $0 и ^1. Тогда приведенное в теореме 1 достаточное условие бифуркации вида
(6) в рассматриваемой задаче может быть сформулировано в виде.
Теорема 18. Пусть р1 = 1 и
т
^,51 | = 0, (63)
А\1 ((^рм^рм м)
где x(t, р) — решение задачи
о
х' = А(^,р)х ( )
х(0) = в1. ( )
Тогда р0 — точка бифуркации периодических решений системы (59).
Непосредственная проверка условия (63) обычно сопряжена с трудностями, так как требует решения системы (64) с периодической правой частью. В важном частном случае, когда матрица А(£, р0) = А0 не зависит от £, теорему 18 можно сформулировать в виде.
Теорема 19. Пусть р1 = 1 и
, т г ч
Д = (у (^,ро)^0 (^) + / А0 еАо(*-5) ^ (5,ро)^0 =0 .
00 Тогда р0 — точка бифуркации периодических решений системы (59).
В качестве примера рассмотрим систему
.T; = _(1 + /,)ll_l2 + .Tlx? + ^ + "
т/xf + Xj
Ж2 = Х1 - (1 + Ñx2 + Ж2^-^==+ ^
\AÍ +
(65)
2 і ^2 2
У этой системы существует 2п-периодическое решение X = ^0(t) = (cos t; sin t)T при всех р.
Применим для исследования системы (65) вышеприведенную схему. Отметим, что условия P1) и P2) для нее выполнены.
Матрица A(t, р) в рассматриваемом примере имеет вид
A(t ) { (1 — р) cos2t — 1 + (1 — р) sin t cos t
( , р) у 1 + (1 — р) sin t cos t (1 — р) sin21
Обозначим через V(р) оператор сдвига линейной системы х; = A(t, р)х за время от 0 до 2п. Оператор V(р) при всех р имеет собственное значение 1, при этом собственным является вектор е0 = ^0(0) = (0; 1)T. При р = р0 = 1 оператор V(р) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Кроме вектора е0, для оператора V(р0) собственным является вектор ei = (1; 0)T. Вектор $1 совпадает с вектором ei.
Непосредственным вычислением можно убедиться, что в нашем примере число А из теоремы 19 равно —2п. Следовательно, значение р = 1 является точкой бифуркации периодических решений системы (65).
В этом можно убедиться и непосредственно. Действительно, наряду с решением ^0 (t) система (65) имеет также решение ^i(t, р) = (р cost; р sin t)T, совпадающее с ^0(t) при р = 1. В данном примере происходит бифуркация, аналогичная транскритической. При р < 1 цикл ^0(t) является устойчивым, а цикл ^i (t, р) — неустойчивым. При р > 1 цикл ^i (t, р) становится устойчивым, а цикл ^0(t) — неустойчивым.
5. Доказательства основных утверждений Доказательство теоремы 8.
В основу доказательства теоремы 8 положим метод функционализации параметра [13], [14] и модифицированный метод Ньютона-Канторовича с возмущениями [15].
На первом этапе двумерный параметр р = (а, в) в уравнении (19) заменяется вектор-функцией р(х) = (а(х),в(x)), где а = a(x), в = в(x) — некоторые непрерывные функционалы. Тогда уравнение (19) примет вид
x = B[а(х), в(x)]x + b[x, а(х), в(x)], (66)
которое уже не содержит параметров а и в. Если x* является решением уравнения (66),
то оно является решением уравнения (19) при р = р^*).
Функционалы a(x), в(x) выберем в виде
а(х) = а0 + - [(ж, е*) - е\, /3(ж) = (30 + -(ж, #*); (67)
£ £
здесь £ > 0 — вспомогательный малый параметр.
На втором этапе уравнение (66) (при фиксированных значениях параметра £ > 0) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого уравнение (66) представляется в виде
F (x) = G(x) + W (x) = 0, (68)
где G(x) = x — B[a(x), в(x)]x и W(x) = —b[x, a(x), в(x)].
Решения уравнения (68) будем искать в шаре
£
S(e) = {х : ||ж — £е11 ^
Непосредственным подсчетом устанавливается справедливость вспомогательных утверждений.
Лемма 8. Оператор G(x) дифференцируем при любом x G H, и его производная Фреше имеет вид
G'(x)h = h-----[(h, е*)В'а(а(х), ¡3(x)) + (h, g*)В>/3(а(х), ¡3(x))] x — B(a(x), (3(x))h.
Лемма 9. Производная оператора G/(x) при всех малых £ > 0 на шаре S(£) удовлетворяет условию Липшица:
||G/(x) — G/(y) || ^ Le||x — у||, x, у G S(£), где константа Le зависит от £ и не зависит от x, у G S(£).
Положим x0 = £e. Тогда G/(x0) = F, где F — оператор (23). Оператор G/(x0) обратим, и для него верна лемма 3. Положим Г0 = [G/(x0)]-1 (см. равенство (24)).
Приведенные вспомогательные утверждения означают, что для уравнения (68) выполняются все условия сходимости метода Ньютона-Канторовича, следовательно верна
Лемма 10. Пусть оператор B0 = B(а0,в0) имеет полупростое собственное значение
1 кратности 2 и пусть выполнено условие (21). Тогда при всех малых е > 0 уравнение (68) имеет решение х(е) G S(е), которое может быть получено как предел последовательных приближений
Xn+1 = - roG(x„) - ToW(xn), n = 0,1, 2,... (69)
Из приведенных построений следует, что уравнение (19) при а = а[х(е)] и в = в[х(е)]
имеет ненулевые решения х(е), так что ||х(е) — ее|| = о(е), а[х(е)] ^ а0, в [х(е)] ^ в0 при
е ^ 0. Отсюда получим справедливость теоремы 8.
Доказательство теоремы 9.
Пусть выполнено (2). Для доказательства теоремы 9 используется тот факт, что каждая итерация в (69) определяет соответствующую асимптотику для бифурцирующих решений уравнения (68).
Из (69) имеем
х1 = х0 — r0F(х0) = х0 — Г0(х0 — B(а05 в0)х0 — b2(х0J а05 в0) — b3 (х0, а05 в0)) =
= ее + £2Г0&2 + е3Г Ьз + о(е3).
Отсюда
х(е) = ее + е2Г0&2 + 0(е3); (70)
тогда ei = Г0&2.
Подставляя (70) в функционалы (67), получим
ск[х(е)] = ско Н—[(х(е), е*) — е] = o¡o Н—[(ее + е2Го&2 0(е3), е*) — е] =
ее
= а0 + е(Г^2, е*) + 0(е2),
/?[х(е)] = Ро Н—(х(е), <jf*) = Ро Н—(ее + е2Го&2 0(е3), g*') =
ее
= в0 + g*) + 0(е2).
Следовательно,
а1 = (Г0b2,e*) = J1(b2), в1 = (Г0Ь2, g*) = J2(b2).
Здесь Г0 — оператор (24). При доказательстве используются также обозначения (25) и (26). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 400 с.
2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 560 с.
3. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем, с обзором последних достижений. М.: МЦНМО. 2005. 464 с.
4. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. 1985. 280 с.
5. Yu.A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Applied Mathematical Sciences (V.112), Springer-Verlag, New-York etc.. 1995.
6. Ибрагимова Л.С, Юмагулов М.Г. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем, // Автоматика и телемеханика. 2007. № 4. С.
3-12.
7. Юмагулов М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах // Доклады Академии наук. 2009. Т. 424, № 2. C. 177-180.
8. Юмагулов М.Г., Вышинский А.А., Нуров И.Д., Муртазина С.А. Операторный метод исследования локальных бифуркаций многопараметрических динамических систем, // Вестник Санкт-Петербургского госуниверситета. Серия 10 (Прикладная математика, информатика, процессы управления). 2009. Вып. 2. C. 146-155.
9. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация 4п-периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрономический журнал. 2009, Т. 86, № 2. С. 170-174.
10. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравненийю М.: Наука. 1966. 332 с.
11. Шильников Л.П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.
12. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС. 2004.
13. Козякин В.С., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Доклады АН СССР. 1980. Т. 254. № 5. С. 1061-1064.
14. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975. 511 с.
15. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближённое решение операторных уравнений. М.: Наука. 1969. 456 с.
Александр Алексеевич Вышинский,
Сибайский институт (филиал) Башкирского госудаственного университета, ул. Белова, 21,
453837, г. Сибай, Россия E-mail: [email protected]
Лилия Сунагатовна Ибрагимова,
Башкирский государственный аграрный университет, ул. 50-летия Октября, 34,
450001, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
Сария Аширафовна Муртазина,
Сибайский институт (филиал) Башкирского госудаственного университета, ул. Белова, 21,
453837, г. Сибай, Россия E-mail: [email protected]
Марат Гаязович Юмагулов,
Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,
450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
