Бифуркации вынужденных колебании в системах автоматического регулирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.995

БИФУРКАЦИИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

© С. А. Муртазина

Ключевые слова: бифуркация; вынужденные колебания.

Аннотация: Рассматривается задача о локальных бифуркациях вынужденных колебаний двупараметрических систем автоматического регулирования. Получен новый достаточный признак бифуркации, а также предложена итерационная схема приближенного исследования бифуркации.

Рассматривается система автоматического регулирования, описываемая уравнением вида

(] (]

Цш,\)х = м (-\)Цх,г,\), (1)

где А - скалярный или векторный параметр, операторные многочлены Ь(р,Х), М(р,А) с вещественными коэффициентами степени п и т соответственно (п > т), гладко зависящими от параметра А. Пусть функция / (х^, А) представима в виде /(х^, А) = с(А)х + е(х^, А), в котором Т-периодическая по I нелинейность е(х, I, А) является гладкой по х и А, непрерывна по I, причем \е(х, А)| = о(|х|) при \х\ — 0.

Система (1) при всех значениях А имеет нулевое положение равновесия х = 0, в окрестности которой иод действием вынуждающей силы /(х^, А) возможны различные локальные бифурка-

Т

кация вынужденных колебаний), ненулевых периодических колебаний периода кТ при к > 1 (бифуркация субгармонических колебаний), почти периодических колебаний и др. В настоящей статье рассматривается задача о возникновении в системе (1) вынужденных колебаний периода Т

Значение Ао параметра А называется [2] точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (1), если при переходе через данное значение у системы (1) возникают или исчезают малые по

Т

2п

Положим и = Т' Пусть выполнены условия:

и 1. Ь(±иг, Ао) — с(Ао)М(±иг, Ао) = 0, Ь(±икг, Ао) — с(Ао)М(±икг, Ао) = 0 (к = 1). и 2. Ь(±икг,Ао) =0, к = 0,1, 2...

Соответствующая бифуркация вынужденных колебаний имеет коразмерность равную двум и, следовательно, чтобы бифуркация была типичной, уравнение (1) должно зависеть от двух параметров. Пусть А = (а, в).

Положим т = Ш(иг, Ао), £ = (иг, Ао), п = (—иг, Ао); здесь Ш(р, А) = ———— переда-

^(Р, А)

точная функция линейного звена системы (1).

Теорема 1. Пусть выполнены условия III, 112 и

с(Ао)1т [с(Ао)£п + с'а(Ао)тп + св(Ао)£т] = 0.

Тогда, Ао = (ао,во) - точка бифуркации вынужденных колебаний системы (1).

Систему (1) можно (различными способами) записать в виде равносильной системы

х = А(А)г + ”//(г, t,А), г Е Еп, (2)

где Y E ^-фиксированный вектор.

Пусть U(z, X) - оператор сдвига за время от 0 до T по траекториям системы (2). Задача о бифуркации вынужденных колебаний системы (1) равносильна задаче о бифуркации малых ненулевых решений операторного уравнения z = U(z, X), которую можно представить в виде

z = B(X)z + b(z,X), z E Rn, (3)

где B(X) - оператор сдвига [2j за время от 0 до T доя линейной системы z' = A(X)z. Нелинейный

b(z, X)

lim sup = о, sup \b(zi,X) — b(z2,X)\ ^ e(p) |zi - z2 |, |zi|, |z21 ^ p,

l^l^0 |Л-Л0|<1 \z\ |Л-Л0|<1

для некоторой функции e(p) такой, что e(p) ^ 0 при p ^ 0.

Приведем общую схему исследования бифуркации в двупараметрических операторных уравнениях вида (3), приводящую к асимптотическим формулам.

Пусть е E Rn - некоторый вектор; значение Хо назовем правильной точкой бифуркации уравнения (3) по направлению вектора е, если при любом е > 0 существует значение параметра X = Х£ : ||Х£ — ХоII < е, ПРИ котором уравнение (3) имеет ненулевое решение z£ так, что \\ze — ее\\ = = о(е) при е ^ 0 Векторы z£ и значенпя Х£ назовем бифурцирующимп решениями уравнения (3). _

Условие U1 эквивалентно тому, что 1 является полупростым собственным значением оператора В(Хо) кратности 2. Пусть е и д линейно независимые собственные векторы оператора В(Хо), отвечающие собственному значению 1. Сопряженный оператор В*(Хо) также имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2, которому отвечают собственные векторы е*, д*.

(В'а (Хо)е,е*) (B'ß (Хо)е,е*) 1

L (В'а(Хо)е,д*) (Bß(Хо)е,д*) _

малых решений уравнения (3).

В основе схемы построения бифурцирующих решений уравнения (3) положим метод функци-онализации параметра.

На первом этапе рассматривается функционализированное уравнение

z = В[a(z), ß(z)]z + b[z, a(z), ß(z)], (4)

где a(z) и ß(z) - непрерывные функционалы, которые предлагается выбрать в виде a(z) = ао +

+ 1 [(z, е*) — е] , ß(z) = ßo + 1 (z,g*); е > 0 - вспомогательный малый параметр.

На втором этапе уравнение (4) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого (4) пред-СТеШЛЯбТСЯ в виде

G(z) + W(z) = 0, G(z) = z — В[a(z), ß(z)]x, W(z) = —b[z,a(z),ß(z)]. (5)

Операторы G и W действуют в пространстве Rn и зависят от параметра е > 0.

Положим zo = ее; из условии теоремы 2 следует, что существует ограниченный оператор Го = = [G'(zo)]-1, при этом оператор Го не зависит от е. Для оиератopa Го может быть получено явное представление из формулы, определяющей оператор G'^)-

е

Теорема 3. При всех достаточно малых е > 0 уравнение (5) имеет, в шаре Б^о, 4) решение xs, которое может, быть получено как предел последовательных приближений

zn+i = zn — ГoG(zn) — ToW(zn), n = 0,1, 2,...

Теорема 3 позволяет получить асимптотические формулы для бифурцирующих решений уравнения (3).

Теорема 2. Пуст ь det

= 0. Тогда, Хо - точка бифуркации

ЛИТЕРАТУРА

1. Гукенхеймер Док., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

2. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. 329 с.

Abstract: In this paper we consider the local bifurcations’ problem of two-parametric control sistems’ forced oscillations. The new sufficient feature of bifurcation is received and the iterative scheme of aproximate investigation of bifurcation proposed in the article.

Keywords: bifurcation; forced oscillations.

Муртазина Сария Аширафовна старший преподаватель Сибайский институт БГУ Россия, Башкортостан, Сибай e-mail: [email protected]

УДК 517.93

ЛОКАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

© Н. Г. Павлова

Ключевые слова: локальная управляемость; управляемая система; система уравнений в вариациях; условие 2-регулярности.

Аннотация: Рассматривается управляемая динамическая импульсная система. В предположении, что в нефиксированном допустимом управлении выполнено условие 2-регулярности, доказана локальная управляемость этой системы.

Рассматривается управляемая система

йх(Ь) = /(х({),п({)^)М + С({)й^{Ь), t Е [^^2], (1)

х^\) = х\, ц Е К. (2)

Все функции, определяющие задачу, достаточно гладкие. К — множество всех к- мерных бо-

релевских мер таких, что ц(В) С К для любого борелевского множества В, где К — заданный

острый выпуклый замкнутый конус. В качестве класса допустимых управлений рассматривается множество пар (и,ц): ц Е К, и Е Ь™^\^2].

Фиксируем допустимое управление (и(-),^(-)).

Sariya Murtazina senior teacher Sibai Institute of BSU Russia, Bashkortostan, Sibai e-mail: [email protected]