Операторный подход исследования некоторых задач многопараметрических бифуркаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004. 176 с.

2. Провоторов В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде // Математический сборник. 2008. Т. 199. № 10. С. 105-126.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Volkova A.S. Generalized solution of the wave equation on a graph. We consider the generalized solution of the wave equation on a graph-star. Such a solution is determined by using an integral identity, which would replace him equation, initial and boundary conditions. It states the functional space in which the expected finding of generalized solutions, and formulate the conditions on the problem (on the functions of the boundary conditions), consisting in the fact that the chosen space preserved the uniqueness theorem.

Key words: wave equation on a graph-star; uniqueness of generalized solutions.

Волкова Анна Сергеевна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант, e-mail: [email protected].

УДК 517.938

ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ БИФУРКАЦИЙ

© А.А. Вышинский

Ключевые слова: динамические системы; бифуркации; достаточные признаки бифуркаций.

В работе представлены некоторые результаты исследования задач бифуркации динамических систем, зависящих от многих параметров. Рассмотрен случай неполупростого собственного значения линейного оператора исследуемого уравнения. Предложены схема построения бифурцирующих решений и достаточный признак бифуркации.

Функционирование динамических систем, как правило, зависит от различных внешних и внутренних параметров. Особый интерес представляют те значения параметров, при которых качественно изменяется поведение системы. В математической постановке таким значениям параметров соответствуют точки бифуркации [1].

Рассмотрим операторное уравнение

х = В(ц)х + Ь(х,ц), х е Н, ц е Ек, (1)

где ц — векторный параметр, линейный оператор В(ц) : Н ^ Н является вполне непре-Н

нейный вполне непрерывный оператор Ь(х, ц) удовлетворяет соотношениям:

_ ||Ь(х,ц)||

Иш вир " , " = 0,

НЖН^° ||^—/ио||^1 ||х||

sup \\Ь(ж,н) — Ь(у,н)\\ < е(р) Уж - y\\, ||ж||, ||y\| < р,

\\^—Мо\|

ДЛЯ некоторой функции е(р) ТаКОЙ, что е(р) ^ 0 при р ^ 0.

Значение но называют точкой бифуркации уравнения (1), если для любого е > 0 существует н = н(е) такое, что при н = н(е) уравнение (1) имеет ненулевое решение ж(е) , при ЭТОМ ||ж(е)|| ^ 0 И ц(е) ^ Но при е ^ 0.

Уравнение (1) при всех н имеет нулевое решение ж = 0. Если оператор В(но) не имеет собственное значение 1, то из теоремы о неявной функции следует, что при некотором 6о > 0 доя всех н близких к Но уравнение (1) не имеет в шаре S(0,£о) ненулевых решений. Поэтому точки бифуркации уравнения (1) следует искать лишь среди таких но , при которых оператор В(но) имеет собственное значение 1.

Различные задачи о бифуркациях могут приводить к разным операторным уравнениям, Н

общей теории, оператор В (но) имеет простое собственное значение 1. Если операторное уравнение (1) имеет к параметров, то, исходя из коразмерности бифуркации, оператор В (но) имеет собственное значение 1 кратности к. Здесь также возможны варианты, когда собственное значение 1 является полупростым или неполупростым. Случай с полупростым собственным значением 1 изложен, например, в [2]. В настоящей работе рассмотрим случай кратного собственного значения 1 оператора В (но) , не являющегося полупростым. Для простоты опишем ситуацию с двумя параметрами.

Рассмотрим уравнение (1) при к = 2 :

ж = В(а,в)х + Ь(ж,а,в), ж £ H, а, в £ R. (2)

Пусть оператор Во = В(ао,во) имеет неполупростое собственное значение 1 кратности 2. Этого условия еще недостаточно для того, чтобы пара (ао, во) была точкой бифуркации. Рассмотрим вопрос о достаточных признаках бифуркации, а также о способах построения бифурцирущих решений.

Пусть е — собственный вектор Во, д — присоединенный вектор: Вое = е, Вод = g + е. Сопряженный оператор В* также имеет собственное значение 1 кратности 2, которому отвечают собственный и присоединенный векторы е* и д* : В*е* = е* , В*д* = д* + е*. Эти векторы можно выбрать исходя из соотношений: (е, е*) = (д,д*) = 0 ,

(е,д*) = (д,е*) = 1

В основе схемы построения бифурцирующих решений уравнения (2) положим метод функционализации параметра.

На первом этапе рассматривается функционализированное уравнение

ж = В(а(ж),в(ж))ж + Ь(ж, а(ж),в(ж)), (3)

где а(ж) и в(ж) — непрерывные функционалы, которые предлагается выбрать в виде а(ж) = ао + 1 (ж,е*) , в (ж) = во + 1 ((ж,д*) — е). Здесь е > 0 — вспомогательный маж* ж*

а = а(ж*) и в = в (ж*).

На втором этапе уравнение (3) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого (3) представляется в виде

С(ж) + W (ж) = 0, (4)

где С(ж) = ж — В(а(ж),в(ж))ж, W(ж) = —Ь^ж^^)^^)). Положим жо = ее; оператор G(ж) дифференцируем по Фреше в окрестности вектора жо.

Пусть выполнено условие

det

{В'а (ао,во)е,д*) + 1 {В'р (ао,во )е,д*

{В'а (ао,во)е,е*) В (ао,во)е,е*

= 0. (5)

Из условия (5) следует, что существует ограниченный оператор Го = [С;(жо)]-1 : H ^ ^ H , при этом оператор Го не зависит от е.

Условие (5) является также достаточным условием того, что пара (ао,во) является

точкой бифуркации уравнения (2).

е

Теорема!.. При всех достаточно малых е > 0 уравнение (4) имеет в ш а,ре S (жо, 4) ж(е)

жп+1 — жп Го&(жп) rW (жп), n — 0, 1, *2, ...

при этом ||ж(е) — ее|| = о(е), а(ж(е)) ^ ао и в{ж(е)) ^ во при е ^ 0.

Доказательство теоремы 1 сводится к проверке достаточных условий сходимости модифицированного метода Ньютона-Канторовича с возмущениями для уравнения (4).

В качестве примера рассмотрим отображение Хенона:

жп+1 = 1 — Аж2п — byn.

yn+1 = жп.

Это отображение было предложено как упрощенная модель динамической системы с непрерывным временем — модели Лоренца. Рассмотрим эту систему в окрестности неподвижной точки ((\J(b + 1)2 + 4А — b — 1)/2А; (\J(b + 1)2 + 4А — b — 1)/2А). Оператор В в этом случае при b = 2 и А = —2 имеет неполупростое собственное значение 1 кратности 2. Собственные и присоединенные векторы операторов Во и В* могут быть выбраны в виде: е = (1, 1) , д = (1, 0^ е* = (1, —1) , д* = (0, 1). Число, определяемое соотношением (5), равно —1, 5 , что означает выполнение достаточного признака бифуркации неподвижных точек. Новые

е.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск, 2000.

2. Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах. Уфимский математический журнал, 2010. Т. 2. № 4. С. 3-26

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Vyshinskiy A.A. Operators method of investigation of studying certain problems of many-parametric bifurcations. In the work there are presented some results of studying the bifurcation of dynamical systems with many parameters. The case of non-semiprime eigenvalue of linear operator is considered. The diagramming of bifurcating solutions is derived as well as the sufficient condition of bifurcation.

Key words: dynamical systems; sufficient conditions of bifurcation.

Вышинский Александр Алексеевич, Сибайский институт (филиал) БашГУ, г. Сибай, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры прикладной математики и информационных технологий, e-mail: [email protected].