Исследование устойчивости вынужденных колебаний в многопараметрических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Molchanov V.F. Delta functions on spaces of polynomials. On the space Vn С L2(-1,1), consisting of polynomials of degree ^ n, the distribution 5(k')(x) is the inner product with some polynomial. We write explicit expressions of it and its norm and find the asymptotic of the norm.

Key words: delta functions; Legendre polynomials; Christoffel-Darboux’ formula.

Молчанов Владимир Федорович, Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, e-mail: [email protected].

УДК 517.995

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

© С.А. Муртазина

Ключевые слова: бифуркация; вынужденные колебания; субгармонические колебания. Рассматривается задача о локальных бифуркациях вынужденных колебаний двупараметрических динамических систем. Предлагается теорема об устойчивости возникающих периодических решений.

Рассмотрим систему, зависящую от двумерного параметра ц = (а, в) и Т -периодической по £ правой частью:

X = (Ао + (а - ао)Ап(£) + (в - во)А12(г))х + а(х, 1,а,в), х е Км. (1)

Положим, что правая часть непрерывна по £ и непрерывно дифференцируема по х и ц; каждое начальное условие х(£о) = хо однозначно задает решение х(1) уравнения (1), определенное при всех а(х, I, ц) равномерно по £ и ^ удовлетворяет соотношению \\а(х,1,ц)\\ = 0(||х||2) при ||х|| ^ 0.

При изменении характера устойчивости нулевого решения в системе (1) возможны различные локальные бифуркации в окрестности решения х = 0. в частности возможно воз-

Т

ненулевых ^Т -периодических решений, д > 1 (бифуркация субгармонических колебаний) и др. Задача о таких бифуркациях изучалась во многих работах [1-3]. В данной работе предлагается схема приближенного исследования бифуркации субгармонических колебаний и приводится теорема об устойчивости возникающих периодических решений. Ниже предполагается выполненным следующее условие:

тт., . ,, . 2пвг

и1) Ао имеет пару простых чисто мнимых собствен пых значений ± т . Здесь

Р

в е (0,1], в рационально, в = — — несократимая дробь, и не имеет других собственных значений на мнимой оси.

Значение Л0 параметра Л назовем точкой бифуркации субгармонических колебаний периода дТ системы (1), если каждому е > 0 соответствует такое л = л(е), при котором система (1) имеет ненулевое дТ -периодическое решение х(Ь, е), причем ц(е) ^ Л0 и тахЦх(Ь, е) || ^ 0 при е ^ 0.

Обозначим через в±гд и в* ±гд* собственные векторы матрпцы А и транспонированной к ней матрицы А* соответственно, отвечающие собственным значениям ± т , которые можно выбрать из соотношений (в, в*) = (д,д*) = 1. (в,д*) = (д,в*) = 0.

Положим,

’ (Х1,в*) (Х2,в*) "

Д = dвtQ, Q = det

ГД6

(Х1,д*) (Х2,д*)

дТ дТ

(2)

Х1 = 1[А0х(г) + Ац(ь)в(ь)] ль, Х2 = !\Аоу(ь) + Аи(ь)в(ь)] ль;

0 0 £ £

=вА0в, х-т = /т = /

00

Теорема 1. Пусть выполнено условие Ш и Д = 0. Тогда ц0 = (а0,в0) является точкой бифуркации субгармонических колебаний периода дТ системы (1).

Всюду ниже будем предполагать, что нелинейность а(х,Ь,л) в уравнении (1) имеет вид а(х,Ь,л) = а2(х,Ь,л) + аз(х,Ь,л). где а2(х, t, л) содержит квадратичные х слагаемые, а аз(х, Ь, л) удовлетворяет соотношению Цаз(х,Ь, л)|| = 0(||х||3) и при ||х|| ^0 равномерно

ПО t И [Л.

Теорема 2. Существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие ре шения х(Ь, е) системы (1) и соответствующие значения параметра л(е) = (а(е),в(е)) вычисляются по формулам:

х(Ь, е) = ев(Ь) + е‘2в1(Ь) + о(е2), а(е) = а0 + еа1 + о(е), /3(е) = /30 + е@1 + о(е).

Здесь в(Ь) = вА0в. в1(Ь) - решение задачи Коши

х' = А0х + (а1Ап(Ь) + @1А12^)) в(Ь) + а2 {в(Ь),Ь,л) х(0) = в1

ГД6

г дТ

в1 = Г0У2 , а1 = .1а(У2), в1 = Лр(У2), У2 = вЛ°дТ в~Л0а2(в(Ь),Ь, Л0) ЛЬ;

0

Г0 —действующий в оператор:

Г0У2 = Ла(У2)в + (У2)д + (I - вЛ°дТ)-1(У2 + ЛаЫ^Ь) + .]0(У2)у(Ь)) ,

где -1а(у2) и Лр(у2) определяются из равенства (Ла(у2),Лр(у2))Т = —Q~\(у2,в*), (у2,д*))Т; здесь Q — матрица из формулы (2).

Рассмотрим вопрос об устойчивости бифурцирующих решений х(Ь,е) системы (1) при Л = Л(е) . А0

вещественную часть, то бифурцирующие решения системы (1) неустойчивы при всех малых е > 0. Пусть выполнено Ш. Предположим, что все остальные собственные значения А0 имеют отрицательные вещественные части. Обозначим: О = Р0А0Р0. где Р0 — оператор проектирования в собственное подпространство Е0, отвечающее собственным значениям

; В° = - Do; Q(t) = e Dot (aiAn(t) + PiAi2(t))+ a'2x(e(t),t, цо)) eDot — ограничен-

ная и qT-периодическая no t матрица, где a2x(x,t,y>) —матрица Якоби вектор-функции a2(x,t,у).

Пусть S — постоянная матрица, удовлетворяющая равенству

qT qT

J e-BoTSeBoTdr = J e-BoTQ(t)eBoTdr.

оо

Обозначим через А^ и а2^ собственные значения матрицы P0SP0.

Теорема 3. Пусть А^ < 0 и А^ < 0 . Тогда при всех малых е > 0 бифурцирующие решения x(t, е), возникающие при условиях теоремы 1, устойчивы. Если же хотя бы одно из чисел А^, А^ является положительным, то эти решения при всех малых е > 0 неустойчивы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гукенхеймер Док., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

3. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 288 с.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Murtazina S.A. Study of the stability of many-parametric dynamic systems forced oscillations. The local bifurcation problem for forced oscillations of two-parameter dynamic system is considered. The theorem on stability of periodic solutions is proposed.

Key words: bifurcation; forced oscillations; subharmonic oscillations.

Муртазина Сария Аширафовна, Сибайский институт (филиал) БашГУ, г. Сибай, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры прикладной математики и информационных технологий, e-mail: [email protected].

УДК 517.911.5

ТЕОРЕМЫ ОБ АППРОКСИМАЦИИ И РЕЛАКСАЦИИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ © В.И. Новицкий

Ключевые слова: дифференциальное включение; аппроксимация Иосиды; односторонние условия Липшица; релаксация.

В работе получена оценка для множеств решений дифференциального включения с помощью аппроксимаций Иосиды. Рассматриваются вопросы существования решения для дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Приводится теорема о плотности множества решений, а также устанавливается связь между множествами решений исходного и аппроксимирующего включения.