Метод малого параметра в задаче построения непрерывных ветвей бифуркационных решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА В ЗАДАЧЕ ПОСТРОЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ВЕТВЕЙ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ

© Г. Р. Абушахмина

Башкирский государственный медицинский университет Министерства здравоохранения Российской Федерации Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, ул. Пушкина, 96/98.

Email: [email protected]

В работе рассматриваются нелинейные автономные дифференциальные уравнения, зависящие от параметров. Обсуждается вопрос о построении непрерывных ветвей бифуркационных решений в окрестности негиперболических точек равновесия. Рассмотрены основные сценарии бифуркации: бифуркация двукратного равновесия и бифуркация Андронова-Хопфа. Получены приближенные формулы для бифуркационных решений и новые признаки их устойчивости. Предложенная схема основана на новом операторном подходе, использующем методы малого параметра и топологический метод. В качестве приложения рассмотрена система Лэнгфорда.

Ключевые слова: метод малого параметра, нелинейные дифференциальные уравнения, транскритическая бифуркация, бифуркация типа вилки, бифуркация Андронова-Хопфа, ветвь бифурцирующих решений.

1. Введение

Рассматривается нелинейное автономное дифференциальное уравнение

х' = А(р.)х + а(х,ц), хЕЯм, , (1)

где А(р) - квадратная матрица размерности N х N, нелинейность а(х, ^)представима в виде

а(х,у) = а2(х,у) + а3(х,у) + а4(х(2) где а2 (х, ц.), а3 (х, ц) - содержат квадратичные и кубические слагаемые по х, соответственно, а нелинейность а4(х,у.) удовлетворяет соотношению ||а4(х,^)|| = 0(||х||4), ||х|| ^ 0. Предполагается, что элементы матрицы А(р.) и вектор-функ-цииа(х,^) имеют производные по хи ^ любых порядков.

Уравнение (1) имеет нулевое решение х = 0 при всех ц.. Предполагается, что при ц. = ц.0 это решение является негиперболическим, т.е. матрица А(р.0) имеет чисто мнимые собственные значения. Тогда ц.0 - точка бифуркации уравнения (1) в окрестности решения х = 0. Здесь возможны различные сценарии бифуркации [1-4]. Если матрица А(р0) имеет собственное значение 0, то основным является сценарий возникновения новых точек равновесия (бифуркация двукратного равновесия): транскритическая бифуркация или бифуркация типа вилки. Если матрица А(р.0) имеет собственные значения ±ш0, то ^0 является точкой бифуркации Андронова-Хопфа, при которой возникают нестационарные периодические решения.

Как правило, при бифуркации возникающие решения образуют непрерывные (по параметру ц.) ветви. Вопрос о построении непрерывных ветвей является одним из основных в теории локальных бифуркаций. Существуют различные методы построения непрерывных ветвей [1], [4-8]: метод малого параметра, методы теории ветвления, топологические методы, метод функционализации параметра и дру-

гие. Как правило, эти методы направлены на исследование конкретных сценариев бифуркации, при этом часто их применение требует предварительно существенного преобразования исходных уравнений.

В настоящей статье предложена общая операторная схема построения непрерывных ветвей бифуркационных решений, основанная на методе малого параметра, для одно- и двупараметрических задач, применяемая для исследования различных сценариев бифуркации. Получены приближенные формулы для непрерывных ветвей бифуркационных решений, доказана их единственность, изучена устойчивость решений. Полученные результаты носят общий характер: они применяются для исследования основных сценариев бифуркаций в динамических системах.

Полученные результаты в естественном смысле примыкают к работам [1] и [8] (а также, связанным с ними работами [9-11]), в которых изучены некоторые сценарии бифуркаций и получены аналогичные формулы для бифуркационных решений. Отличие от [1] состоит в том, что хотя в [1] в качестве основного также используется метод малого параметра, но в ней, во-первых, изучается только бифуркация Андронова-Хопфа, во-вторых, этот метод применяется непосредственно к дифференциальным уравнениям, при этом предварительно существенно преобразованных (переход на центральное многообразие, использование нормальных форм Пуанкаре).

Отличие от [8] состоит в том, что, во-первых, в [8] основные результаты получены на основе топологических методов и, в частности, метода функци-онализации параметра, а в настоящей работе осно-выне результаты получены на основе метода малого параметра, что позволило получить аналогичные формулы более просто и эффективно. Во-вторых, предложенная схема позволяет более детально изу-

чить свойства бифуркационных решений: непрерывность по параметру, характер устойчивости. Наконец, в-третьих, полученные в настоящей работе формулы, в отличие от [8], носят общий характер: они применимы для исследования различных сценариев бифуркаций.

2. Основные результаты Задача о бифуркации двукратного равновесия. Пусть сначала матрица А(р.0) имеет простое собственное значение 0. В этом случае основными сценариями являются транскритическая бифуркация и бифуркация типа вилки [3], [8]. Коразмерность таких бифуркаций равна одному, поэтому естественно считать, что параметр ^ является скалярным. Так как указанные бифуркации связаны с возникновением новых точек равновесия у системы (1), то для исследования бифуркации можно перейти к операторному уравнению

А(р)х + а(х, р) = 0. (3)

Уравнение (3) нам удобно представить в виде х = В(р)х + а(х,р), (4)

где В(р.)х = I + А(р).

Так как А(р.0) имеет простое собственное значение 0, то матрица В(р.0) имеет простое собственное значение 1. Обозначим через е- собственный вектор матрицы В(р.0), отвечающий собственному значению 1, а через д - собственный вектор сопряженной матрицы В*(р.0). При этом векторы е и д можно выбрать исходя из соотношений ||е|| = 1,

(е,д) = 1.

Достаточный признак бифуркации двукратного равновесия обычно [2], [8] записывается в виде (В'(м0)е,д)Ф0. (5)

При этом сценарий бифуркации определяется свойствами нелинейности (2). А именно, если выполнено условие

(а2(е,Ц0),д) = 0, (6)

то имеет место сценарий транскритической бифуркации, если же

(а2(е,^о),3) = 0, (а3(е,^0),д) Ф 0, то имеет место сценария бифуркации типа вилка.

При транскритической бифуркации возникающие решения существуют и при ц < и при ц> а при бифуркации типа вилка возникающие решения существуют либо при ц. < ц.0, либо при ц.> ц.0.

Ограничимся здесь рассмотрением сценария транскритической бифуркации. Сценарий бифуркации типа вилка может быть исследован по аналогичной схеме. Известно следующее утверждение [8]:

Теорема 1. Пусть матрица А(р.0) имеет простое собственное значение 0 и выполнены условия (5) и (6). Тогда ^0 - точка транскритической бифуркации: уравнение (1) имеет единственную непрерывную ветвь точек равновесия х = х(р), определенную в некотором интервале ^ Е (р.0 — 61, ^0 + 5±) и отвечающую условиям: х(р.0) = 0, х(р) Ф 0 при ц Ф ^0.

Здесь выражение «единственная непрерывная ветвь» означает следующее. Функция х(м)непре-рывна, при этом существуют ^ и 52 >0 такие, что для каждого ц.* Е (р.0 — + 31), ц.* Ф ц.0 единственной ненулевой точкой равновесия системы (1), лежащей в 82 -окрестности точки х = 0, является точка X* = х(р1*).

Рассмотрим вопрос о построении непрерывной ветви х = х(ц)в условиях теоремы 1. Для простоты будем считать, что нелинейность а(х,ц) в уравнении (1) является квадратичной, т.е. а(х,ц) = а.2(х,ц.).

Положим

В0=ВМ, В' = В\р(цо), в" = В" цц&оХ а2 = а2(е,^о). (7)

Определим действующий в оператор проектирования Р0х = (х, д)ена собственное подпространство В0, отвечающий собственному значению 1.

Очевидна

Лемма 1. Оператор I — В0 + Р0: И" ^ И"об-

ратим.

Обозначим

Г=(1-В0 + Р0)-\

ßi =

(а2,д) (В'е,дУ

(8)

е1 = Г(а2 + ^1В'е); знаменатель в (8) не равен нулю в силу условия (5). Положим далее

а2 = а2х(е,^о)е1 + а2^(е,ц0)ц1, (9)

^{В'е^+^^В'' е,д) + (а2,д) =--2-;-, (10)

е2 = Г (а'2 + ^В'в1 + е + ^2В'е). (11) Теорема 2. Пусть нелинейность (2) является квадратичной: а(х,ц) = а2(х,ц). Тогда существующие в условиях теоремы 1 решения х(р.)уравнения (4) могут быть в параметрическом виде представлены формулами

(х(е) = ее + е2е1 + е3е2 + 0(е4), 1р(е) = ^0 + £^1 + £2^2 + О(£3), ( где £ - вспомогательный параметр. Доказательство теоремы 2 и других утверждений приводятся в конце статьи.

В качестве приложения формул (12) рассмотрим задачу об устойчивости возникающих решений в условиях теоремы 2.

Уравнение (1) имеет постоянное решение х = х(е)при^ = р(е).

Обозначим через Р' - матрицу Якоби правой части уравнения (1) при х = х(е)при^ = р(£). Прямым подсчетом устанавливается, что верно равенство:

Р' = А(р(£)) + а'2х(х(е),р(£)) = А(^0) +

+ а2х(е,^о)) + 0(£2). Из [9] следует, что матрица Р' при малых е имеет простое собственное значение вида Л(е) =

А^ + 0(£2), где Л1 = + а2х(е,/и0))е,д).

Пусть матрица .Д(и0)имеет простое собственное значение 0, а остальные ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части.

Теорема 3. Пусть Л1 < 0(А! > 0). Тогда существующие в условиях теоремы 2 решения х(е) устойчивы (неустойчивы) при малых £.

Справедливость этой теоремы следует из общей теории устойчивости стационарных решений дифференциальных уравнений по первому приближению [2].

2.1. Задача о бифуркации Андронова-Хопфа

Пусть теперь матрица А(р.0) имеет простые собственные значения ±ím0 . В этом случае основным является сценарий бифуркации Андронова-Хопфа, т.е. у системы (1) возможно возникновение периодических колебаний малой амплитуды с периодом Т, близким к Т0 = —.

ш0

Будем говорить, что (р0, Т0) является точкой бифуркации Андронова-Хопфа системы (1), если существуют непрерывные функции р = ц(е)и Т = Т(е), определенные при малых |е|, при этом для р = р(е) система (1) имеет нестационарное Г(е)-перио-дическое решение х = x(t, е), непрерывно зависящее от е: x(t, 0) = 0, Т(0) = Т0, ц(0) = ц0.

Так как матрица А(р0) имеет собственные значения ±ш0, то транспонированная матрица А*(р.0) также имеет собственные значения ±ш0. Обозначим через е, д, е*, д* - соответствующие собственные векторы матриц А(р.0), А*(р.0). Они могут быть выбраны в соответствии с условиями (е,е*) = (д,д*) = 1, (е,д*) = (д,е*) = 0.

Положим В(р,Т) = eTAW, А0 = А(р0), В^ =

(етлму

Вт = Апет°А°.

Р = Р0

Известен следующий признак бифуркации Андронова-Хопфа [8].

Положим

У1 = (А'^е, е") + (А'д, д"), У2 = (Л'^е,д") —

Теорема 4. Пусть матрица А(р.0)имеет простые собственные значения ±ш0 и у1 Ф 0. Тогда (р.0,Т0)является точкой бифуркации Андронова-Хопфа.

Обозначим В0 = В (р0,Т0),

Ъ2 = Т0 ¡1етоАо(1-)а2(етоАо*е,^0)й5, (13) Ь3 =

= Т2 J (eT°A°(1-s)a'2 (eT°A°se,p0) Т0 Jl eT°A°(1-s)a3 (eT°A°se, p0)ds.

_ Шо(Ь3,е*) ^ _ (ЬзУ^Б'еУ)

l¿2 =--, '2 =--. (14)

^2 2Yl 2 2Yl 17

Определим оператор Р0у = (у, е*)е + (у, д*)д.

Лемма 2. Оператор I — В0 + Р0: И14 ^ обратим.

Пусть

Г = (1-В0+ Р0)-1.

Положим

е1 = ГЪ2. (15)

Теорема 5. Пусть в условиях теоремы 3 выполнено соотношение р2 Ф 0. Тогда существует 80 > 0 такое, что если р2 > 0(р2 < 0), то уравнение (1) при р Е [р0,р0 + 80)(ц Е (р.0 — 80,р0])имеет единственную непрерывную ветвь Т(р.)-периодических решений х = х(Ь,р), отвечающих условиям: х(Ь,р0) = 0, х(Ь,р) Ф 0при р Ф р0, Т(р0) = Т0. При этом функции у(р) = х(0,р)и Т(р.)могут быть представлены в параметрическом виде

(у(£) = £е + е2е1 + 0(е3), \р_(£)=^0 + £2^2 + 0(£4), J(e) = Т0 + £2Т2 + 0(е4),

(16)

где е- вспомогательный параметр.

Здесь выражение «единственная непрерывная ветвь» означает следующее. Функция х(Ь, ^непрерывна по^, при этом существуют 81 и 82> 0такие, что для каждого Е (^ — Ы^* Е ^ + 51), ц* Ф ц0), единственным нестационарным периодическим решением системы (1), траектория которой лежит в 82 -окрестности точки х = 0, является траектория решения х = х(Ь,р*).

Таким образом, уравнение (1) при ц = р(е) имеет Т (е)-периодическое решение х(Ь, ^)такое, что х(0,р(£)) = у(е).

2.2. Пример

В качестве иллюстрации рассмотрим систему Лэнгфорда[3]:

(У'г = (2^ — 1)У1 —У2+ УlУз, \У2=У1 + (2V — l)У2+У2Уз,

Ы = —^Уз— № + у2 + УИ

Эта система является уравнением вида (1) при \2ц — 1 —1 0

А(м) =

2ц. — 1 0

0

а(у,и) = a2(y,v) =

№

У1У3 У2У3

у2

У 3-1

(17)

Матрица А (р.) при ц. = ^ имеет собственные значения ±ш0, где ш0 = 1, тогда Т0 = 2п. Следовательно, значение р0 = 1 является бифуркационным, при этом ему соответствует бифуркация Андронова-Хопфа.

Бифуркация Андронова-Хопфа будет иметь место в соответствии с теоремой 4, если у1 Ф 0. Здесь у1 = 2п Ф 0, т.е. бифуркация Андронова-Хопфа имеет место.

Далее воспользуемся теоремой 5 для построения приближенных формул.

Для этого вычислим значения е1, ц2, Т2.

Подставим равенства (17) в (13), получим Ь2 =

0 —4п

0 ,ь3 = 0

2е-п. 0

По формуле (15) получим е1 =

0 0

L—2J

Следовательно из (14) получим ^2 = 1, Т2 = 0. Подставляя выражения для ^2, Т2, е1г а также вектор 1

, в формулах (16), получим искомые прибли-

е =

женные формулы. Отметим, что так как ^2 > 0, то бифуркация в системе Лэнгфорда происходит при

. 1 К >2

3. Доказательства основных утверждений

3.1. Доказательство теоремы 2

Бифурцирующие решения х(м)уравнения (4) при ^близких к ^0 будем искать в параметрическом виде (12), е1, е2, ^2 ... - неизвестные величины. Для их определения подставим систему (12) в (4) и разложим соответствующие функции в ряды по степеням е. Имеем

2

В(ц(е)) = В0 + е^В' + +

£3 '

+ £-[13В'"+ ■■■, (18)

а(х(е),ц(е)) = £2а2 + £3а'2 + £4а'2 + •••, (19) где В0, В', В'', а2, а'2 - определены в (7), (9), а для В''', а'' и остальных коэффициентов могут быть получены аналогичные формулы.

Подставим функции (18) и (19) в (4) и приравняем затем коэффициенты при одинаковых степенях е:

е = В0е, (20)

е1 = В0е1 + ^1В' е + а2, (21)

б' = В0е2 + Ц'В' е + ^В' в1 +

(22)

+ \&В' 'е + а'2,

еп = В0еп + цп-1В е +

2, . . ,№п-2, е1, е2, ••• , еп- 1), (23) где [п(^1,^2,..,^п-2,е1, е2, — ,еп-1) - непрерывно-дифференцируемая функция.

Соотношение (20) является верным равенством. Соотношение (21) является уравнением относительно неизвестных е1и Это уравнение имеет вид (I — В0)е1 = а2 + ^1В'еи так как оператор (I — В0) имеет простое нулевое собственное значение, то оно разрешимо тогда и только тогда, когда вектор а2 + ^В'е ортогонален вектору д.

Отсюда, учитывая условие (5), получим формулу (8).

Пусть ^1 выбирается в соответствии с равенством (8). Уравнение (20) имеет бесконечно много решений вида е1 = С1е + е11, где С1 - произвольная константа, е11 - это частное решение, например, можем взять

ец = Г(й' +^В'е).

То, что е11 является частным решением, можно показать прямой подстановкой.

Подставляя е1 = С^е + е11 в уравнение (22) получим формулы (10) и (11):

V2 =

V-i(b' е^+^Кв'' е,д)+(а.2,д)

(В'е,д)

в' = С'в + Г (а2 + Ц-1В'в1 + ^В'' е + ^В'е), где С2 - произвольная константа.

Аналогично изучаются остальные уравнения. Таким образом, уравнения (20)—(23) разрешимы.

Конечно, уравнения (20)—(23) разрешимы не единственным способом, так как в них участвуют константы С1, С2, ... Поэтому возникает вопрос о том, определяют ли уравнения (20)—(23) в параметрической форме (12) единственную функцию х = х(р), удовлетворяющую условиям теоремы 1. В том, что это действительно так, можно убедиться прямым подсчетом. Этот же факт следует из теоремы 1, в которой говорится о существовании единственной непрерывной ветви.

3.2. Доказательство теоремы 4

Для построения Т (ц) -периодических решений перейдем к интегральному уравнению

у = еА(ц)т + т ¡1 еМц)т(1-*)а(х(5),^а5, (24)

где у Е Им, х(Ь) - это решение задачи Коши (х' = А(р)х + а(х,у), { х(0) = у.

Уравнение (24) может быть записано в операторном виде

у = В(м,Т)у + Ь(у,м,Т), (25)

где В(ц,Т) = еА(^т, Ь(у,ц.,Т) =

Лемма 3. Каждое решение у*уравнения (25) является начальным вектором для Т-периодиче-ского решения х(Ь, ¡!)уравнения (1): х(0,ц) = у*.

Малые решения уравнения (25) будем искать в параметрическом виде (16). Для определения неизвестных е1, е2, ц2, Т2в (16), подставим (16) в правую часть (25) и разложим соответствующие функции в ряды по степеням е. Получим

В(^(е),Т(е)) = В0 + е2В0 + +£3(В0 + 2^В;1 + 2Т2В!г) + -, (26) Ь(х(е),р(е),Т(£)) = £2Ъ2 + £3Ь3+£4Ь4 + •, (27)

где Ь2, Ь3определены в (15), для Ь4и остальных коэффициентов могут быть получены аналогичные формулы.

Подставим уравнения (24) и (25) в (23) и приравняем затем коэффициенты при одинаковых степенях е:

е = В0е, (28)

^ = В0в1 + Ъ', (29)

^2 = В0в2 +Ъз+ 2^'В'^е + 2Т2В'те, (30)

еп = В0еп + Рп-^е + Тп-1В'те +

1).(31)

Соотношение (28) является верным равенством. Соотношение (28) является уравнением относительно е1. Это уравнение имеет вид (I — В 0)е1 = Ъ2и так как оператор (I — В0) имеет нулевое собственное значение, то оно разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть Ь2 ортогональна векторам е*и д*.

Положим для удобства Т0 = 2п. Известно, что А0е = —Ш0д, А0д = Ш0в.

Несложно показать, что

(В'те, е*) = 0, (В'те,д*) =

Так как в нелинейности Ъ2 содержатся только функции sin2s, cos2s, sins • coss, несложно показать равенство

(b2,e*) = (b2,g*) = 0.

Уравнение (29) относительно е1имеет бесконечно много решений, а именно решения вида е1 = Сцб + ^120 + ^и, где Сц, С12

- произвольные константы, е11 - произвольное решение уравнения (29). Вектор е11 может быть найден, например, по формуле

ец = ГЬ2.

Подставляя е1 = С11е + С12д + е11 в уравнение (30) получим, что условие разрешимости совпадает с условием (14) и параметры р2 и Т2 вычисляются по формулам (14).

Следовательно, векторы е11, е21имеют вид

ец = Г&2,

е21 = Г(Ь2 + 2р2В'е + 2Т2В'те).

Аналогично изучаются остальные уравнения. Таким образом, все уравнения (28)-(31) разрешимы.

Уравнения (28)-(31) разрешимы не единственным способом, так как в них участвуют константы С11, С12,... Поэтому возникает вопрос о том, определяют ли уравнения (28)-(31) системы (16) в параметрической форме единственную функцию у = у (р.),

удовлетворяющую условиям теоремы 5. В том, что это действительно так, можно убедиться прямым подсчетом. Этот же факт следует из теоремы 5, в которой говорится о существовании единственной непрерывной ветви.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ. 1985. С. 280.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: институт компьютерных исследований. 2002. С. 560.

3. Юмагулов М. Г. Введение в теорию динамических систем: Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань». 2015. С. 272.

4. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2009. С. 548.

5. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., Наука. 1969. С. 529.

6. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука». М. 1975. С. 512.

7. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Ру-тицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М., Наука. 1969. С. 456.

8. Вышинский А. А., Ибрагимова Л. С., Муртазина С. А., Юмагулов М. Г. операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал. Т. 2, №4. 2010. С. 3-26.

9. Красносельский М. А., Юмагулов М. Г. Метод функциона-лизации параметра в проблеме собственных значений // ДАН России. Т. 365, №2. 1999. С. 162-164.

10. Юмагулов М. Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах // Доклады Академии наук. Т. 423, №5. 2008. С. 1-4.

11. Юмагулов М. Г., Матвиенко Н. И. Операторные методы в задаче о признаках бифуркации Андронова-Хопфа // Известия РАЕН, серия МММИУ. Т. 4, №1. 2000. С. 170-198.

Поступила в редакцию 06.09.2016 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2016. T. 21. №3

565

THE METHOD OF A SMALL PARAMETER IN THE PROBLEM OF CONSTRUCTING CONTINUOUS BIFURCATION BRANCHES OF SOLUTIONS

© G. R. Abushahmina

Bashkir State Medical University 96/98 Pushkin St., 450055 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (927) 309 13 11.

Email: [email protected]

In the article, nonlinear autonomous differential equations depending on parameters are considered. It is assumed that all elements of the equation are derivatives of all orders in all respects. Typically, when the bifurcation occurs, the solutions form a continuous branch. The issue of building continuous branches is one of the fundamental in the theory of local bifurcates. The construction of continuous branches of the bifurcation solutions in a neighborhood of a nonhyperbolic equilibrium point is discussed. The main scenarios of bifurcation: bifurcation of double equilibrium (bifurcation or transcritical bifurcation of type fork) and Andronov-Hopf bifurcation with non-stationary periodic solutions are described. The approximate formulas for the bifurcation solutions and new signs of stability are given. The proposed scheme is based on a new operator approach to the construction of continuous bifurcation branches of solutions using the method of small parameter and the topological method that allows studying in detail the properties of bifurcation solutions: the continuity of the parameter, the nature of sustainability. The obtained results can be applied to the studies of the basic scenarios of bifurcations of dynamical systems. The Langford system is considered as an application.

Keywords: method of small parameter, non-linear differential equations, transcritical bifurcation, fork-type bifurcation, Andronov-Hopf bifurcation, branch of bifurcating solutions.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Khessard B., Kazarinov N., Ven I. Teoriya i prilozheniya bifurkatsii rozhdeniya tsikla: Per. s angl. [Theory and applications of bifurcation of the cycle birth: transl. from English]. 1985. Pp. 280.

2. Gukenkheimer Dzh., Kholms F. Nelineinye kolebaniya, dinamicheskie sistemy i bifurkatsii vektornykh polei [Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields]. Moskva-Izhevsk: institut komp'yuternykh issledovanii. 2002. Pp. 560.

3. Yumagulov M. G. Vvedenie v teoriyu dinamicheskikh sistem: Uchebnoe posobie [Introduction to the theory of dynamical systems: textbook]. Saint Petersburg: Izdatel'stvo «Lan'». 2015. Pp. 272.

4. Shil'nikov L. P., Shil'nikov A. L., Turaev D. V., Chua L. Metody kachestvennoi teorii v nelineinoi dinamike. Chast' 2 [Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 2]. M.-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovanii. 2009. Pp. 548.

5. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Teoriya vetvleniya reshenii nelineinykh uravnenii [The theory of branching of solutions of nonlinear equations]. M., Nauka. 1969. Pp. 529.

6. Krasnosel'skii M. A., Zabreiko P. P. Geometricheskie metody nelineinogo analiza [Geometrical methods of nonlinear analysis]. Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoi literatury izdatel'stva «Nauka». M. 1975. Pp. 512.

7. Krasnosel'skii M. A., Vainikko G. M., Zabreiko P. P., Rutitskii Ya. B., Stetsenko V. Ya. Priblizhennoe reshenie operatornykh uravnenii [Approximate solution of operator equations]. M., Nauka. 1969. Pp. 456.

8. Vyshinskii A. A., Ibragimova L. S., Murtazina S. A., Yumagulov M. G. Ufimskii matematicheskii zhurnal. Vol. 2, No. 4. 2010. Pp. 3-26.

9. Krasnosel'skii M. A., Yumagulov M. G. DAN Rossii. Vol. 365, No. 2. 1999. Pp. 162-164.

10. Yumagulov M. G. Doklady Akademii nauk. Vol. 423, No. 5. 2008. Pp. 1-4.

11. Yumagulov M. G., Matvienko N. I. Izvestiya RAEN, seriya MMMIU. Vol. 4, No. 1. 2000. Pp. 170-198.

Received 06.09.2016.