Исследование границ областей устойчивости двупарамерических дифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ДВУПАРАМЕРИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

© И. Ж. Мустафина

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (905) 181 11 93.

Email: fanina84@bk. ru

Рассматриваются дифференциальные уравнения второго порядка, зависящие от двух скалярных параметров. Изучаются вопросы построения границ областей устойчивости точек равновесия в плоскости параметров. Указываются условия, при которых через точку границы области устойчивости проходят одна или несколько гладких граничных кривых. Приводятся схемы определения основных сценариев бифуркаций при переходе параметров через границы областей устойчивости. Определяются типы границ (опасные или безопасные).

Ключевые слова: динамические системы, точка равновесия, устойчивость, область устойчивости, опасные и безопасные границы, бифуркации.

Введение и постановка задачи

В статье рассматриваются вопросы построения и изучения границ областей устойчивости точки равновесия х = 0 периодического дифференциального уравнения второго порядка

х" + а(Ь, а,р)х' + Ъ(Ь, а,р)х = = Г2(х,х',Ь)+Гз(х,х',Ь), хЕЯ1, (1) в котором а и р - скалярные параметры, а функции ^ (и, V, I) и [3 (и, V, I) удовлетворяют равенствам: ¡2 (Ли, Ху, г) = л2Ъ (и, V, 0, ъ (Ли, Ху, г) =

А2(и, V, 0. Предполагается, что функции а(Ь, а, р), Ъ(Ь, а, р), ['2 (и, V, С) и ^ (и, V, С) непрерывно дифференцируемые по совокупности переменных и Т —периодические по £. Будем предполагать также, что функции а(Ь, а,р) и Ъ(Ь, а,р) представимы в виде: а(Ь,а,р) = а0 + (а — а0)а11(Ь) + + (р — р0)а12а) + О ((а — а0)2 + (р — р0)2), Ъ(1,а,р) = Ь0 +(а — а0)Ьц(1) + (р — р^Ъ^Ь) + +О((а — а0)2 + (р — р0)2). Уравнение (1) при всех значениях параметров а и р имеет точку равновесия х = 0, которая при одних значениях параметров может быть устойчивой, а при других - неустойчивой. Множество С в плоскости П параметров (а, Р) будем называть областью устойчивости (областью неустойчивости) точки равновесия х = 0 уравнения (1), если для любого (а,р) Е С точка равновесия х = 0 является устойчивой (неустойчивой). Точку (а0,р0) Е П будем называть граничной точкой области устойчивости С, если в любой ее окрестности содержатся точки как из области устойчивости С, так и из области неустойчивости. Совокупность граничных точек множества С будем называть границей у множества С.

Пусть некоторая точка (а0,р0) Е П является граничной точкой области устойчивости уравнения (1). В этом случае, как правило, через точку (а0,р0) проходят одна или несколько гладких кривых, состоящие из граничных точек. Такие кривые будем называть граничными кривыми. Будем также говорить,

что граничная точка (а0,р0) Е П является регулярной, если через эту точку проходит единственная граничная кривая у0.

При переходе параметров (а,р) через границы областей устойчивости уравнения (1) возможны различные бифуркации. При этом, в зависимости от сценария бифуркации, границы областей устойчивости (или участка границы) принято делить на безопасные и опасные. Следуя Баутину Н. Н. [1] безопасными будем называть такие границы области устойчивости, пересечение которых параметрами системы приводит лишь к малым обратимым изменениям состояния системы; соответственно, опасными будем называть такие границы, пересечение которых параметрами системы приводит к значительным и необратимым изменениям в поведении системы.

Задачи о построении и изучении границ областей устойчивости, об исследовании поведения динамических систем при переходе параметров через эти границы являются важными и интересными задачами теории управления и регулирования, теории динамических систем, теории нелинейных колебаний и их многочисленных приложений. Исследованию таких задач посвящена обширная литература; здесь предложен ряд эффективных методов исследования, решен ряд важных с теоретической и практической точек зрения задач (см. [1-5] и имеющуюся там библиографию). Исследования активно продолжаются в различных направлениях (см., например, [6-8]).

В настоящей работе предлагаются новые формулы для построения и исследования границ областей устойчивости точек равновесия динамических систем. Предлагаемые в статье схемы исследования основаны на модификации метода М.Розо [11], формулах теории возмущений линейных операторов [12] и методах исследования локальных бифуркаций [2, 8, 10-12].

Основные результаты

Очевидна

Теорема 1. Для того, чтобы точка (а0,р0) 6 П была граничной для области устойчивости решения х = 0 уравнения (1) необходимо, чтобы либо а0 > 0 и Ь0 = 0 , либо а0 = 0 и Ь0> 0.

Ясно, что указанное в этой теореме условие не является достаточным, чтобы точка (а0,р0) 6 П была граничной для области устойчивости уравнения (1). Будем рассматривать следующие три основных случая:

10. а0 > 0 и Ъ0 = 0;

20. а0 = 0 и Ь0> 0, причем

жк

Ьо Ф )2, к 6 N1 (2)

Так как ^ + > 0, то уравнение

- т -

30. а0 = 0 и Ь0> 0, причем Ь0 = (-^т)2 при некотором к0 6 N.

Случай 10

Положим = Ъ11(1)й1 и (2 = Ъ12(1)<И.

Теорема 2. Пусть а0> 0 и Ь0 = 0. Пусть ^ + > 0. Тогда точка (а0,р0) 6 П является регулярной граничной точкой области устойчивости решения х = 0 уравнения (1).

Доказательства этой и других основных теорем приводятся в конце статьи.

Таким образом, в условиях теоремы 1 через точку (а0, ^0)проходит единственная граничная кривая у0 области устойчивости решения х = 0 уравнения (1). Приведем схему построения касательной к кривой у0.

^соБф + %2Бтф = 0 (3)

имеет на промежутке 0 < <р <2п в точности два решения; пусть <р = ф0 и <р = <р0 + п - эти решения.

Теорема 3. Параметрически заданная прямая а = а0 + ^соБф0, р = р0 + является каса-

тельной к граничной кривой у0 в точке (а0,р0).

Основными сценариями локальных бифуркаций в окрестности точки равновесия х = 0 уравнения (1) при переходе параметров (а,р) через граничную кривую у0являются транскритическая бифуркация и бифуркация типа вилки (см., например, [9, 13]), означающие возникновение в окрестности точки х = 0 ненулевых точек равновесия. Изучим условия, при которых реализуется тот или иной сценарии бифуркации.

Положим у2 = ^(1,0,£)<И и у3 =

Ниже трансверсальным переходом параметров (а,Р) через граничную кривую у0 вблизи точки (а0, р0) будем называть переход этих параметров через кривую у0 вдоль гладкой кривой уъ которая трансверсально пересекает кривую у0 в точке (а',р'), находящейся в 5 —окрестности точки (а0,р0) при некотором 5 > 0.

Теорема 4. Пусть в условиях теоремы 2 выполнено соотношение: р2 Ф 0. Тогда при трансверсаль-ном переходе параметров (а,р) через граничную

кривую у0 вблизи точки (а0,р0) в уравнении (1) реализуется сценарий транскритической бифуркации. При этом граничная кривая у0 является безопасной границей области устойчивости уравнения (1).

Теорема 5. Пусть в условиях теоремы 2 выполнены соотношения: /2(х,х',Ь) = 0 и р3 Ф 0. Тогда при трансверсальном переходе параметров (а, р) через граничную кривую у0 вблизи точки (а0,р0) в уравнении (1) реализуется сценарий бифуркации типа вилки. При этом граничная кривая у0 является безопасной (опасной) границей области устойчивости уравнения (1), если р3 < 0 (р3 > 0).

Эти утверждения следуют из общих теорем о локальных бифуркациях в динамических системах (см., например, [8, 11]).

Случай 20.

Положим

Л1 = ^а11(1)й1, V2 = ¡0>а12(1)й1. (5)

Теорема 6. Пусть а0 = 0 и Ь0> 0, причем Ь0 Ф

(^г)2, к 6 N. Пусть г)2+'П2> 0. Тогда точка (а0,р0) 6 П является регулярной граничной точкой области устойчивости решения х = 0 уравнения (1).

Таким образом, в условиях этой теоремы через точку (а0,р0) проходит единственная граничная кривая у0 области устойчивости решения х = 0 уравнения (1). Изучение вопроса о построении касательной к этой кривой может проводиться по той же

схеме, что и в случае 1 , и привести к аналогу теоремы 3.

С целью исследования возможных сценариев бифуркаций в системе (1) в условиях теоремы 6 будем предполагать, что наряду с соотношением (2) выполняются неравенства:

±л- Ф-,-для k6N.

2п 3 4

(6)

Отметим, что соотношения (2) и (6) выполняются, если число в0 = Т^ь0/(2л) является иррациональным. Если же это число является рациональным вида в0 = р/ц (здесь р/ц - несократимая дробь), то ц>5. С точки зрения общей теории локальных бифуркаций (см., например, [2, 7, 10]) это означает, что для рассматриваемой задачи имеет место слабый резонанс.

С целью описания возможных сценариев бифуркации в окрестности точки равновесия х = 0 уравнения (1) при переходе параметров (а,р) через кривую у0 перейдем от уравнения (1) к двумерной системе ^ = А(1,а,р)у + а(у,1),у6П2, (7)

где А(Ь,а,р) = 0

1

—Ь(Ь, а,р) а(у, С) =

— /

-а(Ь, а, р)\' 0

\/2(У,Ъ+Гз(У^У Затем перейдем к дискретной динамической системе

= и(хп,а,р),п = 0,1,2,.

(8)

х

п+1

где и(^,а,р)\Е2 ^ Я2 — оператор сдвига по траекториям уравнения (7) за время от 0 до Т. Система (8) имеет точку равновесия х = 0 при всех а и р. Эта система может быть представлена в виде:

хп+1 = V(a, Юхп + Фп

п = 0,1,2,..., (9)

где У(а,р):И2 ^ И2 —линейный оператор, а нелинейность р(х,а,р) удовлетворяет соотношению: \\у(х,а,р)\\ = 0(\\х\\2) при х ^ 0.

Основным сценарием локальных бифуркаций в окрестности точки равновесия х = 0 системы (8) при переходе параметров (а, Р) через кривую у0 является возникновение в окрестности точки х = 0 инвариантной кривой у(а,р), ограничивающей бассейн притяжения или отталкивания этой точки. Такой сценарий часто называют бифуркацией Андро-нова-Хопфа.

Наряду с (5) определим числа:

b11(t)dt,

V2=--?j=Sob12mt.

1 г2ж rT

<о = — I (cosy I ш(т,ф) sin(Jb0 x)dx +

Jn

Jb-f (10)

Для простоты будем предполагать, что f2(x,x',t) = 0. Общий случай может быть рассмотрен по той же схеме, но приводит к более громоздким формулам. Положим:

г2п гТ

яп = — I (costp I M(.T,v)smlJOn т) Jo J0

+sinp f ш(т, ф)сОБ (Jb0 т)йт)йф, (11)

где ш (т, <р) = f3 (cos (Jb0 т + ф),

-Jb0sin(Jb0 т + ф),т).

Теорема 7. Пусть в условиях теоремы 6 выполнены соотношения (6). Пусть также выполнены условия:

*o±0,det[ ^ vl]±0. (12)

Тогда при трансверсальном переходе параметров (а, Р) через граничную кривую у0 вблизи точки (а0,р0) в уравнений (8) реализуется сценарий бифуркации Андронова-Хопфа. При этом граничная кривая у0 является опасной (безопасной) границей области устойчивости уравнения (1), если

/0 > 0 (20 <0 ).

Это утверждение следует из общих теорем о локальных бифуркациях в динамических системах (см., например, [8, 11]).

Случай 30.

Наряду с (7) рассмотрим линейную систему

dy dt

= A(t, а,р)у,у е R2.

(13)

Обозначим через р-р0 и р+ количество (с учетом кратности) мультипликаторов ^1 и ^2 системы (13), модуль которых меньше, равен или больше 1 соответственно; тогда р- + р0 + р+ =2. Тройку (р-,р0,р+) называют (см., например, [2, 7]) топологическим типом точки равновесия х = 0 уравнения

(1). Также говорят, что точка равновесия х = 0 является гиперболической, если р0 = 0; в противном случае ее называют негиперболической. Множество 6 плоскости П параметров (а, Р) будем называть областью гиперболичности, если для любого (а, Р) Е б решение х = 0 уравнения (1) является гиперболической с одним и тем же топологическим типом.

Определим матрицу

5(Ф)=±£0(Ф,Т№, (14)

где В(ф, Ь) = е^ь[А1(ь)созф + В^Бтф^-^, в котором

Q =

2пкЛ

Т

0

bii(t)--ail(f)

0 0J

Ai(t) = 1 iT

1

iT

2nk0"ii^y 2"ii(') 2nk0"ii^y ' 2

iT _ 1 iT _ 1

-*k0bii(t)+2aii(t) -2k0bii(t)-2aii(t).

iT _ 1 2^T0bi2(t)-^ai2(t)

Bi(t) =

iT ^ 1 2kobi2(t)+ri2(t)

iT , , 1 iT , , 1

bi2W+^a^t) bi2(t) -4ai2(t)

2nk,

2nkn

2

Теорема 8. Пусть при некотором ф = ф*, 0 < Ф* < 2п матрица Б(ф) является негиперболической, при этом на некоторых интервалах (ф* — 50,ф*) и (ф*,ф* + S0) она является гиперболической с разным топологическим типом. Тогда через точку (а0,р0) проходит граничная кривая области гиперболичности системы (1), при этом параметрически заданная прямая а = а0 + тсоБф*, р = р0 + +ТБтф*является касательной к этой граничной кривой.

Эта теорема доказывается по той же схеме, что и аналогичное утверждение, доказанное в [7].

Если условию теоремы 8 удовлетворяют т различных ф*, ф2 , ..., Фт таких, что ф* — ф*кФ ±п, то через точку (а0,р0) проходит, по крайней мере, т различных граничных кривых.

Пример

В качестве примера рассмотрим неавтономное уравнение Ван-дер-Поля [4, 8] вида:

и'' + (Р + и2)и' + [ш2 + (1 + cost) а]и = 0, (15) где ш0 > 0, а и р — малые вещественные параметры. Уравнение (15) при всех значениях параметров а и р имеет точку равновесия и = 0. Условия теоремы 1 выполняются, например, при а0 = р0 = 0 . Рассмотрим вопрос о граничных кривых области устойчивости точки равновесия и = 0 уравнения (15), проходящих через точку а0 = 0,р0 = 0.

В рассматриваемом примере имеем: Т = 2п и при этом в зависимости от значения ш0 может иметь место случай 20 или случай 30.

Случай 20, т.е. ш0 Ф к/2 при натуральных к. Вычисления показывают, что для чисел (5) имеем: = 0 и ц2 = —2п. Поэтому в силу теоремы 6 точка

V

1

U

(0,0) в плоскости параметров (а, Р) является регулярной граничной точкой области устойчивости точки равновесия и = 0 уравнения (15). Таким образом, через точку (0,0) проходит единственная граничная кривая у0 этой области. При этом условия теорем 2 и 3 и соответствующие вычисления показывают, что касательная к кривой у0 в точке (0,0) совпадает с осью а , т.е. описывается уравнением Р = 0 (рис. 1 а)).

На этом рисунке области устойчивости заштрихованы.

Пусть теперь Ф к/2, к/3, к/4 при натуральных к. Тогда в силу теоремы 8 при трансверсальном переходе параметров (а,р) через граничную кривую у0 вблизи точки (0,0) в уравнений (15) реализуется сценарий бифуркации Андронова-Хопфа.

Для изучения вопроса о типе граничной кривой у0 воспользуемся формулами (10) и (11), которые приводят к равенствам: р1 = —п/2ш0,р2 = 0 и х0 = —0.25п. Отсюда и из теоремы 7 получим, что граница области устойчивости уравнения (15) будет безопасной.

Случай 30, т.е. ш0 = к/2 при некотором натуральном к0.

Пусть сначала ш0 = 1/2, т.е. к0 = 1. Матрица (14) в этом случае равна:

Б(ф) = —

— — соБф + эту

— 1СОБф

— соБф + эту

1СОБф

Анализ собственных значений этой матрицы показывает, что условия теоремы 8 выполнены при Ф = ±агсЬд(^33/2). Поэтому через точку (0,0) проходят две граничные кривые у1 и у2 области гиперболичности уравнения (13). При этом уравнения касательных к этим кривым в точке (0,0) имеют вид: Р = ±^3а/2 (см. рис. 1 б)).

Пусть теперь = к/2, где к0 > 2. Тогда Б(9) =

— СОБф + Б1Пф

0

-^-СОБф + Б1Пф

Условия теоремы 8 для этой матрицы выполнены при <р = 0. Поэтому через точку (0,0) проходит одна граничная кривая у0 области устойчивости уравнения (15). При этом уравнение касательной к этой кривой в точке (0,0) имеет вид: р = 0 (см. рис. 1 в)).

Заключение

В статье предложены новые схемы и алгоритмы исследования границ областей устойчивости точек равновесия динамических систем, зависящих от двух скалярных параметров. Указываются условия, при которых через точку границы области устойчивости проходят одна или несколько гладких граничных кривых. Предложены новые формулы, позволяющие приближенно строить эти границы. Приводятся схемы определения основных сценариев бифуркаций при переходе параметров через границы областей устойчивости. Определятся типы границ (опасные или безопасные).

Доказательства основных утверждений

Доказательство теоремы 2

Пусть выполнены условия 10 и ^ + (22 > 0.

Рассмотрим двумерную линейную систему (13), соответствующую системе (7). Так как матрица

1 ' имеет простое собственное

0 —аг

А(1,а0,р0) =

значение 0, то линейная периодическая система (13) при малых 1а — а01 и 1Р — р01 имеет простой пока-

затель Флоке Х(а,р) такой, что функция Х(а,р) непрерывна и Л(а0,р0) = 0. При этом другой показатель Флоке системы (13) имеет отрицательную вещественную часть. Пусть для определенности (1 Ф 0. Докажем тот факт, что уравнение Л(а,р) = 0 задает единственную кривую а = [(Р), определенную и гладкую в некоторой окрестности числа а0 и такую, что а0 = [(Р0).

Для доказательства указанного факта достаточно показать, что Л'а(а0,р0) Ф 0. С этой целью, представим уравнение (13) в виде: йу

-^=[А0 +(а — а0)Ац(Ь) + (р — ЫА^) + +А2(1,а,р)]у, у 6 Я2, (16)

1

2

0

а) 6) в)

Рис. 1. Области устойчивости уравнения Ван-дер-Поля в нерезонансном а) и в резонансных б) и в) случаях.

где \\А2(1,а,р)\\=0((а — а0)2 + (р — р0)2) при а ^ а0 и р ^ р0.

Предположив в системе (16) р = р0, перейдем от (16) к однопараметрической системе йу

— =[А0 +(а — а0)Ац(Ь) + А2(1,а,Р0)Ъ.

у 6 И2. (17)

Воспользуемся методом М. Розо [7, 9] исследования устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра. В соответствии с этим методом система (17) посредством некоторой невырожденной и Т —периодической замены приводится к виду йг

dt

= [А0 + (а- a0)S + Ä2(t, a,p0)]z,

aoJu +

z e R2,

(18)

где 5 —постоянная матрица, а Т —периодическая матрица А2(Ь,а, р0) удовлетворяет соотношению: \\^2(Р,а,р0)\\ = 0((а — а0)2) при а ^ а.0.

При этом матрица 5 является решением уравне-

ния

^ е^Бе^М = ^ е^А^Юе^М. (19) Мультипликаторы систем (17) и (18) одинаковы. При малых 1а — а01 матрица А0 + (а — а0)Б имеет простое собственное значение ^(а) такое, что функция ^(а) непрерывна и ^(а0) = 0. При этом по построению имеем: Л'а(а0,р0) = ^'(а0).

В силу формул теории возмущений линейных операторов [10] имеем: ^'(а0) = (Бе.д). Для вычисления числа (Бе,д) обе части уравнения (19) умножим сначала на вектор е, затем скалярно на вектор д; тогда получим нужное соотношение:

(Бе,д) = т£(АцО:)е,д)М = Т& Ф 0. (20) Тот факт, что кривая а = [(р)является граничной кривой, устанавливается в доказательстве теоремы 3.

Доказательство теоремы 3

При доказательстве теоремы 2 получены равенства: Л'а(а0,Р0) = Ъ и Л'р(а0,Р0) = Ъ. Вектор ((:^,(2) в плоскости параметров П ортогонален вектору касательной к кривой у0. Рассмотрим прямую, проходящую через точку (а0,р0) 6 П и заданную параметрически уравнениями: а = а0 + ^.соБф, р = Р0 + ц.Бтф, где ф — некоторый угол. Справедливость теоремы 3 следует из того, что вектор (соБф^Ыф) будет вектором касательным к кривой у0, если (1соБф + %2Бтф = 0.

А теперь докажем тот факт, что кривая а = f(P) является граничной кривой области устойчивости уравнения (1). Для этого рассмотрим параметрически заданную прямую

а(^) = а0+ ^соБф*, Р(р) = Р0 + уятф*, (21) где ф* Ф ф0, ф* Ф ф0 + п, (здесь ф0 -число из теоремы 3). Эта прямая трансверсально пересекает кривую у0 точке (а0,р0). Матрица A(a(pî),p(pî)) при малых имеет собственное значение Л(р), пред-ставимое в виде Л(р) = А0ц + 0(р2) (см. [10]), где А0 = (1соБф* + (2Бтф* Ф 0. Следовательно, при трансверсальном переходе параметров (а,р) через кривую у0 (вблизи точки (а0,р0)) изменяется топологический тип точки равновесия х = 0 системы (1).

Отсюда получим тот факт, что кривая у0 является граничной кривой области устойчивости уравнения (1).

Теорема 6 может быть доказана по той же схеме, что и теорема 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. // Серия «Современные проблемы механики». Л.-М.: ОГИЗ Гостехиздат. 1949.

2. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2009. 548 с.

3. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир. 1980. 368 с.

4. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 477 с.

5. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972. 720 с.

6. Chiang H. D., Alberto L. F. C. Stability regions of nonlinear dynamical systems : theory, estimation, and applications. Cambridge University Press. 2015. 484 p.

7. Ибрагимова Л. С., Мустафина И. Ж., Юмагулов М. Г. Асимптотические формулы в задаче построения областей гиперболичности и устойчивости динамических систем. // Уфимский математический журнал. 2016. Т. 8. №3. С. 59-81.

8. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Ин-т компьют. исслед. 2002. 560 с.

9. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука. 1971. 288 с.

10. Красносельский М. А., Юмагулов М. Г. Метод функциона-лизации параметра в проблеме собственных значений. // ДАН России. Том 365. №2. 1999. С. 162-164.

11. Вышинский А. А., Ибрагимова Л. С., Муртазина С. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах. // Уфимский математический журнал. Том 2. №4. 2010. C. 3-26.

12. Юмагулов М. Г. Локализация языков Арнольда дискретных динамических систем. // Уфимский математический журнал. Т.5. №2. 2013. С. 109-131.

Поступила в редакцию 09.04.2017 г.

STUDY OF THE BOUNDARIES OF STABILITY REGIONS OF TWO-PARAMETER SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS

© I. Zh. Mustafina

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (905) 181 11 93.

Email: fanina84@bk. ru

In the article, second order nonlinear differential equations depending on two scalar parameters are studied. Construction of the boundaries of stability regions, in particular, the equilibrium point in the parameter plane is determined by the equation of the tangent to the boundary curve. The conditions under which one or more smooth boundary curves pass through the border point of stability region are specified. The scheme for determining the main scenarios of bifurcations at transition of parameters over the boundaries of stability regions is given. "Safe" and "dangerous" boundary types are determined in accordance with definition by N. Bautin. As an example, the nonlinear nonautonomous equation of van der Pol is considered. Approximate graphs of the boundaries of the stability regions in the parameter plane equation of van der Pol in the non-resonant and resonant cases are presented.

Keywords: dynamical systems, point of equilibrium, stability, boundary of stability, "safe" and "dangerous" boundaries, bifurcation.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Bautin N. N. Seriya «Sovremennye problemy mekhaniki». L.-M.: OGIZ Gostekhizdat. 1949.

2. Shil'nikov L. P., Shil'nikov A. L., Turaev D. V., Chua L. Metody kachestvennoi teorii v nelineinoi dinamike. Chast' 2 [Methods of the qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 2]. - M.-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovanii. 2009.

3. Marsden J., McCraken M. Bifurkatsiya rozhdeniya tsikla i ee prilozheniya [Bifurcation of a birth of a cycle and its applications]. Moscow: Mir. 1980.

4. Cesare L. Asimptoticheskoe povedenie i ustoichivost' reshenii obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii [Asymptotic behavior and stability of solutions of ordinary differential equations]. Moscow: Mir, 1964.

5. Yakubovich V. A., Starzhinskii V. M. Lineinye differentsial'nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami i ikh prilozheniya [Linear differential equations with periodic coefficients and their applications]. Moscow: Nauka. 1972.

6. Chiang H. D., Alberto L. F. C. Stability regions of nonlinear dynamical systems: theory, estimation, and applications. Cambridge University Press. 2015.

7. Ibragimova L. S., Mustafina I. Zh., Yumagulov M. G. Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2016. Vol. 8. No. 3. Pp. 59-81.

8. Guckenheimer J., Holmes P. Nelineinye kolebaniya, dinamicheskie sistemy i bifurkatsii vektornykh polei [Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields]. Moskva-Izhevsk: In-t komp'yut. issled. 2002.

9. Rozo M. Nelineinye kolebaniya i teoriya ustoichivosti [Nonlinear oscillations and the stability theory]. Moscow: Nauka. 1971.

10. Krasnosel'skii M. A., Yumagulov M. G. DAN Rossii. Vol. 365. No. 2. 1999. Pp. 162-164.

11. Vyshinskii A. A., Ibragimova L. S., Murtazina S. A., Yumagulov M. G. Ufimskii matematicheskii zhurnal. Vol. 2. No. 4. 2010. Pp. 3-26.

12. Yumagulov M. G. Ufimskii matematicheskii zhurnal. Vol. 5. No. 2. 2013. Pp. 109-131.

Received 09.04.2017.