CC BY
11
ISSN 1998-4812
5
УДК 517.71
раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА
О ПОСТРОЕНИИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
© Н. Р. Исанбаева
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел.: +7 (962) 528 07 88.
Email: nurgizaisanbaeva@mail. ru
В статье рассматривается плоская ограниченная эллиптическая задача трех тел. Изучается задача о построении границ областей устойчивости треугольных точек либрации в плоскости параметров: эксцентриситета и параметра масс. В качестве основного метода решения задачи предлагается метод М. Розо исследования устойчивости линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Показано, что рассматриваемая постановка приводит к резонансной задаче. Для перехода к нерезонансной задаче конструируются матрицы перехода, использующие свойства линеаризованной задачи. Решение основной задачи использует также идеи метода малого параметра и методы теории устойчивости решений гамильтоновых систем. Основной результат состоит в разработке новой схема построения касательных к границам областей устойчивости треугольных точек либрации. Предлагаемые схемы доведены до алгоритмов и приближенных формул для решения задачи построения областей устойчивости. Схема может быть модифицирована для построения приближенных формул границ областей устойчивости треугольных точек либрации более высокого порядка, а также для исследования задач о сценариях бифуркационного поведения решений задачи трех тел при переходе параметров через границы областей устойчивости.
Ключевые слова: задача трех тел, треугольные точки либрации, граница области устойчивости, эксцентриситет орбиты, параметр масс.
1. Введение
Рассмотрим плоскую эллиптическую ограниченную задачу трех тел. Дифференциальные уравнения этой задачи в координатах Нехвилла имеют вид [1-3]:
'Г - = - ^ + ■
М-1
[(f-1)2 + ^]2
(f2+^2)2
м
[(f-1)2 + ^2]2
М-1 (f2 + ^2)2 ГЧ)
(1)
■Л -
здесь
1
т1
Р =
=;
1 + е cos t' m0 + £ - эксцентриситет кеплеровской орбиты, t - истинная аномалия, ш0 и - массы активно гравитиру-ющих тел; тогда 0 < ^ < 1.
Система (1) имеет пять постоянных решений -точек либрации: прямолинейных L2 и L3, а также треугольных L4 и Ls. В плоскости переменных (^, системы (1) прямолинейные точки либрации лежат на прямой ^ = 0, а треугольные точки либрации имеют координаты:
14(2,1Г),15(2,-Т).
Нас будут интересовать вопросы, связанные с устойчивостью треугольных точек либрации. С этой целью в плоскости параметров (и, £) системы (1) определим прямоугольник Д = е): 0 < ^ <
1,0 < £ < 1}. Множество СсД будем называть областью устойчивости системы (1), если для любого (ц, е) Е С треугольные точки либрации системы (1) устойчивы в линейном приближении, а для любого (ц, £) Е ,Р = Д^ эти точки неустойчивы в линейном приближении. При этом множество F будем называть областью неустойчивости системы (1). Точку (и, £) будем называть граничной точкой области устойчивости системы (1), если в каждой ее окрестности имеются точки из С и ,Р. Множество Г граничных точек будем называть границей области устойчивости системы (1).
Вопросам построения областей устойчивости системы (1) и их границы посвящены многочисленные исследования. Известные здесь наиболее полные результаты получены во второй половине прошлого столетия (см. [1] и имеющуюся там библиографию). На рис. 1. изображены области устойчивости и неустойчивости системы (1) для малых значений
Здесь
ß = _
^ 2
— = 0.038520...,
18
V2
^ =1-1Г= 0.028595... (3)
Заштрихованная область соответствует устойчивости. В настоящей работе предлагается новая схема определения касательных к границам областей устойчивости системы (1). Важность исследования этих границ имеет не только теоретическое значение, но вызвана многими практическими потребностями [1-3], в частности, вопросами о бифуркации в окрестностях точек либрации [4-7].
V
1
2. Основные результаты
Для определенности будем рассматривать задачу о построении касательных Гх и Г2 к кривым и при ^ 6 (0,^*). Положим 5 = (и — Тогда кривые Гх и Г2 естественно строить в виде функций е = /1(5) и е = /2(5), определенных и монотонных на промежутках (—0] и [0,^3 — ^0) (здесь = 0,04698...) соответственно, при этом /1(0) = /2(0) = 0.
0 0.01 0.02 И" 0.05
Рис. 1. Область устойчивости треугольных точек либрации.
Теорема 1. Функции /1(5) и /2(5) предста-вимы в виде:
/1(5) = —£15 + ^(5),/2(5) = £15 + 02 0), (4)
в которых
/3456
е - /—= 17.725174... , (5)
1 11
а нелинейности ^,(5) удовлетворяет соотношениям ^,(5) = 0(52) при 5^0.
3. Основные этапы доказательства теоремы 1
На первом этапе путем введения новых переменных % = ^, и2 =
и3 = = перейдем от системы (1) к
равносильной нормальной системе: и! = из,
и2 = ^4,
М-1
= 2и4 + — ^ + -
г^ —
[(ui-1)2 + u|p
< = —2и3 + р(и2 + ■
(и? + и|)2 ("1 — 1)),
(6)
М-1
7Un —
(и2 + и|)2
1«2),
[(и1-1)2 + и|]2
Т.е. к системе вида
и' = ,Р(и,£,,и,£:),и 6 Д4, (7;
где F (и, £, £) - вектор-функция, определяемая правой частью системы (б) При £ = 0 (круговой случай) система (7) является автономной:
и' = ?0(и,д),н6й4, (8)
здесь ^(и,^) - вектор-функция, определяемая правой частью системы (б) при р = 1.
Точки либрации системы (1) соответствуют постоянным решениям системы (7). В частности, треугольные точки либрации ¿4 и ¿5 соответствуют следующим постоянным решениям системы (7):
иЛ =
1/2- ■ 1/2 ■
V3/2 ,u5 = —V3/2
0 0
0 0
(9)
Поведение системы (7) одинаково в окрестностях точек либрации и4 и и5. Для определенности будем изучать поведение системы (7) в окрестности точки либрации и4.
4. Переход к нормальной системе и линейному уравнению
Перенесем начало координат системы (7) в точку либрации и4, т.е. произведем в ней замену h = и — и4. В результате система (7) примет вид:
h' = 4(e,^,t)h + a(e,^,t,h),h 6 Д4, (10) где матрица А (£, t) определяется равенством: Л(£,^, t) =
00 10-
0 0 0 1 П1)
3/4р 3V3/4(1 — 2^)p 0 2 ' {11J
,3V3/4(1 — 2^)р 9/4р —2 0 .
а нелинейность a(£, t, h) равномерно по £, ^ и t удовлетворяет соотношению:
||a(e,p,t,h)|| = 0(||h||2) при ||hM ^ 0. (12) Состояние равновесия h = 0 системы (10) соответствует точке либрации и4 системы (7).
Таким образом, исходная задача равносильна задаче построения областей устойчивости и неустойчивости точки равновесия h = 0 системы (10) в линейном приближении. Для исследования последней задачи достаточно ограничиться рассмотрением линейного уравнения:
h' = 4(e,^,t)h,h 6 Д4 (13)
Исследование системы (13) будет проводиться с использованием метода М. Розо [8] исследования устойчивости периодических систем, зависящих от малого параметра, и методов теории возмущений линейных операторов [9], [10].
5. Вспомогательные преобразования
Так как при 0 < £ < 1 верно равенство 1
р =-= 1 — £ cos t +
1 + £ cos t
+ £2COS2t — £3COS3t + •••,
То матрица (11) представима в виде: 4(e,^,t) = ЛО) +
+ (—£ COS t + £2COS2t — £3COS3t + • )Л1(^)
где
АоС") =
0 0 0 0
1 0 0 1
3/4
.3V3/4(1 — 2^)
3V3/4(1 — 2^) 0 2 9/4 —2 0 А1(") =
3
ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2017. Т. 22. №1
7
0 0 0 0
0 0 0 0
3/4 3V3/4(1-2^) 0 0
.3V3/4(1-2^) 9/4 0 0
.(15)
Для решения основной задачи нам удобно уравнение (13) переписать в виде:
ft' = А0(ц)й + (—е cos +
где
+ £242(£,(U,t)h,h 6 P4, А2(£,^, t) = -COS3t(1 - £ cos t +
(16)
+£2COS2t
2
Ниже для удобства (там где это не вызовет путаницы) искомые функции £ = /1 (и) и £ = /2 (м) будем обозначать одинаково £ = (и). Учитывая, что /С^о) = 0 функцию /(и) можно искать в виде:
/О) =£1(^-^о)+ ^(и-^о), (17;
в котором коэффициент е1 требует определения, а
нелинейность — ц0) удовлетворяет соотношению — ц0) = O((^ — ц0)2) при ц ^ ц0. По сути,
речь идет о вычислении производной Г(^0) = е1.
Нам удобно перейти к равносильному параметрическому представлению функции /(и): (е = £15 + о (5),
{ М = Мо + где 5 = ц. — - малый параметр. Подставив (18) в (16) получим:
(18)
^ = [Л + SPi(t,£i)]h + 52?2(t,£i, E2,S)h,(19)
dt
где
•^0 = А0(^0) =
0 0
3/4
0 0
V6/2
1 0 0
.V6/2 9/4 -2 P1(t, £1) = ß0 - £1COSt^1, 0000
(20)
(21)
-3V3
^0 =
Л1 = Ai(^0) =
0000 0100
1000 0 0 0 0
0 0
0 0
3/4 V6/2 0 0 V6/2 9/4 0 0]
. (22)
6. Переход к базису из собственных векторов
Определенная равенством (19) матрица А0 имеет следующие простые собственные значения:
¿1,2 = ±р Яз,4 = ±^31, (23)
В уравнении (16) перейдем к базису из собственных векторов матрицы Л0. В результате уравнение (16) примет вид:
у' = [¿0 + ^(^О + 52Р2а,£1,£2,5)]у,(24
где
Л = =
1/2i 0
0
1/2i
0 0 0 0
0 1 V3i/2 0
-V3i/2
1 0
0
^1(t, £1) = i?0 - £1 COS t
здесь ^ = А^-1^.
7. Переход к нерезонансной системе
Говорят, что для матрицы Л0 выполняется условие отсутствия Т-резонанса при 7 = 2^, если любая пара Я1 и Я2 различных собственных значений этой матрицы удовлетворяет соотношению Я1 — Я2 Ф ^ и при целых д.
Для матрицы Л0 не выполняется условие отсутствия Г-резонанса, так как Я1 — Я2 = 11 — (— 1 ¿) = ¿.
С целью перехода к нерезонансной матрице положим
1000
0000 Г1 0000.
0000
Тогда замена у = преобразует (24) к
виду:
г' = [Л + (С, е1) + 52]33(С, е1, е2,5)]^, (25) где Р, =
А = Л0 - ¿Р1 = 1/2 i 0 0 0 0 -1/2i 0 0 0 0 V3/2i 0
0 0
0
-V3/2i.
. (26;
Для системы (25) условие отсутствия Г-резо-нанса выполнено.
Матрица в правой части системы (25) может быть определена равенством:
P^Xt, £1) = ß0 - £1 cos
(27;
8. Доказательство теоремы 1
Система (25) удовлетворяет всем требованиям метода М. Розо [8]. Согласно этому методу рассмотрим матричное уравнение:
/02яе-А5еАЛ = /^е-^Р^Ое^. (28) Эта система имеет единственное решение 51(£1). Он имеет вид:
9^72
5i(£I) =
«■ONO
ONO -9'V2
3V6 *
3V6
5i(£I) =
9iV2 £■(- + -!
1 4 8
52 = [3V6i],
Согласно методу М. Розо [8] устойчивость точки либрации ¿4 определяется матрицами:
40
ОНО —9^
52 = [—3761]. Собственные значения матрицы 51(£1)-это числа:
Я12 = ±1733е2 — 10368. Ясно, что свойства устойчивости матрицы 51*(е1) изменяется, если 33£2 — 10368 = 0; отсюда
0
2
£
* *
1
получим равенство (5), что завершает доказательство теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и кос-модинамике. М.: Наука. 1978. С. 312.
2. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука. 1978. С.456.
3. Маршал К. Задача трех тел. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004. 640 с.
4. Юмагулов М. Г., Беликова О. Н. Бифуркация 4п-периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрономический журнал. 2009. Т. 86, №2. С. 170-174.
5. Юмагулов М. Г., Беликова О. Н. Бифуркации периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации задачи трех тел // Известия высших учебных заведений. Математика. 2010. №6. С. 82-89.
6. Исанбаева Н. Р. Топологические типы точек либрации эллиптической задачи трех тел, близкой круговой // Вестник МаГУ. Математика. - Магнитогорск: МаГУ, Вып. 14. 2012. С. 85-94.
7. Вышинский А. А., Ибрагимова Л. С., Муртазина С. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал, 2010. Т.2. №4. С. 3-26.
8. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука. 1971. С. 288.
9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1975. С. 740.
10. Красносельский М. А., Юмагулов М. Г. Метод функциона-лизации параметра в проблеме собственных значений. ДАН России. 1999. Т. 365, №2. С. 162-164.
11. Исанбаева Н. Р. Алгоритм приближенного расчета бифуркационных значений параметров в задаче трех тел // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. 2013. Т.18. №5-2. С. 2541-2543.
12. Юмагулов М. Г., Беликова О. Н., Исанбаева Н. Р. Моделирование областей устойчивости точек либрации ограниченной задачи трех тел с помощью систем компьютерной математики // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2015. Т. 2 №11. С. 321-325.
13. Евтеев В. П. Периодические решения плоской эллиптической задачи трех тел // Космические исследования. 1988. Т. 26. Вып. 5. С. 785-787.
14. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. С. 560.
15. Демин В. Г., Евтеев В. П. Эллиптическая задача трех тел. Душанбе Дониш, Тадж. гос. университет им. В. И.Ленина, 1988.С. 133.
16. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.5. Динамические системы V. //М.: ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.
17. М. Г. Юмагулов, Беликова О. Н., Бифуркации периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации задачи трех тел// Изв. вузов. Матем., 2010. №6. С. 82-89.
18. Юмагулов М. Г., Беликова О. Н., Исанбаева Н. Р. Применение систем компьютерной математики в задачах небесной механики // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2013. №9. С. 576-581.
19. Симо К. Периодические траектории плоской задачи N тел с равными массами и телами, движущимися по одной и той же траектории // Сб. работ "Относительные равновесия. Периодические решения", институт компьютерых исследований. Москва-Ижевск. 2006. С. 175-201.
20. Исанбаева Н. Р. Основные сценарии бифуркаций в окрестностях точек либрации задачи трех тел. // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Уфа. 2012. Т.1. С. 2012.
Поступила в редакцию 01.02.2017 г.
ISSN 1998-4812
BeciHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2017. T. 22. №1
9
ON THE PLOTTING OF THE STABILITY DOMAIN BORDER OF TRIANGULAR LIBRATION POINTS FOR PLANE BOUNDED ELLIPTICAL THREE-BODY PROBLEM
© N. R. Isanbaeva
Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (962) 528 07 88.
Email: nurgizaisanbaeva@mail. ru
In the article, the plane bounded elliptical three-body problem is considered. The authors study the problem of plotting the border of stability domain of triangular libration points in the parameter plane: the eccentricity and the parameter of mass. As the main method of solving the problem, the method of M. Rozo for studying the stability of linear differential equations with periodic coefficients is proposed. It is shown that this formulation leads to the formation of resonance problem. To transform it to non-resonant form, a transition matrix was constructed, using the properties of the linearized problem. In solution of the main problem, the ideas of the small parameter method and methods of the theory of stability of solutions of Hamiltonian systems were applied as well. The main result is the development of a new scheme for plotting of the tangents to the stability boundaries of the of triangular libra-tion points. The proposed scheme was formulated as algorithms and approximate equations for solving the problem of the stability regions plotting. The scheme can be modified to calculate the approximate formulas of the stability domain borders of triangular libration points of a higher order, as well as to study the problems of bifurcation scenarios of the behavior of solutions of the three-body problem for parameters passing through the borders of stability regions.
Keywords: three-body problem, triangular libration points, stability domain border, orbit eccentricity, mass parameter.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Markeev A. P. Tochki libratsii v nebesnoi mekhanike i kosmodinamike [Libration points in celestial mechanics and cosmodynamics]. Moscow: Nauka. 1978. Pp. 312.
2. Duboshin G. N. Nebesnaya mekhanika. Analiticheskie i kachestvennye metody [Celestial mechanics. Analytical and qualitative methods]. Moscow: Nauka. 1978. Pp. 456.
3. Marshal K. Zadacha trekh tel [The three-body problem]. M.-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovanii. 2004.
4. Yumagulov M. G., Belikova O. N. Astronomicheskii zhurnal. 2009. Vol. 86, No. 2. Pp. 170-174.
5. Yumagulov M. G., Belikova O. N. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika. 2010. No. 6. Pp. 82-89.
6. Isanbaeva N. R. Vestnik MaGU. Matematika. - Magnitogorsk: MaGU, No. 14. 2012. Pp. 85-94.
7. Vyshinskii A. A., Ibragimova L. S., Murtazina S. A., Yumagulov M. G. Ufimskii matematicheskii zhurnal, 2010. Vol. 2. No. 4. Pp. 3-26.
8. Rozo M. Nelineinye kolebaniya i teoriya ustoichivosti [Nonlinear oscillations and the stability theory]. Moscow: Nauka. 1971. Pp. 288.
9. Kato T. Teoriya vozmushchenii lineinykh operatorov [The theory of perturbations of linear operators]. Moscow: Mir. 1975. Pp. 740.
10. Krasnosel'skii M. A., Yumagulov M. G. Metod funktsionalizatsii parametra v probleme sobstvennykh znachenii [The method of parameter functionalization in the problem of eigenvalues]. DAN Rossii. 1999. Vol. 365, No. 2. Pp. 162-164.
11. Isanbaeva N. R. Vestnik Tambovskogo universiteta. Estestvennye i tekhnicheskie nauki. 2013. Vol. 18. No. 5-2. Pp. 2541-2543.
12. Yumagulov M. G., Belikova O. N., Isanbaeva N. R. Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie. 2015. Vol. 2 No. 11. Pp. 321-325.
13. Evteev V. P. Kosmicheskie issledovaniya. 1988. Vol. 26. No. 5. Pp. 785-787.
14. Gukenkheimer Dzh., Kholms F. Nelineinye kolebaniya, dinamicheskie sistemy i bifurkatsii vektornykh polei [Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields]. Moskva-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovanii. 2002. Pp. 560.
15. Demin V. G., Evteev V. P. Ellipticheskaya zadacha trekh tel [The elliptical three-body problem]. Dushanbe Donish, Tadzh. gos. universitet im. V. I.Lenina, 1988. Pp. 133.
16. Arnol'd V. I., Afraimovich V. S., Il'yashenko Yu. S., Shil'nikov L. P.M.: VINITI, 1986. Pp. 5-218.
17. M. G. Izv. vuzov. Matem., 2010. No. 6. Pp. 82-89.
18. Yumagulov M. G., Belikova O. N., Isanbaeva N. R. Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie. 2013. No. 9 . Pp. 576-581.
19. Simo K. Otnositel'nye ravnovesiya. Periodicheskie resheniya. Moskva-Izhevsk. 2006. Pp. 175-201.
20. Isanbaeva N. R. Fundamental'naya matematika i ee prilozheniya v estestvoznanii. Ufa. 2012. Vol. 1. Pp. 2012.
Received 01.02.2017.
