Алгоритмы построения границ областей устойчивости точек либрации в задаче трех тел с помощью пакета Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.923

Юмагулов М.Г., Сухоруков А.В.

Башкирский государственный университет, г. Уфа, Россия

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА MAPLE

АННОТАЦИЯ

В статье приводятся основные этапы алгоритма построения областей устойчивости точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. Алгоритм основан на методах теории нелинейных колебаний исследования устойчивости стационарных решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, зависящих от малого параметра. Алгоритм реализован с помощью математического пакета Maple.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Задача трех тел; точки либрации; устойчивость; область устойчивости; бифуркация; периодические решения; параметр.

Yumagulov M.G., Sukhorukov А.У.

Bashkir State University, Ufa, Russia

THE ALGORITHMS FOR CONSTRUCTING THE BOUNDARIES OF THE STABILITY REGIONS OF LIBRATION POINTS IN THE THREE-BODY PROBLEM WITH THE HELP

OF PACKAGE MAPLE

ABSTRACT

The article presents the main stages of the algorithm for constructing the stability regions of libration points of a flat elliptic restricted three-body problem. The algorithm is based on methods of the theory of nonlinear oscillations, of studying the stability of stationary solutions of linear differential equations with periodic coefficients depending on a small parameter. The algorithm is implemented with the help of mathematical package Maple.

KEYWORDS

The three-body problem; the libration points; stability; the stability region; bifurcation; periodic solutions; parameter.

Введение

Однои из наиболее интересных в небеснои механике и ее приложениях является ограниченная эллиптическая задача трех тел и различные ее модификации (см., например, [1, 4, 6, 7] и имеющуюся там библиографию). Дифференциальные уравнения этои задачи занимают одно из центральных мест в математике и механике. Несмотря на относительную простоту формулировок и прозрачность основных формул эти уравнения представляют собои чрезвычаино сложныи объект исследования, привлекающии повышенное внимание многих поколении ученых - математиков, механиков, физиков и др. Здесь разработан ряд методов исследования, нашедших многочисленные приложения в математике, небеснои механике, астрономии и других науках. Неугасающее внимание к исследованию дифференциальных уравнении задач небеснои механики связано не только с тем, что они находят свое применение при изучении движения небесных тел. Эти уравнения демонстрируют огромное многообразие качественного поведения решении, от самых простых до сложных хаотических движении. Дифференциальные уравнения задач небеснои механики зависят от различных параметров, что может приводить к тем или иным сценариям бифуркационного поведения.

В настоящеи статье рассматривается плоская ограниченная эллиптическая задача трех тел, уравнения движения которои в координатах Нехвилла имеют вид (см., например, [4, 6]):

/ р. — 1 р. х" — 2у' = р |х — и +--— х--- (х — 1)

1 \ и6 V6

( ц — 1 ц \ у" + 2х' =р{у + —^у — —у),

здесь и = (х2 + у2)1'2 , V = [(х — 1)2 + у2]1'2, р = 1+Е^0,. ^ № - параметр масс (0 < ^ < 1), £ -эксцентриситет кеплеровскои орбиты (0 < £ < 1).

Система (1) имеет пять постоянных решении - точек либрации: прямолинейных ¿2 и Ь3 и треугольных ¿4 и ¿5. В плоскости (х, у) прямолинеиные точки либрации лежат на прямои у =0, а

треугольные точки либрации имеют координаты ¿4(^,7р) и ¿5(^,— ^ . Координаты прямолинеиных точек либрации, в отличие от треугольных, зависят от параметра ^ и явно не выписываются; наити их можно лишь приближенно.

Динамические своиства точек либрации важны как в теоретическом, так и в практическом плане. Здесь особо интересны и важны вопросы об устоичивости по Ляпунову точек либрации и, в частности, зависимости своиств устоичивости от параметров ^ и £, вопросы о существовании в окрестностях точек либрации ограниченных и периодических решении, о качественных перестроиках (бифуркациях) поведения решении системы (1). Отметим, что прямолинеиные точки либрации неустоичивы при всех ^ и малых £. В то же время треугольные точки либрации могут быть как устоичивыми, так и неустоичивыми (более детально это обсуждается ниже) и, следовательно, в их окрестностях возможны различные бифуркации.

Нас будут интересовать как вопросы об устоичивости треугольных точек либрации, так и вопросы о бифуркациях в окрестностях этих точек. С этои целью в плоскости параметров (и, £) системы (1) определим прямоугольник П = {(и, £): 0 < ^ < 1, 0 < £ < 1}. Множество С с П будем называть областью устойчивости системы (1), если для любого (и, £) £ С треугольные точки либрации системы (1) устоичивы в линеином приближении, а для любого (и, £) £ F = П\С эти точки неустоичивы в линеином приближении. При этом множество F будем называть областью неустойчивости системы (1). Точку (и, £) будем называть граничной точкой области устоичивости системы (1), если в каждои ее окрестности имеются точки из С и F. Множество Г граничных точек будем называть границей области устоичивости системы (1).

Обратим внимание на то, что в приведенных здесь понятиях термины «устоичивость» и «неустоичивость» понимаются как устоичивость и неустоичивость точек либрации в линеином приближении. Вопросам построения областеи устоичивости системы (1) и их границ посвящены многочисленные исследования. Известные здесь наиболее полные результаты были получены во второи половине прошлого столетия (см. [6] и имеющуюся там библиографию). Исследования в указанном направлении активно продолжаются (см., например, [2, 5, 11, 12]). На Рис. 1. изображены

Здесь

1 1 769

ип =---= 0,028595... , и* =---= 0,038520... (2)

2 3 , , И 2 18 ,

Заштрихованная область соответствует устоичивости. Граница области устоичивости образована тремя непрерывными линиями Гх, Г2 и Г3. При переходе параметров (u, е) через границы области устоичивости возможны различные бифуркации в окрестностях треугольных точек либрации системы (1), в том числе возникновение периодических и квазипериодических решении (см., например, [1, 3, 9, 10]).

Вопросы построения границ областеи устоичивости системы (1) являются сложными как в теоретическом плане, так и с вычислительнои точки зрения, так как они приводят к необходимости чрезвычаино сложных расчетов, вызванных, в первую очередь, неавтономностью основных уравнении задачи. Известные алгоритмы основаны на сложных конструкциях и соответствующих компьютерных вычислениях (см., например, [6, 11, 12]). В настоящеи работе предлагается новая схема определения границ областеи устоичивости системы (1). Предлагаемая схема построения областеи устоичивости использует систему компьютернои математики Maple.

Основные результаты

Приведем сначала основные результаты работы относительно исследования областеи устоичивости системы (1).

Теорема 1. Для любого ^ £ (и*, 1 — существует S > 0 такое, что при всех 0 < £ < S треугольные точки либрации системы (1) неустойчивы.

Теорема 2. Для любого ^ £ (0,^*) U (1 — 1), ^ Ф Ф 1 — /!0, существует S > 0 такое, что при всех 0 < £ < S треугольные точки либрации системы (1) устойчивы в линейном приближении.

Теорема 3. При ^ £ (0, и малых £ граница области устойчивости системы (1) состоит в точности из трех гладких кривых Г1, Г2 и Г3, первые две из которых выходит на ось р. в плоскости параметров (и, е) в точке ^ = /!0, а третья - в точке ^ = ¡j.*.

Аналогичное теореме 3 утверждение имеет место и для значении ^ £ (1 — 1) и малых £. Рассмотрим теперь задачу построения границы областеи устоичивости системы (1) при ^ £ (0,^*). С целью построения кривых Г± и Г2 положим S = ^ — Тогда кривые Г± и Г2 естественно строить в виде функции £ = f-i(S) и £ = /2 (5), определенных и монотонных на промежутках (—0] и [0,^3 — ;U0) (здесь ^з = 0,04698...) соответственно, при этом /х(0) = /2(0) = 0. Теорема 4. Функции f1 (5) и /2 (5) представимы в виде:

Д(5) = — e1S + f2(S) = e1S + rp2(S), (3)

в котором

£I = /¥= 17,725174... , (4)

а нелинейности^j(S)удовлетворяют соотношениям: ^j(S) = 0(82) при 8^0.

Кривую Г3 также можно строить в виде функции £ = /3(5), где S = ^ — эта функция определена и монотонна на промежутке [0,^3 — при этом /3 (0) = 0. Теорема 5. Функция /3 (5) представима в виде:

/3(5) = C1V5 + ^3(5), (5)

в котором

^ = = 3,529863 ... , (6)

а нелинейность ^3(5)удовлетворяет соотношению: ^3(5) = 0(8) при 8^0.

Отметим, что приводимая ниже схема построения границ областеи устоичивости системы (1) позволяет получить более полные чем (3) и (5) формулы для представления функции fj(S), в частности, формулы вида:

Д(5) = — e1S + £252 + 0(S2), f2(S) = e1S + £252 + 0(S2), f3(S) = ^Js + (25 + O(S) (7) при этом указывается алгоритм вычисления значении коэффициентов £х, £2, ^ и £2.

Отметим также, что аналогичные теоремам 1-5 утверждения (в явнои или неявнои форме) были получены и в работах других авторов (см., например, [4, 6, 7]). В настоящеи работе теоремы 15 получены с использованием предлагаемои ниже новои схемы построения границы областеи устоичивости треугольных точек либрации системы (1) в линеином приближении.

Построение областей устойчивости

В этом параграфе приводится схема построения границ областеи устоичивости системы (1). Предварительные преобразования

На первом этапе предлагаемои схемы проведем некоторые предварительные

преобразования исходнои системы (1). Путем введения новых переменных иг = х,и2 = у,Щ = х',и4 = у', переидем от (1) к равносильнои системе:

( и'1=и3, и'2=и4,

д-1

и'3=2и4+р\ "1-М+ _ " ' з/2"1--Г ?чЗ/2 (Ц!~1)

Д-1

((и1-1)2+и|)"

(8)

и, = -2и3+р[ ц2+ ^ з/2"2—-' 2 ,/2"2

т.е. к системе вида

и' = £, С), и £ Д4,

(9)

где £, у., с) - вектор-функция, определяемая правои частью системы (8).

Точки либрации системы (1) соответствуют постоянным решениям системы (9). В частности, треугольные точки либрации ¿4 и ¿5 соответствуют следующим постоянным решениям системы (9):

V. =

'1/2 73/2

V,- =

1/2 -73/2

Поведение системы (9) одинаково в окрестностях точек либрации у4 и у5. Для определенности будем изучать поведение системы (9) в окрестности точки либрации у4. Так как нас интересуют вопросы устоичивости точки либрации у4 в линеином приближении, то переидем от (9) к линеаризованному (в точке р4) уравнению

к'=Л(£,^,С)к , к£й4, (10)

где А(£,/и, с) = FJ(v4,£,^,t) - матрица Якоби вектор-функции F(u,£,íu,t), вычисленная в точке и = у4; матрица А(£,/и, с) равна:

00 0 0 3

А(£О =

4Р

з7з

—Р(1 — 2^)

0

з7з

—Р(1 — 2^)

4Р

В силу равенства р =

— 2 0

система (10) при 0 < £ < 1 представима в виде

к' = А0(р.)к + (—£соб1 + £2соБ21)А1(^)к + £3А3(е,ц, Ок, к £ Д4

где

Л0(и) =

^(и) =

0 0

3

4

0 0

3

4

373

0 0

0 0

373

9

4

00 00

1 0

0

—2

^(1 — 2^) 0 0

00

(11)

Ниже ограничимся построением только кривых Р± и F2 , при этом для удобства (там, где это не вызывает путаницы) соответствующие искомые функции из (7) будем обозначать одинаково: /(5) = £х5 + £282 + ^(5), в котором коэффициенты £1 и £2 требуют определения, а нелинеиность ^(5) удовлетворяет соотношению ^(5) = 0(83) при 5^0. По сути, речь идет о вычислении производных /'(0) = £1 и /"(0) = 2£2.

Подставим в (11) функции £ = /(5) и р. = р.0 + 8, где - число из (2), и переидем к зависящему от малого параметра 8 уравнению

-=[А0 + 8Р± а, £1) + 82Р2 а, £1, £2)]к + 83Р3 (г, £Х, £2,5)к, где Л0 = А0(^0), £х) = В0 — £1COStЛ1, P2(t, £х,£2) = Е^СО^2^! — £1СОБ1В0 — £^05^!,

в0 = - —

U 2

А± = А1(ц0),

0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1-10 0 0

а матрица Р3 (t, £х, £2, S) является 2я-периодической по t и непрерывной. 3.2. Основные этапы предлагаемого алгоритма

Приведем основные этапы предлагаемого алгоритма компьютерного моделирования границ области устоичивости системы (1) с использованием пакета Maple. Приводимые ниже формулы получены с помощью аппарата символьных вычислении этого пакета, т.е. являются точными.

1. Первый этап. Найдем собственные векторы матрицы А0 , соответствующие ее собственным значениям Л1 = -¿Д2 = —-¿Д3 = — ¿Д4 = — — ¿. Получим:

где

е1 =

3

2 —£ 1

1 V3 .

2 — ivf

1

Г

е, =

\

3

2+г

1

1 V3

2 + 2VT

— Г

е, =

2 2 1

з V31

1 — V2 Vs.

еА =

22 3 V3

1+"F

V2

V3.

— Tl

2. Второй этап. Перейдем в уравнении (12) к базису из векторов е1,е2,е3,е4. Для этого составим из этих векторов матрицу Q и произведем в (12) замену к = Qy.

Q =

3 3

— i — -+ i —

2 Л 2 Л

\

1 1

1 V3 1 V3

77--T=i 77+--T=i

2 2V2 2 2V2

2 2 1

з V3l -

22 3 V3

I

2'

— 2l

1 —V2 Vs.

V2 V3

— Tl

Тогда получим равносильное уравнение

у' = [Л0 + SP1(t, £l) + S2P2 (t, £U £2)]y + S3P3 (t, £u £2, S)y, у ec4

Л = Q~1A0Q =

1 Г 0 0 0 0

1 0 0

0 0 V3 Tl 0

0 0 0 V3

El, £2) = £2 cos2^ — £1COStIi0

здесь B0 = Q 1B0Q и Jk1 = Q 1A1Q. Подсчет показывает, что верны равенства:

fin = —

3V3

—2iV6

2iV6—4

5V2 _ — i —V3 + 2

5V2

— 2iV6—4 2iV6

5V2 _ —2— ^ + V3 + 2

5V2

5V6 4V3 5V6 4V3

■ t +—---2 ——— i-----2

3 3 5V6. 4V3

-i — ■

— —-¿ + V3 + 2 — —-i — V3 + 2

3

2iV2

— 2iV2 + 4

—2

3 3 5V6 4V3

2iV2 + 4

—2iV2

—2

(13)

4l V6 3

-Т + 5г

V3. 3. 3V2 V6

"Tl-2l-~ + T V3 3 3V2 V6 Тг-2£ + ~ + T

V6 2

- 4l

-4l

V3 3 3V2 V6

+ +—r- + -T

2 2 4 4

V3 3 3V2 V6

Тг + 2г-~ + Т

V6 V2 lV3+l-T + T V6 V2 1 "2 2~ 7V3

V3. - —1 + V6 4

К V6 V2-

-lV3 + l-T-T V6 V2 -lV3-l-T + T

V3.

— i + V6 4

7V3

Далее для преобразования системы (13) будем использовать метод М.Розо [8] исследования устойчивости стационарных решении линейных дифференциальных уравнении с периодическими коэффициентами, зависящих от малого параметра. При этом без специальных ссылок будем использовать соответствующие термины и понятия из указанного источника.

3. Третий этап. Учитывая, что для системы (13) не выполняется условие отсутствия Т-резонанса при Т = 2п, произведем в этой системе замену у = е1Р1£г, где

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Pi =

Тогда получим систему

z' = [А + (t, £х) + S2P2 (t, £1; £2)]z + S3P3 (t, £1; £2, S)z ,

где Pj = e~iPltPjeiPlt,

1 -

-2£ 0 0 0

1

0 2 0 0

iPl = V3

0 0 тг 0

V3

0 0 0

Для системы (14) условие отсутствия 2тс-резонанса выполнено. Обозначим элементы матриц е~1р^В0е1р^ и А1= е-^^е"5^. Тогда

Обозначим элементы матриц В0 и А1 через кц и соответственно. Положим В0 =

к1± е ltk12 е ltk13 e~ilk

eltk21 ^22 ^23 ^24

eltk31 ^32 ^33 ^34

^42 ^43 fc44

l1± e~ltll2 e~ltli3 p-Hl e t14

eltl21 ^22 ^23 ^24

^32 ^33 ^34

pit] e t41 ^42 ^43 Z44

¿1 =

При этом матрицы Р1 и Р2 в правои части системы (14) могут быть определены равенствами

Р1(С,£1) = В0 — £1С05М1, Р2(С,£1,£2) = Е^СО^^-Л^ — £1СОБСВ0 — В соответствии с методом М.Розо от (14) переидем к системе

у' = [А + 551(£1) + 5252(£1,£2) + 535за,£1;£2)]у (15)

с постоянными матрицами и 52 и непрерывнои 2я-периодическои матрицеи 53. Тем самым своиства устоичивости системы (14) (а значит, и своиства устоичивости треугольных точек либрации в линеином приближении исходнои системы (1)) можно определить с помощью постояннои матрицы А + 551(е1) + 5252(£1;£2).

4. Четвертый этап. Матрица находится как решение матричного уравнения

2ж

-2 п

j e~AtSeAtdt = j e~JitP1(t,£1)eJitdt.

Применяя пакет Maple, по элементам находим единственное решение этого уравнения:

Sí(£l) =

9¿V2 £i(---O

4 8 J (V3+1) E1/31(V3-3) V3-i 3(V3-i)

fc4i(V3-i) _ Eti4!(Уз+з) 3(V3+i)

,Ve з

£i(--+ "O

4 8 J

3 (V3 + 1) £iii3(V3 -3) k14(l-V3') £1i14(V3'+3)

V3+1

^32 ki7 _

_ 9¿V2

£iÍ32(V3+3)

V3-i ^23 _

3(V3-i) £l(42(V3-3)

3(V3-i) £i'23(V3+3) 3(V3-i)

_ 3¿V6

V3+1 3(V3+i)

£l(24(V3-3)

3(V3+i)

^34 2 £1^34

^43 „ £1

ll43

42 3(73 + 1) ^

Наряду с этои матрицеи определим также матрицу = + ЛС0 — С0А, где

0 0 С13 С14 0 0 С23 С24

С31 С32 0 С34

^с41 с42 с43 0 При этом матрица С0 подбирается так, чтобы выполнялось равенство

9^72 £,(—+ -П 0 0

3¿V6

С0 =

51(£1) =

.V6 з ..

£i (---0

4 8 J

_ 9¿V2

о

_ 3¿V6

0

о о _ 3¿V6 о

о оо 3¿V6J

В соответствии с методом М.Розо собственные значения первого блока матрицы 51(е1) и определяют касательную к границе области устойчивости. Найдем собственные значения этого блока:

(9¿V2_A)( _ 9¿V2 _ Я) _ el + = о, т.е. Я12 = ±^33г1 _ Ю368 .

Отсюда получим число (4), при переходе через которое изменяется топологическии тип матрицы

S1(£1).

Применяя аналогичным способом к системе (15) второи шаг метода М.Розо, наидем матрицу ^г(£1,£г), а затем и коэффициент £2 . Предлагаемым алгоритм нахождения границ областеи устоичивости системы (1) позволяет построить эти границы в виде функции вида (7). При этом использование пакета Maple позволяет точно вычислять соответствующие коэффициенты.

Свойства спектра линеаризованной задачи

Использование символьных вычислении при построении граничных кривых Гх, Г2 и Г3 и, следовательно, получение точных значении коэффициентов е1 и ^ в формулах (3) и (5) позволяют определить те своиства спектра линеаризованнои задачи на указанных граничных кривых, которые важны, например, при изучении задач о бифуркациях в системе (1). Рассмотрим линеиную систему (10). Имеет место следующее утверждение.

Теорема 6. Для всех точек граничных кривых Г1 и Г2 линейная система (10) имеет

мультипликатор -1 кратности 2. Для всех точек (ц, е) граничной кривой Г3 линейная система (10) имеет пару мультипликаторов вида e±2nvi кратности 2, где 1-1/^2 < ф < 1/2.

Заключение

В статье рассмотрены задачи о построении областей устойчивости в линейном приближении треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. Предложена новая схема и разработан алгоритм построения границ областей устойчивости, получены приближенные формулы, описывающие эти границы. Определены свойства спектра линеаризованной задачи на границе областей устойчивости. Разработанный алгоритм реализован с помощью системы компьютерной математики Maple.

Литература

1. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. 304 с.

2. Батхин А.Б., Брюно А.Д., Варин В.П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем. ПММ. 2012. Т. 76. № 1. С. 80-133.

3. Брюно А.Д., Варин В.П. О семействе периодических решений ограниченной задачи трех тел. Астрон. вестник. 2008. Т. 42. № 3. С. 163-185.

4. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука. 1978. 456 с.

5. Куницын А.Л. О построении областей устойчивости в задаче трех тел методом исключения параметра // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 6. С. 886-892.

6. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. 1978. 312 с.

7. Маршал К. Задача трех тел. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004. 640 с.

8. Розо~М. Нелинейные колебания и теория устойчивости.} М.: Наука. 1971. 288~c.

9. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация 4я-периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Астрономический журнал. 2009. Т. 86, № 2. C. 170-174.

10. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркации периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации задачи трех тел. // Известия высших учебных заведений. Математика. 2010. № 6. С. 82-89.

11. Gareth E. Roberts Linear Stability of the Elliptic Lagrangian Triangle Solutions in theThree-Body Problem. // Journal of Differential Equations, 2002. 182. Pp. 191-218.

12. Kovacs T. Stability chart of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2013. V. 430. Issue 4. Pp. 2755-2760.

References

1. Arnol'd V.I., Kozlov V.V., Neyshtadt A.I. Matematicheskie aspekty klassicheskoy i nebesnoy mekhaniki. M.: VINITI, 1985. 304 s.

2. Batkhin A.B., Bryuno A.D., Varin V.P. Mnozhestva ustoychivosti mnogoparametricheskikh gamil'tonovykh sistem. PMM. 2012. T. 76. № 1. S. 80-133.

3. Bryuno A.D., Varin V.P. O semeystve periodicheskikh resheniy ogranichennoy zadachi trekh tel. Astron. vestnik. 2008. T. 42. № 3. S. 163-185.

4. Duboshin G.N. Nebesnaya mekhanika. Analiticheskie i kachestvennye metody. M.: Nauka. 1978. 456 s.

5. Kunitsyn A.L. O postroenii oblastey ustoychivosti v zadache trekh tel metodom isklyucheniya parametra // PMM. 2009. T. 73. Vyp. 6. S. 886-892.

6. Markeev A.P. Tochki libratsii v nebesnoy mekhanike i kosmodinamike. M.: Nauka. 1978. 312 s.

7. Marshal K. Zadacha trekh tel. M.-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovaniy. 2004. 640 s.

8. Rozo~M. Nelineynye kolebaniya i teoriya ustoychivosti.} M.: Nauka. 1971. 288~c.

9. Yumagulov M.G., Belikova O.N. Bifurkatsiya 4n-periodicheskikh resheniy ploskoy ogranichennoy ellipticheskoy zadachi trekh tel. // Astronomicheskiy zhurnal. 2009. T. 86, № 2. C. 170-174.

10. Yumagulov M.G., Belikova O.N. Bifurkatsii periodicheskikh resheniy v okrestnostyakh treugol'nykh tochek libratsii zadachi trekh tel. // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika. 2010. № 6. S. 82-89.

11. E. Gareth, Roberts Linear Stability of the Elliptic Lagrangian Triangle Solutions in theThree-Body Problem. // Journal of Differential Equations, 2002. 182. Pp. 191-218.

12. Kovacs T. Stability chart of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2013. V. 430. Issue 4. Pp. 2755-2760.

Поступила 15.10.2016

Об авторах:

Юмагулов Марат Гаязович, заведующии кафедрои дифференциальных уравнении факультета математики и информационных технологии Башкирского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор, yum_mg@mail.ru;

Сухоруков Артем Валерьевич, магистрант факультета математики и информационных технологии Башкирского государственного университета, soohoy@bk.ru.