CC BY
36
Юмагулов М.Г.1, Беликова О.Н2, Исанбаева Н.Р.3
башкирский Государственный Университет, г.Уфа, д.ф. -м.н., профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений, yum mg@mail.ru
2 Сибайский институт Башкирского Государственного Университета, г.Сибай, к. ф.-м. н., belikova-
oksana@yandex.ru
3Башкирский Государственный Университет, г.Уфа, аспирант кафедры дифференциальных
уравнений, nurgizarifovna@mail.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Устойчивость, задача трех тел, точки либрации, малый параметр, системы компьютерной математики.
АННОТАЦИЯ
В статье предлагается новая общая схема построения областей устойчивости треугольных точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел с использованием систем компьютерной математики MATLAB и Maple.
Введение
^стемы компьютерной математики (MATLAB, Maple, MathCad, Mathematica и др.) становятся все более популярными для исследования сложных задач теории и практики. Эта популярность вызвана не только мощью численных расчетов и возможностью символьных вычислений. В технологии проведения научных расчетов указанные системы стали по сути суперкалькуляторами, позволяющими быстро и эффективно проводить анализ сложных проблем, на решение которых еще 10-20 лет назад требовались бы много часов ручного труда и машинного времени и необходимость создавать специальные программные продукты.
Сказанное в полной мере относится и к классической задаче трех тел. Дифференциальные уравнения задачи трех тел занимают одно из центральных мест в математике и механике. Несмотря на относительную простоту формулировок и прозрачность основных формул эти уравнения представляют собой чрезвычайно сложный объект исследования, привлекающий повышенное внимание многих поколений ученых - математиков, механиков, физиков и др. Здесь разработан ряд методов исследования, нашедших многочисленные приложения в математике, небесной механике, астрономии и других науках (см., например, [1, 2] и имеющуюся там библиографию).
Неугасающее внимание к исследованию дифференциальных уравнений задач небесной механики связано не только с тем, что они находят свое применение при изучении движения небесных тел. Эти уравнения демонстрируют огромное многообразие качественного поведения решений, от самых простых - стационарных решений (точек либрации) - до сложных хаотических движений. Дифференциальные уравнения задач небесной механики зависят от различных параметров, что может приводить к тем или иным сценариям бифуркационного поведения.
Одной из наиболее актуальных как с теоретической, так и практической точек зрения представляется исследование областей устойчивости стационарных решений (точек либрации) дифференциальных уравнений ограниченной задачи трех тел и различных ее модификаций. Известные здесь наиболее полные результаты получены во второй половине прошлого столетия (см. [1,3]). Они основаны на сложных конструкциях и чрезвычайно утомительных компьютерных вычислениях. В настоящей статье предлагается новая общая схема построения областей устойчивости с использованием систем компьютерной математики MATLAB и Maple.
Схема М.Розо
Этот пункт носит вспомогательный характер, хотя приведенные в нем результаты имеют самостоятельный теоретический и практический интерес в задачах анализа устойчивости
стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями. В этом пункте приводится общая схема исследования таких задач. Схема является развитием метода, предложенного в [4].
Рассмотрим зависящее от малого параметра в дифференциальное уравнение
с1г
— = [Л - :Р[г) + г ЧЖ. -5 )]г - ;МГ.Г. -5 ) I а С"\ (1)
ЯГ
где А - постоянная матрица, Р^) и Q^, в) - непрерывные матрицы, а(z,t, в) - вектор-функция, удовлетворяющая условию: ||а (z,t, в)|| = 0(||z\\2) при , при этом Р^) , Q(t, в)
и а(в) являются Г-периодическими по в . Элементы матриц А , Р^) и Q^, в) вектор-функции а (г ^, в) , а также параметр в могут быть как вещественными, так и комплексными.
Предполагается, что матрица А имеет одно или несколько собственных значений с нулевой вещественной частью, а остальные собственные значения имеют отрицательные вещественные части. В этом случае при малых в вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения (1) зависит от мультипликаторов Г-периодической матрицы А +в Р ^) . Отметим в этой связи, что явное построение мультипликаторов матрицы А +в Р ^) возможно лишь в самых простых случаях.
Одним из эффективных способов исследования устойчивости нулевого решения уравнения (1) является предложенная М.Розо [4] схема перехода к равносильному уравнению вида
^ = [Л + еБ + е2£)]у + а(_у, I, еХ у е Слг , [2)
где 5 - постоянная матрица. Переход осуществляется с помощью замены
у = (1-в Н (0) г (3)
где Н ^) - невырожденная Г -периодическая матрица. Такой переход позволяет решить задачу об устойчивости путем построения собственных значений постоянной матрицы А +в 5 , например, методами теории возмущений.
Подставляя [3] в [1], получим уравнение
^ = {А + £[РСО + АН (О - я СОЛ - Я'СО] + г?2<эа, £)}у + «Су. Ь, О- (4)
Уравнение (4) будет уравнением вида (2), если удастся подобрать такую Г-периодическую матрицу Н ^) , для которой матрица 5 = Р (t)+АН ^)— Н ^) А—Н' ^) будет постоянной. С этой целью рассмотрим уравнение
йН
— = 4ЖП - + - 5. (5)
й1
Считая сначала, что постоянная матрица 5 задана, определим условия, при которых уравнение (5) имеет Г-периодическое решение. Общее решение уравнения (5) имеет вид
= еАЛ\ е~Ат(Р (V) -^е^йт + С0
(6)
где С0 - произвольная матрица.
Матрица (6) будет Г-периодической тогда и только тогда, когда Н (0 )= Н (Т) . Отсюда получим равенство
С0 = елтС0е-лт + еАТ [ е'Лт(Р(т) - 5}еАтйте~АТ. (у)
-'о
ТЕОРЕМА 1. Пусть существуют матрицы С0 и 5, связанные равенством (7). Тогда замена (3), где Н(t) - матрица (6), приводит уравнение (1) к виду (2).
Естественен вопрос: существуют ли такие матрицы С0 и 5? Считая С0 фиксированной, перепишем (7) в виде уравнения относительно 5:
Г е~Ат$еАтат = [ е~АтР(т)еАт^т - е~АТС0еАТ + С0. [8)
■Л}
Будем говорить, что для матрицы А выполняется условие отсутствия Г-резонанса, если
» » . соотношению: Л-qi при целых q .
любая пара X 1 и X 2 различных собственных значений этой матрицы удовлетворяет
2 п
т
ТЕОРЕМА 2. Уравнение (8) имеет единственное решение S тогда и только тогда, когда для матрицы Л выполняется условие отсутствия T -резонанса. В частности, при С0 = 0 уравнение (8) имеет вид
I , '■'^■'■¿г = I -- ' РЩ^-' ,-;г. (9)
-о 'а
ТЕОРЕМА 3. Пусть выполнено условие отсутствия Т- резонанса. Тогда замена (3), где
H (t )= eAt
J e—T(P(T)-So)eAтdт
0
e At , а S0 - единственное решение уравнения (9),
приводит (1) к виду (2).
ТЕОРЕМА 4. Пусть выполнено условие отсутствия Т- резонанса. Тогда единственным решением уравнения (8) будет матрица S = S0 — C0 А + АС 0, где S 0 - решение уравнения (9).
СЛЕДСТВИЕ. Если для матрицы Л выполнено условие отсутствия Т - резонанса, то существует бесконечно много различных замен вида (3), приводящих (1) к виду (2).
Пусть теперь для матрицы Л не выполнено условие отсутствия Т -резонанса. В этом случае можно указать предварительное преобразование X =и ) z с Т-периодической невырожденной матрицей , с помощью которых исходную систему (1) можно свести к равносильному виду
(1х ~ ~
— = — ^ О!:.:!] - — ;:;|..Г л ^г;'- (10)
для которого указанное условие уже выполнено.
Пусть, например, для некоторых двух различных полупростых собственных значений X1
и X2 матрицы Л выполнено равенство X1—ХЦ1 при некотором целом ц. Обозначим через
Е1 спектральное подпространство оператора А , отвечающее собственному значению X1, а
N ~ 2 п
через Р1: С — Е1 -- оператор спектрального проектирования. Полагая Р1=—^—фР1 ,
произведем в (1) замену х = ер z с Т- периодической матрицей е?1 *. Тогда получим систему требуемого вида (10), в которой А = А + Р1. 3. Задача трех тел
В этом пункте приводится постановка основной задачи - построение областей устойчивости точек либрации задачи трех тел.
Рассматривается плоская ограниченная эллиптическая задача трех тел, уравнения движения которой в координатах Нехвила имеют вид (см., например, [1]):
(11)
\х"-2у' = р[х-ц + '^х--^(х- 1) ),
/ ft — 1 fi \ у"+2Х'=Р(у+—у--у)1
1
Здесь u=(х2+ V2)1;2, v =[(Х—1 )2+ v211'2, Р =-, ^ -параметр масс, е
v j ) и у J 1+ 8 cos t
-эксцентриситет кеплеровской орбиты.
Система (11) имеет пять постоянных решений - точек либрации. Прямолинейные точки либрации неустойчивы при всех f1 и малых значениях е . В то же время треугольные точки
1 V3) и (1 — V3'
2 ' 2 I и 5( 2' 2
либрации L4I —,-) и L5| —,—— ) могут быть при указанных значениях и £ как
устойчивыми, так и неустойчивыми.
Задача исследования устойчивости треугольных точек либрации оказалась чрезвычайно
сложной. Здесь особо важными представляются определение в плоскости параметров (|Л,, в) областей устойчивости и неустойчивости в линейном приближении и, соответственно, границы между ними. Известные здесь наиболее полные результаты получены во второй половине прошлого столетия (см. [1,3]). Эти результаты схематично (для малых значений параметра масс I1 ) могут быть изображены так, как это показано на Рис. 1.
Рис. 1. Область устойчивости треугольных точек либрации
Заштрихованная область соответствует устойчивости точки либрации L4 в линейном приближении. Граница области устойчивости образована совокупностью непрерывных линий, при переходе параметров в и ц через которые в системе (11) возможны различные бифуркации [2, 5].
Ниже предлагается новая схема определения границы области устойчивости треугольных точек либрации в линейном приближении, основанная на построениях п. 2 настоящей статьи. 4. Построение областей устойчивости
Приведем основные положения определения границы области устойчивости треугольных точек либрации в линейном приближении применительно для построения одной из кривых в = f (ц) , образующих указанную границу. Эта кривая (см. Рис. 1) определена и монотонно
убывает на отрезке [0, ц* ] , где ц = 2—~ 0,028, при этом f (0 )=1 и f (ц*)=0 . Искомую
кривую в= f (ц) предлагается строить в параметрическом виде:
в(б)=в1 6 + в2 S2 +..., ц(б) = ц*+ц! 6 + ц2 S2 + ... где 6 - малый параметр, а в1;В2,..., ц ц2,... -требуют определения.
Ограничимся здесь схемой построения коэффициентов в1 и ц1 . Для построения остальных коэффициентов схема аналогична, но требует более громоздких построений.
Можно считать, что B1 = sinф и Ц1 =cosф при некотором Ф. Переходя от (11) посредством стандартной замены h1 = x ,h2 = y,h3 = x',h4 = y' к системе дифференциальных уравнений первого порядка и, линеаризуя затем правую часть полученной системы в окрестности треугольной точки либрации L4 , получим систему вида
■V = .-I :■.': + [/'■/ i i — M II i r; + ' Д;-: ■ .... г i'-. ^ R 1. (12)
где матрицы A 0M1 (ф),М 2 (ф) и M3 (6 , ф ,t) могут быть получены в явном виде. При этом
' _ . . V з
матрица A0 имеет чисто мнимые собственные значения X 12 = ±i и X34=±/-^ .
Дальнейшее исследование проводится по схеме, изложенной в п. 2. Система (12) имеет вид (1). При этом для матрицы A 0 не выполняется условие отсутствия 7-резонанса при Т=2п. Поэтому на первом этапе применяется преобразование, указанное в конце п. 2; здесь существенно используются системы MATLAB и Maple.
-и0,9884 , ^ и—0,0563 . Полученный результат соответствует
На втором этапе конструируется и затем решается уравнение (9). Этот этап также связан с использованием систем MATLAB и Maple. В результате получаем решение указанного уравнения -матрицу S0(ф) ; она зависит от угла ф .
Наконец, на третьем этапе определяются собственные значения матрицы S0(ф) . Границе области устойчивости соответствуют те углы ф , при переходе через которые изменяется топологический тип матрицы S0(ф) . В результате вычислений получаем следующие значения:
' 10368 АПОО/1 I 33
-и0,9884 , mu, = -J-
10401 1 V10401
изображенной на Рис. 1 области устойчивости, а именно, найденные числа 81 и Ш определяют касательную к кривой 8= f (|Л,) в точке ц.
Литература
1. Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1978. -312 с.
2. Маршал К. Задача трех тел. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 640 с.
3. Nayfeh A.H., Kamel A.A. Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies. / / AIAA Journal, 1970, v. 8, № 2
4. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1971. - 288 с.
5. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация 4 Л -периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Астрономический журнал, 2009 г., Т. 86, № 2. C. 170-174.
