Применение систем компьютерной математики в задачах небесной механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Юмагулов М. Г.1, Беликова О.Н.2, Исанбаева Н.Р.3

1 Башкирский Государственный Университет, профессор, yum mg@ mail . ru

2 Сибайский филиал Башкирского Государственного Университета, старший преподаватель, belikova-oksana@yandex . ru 3 Башкирский Государственный Университет, аспирант, nurgizarifovna@ mail . ru

Применение систем компьютерной математики в задачах небесной механики

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:

Система компьютерной математики, Maple, MatLab, небесная механика, периодические решения.

АНОТАЦИЯ:

В статье рассматривается задача о периодических решениях в окрестностях точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. Приведена схема определения бифуркационных значений параметров задачи, предложены асимптотические формулы для периодических решений. Часть полученных результатов получена и обоснована с применением систем компьютерной математики MATLAB и Maple.

Введение

Дифференциальные уравнения задач небесной механики и, в особенности, классической задачи трех тел занимают одно из центральных мест в математике и механике. Несмотря на относительную простоту формулировок и прозрачность основных формул эти уравнения представляют собой чрезвычайно сложный объект исследования, привлекающий повышенное внимание многих поколений ученых -математиков, механиков, физиков и др. Здесь разработан ряд, ставших уже классическими, методов исследования, нашедших многочисленные приложения в математике, небесной механике, астрономии и других науках (см., например, [1-4] и имеющуюся там библиографию).

Неугасающее внимание к исследованию дифференциальных уравнений задач небесной механики связано не только с тем, что они находят свое применение при изучении движения небесных тел. Эти уравнения демонстрируют огромное многообразие качественного поведения решений, от самых простых - стационарных решений (точек либрации) - до сложных хаотических движений. Дифференциальные уравнения задач небесной механики зависят от различных параметров, что может приводить к тем или иным сценариям бифуркационного поведения.

Одной из наиболее актуальных как с теоретической, так и практической точек зрения представляется исследование бифуркаций в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений

ограниченной задачи трех тел и различных ее модификаций. Здесь разработан ряд эффективных методов исследования, решены многие важные теоретические и практические задачи.

Важное место при изучении бифуркационных явлений в небесной механике занимает компьютерное моделирование. Как правило, чем сложнее бифуркация, тем большее значение принимает необходимость компьютерного моделирования. Более того, при изучении сложных бифуркационных явлений компьютерные вычисления часто выходят на первый план. Аналитические методы исследования задач о бифуркациях, как правило, сталкиваются с трудностями вычислительного характера при анализе конкретных моделей. Поэтому здесь актуальным направлением является разработка численных методов компьютерного моделирования для изучения сложных систем, охватывающих несколько степеней свободы.

В последнее время наметилась тенденция к постоянно растущей популярности использования систем компьютерной математики (MATLAB, Maple, MathCad, Mathematica и др.) для исследования сложных задач теории и практики. Эта популярность вызвана не только мощью численных расчетов и возможностью символьных вычислений. В технологии проведения научных расчетов указанные системы стали по сути суперкалькуляторами, позволяющими быстро и эффективно проводить анализ сложных проблем, на решение которых еще 10-15 лет назад требовались бы много часов машинного времени и необходимость создавать специальные программные продукты.

Сказанное в полной мере относится и к задаче трех тел. В настоящей работе предлагается общая схема качественного и приближенного исследования задач о локальных бифуркациях в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений задач небесной механики с использованием систем компьютерной математики MATLAB и Maple. На их основе получены признаки возникновения периодических и субгармонических колебаний, получены и обоснованы асимптотические формулы для возникающих решений.

Постановка задачи

Рассматривается плоская ограниченная эллиптическая задача трех тел, уравнения движения которой в координатах Нехвила имеют вид (см., например, [1-3]):

X' -2 У' = р fx — ¡Л-\--^ — 1—j X--—-f (X - 1)

^ (х1 + У1)3 (fx - IP + y*J

У' + 2Х=р(у+ жу--^-жу\:

^ (>:+У3)= (СХ - 1)= ч-у3)1 J

1 т±

р=- М=-

р 1 + £ cos t „ m.+mi ,

0<^< 1,е - эксцентриситет кеплеровской орбиты, t - истинная

(11

аномалия, mo, mi - массы активно гравитирующих тел.

Система (1) имеет пять постоянных решений - точек либрации: три из них лежат на одной прямой (прямолинейные точки либрации), а две остальные образуют с телами равносторонние треугольники (треугольные точки либрации). Динамические свойства точек либрации важны как в теоретическом, так и в практическом плане [1-3]. Здесь особо интересен вопрос существования в окрестностях точек либрации ограниченных и периодических решений. Так как в уравнение (1) входит функция cost, то естественным является вопрос о существовании у него периодических решений периода 2п q при некоторых натуральных q .

В настоящей статье уравнение (1) изучается в окрестности

треугольной точки либрации L 4( 2, -у")

При определенных значениях

и

£ = £q

треугольные точки либрации являются [5]

негиперболическими состояниями равновесия системы (1). Вследствие этого система (1) в окрестности треугольных точек либрации при значениях параметров М и е, близких к м = и е = е*д соответственно, может иметь нестационарные 2п ц -периодические решения. Здесь возникает вопрос о том, при каких именно значениях параметров М и е возникают указанные решения.

Основным является следующее определение. Пусть е0>0 и 0 <|д.0<1 . Пару (е0г мо) назовем точкой бифуркации - периодических решений уравнения (1) в окрестности точки либрации L 4, если каждому ¿>0 отвечают значения ее(ео,ео+^) и +$), при которых

уравнение (1) имеет нестационарное 2 п ц -периодическое решение х = ),у=уд^), стягивающееся к точке L4 при ¿^0 .

На первом этапе предлагается в (1) произвести замену х 1=х, х 2=у, х 3= х', х 4=у': Тогда система (1) примет вид:

x'=F( х,м,е,1) ,х eR (2)

где

F ( X, Д, £ , t ) =

X.

2X4 + р

- И + -

-2х3 +р

(

*2

а -1 --

Cxj + xiy

BZll

(xl + xlf

/J

[((%!" 1)] 2 )

l(*l -1)

*2

*2

(3)

Точке либрации системы (1) соответствует точка равновесия

1 (2'2,о,о) СИСТемы (2).

Матрица Якоби вектор-функции (3) вычисленная в точке, определяется равенством

Ate.fi, О =

0 0 1

0 0 0

3 ЗуЗ

4р 4(1 - 2р.)р 0

Зт/З 9 -2

^ - 2/0р 4 р

(4)

Рассмотрим линейную систему

х'=Л (е,ц^) x,x<ERA, (5)

Из общей теории о локальных бифуркациях (см., например, [5]) известно, что бифуркации системы (2) в окрестности точки х* возможны только при тех ц* и £*, при которых точка равновесия системы (2) является негиперболической, т.е. линейная система (5) имеет по крайней мере один мультипликатор, равный по модулю 1. Таким образом, для анализа бифуркаций системы (2) необходимо уметь вычислять мультипликаторы системы (5) и затем проводить дальнейшие исследования. Укажем некоторые результаты, полученные в этом направлении и являющиеся развитием результатов, полученных в [6, 7].

Основные результаты

Пусть сначала е = 0 . В этом случае система (5) является автономной системой и построение мультипликаторов особой проблемы не составляет. А именно, матрица (4) при е = 0 от I не зависит. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид:

27

.

Пусть выполнено условие

О < 27/^(1 -ц)<1 (6)

Тогда все четыре корня уравнения (6) и, соответственно, собственные значения матрицы будут чисто мнимыми: 2 = ±/ Я3 4 = ±/ ш2, где

со

Необходимым условием бифуркации 2 п q -периодических решений уравнения (2) является [6] требование, чтобы либо , либо ыг было

числом вида — . Эти числа при ограничении (6) не могут быть равны 1 ив

q

то же время могут быть любыми из чисел вида — при q>2 . Поэтому задача

q

о бифуркации 2п q -периодических решений уравнения (2) может иметь решение лишь при q>2 .

Рассмотрим для определенности задачу о бифуркации 4 п -периодических решений, то есть пусть q=2. В этом случае

бифуркационным значением параметра ц является число ц0=2-Щ^ .

Теорема 1. Значение (о,Ц0) является точкой бифуркации -периодических решений уравнения (2) в окрестности точки либрации L 4.

Из теоремы 1 следует, что уравнение (2) имеет семейство нестационарных 4 п -периодических решений х = х(е ,ц,г), определенных

при ц, близких к ц0=2--32, малых е>0 и стягивающихся к точке

либрации L4 при и е■0 . В этой теореме не говорится о том, при

каких именно значениях параметров е и ц уравнение (2) имеет решения г(е,ц,t) и каковы асимптотические (по параметрам е и ц ) свойства этих решений.

Для изучения этих вопросов предлагается ввести вспомогательный малый параметр ¿>0 так, что бифурцирующие решения х (е,ц,t) и соответствующие значения £ и Iх представимы в параметрической форме:

хСО = х0 + х^Юб + х.ЮЗ' + ■ ■■ , ¡х = ¡а0+ + ¿£.5: + ■■■,

£ = £±6 + £.8" + -.

Для определения коэффициентов е—,е2, ...ц1 ,ц2,.... разработана программа в системе МА^АВ. Приведем некоторые, полученные по этой программе численные результаты: е—=0, е2= 3,9241, ц—=0, ц2=0,0626 , при этом значения е—=0 и ц—=0 являются точными. Эти результаты показывают, что бифурцирующие - периодические решения уравнения (2) возникают при е=0 и ц>ц0.

Применительно к исходной системе (1) вычисления показывают, что для всех малых ¿>0 при е = 3,924152 + о (¿2) и ц = ц0+0,0626 д2+ о (¿2) система (1) имеет нестационарные 4п -периодические решения х = ) и у=) такие, что:

x5(0) = i- 0,875 4<S + o(5) ^ ? = 0,18345+ 0(5).

-0,306в5+ о(5) у5(0) = 0,3254<5 + о(5)

При е> 0 система (5) является неавтономной системой с периодическими коэффициентами. В этом случае задача существенно усложняется, так как построение ее мультипликаторов в аналитическом виде не представляется возможным. Разработаны алгоритмы и программы в системах MATLAB и Maple, позволяющие решить задачу построения мультипликаторов. Эти алгоритмы базируются на численных результатах построения областей устойчивости треугольных точек либрации в плоской ограниченной эллиптической задаче трех тел [1] и идеях метода малого параметра [8]. Дальнейшее исследование проводится по той же схеме, что в случае £ = 0.

Литература

1. Маркеев А.П.. Точки либраций в небесной механике и космодинамике. -М.: Наука, 1978.

2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. - М.: Наука, 1978.

3. Маршал К. Задача трех тел. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

4. Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. - М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации

векторных полей. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

6. Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал, 2010. Т.2. № 4. С. 3-26.

7. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация -периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Астрономический журнал, 2009. Т. 86, № 2. C. 170-174.

8. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1975.