CC BY
68
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 109-130.
УДК 517.91
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЯЗЫКОВ АРНОЛЬДА ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
М.Г. ЮМАГУЛОВ
Аннотация. Работа посвящена изложению метода локализации языков Арнольда конечномерных динамических систем с дискретным временем - множеств, соответствующих рационально синхронизированным соотношениям параметров системы. Такие множества отвечают областям значений параметров, при которых система имеет циклы определенных периодов. Метод позволяет получить приближенное представление языков Арнольда, изучить их свойства в основных и неосновных резонансах.
Ключевые слова: бифуркация, динамические системы, языки Арнольда, операторные уравнения, функционализация параметра.
Mathematics Subject Classification: 37G10, 37G15.
Pacs: 05.45.-a Nonlinear dynamics and chaos
1. Введение
Одним из интересных и важных с теоретической и практической точек зрения понятий теории динамических систем является понятие языков Арнольда [1]—[3] - множеств, соответствующих рационально синхронизированным соотношениям параметров системы. Такие множества отвечают областям значений параметров, при которых система имеет циклы определенных периодов. Различные вопросы, связанные со свойствами и приложениями языков Арнольда в нелинейной динамике, обсуждались в ряде работ (см., например, [1]-[8] и имеющуюся там библиографию).
Систему языков Арнольда можно наблюдать во многих задачах нелинейной динамики. Например, в задаче о потере устойчивости цикла периода T автономной системы при прохождении мультипликатора цикла через единичную окружность в качестве параметров системы можно рассматривать модуль и аргумент мультипликатора. В этом случае на плоскости параметров образуются узкие клювообразные множества (языки), выходящие
Р
своим острием на точки е2жвг единичной окружности, где в = — - рационально; такие
q
множества соответствуют областям существования qT-периодических решений системы,
возникающих в окрестности исходного цикла периода T.
Другим примером, где естественным образом возникают языки Арнольда, является
задача о синхронизации автоколебательной системы, имеющей собственную частоту v0,
внешним сигналом частоты v. Здесь в качестве параметров можно использовать отно-V
шение частот к = — и амплитуду а внешнего сигнала. На плоскости параметров (к, а) v0
M.G. Yümaguloy, Localization of Arnold tongues of discrete dynamical systems.
© Юмагулов М.Г. 2013.
Работа выполнена при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований: 10-01-93112-НЦНИЛ_а и 11-01-97009 -“Поволжье” и программы ГНТП РБ “Инновационные технологии Республики Башкортостан: физико-математические основы и технические решения” (2011-2012 гг.).
Поступила 26 февраля 2012 г.
образуется характерная структура областей режимов, которая представляет собой области синхронизации с разным соотношением частот V и щ. Эти области имеют вид языков, выходящих из каждого рационального числа на оси к; соответствующим значениям параметров к и а, отвечают области периодических (как правило, длиннопериодических) режимов системы. Между языками существуют области квазипериодических режимов с иррациональным соотношением частот.
В настоящей статье приводятся основные положения нового операторного метода локализации языков Арнольда конечномерных динамических систем с дискретным временем. Метод позволяет получить приближенное представление этих множеств, изучить их свойства в основных и неосновных резонансах. При обосновании метода получены новые асимптотические формулы для решений задач о бифуркациях циклов динамических систем, позволяющие провести детальный анализ бифуркаций.
1.1. Бифуркация д-циклов. Рассматривается конечномерная динамическая система с дискретным временем
Хп+1 = Г (х,п,р), п = 0,1, 2,..., Хк е ЕМ , (1)
зависящая от параметра ^ е Ят. Предполагается, что функция Г(х,^) определена и непрерывно дифференцируема по совокупности переменных на множестве
П = |(х,^): ||х|| ^ 61 , ||^ - ^о|| ^ ¿2} ,
где 61 и 62 - некоторые положительные числа; здесь и ниже запись || • || используется для обозначения евклидовых норм в пространствах и Кт.
Как обычно, т-циклом или т-периодическим решением системы (1) будем называть такой набор различных векторов х0, х1, х2,... , х*т-1, что:
х1 = гх2 = г...,хт-1 = г(x*m-2,v), х0 = г(хт-1,^);
При т =1 приведенное определение переходит в понятие точки равновесия (неподвижной точки) системы (1): вектор х2 является точкой равновесия, если х2 = Г(х0,^).
Пусть система (1) при всех значениях ^ имеет точку равновесия х2 = 0, т.е. Г(0,^) = 0. Обозначим через А(^) = Г'х(0,^) матрицу Якоби функции Г(х,^), вычисленную в точке х = 0. Основным является предположение:
Б1) матрица А(^0) имеет пару простых собственных значений е±2п0°г, где 0 < 0о ^ - и 0о
рационально: 00 = — - несократимая дробь.
9
При этом предполагается, что остальные собственные значения матрицы А(^0) не равны
1 по модулю.
В указанных предположениях точка равновесия х2 = 0 системы (1) при ^ = ^0 является (см., например, [4]) негиперболической, а значение ^ = ^0 является бифуркационным. Коразмерность соответствующей бифуркации равна двум. Поэтому здесь естественным будет предположение, что параметр ^ является двумерным, т.е. ^ = (а, в), где а и в -скалярные параметры; положим также ^0 = (а0,во).
Пусть Р - это плоскость параметров ^ = (а,в) системы (1). Сценарии бифуркаций в окрестности точки равновесия х2 = 0 системы (1) определяются характером перехода параметра ^ е Р через точку ^0. Этот переход может осуществляться по бесконечному числу различных направлений: по прямым или кривым, проходящим через точку ^0. Здесь могут возникать или исчезать периодические решения различных периодов.
Одним из основных сценариев (но не единственным) здесь является бифуркация 5-циклов системы (1), когда при значениях параметров ^, близких к ^0, у системы (1) возникают циклы периода д, при этом амплитуды циклов стремятся к нулю при стремлении точки ^ к ^0. Другими словами, значение ^0 является точкой бифуркации д-циклов
системы (1), если существует последовательность ^к ^ такая, что при ^ ^к система
(1) имеет д-цикл х!к,х'к,х^к,...,хк_ 1, причем тах ||хк|| ^ 0 при к ^ ж.
о^з^д-1
1.2. Языки Арнольда. С целью описания возможных сценариев бифуркаций системы (1) в окрестности точки равновесия х2 = 0 обозначим через К множество тех точек плоскости Р параметров (а, в), при которых матрица А(а,в) имеет собственное значение Л, |А| = 1. Множество К обычно представляет собой некоторую гладкую кривую на плоскости Р.
На плоскости Р образуется характерная структура областей режимов нелинейной системы (1), которая представляет собой области синхронизации с разным соотношением параметров а и в. Эти области имеют клювообразную форму или языка Ф(а2,в*), вершины которых лежат в тех точках (а2, в2) кривой К, в которых матрица А(а2,в2) имеет
собственные значения е±2пГг с рациональным 02: 02 = — (см. рис. 1).
т
Рис. 1. Языки Арнольда на плоскости параметров
Такие языки соответствуют областям значений параметров (а, в), при которых система (1) имеет периодические режимы периода т, амплитуды которых стремятся к нулю при стремлении точки (а,в) к (а2,в2). Другими словами, множество Ф(а2,в2) содержит те последовательности (ак,вк) ^ (а2,в2), при которых реализуется сценарий бифуркации т-циклов системы (1).
Например, в силу условия Б1) верно включение (а0,в0) е К, так как матрица А(а0,в0)
—
имеет собственные значения е±2п0°г, где 0о = —. Соответствующий язык Ф(а0, в0) представ-
д
ляет множество тех значений параметров (а, в), при которых система (1) имеет д-циклы, амплитуды которых стремятся к нулю при стремлении точки (а, в) к (ао,во).
Таким образом, указанные языки Ф(а2,в2) соответствуют рационально синхронизированным (в естественном смысле) соотношениям параметров а и в. Между указанными языками существуют области квазипериодических режимов с иррациональным соотношением параметров. Основные черты этой картины были выявлены российским математиком В.И. Арнольдом [1], так что система языков синхронизации, соответствующих рационально синхронизированным соотношениям параметров, получила название языков Арнольда [2], [3].
Указанная структура областей режимов имеет локальный характер. При удалении параметров а и в от точки (а2,в2) области периодических режимов вытесняют квазипе-риодические, и языки начинают перекрываться. Становится возможным хаос. Систему языков Арнольда можно наблюдать в возбуждаемых периодическим сигналом автоколебательных системах, в задачах о взаимной синхронизации двух автоколебательных систем и др. (см., например, [5], [6]).
В литературе понятие языков Арнольда может вводиться и в других интерпретациях. Часто (см., например, [3], [7]) это понятие вводится в терминах спектральных характеристик матрицы А(а,в). Эта интерпретация также используется в настоящей работе; приведем ее.
Пусть С - это комплексная плоскость, а Б = {г : |г| = 1} - единичная окружность на этой плоскости. Пусть значение ^ = (а2,в2) системы (1) является точкой бифуркации т-циклов. Для реализации у системы (1) такого сценария требуется, чтобы матрица А(^) имела собственные значения из некоторого множества и(т) е С, представляющего собрание узких клювообразных множеств Ф(/,т), где 0 < — ^ - и число---------несократимая
т 2 т
дробь.
Множества Ф(/, т) и называют языками Арнольда на комплексной плоскости С. Каждое
множество Ф(/,т) своим клювом упирается в точку е2п0 г окружности Б, где 02 = —.
т
Типичный язык Арнольда Ф(/, т) заключен между двумя гладкими кривыми 71 и 72, как это изображено на рис. 2.
Рис. 2. Языки Арнольда на комплексной плоскости
При т ^ 5 эти кривые соприкасаются в точке е2п0 г; в этом случае язык Арнольда Ф(/,т) в малой окрестности точки е2п0 г фактически вырождается в кривую (рис. 2а)). При т ^ 4 язык Арнольда Ф(/,т) представляет собой существенно более широкое множество (рис. 2 Ь)).
Такое устройство языков Арнольда обусловливается структурой так называемых резонансных членов в тейлоровском разложении отображения ^(х,^) в нуле. За существование циклов малых периодов т ^ 4 отвечают главные резонансные члены. Соответственно, циклы малых периодов у системы (1) наблюдаются достаточно часто, а длиннопериодические циклы (при т ^ 5) являются нетипичными и наблюдаются редко.
На единичной окружности Б комплексной плоскости С имеется счетное множество точек вида е2п0г с рациональными 0, причем они плотно расположены на окружности. Каждой такой точке соответствует свой язык Арнольда. В частности, это означает, что в однопараметрическом случае (т.е. когда параметр ^ является скалярным) при переходе ^ через ^0 в общей ситуации у системы (1) в окрестности точки х = 0 возникают и исчезают длиннопериодические циклы. Указанный эффект (субфуркация периодических колебаний) был впервые отмечен В.С. Козякиным [9].
2. Постановка задачи
В настоящей работе приводится схема, позволяющая локализовать языки Арнольда Ф(р,д) системы (1). С этой целью укажем несколько упрощающих предположений.
Во-первых, для простоты изложения будем предполагать, что система (1) является двумерной, т.е. N = 2. Случай, когда N ^ 3, может быть сведен к двумерному, например, на основе теорем о центральном многообразии (см., например, [4]).
Во-вторых, нам удобно считать, что параметры а и в системы (1) связаны простыми соотношениями с собственными значениями матрицы А(^). Воспользуемся тем фактом, что в силу теории возмущений линейных операторов [10] матрица А(^) при каждом близком к ^0 значении двумерного параметра ^ имеет единственное близкое к е2п0°г собственное значение Л = р(^)е2п0(м)г, при этом функции р(^) и 0(^) являются гладкими и выполняются равенства р(^0) = 1 и 0(^о) = 0о. Определим функции а = а(^) = р(^) — 1 и
в = вЫ = 0М — 0о.
Без ограничения общности будем предполагать, что параметрами системы (1) являются именно эти а и в .А именно, будем считать, что матрица А(а,в) имеет вид
А(а, в) = (1 + а)^(в) , (2)
где
Q(e ) =
cos2n(0o + в) — sin 2^(00 + в) sin 2n(0o + в) cos 2n(0o + в)
Матрица А(а,в) имеет пару простых собственных значений
А(а, в) = (1 + а)е±2п№+в)г. (4)
При этом матрица A (а, в) удовлетворяет условию S1) при а = 0 и в = 0.
Таким образом, рассматривается двумерная динамическая система с дискретным временем
xn+1 = А(а,в )xn + а(хп,а,в), n = 0,1, 2,..., xn G R2 , (5)
в которой А(а,в) - это матрица (2), нелинейность а(ж,а,в) удовлетворяет соотношению ||а(ж, а, в)|| = 0(||ж||2) при ||ж|| ^ 0 равномерно по а и в. Будем считать, что нелинейность а (ж, а, в) представима в виде:
а(ж, а, в) = а2(ж, а, в) + аз (ж, а, в) + а4(ж, а, в), (6)
где а2(ж, а, в) и а3(ж,а,в) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по ж слагаемые, а а4(ж,а,в) является гладкой по ж, при этом а4(ж,а,в) = 0(||ж||4), ж ^ 0, равномерно по а и в-
Основной задачей, рассматриваемой в данной работе, является локализация языков Арнольда Ф(р,д) системы (5).
3. Переход к операторным уравнениям Основой последующих построений является следующая
Теорема 1. Значение = (0, 0) является точкой бифуркации д-циклов системы (5).
Доказательства этого и других основных утверждений работы приводятся в п. 7.
Для более детального изучения бифуркации д-циклов системы (5) нам понадобятся некоторые вспомогательные построения.
Периодические решения периода д системы (1) определяются решениями операторного уравнения
ж = Р(9)(ж,^), (7)
где
Р (?)(ж,^) = р' (Р(- • • (Р (ж,^),^) •••)).
А именно, верно следующее очевидное утверждение.
Лемма 1. Вектор ж* является решением уравнения (7) тогда и только тогда, когда ж* либо является неподвижной точкой системы (1), либо определяет цикл ж0 = ж*,
ж1 = Р(ж0,^), ж2 = Р(ж1 ,^), ... , жг-1 = Р(жг-2,^) периода г этой системы, где г -
делитель числа д.
Например, если д = 6, то решения уравнения (7) могут быть либо неподвижными точками системы (1), либо определяют ее циклы периода 2, 3 или 6.
В частности, уравнение (7) для системы (5) принимает вид
ж = В(^)ж + 6(ж,^), (8)
где ^ = (а, в), матрица В(^) определяется равенством
ЯМ = А9М , (9)
а нелинейность 6(ж, ^) имеет аналогичное (6) представление вида
6(ж, ^) = 62(ж, ^) + 63 (ж, ^) + 64(ж, ^) , (10)
При этом верна
Лемма 2. Квадратичная нелинейность 62(ж,^) в (10) представима в виде
62(ж, ^) = А9-1а2(ж, ^) + А9-2а2(Аж, ^)+ (11)
+ • • • + Аа2(А9 ж, ^) + а2(А9 ж, ^), а кубическая нелинейность 63(ж,^) - в виде
63(ж, ^) = А9-1а3(ж, ^) + А9-2а3(Аж, ^)+ (12)
+-+ Аа3(А9-2ж,^) + а3(А9-1ж, ^) + ^(ж, ^),
где
д3(х,^) = Л9 2а;2ж(Лх,^)а2(х,+ А9 3а;2ж(Л2х,^)[Ла2(х,+ а2(Лх,^)] +
+ ■ ■ ■ + ^2Х(Л9 X, ^)[Л9 Й2(ж, ^) + Л9 Й2(Лх, ^) + ■ ■ ■ + Й2(Л9 X, ^)] .
Здесь используются обозначения: Л = Л(^), а;2ж(х,^) - матрица Якоби вектор-функции
В справедливости формул (9)—(12) несложно убедиться непосредственным подсчетом.
Одним из важных свойств бифуркации д-циклов системы (5) является свойство ее направленности; приведем соответствующее определение. Пусть е Е Я2 - некоторый ненулевой вектор. Значение ^0 = (0,0) параметра ^ = (а, в) назовем правильной точкой бифуркации д-циклов системы (5) по направлению вектора е, если существуют е0 > 0 и определенные при е Е [0, е0) непрерывные функции а = а(е), в = в(е) и ж = ж(е) такие, что:
1) а(0) = 0 , в(0) = 0 , ж(0) = 0;
2) ||ж(е) — ее|| = о(е) при е ^ 0;
3) для каждого е > 0 вектор ж(е) является точкой д-цикла системы (5) при а = а(е) и
Векторы ж(е) и функции а = а(е) и в = в(е) назовем бифурцирующими решениями системы (5).
Правильные точки бифуркации соответствуют тому, что система (5) при а = а(е) и в = в(е) имеет д-цикл, стартующий из точки ж(е), при этом кривая ж = ж(е) в пространстве Я2 при е ^ 0 асимптотически стремится к прямой ж = ее.
Теорема 2. Значение ^0 = (0, 0) параметра ^ = (а, в) является правильной точкой бифуркации д-циклов системы (5) по направлению любого ненулевого вектора е.
Приведем формулы, позволяющие более детально изучить свойство правильности бифуркации д-циклов системы (5). С этой целью определим векторы
Сі -С2
, д =
С2 Сі
компоненты Сі и с2 которых таковы, что с2 + с2 = 1. Другими словами, е — произвольный единичный вектор: ||е|| = 1, а единичный вектор д ортогонален вектору е. Полагая в (11) и (12) х = е и ^ = (0, 0), определим векторы
а2 (х, ^).
4. Правильные бифуркации
в = в (є).
62 = Ьі(е,^о) , Ьз = 6з(е,^о);
(14)
в частности, из (11) и (2) получим
62 = Q9 1Й2(е,^о)+ Q9 2Я2(^е,^о) +
(15)
+ • • • + ^Й2(^9 2е, ^0) + Й2(^9 1е, ^0) , где Q = д(0), а ^(в) - матрица (3). Из (2) и (12) может быть получена аналогичная формула для вектора 63.
Определим числа
и векторы
еі — аіе + від,
(17)
(18)
+«1^19(1 + 2п + 2nq)g + &2x ■ (aie + в1д) + ai&2a + ^1^2^ ; здесь &2x = b2x(e,^o) - матрица Якоби нелинейности (11), вычисленная в точке x = e при ^ = ^0 = (0, 0), &2« и &2в - производные нелинейности (11) по параметрам a и в соответственно, вычисленные в точке x = e при ^ = ^0 = (0, 0).
Наконец, положим
a2 = --(Х + b3,e) , в2 = — ^(Х + b3,g) , (19)
q 2nq
e2 = a2e + в2д . (20)
4.1. Бифуркации в случае нечетного q. Свойства бифуркации q-циклов системы (5) во многом зависят от того, является ли q четным или нечетным. Рассмотрим сначала случай нечетного q.
Теорема 3. Пусть число q является нечетным. Пусть e и g - единичные векторы (13). Тогда существующие в соответствии с теоремой 2 бифурцирующие решения х(е), а(е) и в(е) системы (5) представимы в виде:
а(е) = eai + e2a2 + аз(е) , в(е) = ев1 + е2в2 + аз(е) , (21)
х(е) = ee + e2e1 + e3e2 + e3(e) ; (22)
в этих формулах а3(е), в3(е) и e3(e) - это некоторые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношениям:
а3(е) = o(e2), в3(е) = o(e2), ||e3(e)|| = o(e3) при e ^ 0 . (23)
Функции (21) в плоскости P параметров (а, в) системы (5) задают непрерывную кривую
w(e), начинающуюся (при е = 0) в начале координат (рис. 3а)).
Рис. 3. Кривые бифурцирующих решений
Эти функции зависят от чисел p и q, а также вектора e; поэтому кривая w(e) различна для разных p, q и e. Аналогично, функция (22) в фазовом пространстве R2 системы (5) задает непрерывную кривую х(е), которая при е = 0 соприкасается в начале координат с вектором e (рис. 3b)).
Из теорем 1 и 3 следует, что в случае нечетного q для любого единичного вектора e G R2 семейство возникающих q-циклов системы (5) содержит непрерывные ветви циклов, которые стартуют из определенных равенством (22) точек кривой х(е) при значениях параметров, принадлежащих кривой ^(е). Другими словами, значение ^ = ^0 = (0,0) является правильной точкой бифуркации q-циклов системы (5) по направлению вектора e. Формулы (21) и (22) будем называть асимптотическими формулами для возникающих бифурцирующих решений системы (5).
4.2. Бифуркации в случае четного q. Рассмотрим теперь случай четного q.
Лемма 3. Пусть q - четно. Тогда определенный равенством (15) вектор b2 является нулевым: b2 = 0.
Следствие 1. Пусть q - четно. Тогда числа (16) и векторы (17) и (18) являются нулевыми:
а1 = 0 , в1 = 0 , e1 = 0 , х = 0 , (24)
а числа (19) и вектор (20) равны
а2 = - -(&3, e) , в2 = — T7~(b3,g) , (25)
q 2nq
e2 = a2e + в2д . (26)
Теорема 4. Пусть число q является четным. Пусть е и g - единичные векторы (13). Тогда существующие в соответствии с теоремой 2 бифурцирующие решения х(є), а(є) и в(є) системы (5) представимы в виде:
а(є) = є2а2 + аз (є) , в(є) = є2в2 + вэ(е), (27)
х(є) = єе + є3Є2 + ез(є) ; (28)
в этих формулах числа а2 и в2 и вектор е2 определяются равенствами (25) и (26), а а3(є), в3(є) и е3 (є) - это некоторые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношениям (23).
Таким образом, основное различие четного и нечетного q в сценарии бифуркации
q-циклов системы (5) по направлению вектора е состоит в виде асимптотических фор-
мул для бифурцирующих решений. В частности, в случае четного q главные асимптотики формул (27) и (28) не зависят от квадратичных слагаемых. Справедливы также следствия.
Следствие 2. Пусть в условиях теоремы 3 числа (16) являются ненулевыми. Пусть для определенности а1 > 0 и ві > 0. Тогда значение ^ = ^0 = (0, 0) является правильной точкой бифуркации q-циклов системы (5) по направлению векторов е и —е. Возникающие при этом две непрерывные ветви q-циклов таковы, что одна из них существует при а > 0 и в > 0, другая - при а < 0 и в < 0.
Следствие 3. Пусть в условиях теоремы 4 числа (25) являются ненулевыми. Пусть для определенности а2 > 0 и в2 > 0. Тогда значение ^ = ^0 = (0, 0) является правильной точкой бифуркации q-циклов системы (5) по направлению векторов е и —е. Возникающие при этом две непрерывные ветви q-циклов таковы, что обе они существуют при а > 0 и в > 0.
Другими словами, в естественном смысле в случае нечетного q бифуркация q-циклов системы (5) является транскритической, а в случае четного q является бифуркацией типа “вилки” (см., например, [4]).
Теоремы 3 и 4 указывают асимптотические формулы, позволяющие получить приближенное представление возникающих в окрестности нулевого состояния равновесия q-циклов системы (5), а также соответствующих значений параметров а и в. Эти формулы используются ниже для локализации языков Арнольда Ф(р, q) системы (5).
5. Локализация языков Арнольда
5.1. Вспомогательные построения. Пусть е и g - единичные векторы (13) лим на комплексной плоскости C кривую Y(p, q, е), описываемую уравнением
z = р(є)е^(є)г, 0 ^ є ^ 1,
где
р(є) = 1 + а(є), <р(є) = 2п(6»о + в (є));
здесь а(є) и в (є) - это функции (21) или (27) (в зависимости от свойства четности числа q). При є = 0 точка кривой Y(p, q, е) совпадает с точкой е2п0°г (рис. 4).
Рис. 4. Кривая синхронизации
Собственные значения определенной равенством (2) матрицы А(а,в) - это числа (4). С другой стороны, в силу теорем 3 и 4 у системы (5) реализуется сценарий бифуркации q-циклов по направлению вектора е, если собственные значения матрицы А(а,в) - это точки кривой Y(p, q, е) (при малых є ^ 0). Поэтому кривую Y^q^) можно рассматривать как одну из непрерывных ветвей собственных значений матрицы А(а, в), вдоль которой реализуется сценарий бифуркации q-циклов системы (5). Эту кривую будем называть кривой синхронизации, соответствующей бифуркации q-циклов по направлению вектора е.
. Опреде-(29)
Кривая синхронизации при малых е ^ 0 располагается в языке Арнольда Ф(р, д) системы (5).
Кривая Т(р, д, е) при фиксированных р и д зависит от вектора е: для разных е получим и различные кривые Т(р, д, е), при этом кривая Т(р, д, е) в естественном смысле (например, в метрике Хаусдорфа) непрерывно зависит от вектора е. Это позволяет определять язык Арнольда Ф(р, д) системы (5) как совокупность (по различным векторам е Е Л2) всех кривых синхронизации.
А именно, язык Арнольда Ф(р,д) системы (5) ниже будет определяться по следующей схеме. Определим континуальное семейство векторов (0 ^ ^ 2п):
е(і)
сое £ вт £
— від і сое і
(30)
Для любого £ векторы е(£) и д(£) являются единичными векторами вида (13). Для каждого £ Е [0, 2п] определим кривую Т(р, д, е(£)) (точка каждой из этих кривых синхронизации при е = 0 совпадает с точкой е2п0°г).
Языком Арнольда Ф(р,д) системы (5) будем называть множество
ф(р,д)= и Т(р,д,е(£)). (31)
*€[0,2п]
В следующих пунктах решается основная задача о локализации множеств (31).
5.2. Семейства правильных бифуркаций. Для каждой фиксированной пары векторов е(£) и д(£) имеют место аналоги теорем 3 и 4. Для получения таких утверждений следует в (11) и (12) положить х = е(£) и ^ = ^0 = (0, 0) и определить зависящие от параметра £ Е [0, 2п] векторы
Ыг) = Ые(£),^о), Ьз(£) = бз(е(г),^о); (32)
в частности, из (2) и (11) получим
Ы*) = 0,-1а2(е(£),^о) + ^9-2«2 (^е(£),^о) +-----------------------------+ (33)
+^Й2(^9 2е(£),^о)+ а2(^? 1 е(£),^0) , где ^ = д(0). Аналогично, из (2) и (12) может быть получено представление вектора Ь3(£). Далее, определим функции
а1(і) = — 1 (Ь2(і),Є(і)) , ві(і) = — -1- (&2(і),£(і))
д 2п-
и
Х(і) = -
2а2(і)(1 + -) — 2пв2(і)(1 + п-)
е(і) +
(34)
(35)
+а (£)в1(£)д(1 + 2п + 2пд)д(£) +
+Ь2х(£) ■ (а1(£)е(£) + + а1(£)Ь2«(£) + в1(£)Ь2в(£);
здесь Ь;2х(£) = Ь2х(е(£),^о) - матрица Якоби нелинейности (11), вычисленная в точке х = е(£) при ^о = (0, 0), Ь2«(£) и Ь2в(£) - производные нелинейности (11) по параметрам а и в соответственно, вычисленные в точке х = е(£) при ^ = ^о = (0, 0).
Наконец, положим
а2(і) = — 1(Х(і) + Ь3(і),е(і)) , в2(і) = — 7^(Х(і) + Ь3(і),#(і)) .
- 2п-
(36)
При каждом фиксированном £ приведенные формулы приводят к аналогам теорем 3 и
4. А именно, верны следующие утверждения.
Теорема 5. Пусть число д является нечетным. Пусть е = е(£) и д = д(£) - векторы (30) при фиксированном £ Е [0, 2п]. Тогда существующие в соответствии с теоремой 2 бифурцирующие решения х(е,£), а(е,£) и в(е,£) системы (5) представимы в виде:
х(е,£) = ее(£) + е1(е,£), (37)
а(е,£) = еа^) + е2а2(£) + аз(е,£), в(е,£) = ев^) + е2в2(£) + вз(е,£), (38)
где е1(е,£), а3(е,£) и в3(е,£) - это некоторые непрерывные по совокупности переменных
и 2п-периодические по £ функции, удовлетворяющие соотношениям
е1(е,£) = о(е), а3(е, £) = о(е2) , в3(е,£) = о(е2) при е ^ 0 (39)
равномерно по £ Е [0, 2п].
Теорема 6. Пусть число д является четным. Пусть е = е(£) и д = д(£) - векторы (30) при фиксированном £ Е [0, 2п]. Тогда существующие в соответствии с теоремой 2 бифурцирующие решения х(е,£), а(е,£) и в(е,£) системы (5) представимы в виде:
х(е,£) = ее(£) + е1(е,£), (40)
а(е,£)= е2а2(£) + а3(е,£) , в(е,£)= е2в2^) + в3(е,£) , (41)
где
а2(£) = --(Ь3(£),е(£)) , в2(£) = -(Ь3(£),д(£)), (42)
д 2пд
е1 (е,£), а3(е,£) и в3(е,£) - это некоторые непрерывные по совокупности переменных и 2п-периодические по £ функции, удовлетворяющие соотношениям (39).
Формулы (37) и (40) могут быть уточнены аналогами приведенных в теоремах 3 и 4 асимптотических формул (22) и (28). Однако, ниже нас будут интересовать только асимптотические формулы (38) и (41).
5.3. Основные утверждения: слаборезонансный случай. Приведем теперь основные утверждения работы, позволяющие локализовать определенные равенством (31) языки Арнольда Ф(р,д) системы (5). Здесь принципиально различными являются случаи д ^ 5 и д ^ 4. Первый из этих случаев называют слаборезонансным, а второй - сильнорезонансным. Рассмотрим сначала слаборезонансный случай.
Лемма 4. Пусть д ^ 5. Тогда определенные равенством (34) функции для любого £ равны нулю: а1(£) = 0, в1(£) = 0.
Следствие 4. Пусть д ^ 5. Тогда определенная равенством (35) функция х(£) является нулевой: х(£) = 0, а функции (36) совпадает с функциями (42).
Лемма 5. Пусть д ^ 5. Тогда функции (36) и (42) являются константами, равными соответствующим числам (25).
Теорема 7. Пусть д ^ 5. Тогда язык Арнольда Ф(р,д) системы (5) определяется равенством (31), в котором Т(р, д,е(£)) - это (при фиксированном ¿) кривая, описываемая
уравнением
г = (1 + а(е, ¿))е2п(0°+в(£,*))*, 0 ^ е ^ 1. (43)
Здесь
а(е,£) = а2е2 + е3а3(е,£) , (44)
в(е,£) = в2е2 + е3в3(е,£); (45)
а2 и в2 - числа (25), а функции а3(е,£) и в3(е,£) непрерывны и являются 2п-периодическими по £.
Из равенств (44) и (45) следует, что для д ^ 5 при малых е ^ 0 языки Арнольда Ф(р, д) системы (5) чрезвычайно узкие. А именно, если числа (25) являются ненулевыми, то множество Ф(р,д) локально можно отождествить с кривой Ф(р, д), описываемой уравнением
г = (1 + а2^)е2п(б°+в2^ , 0 ^ С ^ - , (46)
начинающейся (при С = 0) из точки е^°г на единичной окружности Б Е С; здесь ^о = 2пр/д.
Из равенств (44) и (45) вытекает также следующий факт. Пусть числа (25) являются ненулевыми, причем пусть для определенности а2 > 0 и в2 > 0. Тогда язык Арнольда Ф(р,д) системы (5) соответствует тем значениям параметров а и в, для которых выполнены неравенства а > 0 и в > 0.
5.4. Основные утверждения: сильнорезонансный случай. Рассмотрим теперь сильнорезонансный случай, т.е. пусть 2 ^ д ^ 4. В этом случае языки Арнольда Ф(р,д) системы (5) в естественном смысле существенно шире, чем при д ^ 5. Пусть сначала д -четно.
Теорема 8. Пусть д = 2 или д = 4. Тогда язык Арнольда Ф(1,д) системы (5) определяется равенством (31) (где р =1, а д = 2 или д = 4), в котором Т(р, д, е(£)) - это (при
фиксированном ¿) кривая, описываемая уравнением (43) при
а(е,£) = а2(£)е2 + е3а3(е,£), (47)
в (е,£) = в2(£)е2 + е3 в3(е,£); (48)
здесь а2(£) и в2(£) - функции (42) (при д = 2 или д = 4), а функции а3(е,£) и в3(е,£) непрерывны и являются 2п-периодическими по ¿.
Из равенств (47) и (48) следует, что для д = 2 или д = 4 языки Арнольда Ф(р, д) системы (5) локально можно отождествить с совокупностью (по £ Е [0, 2п]) кривых, описываемых уравнениями
г = (1 + а2(£)С)е2п(б°+в2(*)?)г, 0 ^ С ^ 1. (49)
Пусть теперь д - нечетно, т.е. пусть д = 3.
Теорема 9. Язык Арнольда Ф(1, 3) системы (5) определяется равенством (31) (при р =1 и д =3), в котором Т(р,д,е(£)) - это (при фиксированном ¿) кривая, описываемая уравнением (43) при
а(е, £) = а1(£)е + а2(£)е2 + е3а3(е, £), (50)
в(е £) = в1(£)е + в2(£)е2 + е3в3(е,£); (51)
здесь а1(£) и в1(£) - функции (34) (при д = 3), а2(£) и в2(£) - функции (36) (при д = 3), а
функции а3(е,£) и в3(е,£) непрерывны и являются 2п-периодическими по ¿.
Из равенств (50) и (51) следует, что язык Арнольда Ф(1, 3) системы (5) локально можно отождествить с совокупностью (по £ Е [0, 2п]) кривых, описываемых уравнениями
г =(1 + а1(;£)С)е2п(б°+в1(*ю*, 0 ^ С ^ 1. (52)
Кривые 71 и 72, являющиеся в естественном смысле крайними в совокупности кривых (49)
или (52), можно рассматривать как кривые, локально ограничивающие язык Арнольда Ф(р,д) системы (5).
6. Примеры
6.1. Пример 1. Рассмотрим дискретную систему
n
0,1, 2,..., xn Є R2
xra+i = А(а,в )xn + аэ(х„),
в которой А(а,в) = (1 + a)Q(e), где
cos2n(0, 25 + в) — sin2n(0, 25 + в) sin2n(0, 25 + в) cos2n(0, 25 + в)
(53)
а нелинейность а3(ж) имеет вид
Так как
Яз(х)
Q(0)
xf + 2x2 2xi х2
" 0 -1 " 10
то в этом примере условие Б1) выполнено при 0о = 1/4 Для локализации языка Арнольда Ф(1,4) системы (53) воспользуемся теоремой 8. Из этой теоремы следует, что множество Ф(1,4) локально можно отождествить с совокупностью кривых (49), в которых а2(£) и в2(£) - функции (42) (при д = 4).
Вычислим функции а2(£) и в2(£). Так как рассматриваемая система (53) содержит только кубическую нелинейность а3(х), то формулы (30), (32), (11) и (12) приводят к равенствам Ь2(£) = 0 и
&3(£) = О^е^)) + д2й3(^е(£)) + да3(^2е(£)) + о^^е^)) , где О = О(0). Несложные вычисления приводят к равенству
b3(t) = 2
2 sin2t cos t + sin3t — 2 cos3t
2 sin t cos21 — 2 sin31 — cos31
Тогда из (42) получим
a2(t) = — ^(b3(t), e(t)) = - cos 2t(4 cos 2t + sin 2t),
в2(^) = — ^-(Ы*),0(*)) = ^(1 + cos2 2t — 2sin4t).
8n 8n
Подставляя эти формулы в (49) и проведя анализ полученного равенства получим, что локально язык Арнольда Ф(1, 4) системы (53) заключен между двумя кривыми Y1 и y2, которые описываются, соответственно, уравнениями
z = (1 + Ы)е2п(0’25+в1 «)г, z = (1 + a2C)e2n(0’25+e2i)i (0 ^ ^ 1);
здесь
«2
в2
3
8 7,2 16п
Полученный результат подтверждается и прямым численным вычислением кривых синхронизации, локализующих язык Арнольда Ф(1, 4) системы (53), в соответствии с формулами теоремы 8 (рис. 5).
Рис. 5. Языки Арнольда системы (53)
На рис. 5 изображены также кривые синхронизации, локализующие языки Арнольда Ф(1,5) и Ф(1, 6) системы (53), вычисленные в соответствии с формулами теоремы 7. Вычисления подтверждают, что совокупность этих кривых (как для языков Ф(1, 5), так и для языков Ф(1, 6)) по сути образует одну кривую. Другими словами, языки Ф(1, 5) и
Ф(1,6) локально представляют собой чрезвычайно узкие множества, фактически совпадающие с кривыми синхронизации, начинающимися из соответствующей рациональной точки единичной окружности.
6.2. Пример 2. Рассмотрим теперь зависящую от вещественных параметров а и в неавтономную динамическую систему, описываемую дифференциальным уравнением
а нелинейность а(х, £, а, в) является гладкой по совокупности переменных, 2п-периодичес-кой по £ и представимой в виде
где а2(х,£,а,в) и а3(х,£,а,в) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по х слагаемые, а а4(х,£,а,в) удовлетворяет соотношению а4(х,£,а,в) = 0(||х||4), х ^ 0, равномерно по £, а и в. Система (54) при всех значениях параметров а и в имеет состояние равновесия х = 0.
Положим ^ = (а, в) и ^о = (0,во), где во - некоторое положительное число. Состояние равновесия х = 0 системы (54) при ^ = ^о является негиперболическим; при переходе параметра ^ через значение ^о возможны различные сценарии бифуркаций. В частном случае, когда нелинейность а(х,£,а,в) от £ не зависит, основным сценарием является бифуркация Андронова-Хопфа: при переходе ^ через ^о в окрестности состояния равновесия х = 0 системы (54) возникают нестационарные периодические решения малой амплитуды
с периодом, близким к числу То = ——.
во
Наличие нестационарной периодической нелинейности а(х, £, а, в) влечет изменение указанного сценария бифуркации. А именно, становятся возможными различные сценарии возникновения у системы (54) в окрестности состояния равновесия х = 0 субгармонических (т.е. периодических решений с периодом кратным 2п) и квазипериодических решений.
Для изучения таких сценариев и, в частности, локализации языков Арнольда системы (54) можно использовать предложенную в настоящей работе схему исследования. На первом этапе такого исследования от системы (54) перейдем к дискретной динамической системе, описываемой уравнением:
где х(і) - решение системы (54), удовлетворяющее начальному условию х(0) = х. Неподвижные точки системы (55) определяют начальные значения 2п-периодических решений системы (54), а циклы периода д определяют начальные значения 2пд-периодических решений этой системы.
Несложно показать, что матрица V(^) равна
х; = А(а, в)х + а(х, і, а, в) , х Є Я2 ,
(54)
в котором
а(х, і, а, в) = а2(х, і, а, в) + «3(х, і, а, в) + а4(х, і, а, в),
Хп+і = V(^)ж„ + ^(ж„,^), п = 0,1, 2,..., где хп Є Я2, V(^) = в2пА(м), а нелинейный оператор г>(-,^) : Я2 ^ Я2
2п
представим в виде
(55)
0
1/(,Л = е2па СОі3 2пв - ЙІП 2пв (^) віп 2пв сов 2пв
в которой
Ь(х, а*, в *) = ^(х, 1п(1 + а*) / (2п), в * + в0), А(а*,в*) = (1 + а*)^(в *);
здесь
сов2п(в0 + в*) — віп2п(в0 + в *) віп 2п(в0 + в*) сов 2п(в0 + в*)
Задача о локальных бифуркациях системы (54) в естественном смысле равносильна аналогичной задаче для системы (56). Так как эта система подобна системе (5), то на следующем этапе можно воспользоваться приведенной в предыдущих параграфах схемой. В частности, в соответствии с этой схемой получим, что если число во является рациональ-Р
ным: во = _, то при переходе двумерного параметра ^ = (а, в) через точку ^о = (0,во) д
становится возможным сценарий возникновения у системы (54) в окрестности состояния равновесия х = 0 субгармонических решений периода 2пд.
При этом на плоскости (а, в) параметров образуется система языков Арнольда, вершины которых лежат в точках (0,во) с рациональными во. Такие языки соответствуют областям значений параметров (а, в), при которых система (54) имеет периодические режимы периода кратными 2п, амплитуды которых стремятся к нулю при стремлении точки (а, в) к (0,во). Указанные языки могут быть локализованы в соответствии со схемой, изложенной в предыдущих параграфах.
7.1. Операторный метод. Доказательства основных утверждений настоящей работы основываются на операторном методе исследования задач о многопараметрических локальных бифуркациях, разработанном в [11] и [12]. Приведем в краткой форме основные положения этого метода. Здесь достаточно ограничиться рассмотрением двупараметрических задач для операторных уравнений на плоскости.
Рассмотрим зависящее от двумерного параметра ^ = (а, в) Е Я2 операторное уравнение
в котором квадратная матрица В (^) второго порядка непрерывно дифференцируемо зависит от ^, а нелинейность 6(х,^) также гладко зависит от ^ и представима в виде
где 62(х,^) и 63(х,^) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по х слагаемые, а 64(х,^) является гладкой по х, при этом 64(х,^) = 0(||х||4), х ^ 0, равномерно по ^.
Уравнение (57) при всех значениях ^ имеет нулевое решение х = 0. Говорят, что значение ^о является точкой бифуркации ненулевых решений уравнения (57), если существует последовательность ^ ^о такая, что при ^ уравнение (57) имеет ненулевое решение х = х&, причем ||х&|| ^ 0 при к ^ то.
Как правило, бифуркации ненулевых решений уравнения (57) имеют направленный характер; приведем соответствующее определение. Пусть е Е Я2 - некоторый ненулевой вектор. Значение ^о параметра ^ назовем правильной точкой бифуркации уравнения (57)
7. Доказательства основных утверждений
х = В(^)х + 6(х,^), х є Я2,
(57)
6(х,^) = Ь2(х,^) + 6;з(х,^) + Мх,^) ,
по направлению вектора е, если существуют ео > 0 и определенные при е Е [0,ео) непрерывные функции ^ = ^(е) и х = х(е) такие, что:
1) ^(0) = ^о , х(0) = 0;
2) ||х(е) — ее|| = о(е) при е ^ 0;
3) для каждого е ^ 0 вектор х(е) является решением уравнения (57) при ^ = ^(е). Векторы х(е) и значения ^(е) назовем бифурцирующими решениями уравнения (57).
Лемма 6. Пусть значение ^о параметра ^ является правильной точкой бифуркации уравнения (57) по направлению вектора е. Тогда вектор е будет собственным для матрицы В(^о); отвечающим собственному значению 1.
Ниже будем предполагать, что матрица В(^о) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2; другими словами, пусть В(^о) = I, где I - единичная матрица второго порядка. Обозначим ^о = (ао,во) и Во = В(^о).
Пусть е, д и е*, д* - две пары линейно независимых векторов, выбранные исходя из соотношений:
(е,е*) = (д,д*) = 1 (е,д*) = (д,е*) = °. (58)
Положим
(Ва (ао,во)е,е*) (Вв (ао,во)е,е*)
_ (Ва(ао,во)е,д*) (Вв(ао,во)е,д*)
Здесь Ва и В'в - матрицы, полученные дифференцированием матрицы В (а, в) по а и в соответственно.
(59)
Теорема 10. Пусть
det Б = 0. (60)
Тогда ^0 является правильной точкой бифуркации уравнения (57) по направлению вектора е.
Ниже используются обозначения
62 = Ь2(е,а0,в0), Ьз = Ьз(е,а0,в0), (61)
62* = 62ж(Є а0,в0), 62а = 62а(Є а0, в0), = 62в(Є а0, в0). (62)
Положим
Рк = — [(Л,е*)Вве + (й,£*)Вве] , к Є Я2 , (63)
где обозначено В^ = В^(а0,в0) и В^ = В^(а0,в0). В силу условия (60) линейный оператор Р : Я2 ^ Я2 обратим. Положим
Г0 = Р-1 : Я2 ^ Я2. (64)
Лемма 7. Оператор Г0 = Р-1 вычисляется по формуле
Г0У = Т«(У)е + Те (У)^.
Здесь функционалы 3а(у) и Те (у) - это компоненты вектора
3а (у)
з (у)
(у)
который вычисляется по формуле 3(у) = —Б 17(у), где Б - матрица (59) и
" (У,е*) "
7(У)
(у,0*)
Положим далее
е1 = Г062, а1 = 3а(62) , в1 = (62) ,
Є2 = ^(^ + 63) , а2 = 3а(<£ + 63) , в2 = (^ + 6з);
(65)
(66)
здесь
Здесь Г0 - оператор (64), В^, В^, В"а, В"^, Вдд - матрицы, полученные дифференцированием матрицы В (а, в) по а и (или) в нужное число раз в точке (а0 ,во); используются также обозначения (61) и (62).
Теорема 11. Существующие в условиях теоремы 10 бифурцирующие решения х(є), а (є) и в (є) уравнения (57) представимы в виде
7.2. Вспомогательные утверждения. Для доказательства основных утверждений работы понадобятся вспомогательные утверждения.
Лемма 8. Для того чтобы значение ^о было точкой бифуркации д-циклов системы (5), необходимо и достаточно, чтобы ^о было точкой бифуркации ненулевых решений уравнения (8).
Необходимость. Пусть ^ = ^о является точкой бифуркации д-циклов системы (5), т.е. существует последовательность ^ ^о такая, что при ^ система (5) имеет д-цикл
хд,хд,хд,...,хД_:, причем тах ||хД|| ^ 0 при к ^ то. При этом хД = 0 (это следует из
определения д-цикла). Из леммы 1 получим, что любой из ненеулевых векторов хД при ^ = ^д является решением уравнения (8). Следовательно, значение ^о является точкой бифуркации ненулевых решений уравнения (8).
Достаточность. Пусть ^ = ^о является точкой бифуркации ненулевых решений уравнения (8), т.е. существует последовательность ^д ^ ^о такая, что при ^ = ^д уравнение (8) имеет ненулевое решение х = хд, причем ||хд|| ^ 0 при к ^ то. Покажем, что тогда система (5) при ^ = ^д имеет д-цикл, одной из точек которого является вектор хд; это и будет означать, что ^ = ^о является точкой бифуркации д-циклов системы (5).
Действительно, из леммы 1 следует, что либо х = хд является неподвижной точкой системы (5) при ^ = ^д, либо является одной из точек цикла некоторого периода г этой системы при ^ = ^д, где г - делитель числа д. Вектор хд не может быть ни неподвижной точкой системы (5), ни точкой г-цикла этой системы, если г = д. Ограничимся доказательством первого факта. В предположении противного получим равенства
Разделив обе части этого равенства на ненулевое число ||хд || и положив уд = хд/||хд
Так как ||уд|| = 1, то можно считать, что последовательность уд сходится: уд ^ у*, где ||у*|| = 1. Переходя теперь в (70) к пределу при к ^ то, получим равенство у* = А(^о)у*, т.е. матрица А(^о) имеет собственное значение 1. Этот факт находится в противоречии с формулами (2) и (3), определяющими матрицу А(^о) = А(0, 0). Лемма доказана.
Аналогично доказывается
Лемма 9. Для того чтобы значение ^о было правильной точкой бифуркации д-циклов системы (5) по направлению вектора е, необходимо и достаточно, чтобы ^о было правильной точкой бифуркации уравнения (8) по направлению вектора е.
х(є) = єе + є2е1 + є3е2 + о(є3), а(є) = а0 + єа1 + є2а2 + о(є2), в (є) = в0 + єв1 + є2в2 + о(є2).
(68)
(69)
хк А(^&)хк + а(хк, ) .
получим
(70)
7.3. Доказательство теоремы 1. Уравнение (8) является уравнением вида (57). Поэтому если установить, что для уравнения (8) при некотором выборе векторов е, е*, д и д* (удовлетворяющих условиям (58)) будет выполнено соотношение (60), то в силу теоремы 10 это будет означать, что ^о будет точкой бифуркации ненулевых решений уравнения (8). Тогда из леммы 10 будет следовать, что ^о является точкой бифуркации д-циклов системы (5), т.е. справедливость теоремы 1.
Матрица В (а, в) в уравнении (8) определяется равенством (9):
В(а, в ) = (1 + а)9 д9 (в);
здесь д(в) - матрица (3). Имеем
д9 (в) =
сов 2пд(00 + в) — від 2пд(00 + в)
від 2пд(00 + в) сов 2пд(^0 + в)
(71)
(72)
Р
Так как 0о = —, то В(0, 0) = I; поэтому матрица В(0,0) имеет полупростое собственное д
значение 1 кратности 2.
Положим
ф) = е*С0
сов і від і
9(і) = 9*(і)
— від і сов і
(73)
При любом £ Е [0, 2п] эти векторы удовлетворяют условиям (58). Зафиксируем £ Е [0, 2п] и вычислим определенную равенством (59) матрицу Б. Из (71) и (72) получим
0 —1 10
Ва(0,0) = я1, Вв(0,0) =2п?
Отсюда, из (59) и (73) после несложных вычислений получим равенство
Б =
Следовательно, det Б = 2пд2 = 0, т.е. соотношение (60) выполнено. Теорема доказана.
0
2пд
74)
75)
Замечание 1. При доказательстве теоремы 1 было показано, что определенная равенством (75) матрица Б не зависит от і, т.е. является одной и той же для любого набора векторов (73).
7.4. Доказательство теоремы 2. В силу леммы 9 теорема 2 будет доказана, если показать, значение ^0 = (0, 0) параметра ^ = (а, в) является правильной точкой бифуркации уравнения (8) по направлению любого ненулевого вектора е. Это фактически было установлено выше при доказательстве теоремы 1. Действительно, в качестве произвольного ненулевого вектора е можно выбрать вектор е(і), определенный первым из равенств (73). Для любого такого вектора выполнено условие (60) теоремы 10, так как соответствующая матрица (75) является невырожденной.
7.5. Доказательство теоремы 3. Из леммы 9 и теоремы 2 следует, что для уравнения (8) справедливо (с естественными модификациями) утверждение теоремы 11. Поэтому теоремы 3 и 4 будут доказаны, если показать, что формулы (68) и (69), вычисленные применительно к уравнению (8), приводят к формулам, указанным в этих теоремах. Для этого, в свою очередь, требуется показать, что определенные равенствами (65)-(66) числа и векторы приводят к соответствующим числам и векторам из (16)—(20).
Рассмотрим сначала числа а1 и в1, определенные равенствами (65). Имеем
а1 ^«(62)
в1 (62)
3 (62) = —Б-17 (62) = —Б
1
(62, е*)
(62,9*)
Преобразуем эти равенства применительно к уравнению (8). Для этого в качестве е, е*, 9 и 9* будем рассматривать векторы (73) при фиксированном і Є [0, 2п] (они при любом і являются векторами вида (13)), в качестве 62 - вектор (15), а в качестве Б - матрицу (75). Так как _ _
1
S-1 =
2nq
2п 0 0 1
то
a1 1 2 ( e)
_ ві. 2nq (b2,g)
здесь учтено, что в нашем случае выполнены равенства e = e* и g = g*. Таким образом, определенные равенствами (65) числа a1 и ві, вычисленные применительно к уравнению (8), приводят к соответствующим числам (16).
Рассмотрим теперь вектор e1, определенный первым из равенств (65). В силу леммы 7 имеем
Єі = Г0&2 = Ja(b2)e + Je(b2)g = aie + eig , т.е. получили формулу (17).
Для завершения доказательства теоремы 3 остается провести аналогичные рассуждения, показывающие, что определенные равенствами (66) числа a2 и в2 и вектор e2, вычисленные применительно к уравнению (8), приводят к соответствующим числам (19) и вектору (20). Эти рассуждения проводятся по той же схеме, что и доказательство формул (16) и (17).
При этом дополнительно следует показать, что вектор (67), вычисленный применительно к уравнению (8), приводит к вектору (18). Другими словами, следует также показать, что применительно к уравнению (8) выполнено равенство ^ = х, где ^ и х - это соответственно векторы (67) и (18). Для доказательства этого факта наряду с формулами (74) используются также равенства:
Ba(0, 0) = q(q - 1)1, B"(0, 0) = — (2nq)21, B" (0,0) = 2nq2
0 -1 10
Г0Ь2 = aie + eig .
Подстановка этих формул в (67) и приводит к нужному равенству ^ = х.
Замечание 2. При доказательстве теоремы 3 свойство нечетности д не использовалось. Другими словами, эта теорема верна для любого д. Однако, для четных д формулы (21) из теоремы 3 обладают специфическими свойствами, что приводит к качественному различию свойств бифуркации д-циклов системы (5) для четных и нечетных д.
7.6. Доказательство леммы 3. Из (3) имеем
Q = Q(0) =
cos 2п0о — sin 2п0о sin 2п0о cos 2п0о
(76)
где 0о = р/д - несократимая дробь. Пусть д - четно. Тогда р - нечетно и, следовательно, 0?/2 = — I; поэтому верны равенства
О = — 0*+?/2 , 3 = 0,1, 2,... (77)
Определенный равенством (15) вектор Ь2 в случае четного д содержит четное число слагаемых, при этом для них в силу (77) верны равенства
Оа2(09-1-'е,^о) = — 0'+9/2а2(09/2-1-е,^о);
здесь учтено, что нелинейность а2(х,^) содержит только квадратичные по х слагаемые. Поэтому Ь2 = 0. Лемма доказана.
7.7. Доказательство теоремы 4. Доказательство теоремы 4 сводится к подстановке равенств (24) в формулы (21) и (22).
7.8. Доказательство леммы 4. Отметим, что утверждение этой леммы для любых четных q может быть доказано по той же схеме, что и лемма 3. Для доказательства леммы при произвольном q ^ 5 понадобятся вспомогательные построения.
7.8.1. Вспомогательные построения. Пусть f (t) - непрерывная 2п-периодическая функция. Для натурального числа n положим h = — и определим функцию
n
G/”)(t) = [f (t) + f (t + h) + f (t + 2h) + ''' + f (t + (n — l)h)]h. (78)
Эта функция является 2п-периодической и при фиксированном t представляет собой приближенную формулу прямоугольников для вычисления интеграла от функции f (s), а именно, для каждого фиксированного t имеет место приближенное равенство
2п
J f (s) ds ~ G/n)(t); (79)
0
в этой приближенной формуле значение t определяет выбор n точек t,t + h,t + 2h, ... , t + (n — 1)h на отрезке длины 2п, в которых вычисляются значение функции f (s).
Обозначим через множество непрерывных 2п-периодических функций f (s) таких, что выполнено тождество:
2п
/f (s) ds = G/n)(t). (so)
0
Другими словами, множество состоит из тех функций, для которых приближенная формула (79) является точной при любом t.
Лемма 10. Пусть натуральные числа n и m таковы, что
2m
— = k, k =1, 2, 3,.... (81)
n
Тогда sin mt G и cos mt G Pn.
Другими словами, при выполнении условия (81) для функций f (t) = sin mt и
f (t) = cos mt выполнено тождество G/ra)(t) = 0.
Докажем эту лемму. Ограничимся рассмотрением функции f (t) = cos mt. По (78) определим вспомогательную функцию
F(t) = f (t) + f (t + h) + f (t + 2h) + ''' + f (t + (n — 1)h) = (82)
= cos mt + cos m(t + h) + cos m(t + 2h) + ■ ■ ■ + cos m(t + (n — 1)h) =
= cos t + cos (t + v) + cos (t + 2v) + ■ ■ ■ + cos (t + (n — 1)v) ,
где обозначено t = mt и v = mh. Лемма 10 будет доказана, если установить тождество F (t) = 0.
В силу (81) имеем
2п
v = mh = m— = nk , k = 0,1, 2,... . n
Следовательно, sin v = 0. Поэтому функция (82) может быть представлена в виде
. cos (t + v) + cos (t + 2v) + • • • + cos (t + (n — 1)v)
F (t) = cos t +---- ----- ------ ------ ------------ ---- -----— ■ sin v.
sin v
Отсюда, используя формулу cos a sin в = ^[sin(a + в) — sin (а — в)], после несложных
преобразований придем к тождеству F(t) = 0. Лемма 10 доказана.
Ниже утверждение леммы 10 нас будет интересовать только для чисел m = 1, 2, 3, 4. Для этих чисел лемма 10 может быть усилена.
Пусть, например, m = 1; из леммы 10 следует, что если n =1 и n = 2, то sinmt G и cos mt G Pn. Непосредственная проверка показывает, что в действительности эти включения будут выполнены и при n = 2, а при n =1 они не выполняются. Аналогичные рассуждения для чисел m = 2, m = 3 и m = 4 приводят к следующему вспомогательному утверждению.
Лемма 11. Пусть f (t) = sin mt или f (t) = cos mt. Тогда:
• если m =1, то f (t) G n = 1;
• если m =2, то f (t) G n =1 и n = 2;
• если m =3, то f (t) G n =1 и n = 3;
• если m = 4, то f (t) G n =1, n = 2 и n = 4.
Определим теперь функции
f2(t) = (a2(e(t),^o),Qe(t)), g2(t) = (a2(e(t),^o),Qg(t)) , (83)
и покажем, что справедлива
Лемма 12. Функции (34) и (83) связаны равенствами:
G/q)(t) = —2nai(t) , Ggq)(t) = —ei(t). (84)
При доказательстве этой леммы для упрощения нелинейность а2(ж,^0) будет обозначаться как a2(x), т.е. обозначение ^0 будет опускаться. Из (78) имеем
G/)(t) = [f2(t) + f2(t + h) + ■ ■ ■ + f2 (t + (q — 1)h)]h = (85)
= [(a2(e(t)), Qe(t)) + (a2(e(t + h)), Qe(t + h)) +
+------+ («2(e(t + (q — 1)h)),Qe(t + (q — 1)h))]h;
здесь h = 2n/q. С другой стороны, из (33) и (34) получим
ai(t) = —(62(t),e(t)) = — (Qq 1a2(e(t)) + Qq 2a2(Qe(t)) + ••• + qq +a2(Q9_1e(t)),e(t)) = — 1 [(a2(e(t)) (Q*)q_1e(t)) +
+(a2(Qe(t)), (Q*)q-2e(t)) +----+ (a2(Qq-1e(t)),e(t))] ,
где Q* - транспонированная матрица. Матрица (76) удовлетворяет равенствам
(Q*)k = Qq-fc , k = 0,1, 2,...
Поэтому
a1(t) = —1 [(a2(e(t)),Qe(t)) + (a2(Qe(t)), Q2e(t))+ (86)
q
+ ■ ■ ■ + (a2(Q9-1e(t)),e(t))] ,
Сравним равенства (85) и (86). Пусть сначала p =1, т.е. пусть 0o = 1/q. В этом случае верны равенства
e(t + h) = Qe(t), e(t + 2h) = Q2e(t), ..., из которых следует, что соответствующие слагаемые в скобках правых частей формул (85) и (86) совпадают. В случае же, когда p > 1, слагаемые в скобках правых частей формул (85) и (86) также совпадают, но после соответствующих перестановок. Это и означает
справедливость первого из равенств (84). Второе из этих равенств доказывается аналогично.
Лемма 12 доказана.
7.8.2. Завершение доказательства леммы 4- Заметим сначала, что так как нелинейность а2(ж,^) является квадратичной, то разложения определенных равенствами (83) 2п-периодических функций /2(t) и g2(t) в тригонометрический ряд Фурье содержат только функции sinmt и cos mt при m =1 и m = 3. Так как q ^ 5, то из леммы 11 получим, что /2(t) Е Pq и g2(t) Е Pq. Другими словами, для функций /2(t) и g2(t) имеют место тождества
2п 2п
J f2(s) = G/q) (t), J g2(s) = Ggq)(t).
0 0 В силу вышеуказанного свойства разложения функций /2 (t) и g2(t) в ряд Фурье, интегралы в полученных тождествах равны нулю. Отсюда и из леммы 12 получим тождества ai(t) = 0 и ^i(t) = 0. Лемма 4 доказана.
7.9. Доказательство леммы 5. В силу отмеченного в п. 5.3 следствия 4 функции (36) и (42) совпадают, а именно, они имеют вид:
а2(t) = -1 (b3(t),e(t)) , e2(t) = -21-(b3(t),g(t)).
q 2nq
Дальнейшее доказательство леммы 5 проводится по той же схеме, что и доказательство леммы 4. На первом этапе определяются аналоги функций (83):
/3(t) = Me(t)^0),Qe(t)) , g3(t) = (a3(e(t),^0),Qg(t)) . (87)
и показывается, что справедливы аналоги равенств (84):
G/Í(t) = 2па2(t) , Gg?(t) = -ß2(t) .
На втором этапе отмечается, что так как нелинейность а3(ж,^) является кубической, то разложения определенных равенствами (87) 2п-периодических функций /3(t) и g3(t) в тригонометрический ряд Фурье содержат только функции sin mt и cos mt при m = 0, m = 2 и m = 4. Отсюда и из леммы 12 следует утверждение леммы 5.
7.10. Доказательство теорем 7-9. Справедливость теоремы 7 следует из теорем 5 и 6, а также леммы 5. Справедливость теоремы 8 следует из теоремы 6, а теоремы 9 - из теоремы 5.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000.
2. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМО, 2005.
3. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. N.Y.: Springer, 1998.
4. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2002.
5. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Структуры и хаос в нелинейных средах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
6. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
7. Козякин В.С., Красносельский А.М., Рачинский Д.И. О языках Арнольда в задаче о периодических траекториях больших амплитуд // Доклады АН. 2006. Т. 411, № 3. C. 1-7.
8. Noris J. The closing of Arnold tongues for periodically forced limit cycle // Nonlinearity, 1993.
Vol. 6. P. 1093.
9. Козякин В.С. Субфуркация периодических колебаний // ДАН СССР. 1977. Т. 232, № 1. С. 2527.
10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1975.
11. Юмагулов М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах // Доклады АН. 2009. Т. 424, № 2. C. 177-180.
12. Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал, 2010. Т.2. № 4. С. 3-26.
Марат Гаязович Юмагулов,
Башкирский госудаственный университет, ул. З. Валиди, 32,
450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
