Компьютерное моделирование двупараметрических бифуркаций в задачах нелинейной динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Юмагулов М.Г.

Башкирский государственный университет, профессор

[email protected]

Компьютерное моделирование двупараметрических бифуркаций в задачах нелинейной динамики

1. Введение

Важное место при изучении бифуркационных явлений занимает компьютерное моделирование. Как правило, чем сложнее бифуркация, тем большее значение принимает необходимость компьютерного моделирования. Более того, при изучении сложных бифуркационных явлений компьютерные вычисления часто выходят на первый план. Аналитические методы исследования задач о бифуркациях, как правило, сталкиваются с трудностями вычислительного характера при анализе конкретных моделей. Поэтому здесь актуальным направлением является разработка методов компьютерного моделирования для изучения сложных бифуркационных явлений.

Программы для исследования бифуркационных явлений создавались в разных местах и с разными целями. Одним из основоположников здесь является А.И.Хибник, который еще в 70-е годы прошлого столетия в Научно-исследовательском вычислительном центре АН СССР разработал комплекс программ на ФОРТРАНе для однопараметрического исследования бифуркаций периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти программы стимулировались, в первую очередь, интересами биологов [1]. Существенный вклад в разработку программ компьютерного моделирования бифуркаций внесли Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. [2], и, в особенности, Ю.А.Кузнецов[3], принимавший непосредственное участие в разработке таких программ CONTENT, МАTCONT и AUTO, широко используемых в теоретических и прикладных исследованиях. Эти программы позволяют проводить исследование различных нелинейных динамических систем, моделировать и визуализировать динамику, строить бассейны притяжения, вычислять ляпуновские показатели, проводить бифуркационный анализ, вычислять размерностные характеристики и т.д. В Интернете есть несколько сайтов, на которых поддерживается обширный список программного обеспечения для исследования нелинейных динамических систем (см., например, www.dynamicalsystems.org).

Указанные программы носят в основном пользовательский характер. Они малоэффективны в учебном процессе подготовки специалистов в области математики и информационных технологий, когда требуется не только провести исследование какого-либо явления, но и получить соответствующие теоретические сведения, необходимые при разработке

соответствующих программ. В настоящей работе предлагаются алгоритмы исследования двупараметрическихбифуркационных задач. Такие задачи часто возникают в теории и приложениях [3, 4]. Предлагаемые алгоритмы реализованы в пакете MatLab. Выбор MatLab как основного инструмента определяется использованием большого числа векторов, матриц и их преобразований. В программный комплекс вошли как теоретические построения, необходимые в учебном процессе, так сами алгоритмы и программы, позволяющие строить решения бифуркационных задач в терминах исходной постановки. Для всех основных сценариев двупараметрических бифуркаций реализованы программы численного расчета, позволяющие получить бифурцирующие решения и соответствующие значения параметров.

Ниже приводятся основные положения предлагаемого операторного метода исследования двупараметрических бифуркационных задач, его приложения к задаче локализации языков Арнольда [3-5] нелинейных динамических систем и некоторые численные результаты.

2. Операторный метод.

Приведем в краткой форме основные положения операторного метода [6] исследования многопараметрических бифуркационных задач. Ограничимся рассмотрением двупараметрических задач для операторных уравнений на плоскости.

Рассмотрим зависящее от двумерного параметра ц=(а, в)е R2 операторное уравнение

х=В(ц)х+Ь(х, ц), хеR2 , (1)

в котором квадратная матрица В (ц) второго порядка непрерывно дифференцируемо зависит от ц, а нелинейность Ь(х, ц) также гладко зависит от ц и представима в виде

Ь(х,ц)=Ь2(х, ц)+Ь2(х,ц)+ ¿4(х, ц), где Ь 2( х, ц) и Ь3 (х, ц) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по х слагаемые, а Ь4(х, ц) является гладкой по х, при этом Ь4(х, ц)=0(|| х||4), х^ 0 , равномерно по ц .

Уравнение (1) при всех значениях ц, имеет нулевое решение х=0 . Говорят [6], что значение цо является точкой бифуркации ненулевых решений уравнения (1), если существует последовательность цктакая, что при уравнение (1) имеет ненулевое решение х = хк, причем || хк || ^ 0 при к.

Как правило, бифуркации ненулевых решений уравнения (1) имеют направленный характер; приведем соответствующее определение. Пусть е е Я2 - некоторый ненулевой вектор. Значение ц о параметра ц назовем правильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению вектора е, если существуют е0>0 и определенные при ее[0, е0] непрерывные функции такие, что: • ц( 0 )=ц0, х (0 ) = 0 ;

• ||х(е)-ее||=о(е) при е^0 ;

• для каждого е>о вектор х (е) является решением уравнения (1) при ц=ц,(е). Векторы х(е) и значения ц,(е) назовем бифурцирующими

решениями уравнения (1).

Лемма 1. Пусть значение ^о параметра ^ является правильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению вектора е. Тогда вектор е будет собственным для матрицы В(ц,о) , отвечающим собственному значению 1.

Ниже будем предполагать, что матрица В (ц,о) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2; другими словами, пусть В(ц,0)= I, где I - единичная матрица второго порядка. Обозначим ^о=(«о,Ро) и Во=В(^).

Пусть е, g и е*, g* - две пары линейно независимых векторов, выбранные исходя из соотношений:

(е,е>^,/) = 1,(е,/)=(gУ)= о . (2)

Положим

\К(.«а,РаУе, О В'(а0гр0)е,е*У Б — ГЗ^

Здесь В^ и В^ - матрицы, полученные дифференцированием матрицы по а ив соответственно.

Теорема 1. Пусть

det 5 Ф о . (4)

Тогда ^ о является правильной точкой бифуркации уравнения (1) по направлению вектора е .

Ниже используются обозначения

Ъ2 = Ъ2 (с, а.0,р0), Ьэ = Ь2 (е, 0С0,(]0\ (5)

ь2х = Ъ'2х{е,а0ф0),Ь'2а = Ь'2а(е,аа,р0), Щ = Щр{е,ц(0,р0). (6)

Положим

= \{Ъ.,е")П'ап + Н € Я2, (7)

где обозначено Ва=Ва(ао,во) и Вв=Вв(ао,во). В силу условия (4) линейный оператор обратим. Положим

Г0 = Р-1: Я2 К2. (8)

Лемма 2. Оператор Го=F— вычисляется по формуле Гоу=Jа(У)е + Jр(у)g . Здесь функционалы Jа(у) и Jp(У) - это компоненты вектора

700 = Г/,(у)1

который вычисляется по формуле J(у)=-5—у(у), где 5 - матрица

(3) и

Положим далее

& = Г0Ь2, аг= Ja(b2X = Jfi(bJ* (9)

е2 = Г0((р + b3), а2 = ja{(p + Ь3), р2 = J(i(<p + й3): СЮ)

здесь

«Í А

J- riÉÍÍ . dfl fJ -L

2

Г0Й2 + /?ni/¿ Г0ь2 + — B^e + «ijWp t' + +

(ID

Здесь Г0 - оператор (8), - матрицы, полученные

дифференцированием матрицы B(а, в) по а и (или) в нужное число раз в точке (ао,во); используются также обозначения (5) и (6).

Теорема 2. Существующие в условиях теоремы 1 бифурцирующие решения х(е),а(е) и |3(е) уравнения (1) представимы в виде

= se + s2e1 + s3e2 + о(е3), (12) а(г) = а0+ Еал + ега2 + jf?GO = #> + + e2(J2 + о(гг2) . (13)

3.Локализация языков Арнольда.

В качестве приложения рассматривается зависящая от двумерного параметра ц.(а,|3) динамическая система с дискретным временем

хп+1 = Ма,Юхп + = 0,1,2,... , х„ £ (14)

в которой А(а, |3) - это матрица

АЫ,?) = (1 + #(?<Ш Él 5)

где

= FtOS 27Г + ^ ~ Sin +

[sin 2ir(fi0 + /?) cos 2тг(*?0 + /?) ]Д ■

Предполагается, что нелинейность а(х, а,|3) ,представима в виде:

а (х, a, jff) = аг (х, а, /?) + аг (х, щ /О + й^ (ж, а, (17) где а2(х, а, в) и а3(x, а, в) содержат, соответственно, квадратичные и кубические по х слагаемые, а Й4(х, а, в) является гладкой по х , при этом а4(х,а, в)=0(||х||4),х^0 , равномерно по а и в .

Матрица имеет пару простых собственных значений

Х(а,в)=(1 +а)е±2п(ео+в)г. (18)

При этом матрица A (0,0) имеет пару простых собственных значений

1 p e±2я(е°+в)г, где 0<0о<2 и рационально: 60 =— - несократимая дробь.

В указанных предположениях положение равновесия х =0 системы (14) при ^0=( 0,0) является негиперболическим, а значение 0 является

бифуркационным.

Пусть Р - это плоскость параметров ц=(а, в) системы (14). Сценарии бифуркаций в окрестности точки х*=о равновесия системы (14) определяются характером перехода параметра цеР через точку цо. Здесь могут возникать или исчезать периодические решения различных периодов.

Одним из основных сценариев (но не единственным) здесь является бифуркация q-циклов системы (14), когда при значениях параметров ц близких к цо у системы (14) возникают циклы периода q, при этом амплитуды циклов стремятся к нулю при стремлении точки ц к ц о.

На плоскости Р образуется характерная структура областей режимов нелинейной системы (14), которая представляет собой области синхронизации с разным соотношением параметров а и в. Эти области имеют клювообразную форму или языка ^(а*, в*) вершины которых лежат в тех точках кривой (а*, в ) , в которых матрица А (а*, в*) имеет

собственные значения е±2я(е°+в) 1 с рациональным 0 : 0= -1.

Такие языки соответствуют областям значений параметров (а,в), при которых система (14) имеет периодические режимы периода т, амплитуды которых стремятся к нулю при стремлении точки (а,в), к (а*, в ) . Другими словами, множество ^(а*, в*) содержит те последовательности (а к, вк )^(а *, в*) , при которых реализуется сценарий бифуркации т -циклов системы (14).

Таким образом, указанные языки ^(а *, в*) соответствуют рационально синхронизированным (в естественном смысле) соотношениям параметров и . Между указанными языками существуют области квазипериодических режимов с иррациональным соотношением параметров. Основные черты этой картины были выявлены российским математиком В.И.Арнольдом [5], так что система языков синхронизации, соответствующих рационально синхронизированным соотношениям параметров, получила название языков Арнольда.

Указанная структура областей режимов имеет локальный характер. При удалении параметров а и в от точки (а*, в*) области периодических режимов вытесняют квазипериодические, и языки начинают перекрываться. Становится возможным хаос. Систему языков Арнольда можно наблюдать в возбуждаемых периодическим сигналом автоколебательных системах, в задачах о взаимной синхронизации двух автоколебательных систем и др. (см., например, [7]).

При т >5 языки Арнольда соприкасаются в точке е2пег; в этом случае язык Арнольда Ч(/,т) в малой окрестности точки е2пег фактически вырождается в кривую. При т< 4 язык Арнольда ^(/,т) представляет собой существенно более широкое множество. Такое устройство языков Арнольда обусловливается структурой так называемых резонансных членов в тейлоровском разложении отображения F(х, ц) в нуле. За

существование циклов малых периодов m< 4 отвечают главные резонансные члены. Соответственно, циклы малых периодов у системы (14) наблюдаются достаточно часто, а длиннопериодические циклы (при т>5 ) являются нетипичными и наблюдаются редко.

Положим

и

+<1*7№-7-е№,{1<д + а2 (20)

где Q=Q(о), а Q(в) - матрица (16). Аналогично определяется вектор-функция Ьз(г). Далее, определим функции

чф} = = (21)

*0) = <7 :-:- <*№)& + я) - + + + 27Г + 27щ-)д{£) +

«2<0 = -^СКО + - ~0М + (23)

Для каждого ге[о, 2п] определим кривую Г(р^,е(г)), определяемую равенством

z = (l + а(Е, < е < 1 (24)

(точка каждой из кривых у(р^,е(г)) при совпадает с точкой е2пег'.

Языком Арнольда ^{р, </) системы (14) будем называть множество

= и (25)

Приведем теперь основные утверждения работы, позволяющие локализовать определенные равенством (25) языки Арнольда р^) системы (14). Здесь принципиально различными являются случаи q >5 и q<4 . Первый из этих случаев называют слаборезонансным, а второй -сильнорезонансным. Рассмотрим сначала слаборезонансный случай.

Теорема 3. Пусть q>5 . Тогда язык Арнольда р^) системы (14) определяется равенством (25), в котором у( р^,е (г)) - это (при фиксированном 1:) кривая, описываемая уравнением (24); здесь

а (г, $ = аггг + = рг£2 + ¿тэ/?э(^ 0= (26)

а2 и в2 - числа (23) (т.е. указанные функции принимают постоянные значения), а функции аз(е,г) и вз(е,г), непрерывны и являются 2п -периодическими по г.

Из равенств (24) и (26) следует, что для q >5 при малых е>о языки Арнольда р^) системы (14) чрезвычайно узкие. А именно, если числа

а

2 и $2 являются ненулевыми, то множество р,д) локально можно отождествить с кривой Ч'(/?,</), описываемой уравнением

г = (1 + а2(27)

начинающейся (при ^=0) из точки еф0г на единичной окружности £еС; здесь Фо= 2пр/д .

Рассмотрим теперь сильнорезонансный случай, т.е. пусть 2<д<4 . В этом случае языки Арнольда р,д) системы (14) в естественном смысле существенно шире, чем при д>5 . Например, верна

Теорема 4. Пусть д=4 . Тогда язык Арнольда р,д) системы (14) определяется равенством (23) (где p=1 и q=4), в котором у( р,д,е (I)) - это (при фиксированном t) кривая, описываемая уравнением (24) при

здесь а2(г) и - функции (23) (при q=4), а функции а3(е,г) и Рз(е>*),

непрерывны и являются 2п -периодическими по I.

Таким образом, для q=4 языки Арнольда р,д) системы (14) локально можно отождествить с совокупностью (по Iе[0,2п]) кривых, описываемых уравнениями

г = (1 + я2(£Х>г,гСе°+РзС'Ю*,0 <£ < 1. (29)

4. Пример.

В качестве примера рассмотрим дискретную систему

х*+1 = НагрУхп + аз(х»)>п = °Л'2> .(30> в которой А(а, р)=(1 + а)0(5), где

<200

cos 2эт (0,25 + — sin 2тг(0,25. +/?) sin 2тг(0,25 + jff) cos 2тг(0,25 +

а нелинейность а3(x) имеет вид а3(x)=

x i I 2x i x 2

. Так как Q (0 )=

-1

0

то в

этом примере имеем 0о= 1 /4 . Для локализации языка Арнольда ^(1,4) системы (30) воспользуемся теоремой 4. Из этой теоремы следует, что множество ^(1,4) локально можно отождествить с совокупностью кривых (29). Вычислим функции а2(г) и ■ Имеем: 62(^)=0 и

Ьэ (О = V3 и3Сс>(1)) + сг2 яэ (<МО) + <3*3 (С?2е(0) + «э (<?МЩ

где 0=0 {о). Несложные вычисления приводят к равенству

Ш) =2

2 sin" t cos t + sin3 t — 2 cos31 -2 sin t cos21 — 2 sin3 t — cos" t-

Тогда

я.

1 1

,(t) = (&3(t), e(0) N " cos2t(4cos2t + sin 2t), 4 4

PM = CO^CO) = ^ (1 - cos2 2t - 4sin4t).

Подставляя эти формулы в (29) и проведя анализ полученного

равенства получим, что локально язык Арнольда ^(1,4) системы (30) заключен между двумя кривыми и ^2, которые описываются,

соответственно, уравнениями

г = (1 + г = (1+ <0 <Щ < 1);

здесь

1 „ ¿Ь/17 4—^17 а 3

Щ, = - , В., =-. ая --. й3 —-

Полученный результат подтверждается и прямым численным вычислением языка Арнольда ^(1,4) системы (30) в соответствии с формулами теоремы 4 (см. Рис. 5).

Рис. 5.Языки Арнольда системы (30)

На этом рисунке изображены языки Арнольда системы (30), отвечающие одному сильному (q=4) резонансу (на рисунке этому языку отвечает широкое множество) и двум слабым (q=5 иq=6) резонансам (на рисунке этим языкам отвечают фактически две кривые).

Литература

1. Базыкин А.Д., Кузнецов Ю.А., Хибник А.И. Портреты: бифуркаций (Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости) // Серия "Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика". М.: Знание, 1989.

2. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.

3. Kuznetsov Yu. A.Elements of Applied Bifurcation Theory. // AppliedMathematical Sciences (V. 112), Springer-Verlag, New-York etc., 1995.

4. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифур-кации векторных полей. - Москва-Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2002.

5. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

6. Юмагулов М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в много-параметрических системах / / Доклады АН. 2009. Т. 424, № 2. С. 177-180.

7. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики.-М.: Едиториал УРСС, 2004.