Приближенное исследование задачи о формах прогиба свободно опертой пластины при продольной нагрузке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 155-161.

УДК 517.91

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ О ФОРМАХ ПРОГИБА СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ

Г.Г. ШАРАФУТДИНОВА

Аннотация. В работе рассматривается приближенное исследование задачи о бифуркационном поведении упругой пластины при изменении продольной сжимающей силы. Предлагается новая схема, позволяющая определить критические значения этой силы, при которых пластина принимает устойчивые криволинейные состояния равновесия. Разработанная схема также приводит к асимптотическим формулам, описывающим нелинейные прогибы пластины при переходе через критические силы.

Ключевые слова: прогиб пластины, приближенное исследование, критические силы, точки бифуркации, асимптотические формулы, состояние равновесия.

1. Постановка задачи

Пусть П = {(х, у) : 0 ^ х ^ а, 0 ^ у ^ Ь} — прямоугольная замкнутая область на плоскости К2. Рассматривается задача о прогибах прямоугольной пластины Р длины а и ширины Ь. Согласно теории гибких пластинок [1] дифференциальные уравнения, связывающие функцию V напряжений (функцию Эйри) в срединной поверхности и функцию прогиба т для свободно опертой по контуру пластины, имеют вид

= d • А2т — Н • Ь(т, ь) = 0 , (1)

Ь2 = А2у + - Е • Ь(т, т) = 0 , (2)

где А — оператор Лапласа, нелинейные операторы Ь(т,у) и Ь(т,т) определяются равенством

^( ) д2w д2у д2т д2у д2w д2у (_

т,У дх2 ду2 + ду2 дх2 дхду дхду 1

d,h,E — известные положительные постоянные ^ — жесткость на изгиб, Н — толщина пластины, Е — модуль упругости).

Граничные условия, относящиеся к деформации в срединной поверхности, выглядят следующим образом:

G.G. Sharafutdinova, The problem of deflection shapes of a simply supported plate under a longitudinal strain.

© Шарафутдинова Г.Г. 2012.

Поступила 24 октября 2011 г.

при х = 0, а

д2У _

ду2

Ы! = 0,

1 ху

при

0,

О у

д2ь _

дх2 и> = 0

— Му

_ д 2у дхду

'Мхх 0;

д 2ь

Тх

ху

дхду

т.

уу

0.

где Му — продольная сжимающая сила, приложенная к краям пластины вдоль оси ОУ, знак минус указывает на то, что сила Му — сжимающая.

В работе рассматривается задача о бифуркационном поведении пластины при изменении параметра Му. Предлагается новая схема, позволяющая определить критические значения этого параметра и получить приближенные формулы для функции прогиба. Предлагаемая схема основана на методах общей теории бифуркаций, изложенных в [2].

2. Определение критических сил

Задачу (1)-(4) удобно преобразовать к иному виду. Положим с(х,у) функция с(х,у) является решением краевой задачи:

X

—. Очевидно,

А2с

[д^с

ду2

д2с

дх2

0

0

1

0 < х < а , 0 < у <Ь, д2 с

дхду

д 2с дхду

0 при х = 0, а;

0

при У

0, Ь.

Определим функцию Р(х,у) = ь(х,у) + Мус(х,у). Тогда

А2^ = А2^ ,

Р(т, ь) = Р(т, Р — Мус) = Ь(т, Р) — МуЬ(т, с).

Следовательно, функции Р и являются решением следующей краевой задачи с однородными граничными условиями:

= (1 • А2w — к • Ь(т, Р) + кМуЬ(т, с) = 0,

(5)

Ь2 = А Р + -Е • Ь(т, и>) = 0;

при х

0, а

Ох

при у = 0,6 ау

д 2Р ду2

д 2Р дх2

х у

0 , ту

д 2Р дхду

д 2Р

ух

дхду

Шуу = °.

Здесь сила Му рассматривается как вещественный параметр.

Задача (5)-(7) изучалась во многих работах, в частности, в [3] доказывалась ее разрешимость (с. 352-354), исследовалась структура множества решений (с. 361-364).

При любом значении параметра Ыу задача (5)-(7) имеет тривиальное решение т(х, у) = 0, Р(х, у) = 0, однако нулевое решение не всегда единственно. Это соответствует хорошо известному экспериментальному факту: пластина может иметь при одной и той же нагрузке несколько различных форм равновесия. Как правило, лишь одна из форм равновесия является желательной. Переход в другие формы может вызвать разрушение конструкции. В связи с этим возникает необходимость в предсказании такого перехода,

0

0

0

2

0

0

0

что сводится к отысканию критических значений сил Му, или точек бифуркации задачи

(5)-(7).

Строго говоря, с точки зрения общей теории бифуркаций, наличие критических значений сил Му еще не означает качественного изменения формы равновесия пластины при переходе нагрузки через такие критические значения. Другими словами, в задачах о точках бифуркации обычно присутствуют необходимое и достаточное условия бифуркации. Необходимое условие связано с тем, что соответствущие линеаризованные уравнения имеют ненулевые решения, а достаточное условие связано с трансверсальным поведением соответствующих собственных значений линейной задачи. Однако в задаче о прогибах пластин необходимое условие одновременно является и достаточным.

Наряду с (5)-(7) будем рассматривать также линейную краевую задачу

іі ■ А2т = —^Н ■ Ь(т,с), (8)

0;

т = wуу = 0.

т(х,у)

ГО ОО

Е £

к=1 т=1

пкх ■к ту

Вкт 81П--------- вІП ——.

а о

гр АТ „ Ьт2Му

Тогда критические значения силы 1\у определяются из уравнений — =

п2о2а

поэтому каждой паре к и т соответствует некоторая точка бифуркации. значение Ыу достигается, когда к = 1,т = 1, при этом

г2й („2 \ Ь2\2

9)

при х = 0, а при у = 0,Ъ

В соответствии с [3] будем говорить, что Ао является точкой бифуркации задачи (5)-(7), если при Ыу = А0 линейная задача (8)-(9) имеет ненулевое решение.

Решение задачи (8)-(9) можно представить в виде

т

а2 + Ь2 Наименьшее

N1

у

Ж2(1 (а2 + Ь2)2

а4Ь2

Число И* является наименьшей точкой бифуркации задачи (5)-(7). Аналогичный результат был получен, например, в [1].

2

2

к

3. Вспомогательные сведения из теории бифуркаций операторных уравнений

С целью изучения задачи о приближенном построении функций прогиба при переходе параметра Му через точки бифуркации, приведем в удобной для нас форме некоторые результаты из работы [2]. Рассмотрим операторное уравнение

х = А(Х)х + а(х,Х), (10)

где А(А) — действующий в гильбертовом пространстве Н линейный вполне непрерывный оператор, ||а(ж,А)|| = о(||ж||), ||ж|| ^ 0.

Число А0 называют точкой бифуркации малых решений уравнения (10), если существует последовательность Хп ^ А0 такая, что при А = Хп уравнение (10) имеет ненулевые решения хп такие, что хп ^ 0 при п ^ то. Точки бифуркации уравнения (10) следует искать лишь среди тех А0, для которых оператор А(А0) имеет собственное значение 1. Пусть выполняется условие:

и1. Число 1 — простое собственное значение оператора А(А0).

Тогда существует ненулевой вектор е0 такой, что А(А0)е0 = е0. Сопряженный оператор А*(Х0) также имеет простое собственное значение 1, которому соответствует собственный вектор д0. Векторы е0 и д0 можно выбрать из условия: ||е0|| = 1, (е0,д0) = 1. Пусть наряду с иі выполняется также условие

и2. (А(А0)е0,д0) = 0, где А'(Л) — это производная оператора А(А) по параметру Л.

Теорема 1. Пусть выполнены условия П1 и П2. Тогда А0 является точкой бифуркации уравнения (10).

Бифурцирующие решения уравнения (10) обычно образуют непрерывные ветви х = х(Х), где ж(А) - непрерывная функция, причем ж(А) = 0 при А = А0 и ж(А) ^ 0 при А ^ А0. Часто функцию х = х(Х) удобно искать в параметрическом виде х = х(є) и А = А(е), где є — вспомогательный малый параметр. Функции х(є) и А(е) будем называть асимптотическими формулами для бифурцирующих решений уравнения (10).

Теорема 2. Пусть нелинейность а(х,Х) имеет вид а(х,Х) = а3(х,Х) + р(х,Х), где а3(кх,Х) = к3а(х,Х), р(х,\) = о(||ж||3). Тогда асимптотические формулы принимают вид:

х(є) = єе0 + є3е1 + о(є3),

\(є) = А0 + є2\і + о(є2),

{

_ ^ ( Л ^ Л _ (аз(Є0, \),90)

Єї = Г 0®3 (^0, Ло), Л\ =-----------------т— .

(А'е0,д0)

Здесь А' = А1 (\0), а линейный оператор Г0 является обратным к оператору

ВК = К — \0(Н,д0 )АІ (Л0)Є0 — А(\0)К.

4. Основные утверждения

Пусть Ш%(0) — пространство Соболева, (П) — подпространство пространства Ш2;(П), полученное замыканием множества всех бесконечно дифференцируемых функций с носителями в П (т. е. подпространство соболевского пространства Ш^П) с элементами, удовлетворяющими соотвествующим однородным граничным условиям).

Для изучения вопроса об асимптотических формулах, описывающих нелинейные прогибы задачи (5)-(7) при переходе через критические силы, предлагается следующая схема.

Обозначим через А0 : Ш22(0) ^ Ш22(0) оператор, ставящий в соответствие функции т решение краевой задачи

А2Р = — -Е ■ Ь('ш^),

11)

при х = 0,а

&Х

д 2Е ду2

0 , тх

ху

при у = 0,Ъ а.

_ д2Е у дх2

0 , Та

у х

Рассмотрим определенный на Ш2 (П) функционал

д 2Е дхду

д 2Е

дхду

/ И

а Ъ

і/(

00

К

/і ■ (Ат) — — Ь(т,т)А0(т) ) йхйу .

О

0

0

Этот функционал непрерывно дифференцируем по Фреше на , и его градиент

V f : W£2 ^ W£2 определяется (см. [3]) равенством

а b

(vf (w),ip^ = 2jj(d ■ Aw Ay — hL(w,Ao(w))ip^Jdxdy ,

0 0

где у = y(x,y) — произвольная функция из W222.

Задача отыскания решений системы (5)-(7) эквивалентна (см. [3]) задаче отыскания решений уравнения

V/(w) = —NyVg(w) , (13)

где функционал g(w) определяется равенством

а Ъ

g(w) = h j J L(w,c)wdxdy.

00

Обозначим далее через В : W22 ^ W2 2 и D : W22 ^ W2 2 — операторы, определенные равенствами

а b а b

(Вт,ф) = 2 j J d ■ AwAydxdy , (Dw,ip) = —2hJ J L(w,c)ipdxdy .

0 0 0 0

Теорема 3. Уравнение (В — XD)w = 0 при X = A0 = N* имеет ненулевое решение кх.ку

w = С sin — sm —, где С — произвольная постоянная. а b

П ~ Ж п • пх . пу

Справедливость этой теоремы следует из того, что функция w = U sin — sin — явля-

а b

ется решением задачи (8)-(9).

Уравнение (13) перепишем в следующем виде

w = A(X)w + a3(w) , w е W2?2 , X е R , (14)

где А(А) = I + В — XD, a3(w) = —b(w); здесь b(w) — нелинейный оператор, определенный равенством

а b

(b(w),ip) = 2h j J L(w,A0(wj)y dxdy . 0

n2d (a2 + b2 )2

00

,.2d (a2 + b2)2

Теорема 4. Значение A0 = N* = —— ■ --------------—— является точкой бифуркации

y h a4b2

уравнения (14).

Доказательство. Критические силы задачи (5)-(7) совпадают с точками бифуркации операторного уравнения (14). В свою очередь, уравнение (14) является аналогом уравнения (10). Поэтому для доказательства теоремы 4 достаточно установить, что для операторного уравнения (14) выполняются все условия теоремы 1.

Проверим выполнение условия U1.

Так как задача (8)-(9) при некотором А = Х0 = N* имеет единственное (с точностью до

жх жу

сомножителя) ненулевое решение w = С sin — sin —, то оператор A(X)w при А = А0 = Nz

а b

имеет простое собственное значение 1, которому соответствует функция w. Положим

w = е0; постоянную С можно выбрать из условия (е0, е0) = І, откуда С ^

д2( а2 + Ь2) Таким образом, условие И1 выполнено.

Проверим условие И2. Оператор A(X)w является самосопряженным в пространстве Ш£2, поэтому в качестве собственного вектора сопряженного оператора можно выбрать функцию д0(х, у) = е0(х, у). Поэтому имеем

Л/ п

А Є0 = — ОЄ0 = —К-г2eо,

2

Д2

(А (Х0)Є0,90) = (—Ое0, е0) = —К— = 0 .

2

Таким образом, условие И2 также выполнено. Следовательно, А0 = И* является критической силой задачи (5)-(7) или уравнения (14). Теорема доказана.

Теорема 5. Бифурцирующие решения /шє уравнения (14) и соответствующие значения параметра Хє = Х(іиє) представимы в виде

/шє = єЄ0 + є3єі + о(є3) , Хє = А0 + є2Хі + о(є2) , где є > 0 — малый параметр,

Т, ^ Л (а3(Є0),Є0) ь2

еі = Т0й3(е0) , Хі = ----- 2 7— ,

Кд2

оператор Г0 : Ш^2 ^ Ш^2 при любом у Є: Ш^2 вычисляется (см. [2]) по формуле

Т0у = К0 + К0, где

_ (y,eo)Deo У (Deo,eo)

Справедливость этого утверждения следует из теоремы 2.

Непосредственные вычисления показывают, что значение А1 представляется в виде дроби

Л _ Ац

Л1 = ^ ’

^12

в которой

Х11 = 8192 ■ ЕаЬ3п2(Х4 - 32п4)х

2 ь2\2 , ’\4(„4 , ь4\\ (ла„4 , '\4wol4 , о„4 ^„2ь2\

x ^2(І + sin A sh А) (^8'к4(а2 — Ь2)2 + Х4(а4 + Ь4)^ — (І6-К4 + Х4)(3Ь4 + За4 — 2а2Ь2^ ,

Х12 = Х4(а2 + Ь2 )4(Ш4 — X4)3

(I?+h) (а - Dа2+2(і -1)

Постоянные а и А определяются из соотношений

~ ~ sin А — shA

cos /\ ■ chA = І , а =

cos X — chA

Такой выбор значений а и А определяется необходимостью удовлетворения граничным условиям задачи (11)-(12).

Значение е\ также можно вычислить, однако это требует существенно более громоздких расчетов. Приведем лишь схему вычисления е\.

Так как е\ = Г0а3(е 0, А0), где Г0 - обратный к оператору Bh = h — X0(h, g0)A'(A0)e0 — A(X0)h, то Be\ = a3(e0, X0). По теореме 5 имеем e\ = h = h0 + h0. В результате придем к уравнению

а>з(е0, А0) = к + к0 — А0(к + к0, е0)А1 (А0)е0 — ^(А0)(^ + к0), которое, в свою очередь, упрощается, если учесть, что

(к0, в0) = 0, Ак0 = Ы>, А'(\0)в0 = —Ое0, \0 = Щ, 1ю = .

Остается вычислить функцию к0, решив методом неопределенных коэффициентов уравнение

аз(е0, А0) = к0 + (аз, е0)&0 — Ак°.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука. І9бб. бЗб с.

2. Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2007, № 4. С. 3-12.

3. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. М.: Магистр. 1998. б58 с.

Гюзель Гафуровна Шарафутдинова,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой, проспект Ленина, 49,

4531O3, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]