CC BY
13
УДК 539.3
Динамическая реакция пластины на действие движущейся нагрузки
Александр Н.Блинов
Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,
Россия
В работе рассматривается .задача об установившемся движении нагрузки по пластине, лежащей на упругом основании. С практической точки зрения большой интерес вызывает значение скорости, при котором возникает явление резонанса. Решение этой задачи, приведенное в данной 'работе, можно использовать как основу для проведения практических экспериментов.
Ключевые слова: установившееся движение, упругое основание, резонанс.
Введение
Знание реакции упругого слоя на действие движущейся нагрузки имеет большое практическое значение [1]. Например, при некоторой скорости нагрузки, называемой критической, возникает явление резонанса, при котором прогиб упругого слоя возрастает, что может привести к разрушению пластины.
В настоящей работе рассматривается упругий слой на упругом основании, по которому движется с постоянной скоростью нагрузка. В первой части работы изучается одномерная постановка задачи: бесконечная упругая балка на винклеровом основании под действием постоянной нагрузки, движущейся равномерно, т.е. с постоянной скоростью. Получено точное значение прогиба балки и найдена критическая скорость. Во второй части работы исследуется двумерная постановка задачи. В качестве модели для упругого слоя взята система уравнений Миндлина [2], а для описания упругого основания — уравнения теории упругости в случае плоского деформированного состояния. Условия сопряжения между ними — скользящий контакт. Получено решение для сосредоточенной нагрузки, как функции x — vt. Условие возникновения резонанса сводится к нелинейному алгебраическому уравнению. Наименьший положительный корень уравнения и является критической скоростью.
1. Реакция балки на винклеровом основании на действие движущейся нагрузки
Груз весом P равномерно движется со скоростью v вдоль бесконечной балки, лежащей на сплошном однородном основании. Картина изгиба оси балки остается стационарной равномерно движущейся со скоростью движения груза. Такое явление называют бегущей изгиб-ной волной. Вертикальная координата груза остается неизменной, и поэтому вертикальное ускорение груза равно нулю, а давление груза на балку равно весу P. Основание балки
© Siberian Federal University. All rights reserved
будем считать линейно деформируемым и следующим гипотезе Винклера: Q = — ку, где Q — интенсивность реакции основания, у — прогиб; к — коэффициент пропорциональности, характеризующий жестокость основания, называемый коэффициентом постели. Будем считать, что упругое основание лишено свойств инерции и демпфирования. Таким образом, упругость — единственное физическое свойство, которым обладает данная модель упругого основания. Пусть х — абсцисса текущего сечения балки, отсчитываемая от некоторого неподвижного начала координат, £ — время, Е.1 — жесткость поперечного сечения балки при изгибе. Дифференциальное уравнение изгиба балки записывается в форме
д4у д2у
ЕЛ3Х4 = — ку' (1)
Здесь правая часть представляет собой интенсивность нагрузки в точке х в момент времени £ и состоит из двух членов: инерционной нагрузки (т — масса единицы длины балки) и реакции упругого основания.
Запишем уравнение (1) в форме
0 + 241 + Ь2у = 0, (2)
где
a =
m ,2 k
2EJ 62 = EJ. (3)
Решение этого уравнения ищем в виде y = f (x — vt). Здесь аргумент x — vt представляет собой абсциссу текущего сечения балки, отсчитываемую от подвижного начала координат, который совмещен с грузом.
После подстановки уравнение в частных производных (2) переходит в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
fIV + 2av2f'' + b2f = 0. (4)
Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение бегущей волны. Решая его, получим:
f = e-a« (C1 sin вС + C2 cos вС) + ea? (C3 sin вС + C4 cos вС), (5)
где С = x — vt, а величины a и в определяются через коэффициенты уравнения (4) по формулам:
a = в = УЦО^ . (6)
Будем считать, что решение (5) относится к той части бегущей волны, которая расположена впереди движущегося груза (т.е. при С > 0). Для другой части волны (при С < 0) уравнение изогнутой оси имеет ту же форму:
f1 = e-a« (D1 sin вС + D2 cos вС) + ea? (D3 sin вС + D4 cos вС), (7)
но с другими значениями констант.
Найдем восемь постоянных C¿ и D¿ из (5) и (7). Для этого следует воспользоваться условиями:
{на бесконечности f = 0 при С = <х, fi =0 при С =
под грузом f (0) = fi (0), f' (0) = f1 (0), f'' (0) = fl' (0),
Л" (0) - I(0) = -У . (8)
Из (8) находим:
В1 = В2 = Сз = С4 = 0.
Р Р
С1 = — Dз =--„ ^ /—::;-—г— , Со = — Dл =--
2Е7в (а2 + в2)' 2 4 2Е7а (а2 + в2) '
Таким образом, бегущая волна имеет совершенно симметричную форму, и для анализа полученных результатов достаточно рассмотреть, например, часть волны при £ ^ 0:
1 = - 2Е7а (а.2 + в2) (а81Пв£ + вс°8в£) . (9)
Наибольший интерес представляет значение прогиба под грузом, т.е. при £ = 0 :
Р
1 (0) = -2ЕЗа. (а2 + в2) . Подставим сюда а, в из (6), получим
Р
I (0) = -
— ау2 )
При у = 0, т.е. в случае неподвижной нагрузки, получим известный результат для прогиба (обозначаемого 1с) под действием силы, приложенной к бесконечно длиной балке на упругом основании. При скорости у > 0 прогиб под грузом будет превосходить величину 1с. Отношение м = I/1с называется коэффициентом динамичности, и он равен
2у/кЕ.
Из этой формулы видно влияние всех параметров системы. С ростом скорости у динамический коэффициент увеличивается и при скорости
2л/кШ укр = \ -
V т
обращается в бесконечность. Найденное значение скорости является критическим.
К полученным результатам нужно относиться с осторожностью хотя бы потому, что игнорировались инерционные и демпфирующие свойства основания; в то же время именно эти свойства будут проявляться тем более заметно, чем быстрее движется груз и чем динамичнее весь процесс в целом. Тем не менее полученное решение качественно верно отражает тенденцию прогибов к увеличению при критической скорости движения груза [3].
2. Реакция пластины на упругом основании на действие движущейся нагрузки
Упругий слой толщины 2к лежит на поверхности полубесконечной упругой среды. Слой и полупространство однородные, изотропные и линейно-упругие. По слою движется нормальная нагрузка Е (х, £) с постоянной скоростью у. Рассматривается плоское деформированное
2
состояние. Предполагается, что картина деформации инвариантна относительно времени в системе координат, связанной с движущейся нагрузкой. Тогда подстановкой г = х — юЬ число независимых переменных с трех х, у, Ь уменьшится до двух г, у.
Перемещения и напряжения в полупространстве можно записать в следующем виде:
ду дф ду дф
дх ду ' ду дх '
Тх _ 2(1 — 0) дV
М
+
20
д2у _ 2_д2ф
1 — 20 дх2 1 — 20 ду2 дхду
(Ту _ 2(1 — 0) д2у 20 д2 у 2д2ф
М 1 — 20 ду2 1 — 20 дх2 дхду '
ху М
д2
у д2ф д2ф
дхду дх2 ду2 Волновые потенциалы у (х, у,Ь), ф (х, у, Ь) удовлетворяют уравнениям
1 дV д2ф + д2ф _ 1 д2ф
д2у д2у
дх2 + V ~ с2 дЬ2 ' дх2 ' ду2 ~ С2 дЬ2 '
с2 = 2м (1 — 0) с2 = М С1= Р (1 — 20) , С2 = ^
где р — плотность; м — модуль сдвига; 0 — коэффициент Пуассона; С; — скорость продольных волн; Ст — скорость поперечных волн.
Используя подстановку г = х — юЬ, получим, что у, ф удовлетворяют уравнениям
2 &21 + = 0 ^2 + = 0 дг2 ду2 ' дг2 ду2 '
1 — в2
Я
1
1 — 20 в2 в2 = -2(1 — 0) ^ в С2 '
Ограничимся рассмотрением скоростей движения нагрузки, меньших скорости распространения поперечных волн в полупространстве, т.е. в < 1. В этом случае уравнения будут эллиптическими. Для пластины под действием поперечных сил Миндлин [2] вывел систему приближенных уравнений, в которых учитывается влияние инерции вращения и поперечного сдвига. С учетом подстановки г = х — Ы она имеет следующий вид:
2 к 2\ (2и 0
Т—07 — 2р1Ну ) (2 — т = 0,
{2хМ\Ь — 2р\Нги1
(2Ш , (Н
-ГТ — 2ХМ1к^— Р = Л аг2 аг
(10)
N -кт = 0,
4 М1к3 2 ,о Л ¿2Н , ((Ш ,
зГ—07 — зР^ ) (Н —
где и, Ш — перемещения срединной поверхности слоя; Н — угол поворота поперечного сечения; х = 0,845 — сдвиговой коэффициент Тимошенко; р, т — нормальное и касательное напряжения, действующие на границе раздела слоя и полупространства; Е — внешняя нагрузка на верхней поверхности слоя.
2
в
Предполагается, что решение затухает в глубине полупространства, поэтому граничные условия при y = —ж будут иметь вид
* = 0, ф = 0. (11) На верхней поверхности слоя при y = h
p = —F, т = 0.
На границе раздела слоя и полупространства рассматривается условие сопряжения в виде скользящего контакта при y = — h:
p = ay, W = v, т = 0, axy = 0. (12)
Внешнюю нагрузку возьмем в виде F = Foeikr, где k — волновое число, eikr = cos kr+i sin kr. Решение будем искать в следующем виде [4]:
*=W*eikr, ф=Wф1кг, (13)
где *, ф — функции только от y,
U =-^т Ueikr, W = Weikr, k k
т = те1кг, р = ре1кт, n = Кеш',
где и, Ш, т, р, n — константы.
Подставляя (13) в уравнения для потенциалов, получим
др - = 0, дУ2 - к2°2ф = 0' (14)
Решение этих уравнений имеет вид
р = С\ек,1(-у+к) + С3в-кд(у+к), ф = С2вк8(у+к) + С4е-кя(у+^, (15)
где С\, С2, С3, С4 — постоянные.
Учитывая краевые условия (11), находим
С3 = С4 = 0. (16)
Следовательно,
* =_ciek9(y+h)+ikr, ф =_c2eks(y+h)+ikr. (17)
-1- ciekq(y+h)+ikr, ф = —
Из краевых условий (12) на границе раздела при y = — h получим:
2iqC1 — C2 — C2s2 = 0,
2C2is — ^ Ci + Ciq2 = 1,
Ciq + C2i = W Ц, т = 0.
Подставив (13) в уравнения Миндлина (10), получим
2xhiW = К + §3-31 - 2 M_V - (2XMih - 2Plhv2) AW - - _ = F-, U = 0.
(19)
Из уравнений (18) и (19) находим константы
^ F^ 2iq Fo — ^lFo
C = —г, C2 =-^ —-, W =— I q
1 A , 2 1 + s2 A , A 1 q
м 2 h A A 1 _ mF- c
2q
1 + s2 0, U = 0,
где
A
2q
1 + s2
- qj B - C, B = (2x^h - 2pihv2) k -c _ 4sqM 2$m 2^q2 (1 - $)
4x2h2 D :
1 + s2 1 - 2$
D = + -
1 - 2$ k
i ' Q1 Q oPlh§v2" k 3 1 - $1 3 Ml
(20)
2xh 4 kh3 2 , § 2 .. 1 — pih3v2 —.
Учитывая симметрию, проинтегрируем решение для одной гармоники по волновому числу к в интервале [0, то) и возьмем реальную часть решения, соответствующую косинус-преобразованию Фурье для нагрузки в виде
1
F = — coskrdk = б (r), п J
где б (r) — дельта-функция Дирака.
Решение для прогиба пластины W, который нас и интересует, имеет вид
1 Г 1_
W =- -W cos krdk,
nMi J k
где
Обозначим
Тогда
w (k) = F0 (' -
L = - q), M = 2 (xMih - Pihv2)
E
2h2
pih2v2
A=
3(1 - $i) 3mi
k3LME - k2CE + k (LMx - x2hL) - Cx X + k2E
- (x + k2E) MiLF-
1W (k) = _
k V ; (k3MLE - k2CE + k (M - xh) xL - Cx) k
(21)
и
где
Условие возникновения резонанса соответствует кратному вещественному корню при разложении на элементарные множители функции (22). Из формул Кардано следует, что это условие эквивалентно равенству нулю детерминанта кубического уравнения, стоящего в знаменателе этой функции:
3 )3+(2 )2=»• (23)
= _1 (_С_У , (М - хЬ) X
Р 3 V Мь) + МЕ ' = А (У + 1 (М - хЬ) X Сх
Ц 27 \ыь) +3 ыь МЕ МЬЕ .
Поскольку в уравнении (23) р и ц — являются функциями от V — скорости движения нагрузки, то оно и определяет величину этой скорости. Критической скоростью и будет наименьший положительный корень уравнения (23).
Список литературы
[1] Д.Ахенбах, Движущаяся нагрузка, приложенная к пластине на упругом полупространстве, Прикладная механика, (1967), №4, 83-88.
[2] J.Midlin, Influence of rotatory inertia and shear on flexural matrons of isotropic elastic plate, J. Appl. Mechanics, Trans. ASME, 73(1951), 31-38.
[3] Я.Г.Пановко, И.И.Губанова, Устойчивость и колебания упругих систем, М., Наука, 1964.
[4] А.И.Лурье, Теория упругости, М., Наука, 1970.
[5] В.Новацкий, Теория упругости, М., Мир, 1975.
Dynamic Response of Plates on the Effect of a Moving Load
Alexander N.Blinov
The problem of stationary motion of the load on the surface of plate lying on an elastic foundation is considered. From a practical point of view of a large interest is the speed at which a phenomenon of resonance may be observed. The solution of this problem described in our paper can be used as basis for practical experiments.
Keywords: elastic plate, moving load, resonance.
