CC BY
23
воздействие подвижной нагрузки на многослойную вязкоупругую пластину, лежащую на вязкоупругом основании
Егорычев О.О.
Рассмотрим задачу о совместных колебаниях двух бесконечно длинных тонких вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой толщиной к, лежащей на вязкоупругом полупространстве. Контакт между пластинами и вязкоупругой средой не нарушается в любой момент времени, а трение между средой и пластинами отсутствует. На одну из пластин воздействует подвижная нагрузка Р (х) постоянного профиля, движущаяся с постоянной скоростью V > а , где а — наибольшая из продольных скоростей.
Все дальнейшие операции проводятся в подвижной системе координат X, У, связанной с неподвижной известным преобразованием
х = х + VI',
У = у'.
Для наблюдателя, связанного с подвижной системой координат, картина движения не зависит от времени, которое входит в решение как параметр. В подвижной системе координат уравнения движения, записанные через потенциальные функции (р.} (х, у(х, у) в вязкоупругом заполнителе и вязко-упругом полупространстве, будут иметь вид:
V2 д2^
Ьп Н ) = "
а2 дх2
, > V>ду,
где А -оператор Лапласа двух переменных х, у ; Ь. — скорость поперечной волны.
ь1 &=тЪ^. [ь &+2м^я; ь2=^м^
(1)
Ь. =А.
М. = и.
! Г /
#(х)-£Л (х Цх)- ^ (х
^ (*)=V1 ь [ V ]; ^ (#)=V1/, [ V ];
^, ц. - упругие модули заполняющей среды и полупространства, ] = 1,2 .
В дальнейшем все величины с индексом «1» относятся к вязкоупругой среде, а величины с индексом «2» - к вязкоупругому полупространству.
Уравнения движения пластин в подвижной системе координат запишем в виде
(2)
Ь [К - А^2 + Л>У4 )К (х) + V(х)] = 9, (х); Ь4 [(^22 - A2V2 + A)2V4 (х) + V(х)] = Чг (х). здесь (х), (х) - изгибные смещения пластин; 9, (х) = Р(х)Н (х)у=0;
42 (х) = уу )у=к "(^2уу )ук ;
Ь (£) = £(х)-£^ (х Ь (£) = £(х)-(х
(3)
а. = Ь.
т 1
дх2 ду2
+ 2М
г ЭV
ду дхду
где / = 1,2, Л0/ — упругие модули пластин, Д)/, йд/ - плотность и толщина верхней и нижней пла^ стины.
Для системы уравнений (1) граничные условия примем в виде
дух
■ = ^ при у = 0;
ду дх
—^--- = при у = -к
ду дх
при у = —к ;
(4)
(5)
(6) (7)
¥г (х, у )
при у ^ ■
ду дх ду дх
Т1ху = 0 при у = 0, т]ху = 0 при у = -к и условия стремления к нулю функций (рг (х, у) где т]ху — касательное напряжение в среде и полупространстве.
Для величины смещения и 'Щ2 при |х| ^ ^ выполняется условия затухания.
В случае постоянства коэффициента Пуассона V , что справедливо с большой степенью точности для быстро протекающих процессов (динамические задачи), ядра А. {х), /2. (х), а, следовательно и интегральные операторы ЬД^) и М1 пропорциональны.
Задачу (1) - (3) будем решать, применяя преобразования Фурье по координате х. Тогда уравнения (1) - (3) примут вид:
й
10
+ ^.2
Эу2
Эу2 д2у
= 0;
(8)
02 со2У;0 + = 0,
здесь
«2 =
У"
1 а2'
-1; /з] =-
V
■1;
А1 - Ь10) 1 ь] I1 - 1)
Ь 10 = Г / (хУахйх;
Ьз0 (^21 - АУ2 + ЛУ4 -«V] = дю («);; ЬАП [®4 (А22 - А!2У2 + Ау4)^20 - «VX] = (ев),
40
здесь
(9)
(10)
Ь30 = £^ (х)е/шх йх; Ь40 = £(х)е/шх йх; а граничные условия после преобразования примут вид:
йф,0
- - /а>ухо = Ш10 при у = 0;
йу
й020 йу
йРю йу
-/юу/10 = W20 при у = -к;
й^20 . ,
- ю>ухо = —— - 1О>у20 при у = -к;
10 йу 20
+ + С1)2у0 = 0 при у = 0;
йу йу
йа.0 й V
—1_+—2
йу йу
2ш-
10
+ й>2^0 = 0 при у = -к.
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
1/2007_мГВЕС ТНИК
Общее решение уравнений (8) имеет вид:
0га,шу 7-, -гаму
0 'у+V 'у;
Jß,0'y , D „-'ß,0'y
п ^ д (16)
V) 0 = Б)2е"' + В) 2е
Из граничных условий (11)-(15) определим произвольные постоянные Б)1,Б2,В^,В'2, тогда искомые функции можно представить в виде:
Яо И У) = Ц У ) =
i (1 -tf) {^0 cos [_ахю(у + h )] - W20cos [ахюу )J
(1+ Ä2) |sin iyalrnh)
2ij ^^^ [ ßxa (у + h - W20 sin | :д®у)}
(1+ Ä2) l^in (ßxrnh)
iW20 (1-Д2) . .
и» («1 у )= I Л e'aMy+h);
(17)
апю
(1 + Д2 )
^20 И у )=-2т%т e +h>.
Правые части уравнений (9) и (10) после подстановки выражений (17) примут вид:
410 (= P0 (а) + [W {г (1 - Д2 )[А + Ц2 (4 + 2А )]ctg (цйА) -
1,1 + М j
4«^ ^ )[4 (4 + 2Л )]]
-4axßx ctg (ßxmh)} + W2 420 H = W
sin iyß1mh) sin («jfflh)
co(1 -Ц0)J i'i1 ~ßi )[A (4 + 2Л )]'
+W
«J (1 + Д2) I sin(yßxmh) sin (axa>h)
^¡-Ы(1 - ßl) [A + «f (А + 2A )] - ctg (a^h)-ax + ß j
~4alßl^lctg {froh I Wää -(1 ~ßl )[Л - ß22 (Л + 2^2 )]},
P0 (¿у)= J f (x )eifflxdX.
Зная выражения q10 (<w) и q20 (®), найдем из (9) и (10) функции W10 (®) и W20 (®): . . С1 (т)
iU р0
. . C2 (®) . .
^20 И= ij^ P0 (-)'
где
C (i») = Cj (i»)C3 (i»)- C22 (i»);
C, = L40 (A22 - Л2У2 + A,2^4 2] + ^АЛ ctg (Ä^h) -
ax ^ + Д j
- i (1 ~ß1 +«12 (Л + 2Л )] ctg (ö^h )}+'^1 ^2! {^ÄA -
^2\1 + P2)
-(1+д2 )[a2+«2 (4 - 2^2)]};
(18)
C ,, = (I - Lw) j _ i (l -А2 )[Л (Л + 2M )] I ;
2 dfl (l + A2 Дsin (A^h) sin (alah) J'
C3 (©) - L30 U4 (Л21 - AV2 + AV4 2 ] + ~ Ll°2N {4«IAI^I ctg(ß^h)-[ J «i (l + Al)
_ i (l -Al2 )[A+«l2 (Л+ 2Mi )]
tg (almh)
Подставляя (18)в (17)для (p¡0 (coly) и ^0 (¿цy) получим выражения: iP0 (l - Al2) { Cl (<w) cos [«l ^ (y - h)] - C2 (<y) cos (al ®y)}
я0 цу) = ■ •
Wl0 Ц У ) =
^20 И У ) = ^20 Ц У ) =
+ Al2 )C (<y)sin (al^h) 2iP0 {Cl (ffl)sin [Дю( y - h)] - C2 (©) sin (fray)} (oC (í»)(l + Al2 )sin (ßlrnh) '
iP0 (a)C2 (m)eia2^y+
+ a22 )c '
2iP0 (®)C2 +h>
o)C (б»)(1+А2)
Таким образом, в изображениях задача решена полностью. Для того, чтобы получить решение в первоначальных функциях, следует задать конкретный вид вязкоупругого ядра и провести обратное преобразование Фурье.
БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Муравский Т.Б. Неустановившиеся колебания бесконечной плиты, лежащей на упругом основании при действии подвижной нагрузки. Труды МНИТ в.193 М, 1964, с.166-171.
2. Майлз. Реакция слоистого полупространства на движущуюся нагрузку. "Прикладная механика" сер. Е № 3, изд-во "Мир", 1966, с. 232-234.
3. Пожуев В.И. Влияние величины постоянной скорости нагрузки на реакцию пластины, лежащей на упругом основании. Из-во АН СССР "Механика твердого тела". № 6, 1981, с.112-118.
4. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Колебания упругой трехслойной пластины, лежащей на упругом основании при воздействии подвижной нагрузки. М., журнал "Сейсмостойкое строительство", № 4, 1999, с. 22-23.
