Механика
УДК 539.3
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА В СЛУЧАЕ ТРАНСЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ НАГРУЗКИ
А. В. Звягин1, Д. В. Куратова2
Наследуется напряженно-деформированное состояние упругого полупространства под действием подвижной нагрузки штампа. Целыо исследования является получение и исследование аналитического решения в случае трансзвуковой скорости движения штампа.
Ключевые слова: контактная задача, напряженно-деформированное состояние упругого полупространства, трансзвуковая скорость.
The stress-strain state of an elastic half-space under the action of a moving load (stamp) is studied. The purpose is to obtain and analyze an analytical solution in the case of transonic stamp's velocity.
Key words: contact problem, stress-strain state of an elastic half-space, transonic velocity.
Трансзвуковые скорости характерны для рикошетнох'о взаимодействия частиц космических) "мусора" с поверхностью защитных экранов .летательных аппаратов или с поверхностью самих летающих объектов. Большой вклад в постановку и исследование такшх) рода задач внесли в статической постановке Н.И. Мусхелишвили [1| и в динамической Л.А. Галин [2|. В монографии [2| помимо постановки и решения целшх) ряда динамических задач контактншч) взаимодействия содержится достаточно полный обзор результатов но данной проблеме. Математические методы решения задач контактншх) взаимодействия заложены трудами многих авторов (см. монографии [3, 4|). В данной работе считается, что движение в системе координат, связанной с жестким штампом, установившееся.
В неподвижной системе координат наблюдателя (х'о'у'), представленной на рис. 1, плоскопараллельное движение упругой среды удовлетворяет волновым уравнениям для потенциалов продольных у(х',y', t') и поперечных ф(х', y', t') волн:
у х-р у = const
Рис. 1. Движение штампа по границе упругого полупространства
д 2 у
W2
9(дV д2^\ д2Ф 1.->[д2ф д2ф\ г--— ,
Здесь а,Ъ — соответственно скорость продольных и поперечных волн; р — плотность среды; А, ^ — упругие модули Ламе; Ь' — время. Поле перемещений выражается через потенциалы формулами Ламе
их = -—: + дх'
(2)
д<р 1 дф др дф дуп у ду' дх'
Подстановка перемещений (2) в выражения для деформаций и закон Гука позволяют найти выражения для напряжений
+ (dV | д'2Ф \
ахх 1 ч дх'2 + ду12; АЧ дх12 + дх'ду') _ f д2у дf д2у д2ф \
а,
yy
ду
'2
дх'ду')
(3)
а
xy
М 2
д2 у д2 ф д2ф
+
дх'ду' ду '2 дх'2 J
1 Зиянии Александр Васильевич доктор физ.-мат. паук. проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ.
е-шаП: гувавкаОгатЫег.ги.
2
Куратова Дарья Владимировна daria.v. kuratovaOgmail.com.
асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail:
В системе координат (xoy), связанной с движущейся нагрузкой (рис. 1), движение будем считать установившимся. Для системы координат (xoy) и (x'o'y') верны соотношения
x' = x — V0t, y' = y, t' = t.
В этом случае операторы дифференцирования заменятся по следующим формулам:
dip д dip д д д дх у д dx' dx' dy' dy dt dx dt dx'
Поскольку, согласно (1), в случае установившегося движения производные потенциалов связаны уравнениями движения
^ 1 ^ дх2 ду2' ( 2 ) Qx 2 ду2' 1 а ' 2 b ' компоненты вектора V и тензора напряжений (3) можно представить выражениями
dux
= v0(^ + J^/L) v = = Vof V _ ^t
\ дх2 дхду J ' у dt \ дхду дх2
^х dt v и ^ дх2 ^ дхду ) ' Vy
у dx2 dxdy
ауу _ —(2 — M2)
у
оху 2 д2ф
¡1 дхду
d2ip ^ д2ф
(4)
dx2 dxdy'
Я 2./,
dx2
Рассмотрим случай движения распределенной нагрузки qx/y = —q(x), qy/у = —p(x) со скоростью, которая больше скорости поперечных волн, но меньше скорости продольных волн (M2 > 1, Mi < 1). Вне области контакта функции q(x), p(x) тождественно равны нулю. Без ограничения общности будем считать, что за счет выбора системы координат областью контакта является y = 0 |x| < L. В этой области вид функций q(x), p(x) неизвестен и подлежит определению из граничных условий на заданной поверхности штампа. Неизвестным является расположение контура штампа относительно области контакта с
точностью до сдвига вдоль оси. Для жесткого штампа с заданным уравнением контура y = f (x — c) + const
y
лий (например, закон сухого трения с коэффициентом трения к):
y = 0, |x| < L, Vy = Vf'(x — c), q(x) = —kp(x). (5)
L
c
в виде
ip = ReФ(ж + iay), a = \JI — M2; ф = Ч>(х-/Зу), /3 = sj- 1. При этом компоненты вектора напряжений на границе в силу (4) запишем следующим образом:
^ = - (2 - М^) Re Ф"(ж + iay) + 2/ЗФ"(ж - fiy), У (6) = —2а\т Ф"(ж + iay) - (2 - Ф"(ж -
у
о-
На свободной поверхности вне области контакта компоненты вектора напряжений (6) равны нулю:
- (2 - М2) ReФ//(ж) + 2вФ"(ж) = 0, —2а 1шФ"(ж) - (2 - М2) Ф"(ж) = 0.
Эти граничные условия будут выполнены, если
2 — АЛ2
(2 - М2)2 Re Ф''(х) + 4ав 1шФ''(х) =0.
На контактной поверхности получим
- (2 - М2) Re Ф''(х + гау) + 2вФ''(х - ву) = -р(х),
-2а 1шФ''(х + гау) - (2 - М2) Ф''(х - ву) = -д(х). у=0
2 — М2 1
(2 - М2)2 Re Ф''(х) + 4ав 1шФ''(х) = (2 - М2) р(х) + 2в?(х). Таким образом, для функции Ф''(г) получаем задачу Дирихле
Re [(Л - гВ) Ф"(х)] = д(х), Л = (2 - М2)2 , В = 4ав, д(х) = (2 - М2) р(х) + 2вд(х).
Эта задача имеет общее решение, удовлетворяющее условию равенства нулю д(х) на бесконечности, в виде интеграла типа Коши
*»(,) = 1 / Л (7)
Л - гВ пг } г - г к '
-ь
При движении известной распределенной нагрузки функции р(х), д(х) заданы и выражение (7) дает решение задачи. В случае движения штампа для определения усилий необходимо удовлетворить граничным
()
д(х) = -кр(х), Уу = -У0(а 1шФ ''(х) + Ф"(х)) = -У0/'(х - с).
Учитывая связь между функциями Ф'', Ф'', получим
д(х) = -кр(х), 2ав 1шФ''(х) + (2 - М2) Re Ф''(х) = 2в/'(х - с) + р(х). (8)
Воспользуемся краевыми значениями интеграла типа Коши (7). Учитывая закон сухого трения, имеем
Р{Х) + Ь /
ь
1 г р(г)
г - х
-ь
(И
-ь ь
[Х)~ А2 + Б2 Р(Х) А2 + Б2 ж] 1-х
-ь
Подстановка (9) во второе уравнение (8) приводит к сингулярному интегральному уравнению для опре-р(х)
п } г - х -ь
Преобразуя последнее уравнение, получим сингулярное интегральное уравнение
L
р{х)К1 = К2- [ PQLdt + 2ßf'(x-c), (10)
п J t — x
-L
где
[(2 - М2) - 2 kß] [2 aß В + (2 - М2) А] [(2 - М2) - 2 kß] [-2 aß А + (2 - М2) В]
1 А2 + Б2 ' 2 А2 + Б2
Отметим, что для значения М2 = л/2 имеем А = 2 — М^ = 0, В = 4а, ß = 1, и решение (10) очень сильно упрощается:
К1 = 1 + к, К2 = 0, p(x)=po(x) = j^f'(x-c). (11)
Решение (11) существует только в том случае, когда давление под штампом положительное. Это приводит к тому, что точка отрыва среды от штампа должна совпадать с точкой, в которой касательная к контуру штампа направлена параллельно оси x, т.е. с точкой контура, в которой f'(L) = 0.
Полученное решение (11) в частном случае значения скорости Vo = л/2 b позволяет найти решение для близких скоростей в виде разложения по малому параметру 2 — M2, = у. Для этого разложим коэффициенты в уравнении (10) в окрестности М2 = \[2\
2-М2 =7, А = 7, В = 2а{2-1),
и 1 [~2fc + (fc + l)7] [2а2(2-7)2+72] _ Л 3,\ / л
Kl = 1--72 + 4а2(2 — 7)2--V 2 / (12)
_ [7 - 2fc + 7к] [а(2 - 7)7] _ _к_ 2~ 72 + 4а2(2-7)2 ~ 2а7'
Будем искать приближение для функции p(x) = po(x) + 7Pi(x) в разложении по степеням малого параметра 7. Подставляя (12) в (10) и приравнивая коэффициенты при первой степени 7, получим
(po + PiY)
-ь
Ро(1 + к) = 2/' (х),
ь -ь
Мы приходим к следующему значению функции р\(х):
-ь
При вычислении интеграла в (13) следует понимать его в смысле главного значения по Коши. Тогда значение нагрузки в области контакта будет таким:
L
РМ=Ш+т(«> - 4т m+7 m - Sji^ -J (14)
-L
L
Рассмотрим в качестве примера конкретный контур штампа в виде параболы:
/(ж) = —А(ж - Ь)2, /'(ж) = —2А(ж - Ь).
Вычислим интеграл в (13):
I=
п / £ — ж
-Ь
Ь
п } £ — ж п
-Ь
2Ь + (ж — Ь) 1п
Ь — ж
£ + ж
и получим значение (14) в зависимости от параметра £ = ж/Ь в следующем виде:
т
ьх
2 (М2 — 2) к
л/Г^М2 тг(1 + к)2
Отметим, что в точке, соответствующей началу контакта £ = —1, давление имеет интегрируемую особенность и стремится к бесконечности.
Сила сопротивления движению штампа вычисляется по формуле
2 + (£ — 1)1п
1-е 1+е.
F = J аху йж = куЬ ^ р(£) й£.
(16)
-Ь
-1
Подставляя в (16) найденное значение давления из (15), получим
8 4(1 — 4к)
АуЬ2 1 + к (1+ к)2
М22 — 2 —
4к
М22 — 2
(15)
7Г(1 + /с)2 УГ^М2'
1,45 1,55 1,65 М,
Рис. 2. Графики зависимости приведенной силы сопротивления от числа Маха
На рис. 2 показаны графики зависимости приведенной безразмерной силы сопротивления F/(АуЬ2) от числа Маха М2 = Уо/Ь в случае, когда коэффициент Пуассона V = 0,25, для четырех значений коэффициента трения к = 0,01; 0,1; 0,2; 0,3 (кривые 14 соответственно). Как и следовало ожидать, с увеличением силы трения сила сопротивления растет, но растет нелинейно.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что предложенный приближенный метод решения сингулярного интегрального уравнения дает возможность рассчитать с известной точностью в конечном виде нагрузки, действующие на поверхности штампа при его движении по поверхности упругой среды с большой трансзвуковой скоростью.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 12 08 00319-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР. 1954.
2. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат. 1953.
3. Гилов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977.
4. Веку а Н.А. Система сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука. 1970.
Поступила в редакцию 14.03.2012