Асимптотические формулы в задаче о бифуркации стационарных решений в негладких динамических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Азбелев Н.В., Максимов П.В., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Малыгина В.В., Куликов А.Ю., Чудинов К.М. Неулучшаемые достаточные условия устойчивости скалярных уравнений с несколькими запаздываниями // Вычислительная математика и механика. Пермь, 2008. № 7. С. 106-120.

4. Малыгина В.В., Чудинов К.М. Об устойчивости знакоопределенных решений скалярных уравнений с несколькими запаздываниями // Вестник ПГТУ. Механика. Пермь, 2009. № 1. С. 28-45.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Chudinov К.М. Differential inequalities in investigation of equations with aftereffect. We establish a link between methods of investigation of stability and nonoscillation of solutions to linear differential equations with aftereffect and the differential inequality lemma that generalizes a well-known property of ordinary differential equations.

Key words: functional-differential equation; differential inequality; stability.

Чудинов Кирилл Михайлович, Пермский государственный технический университет,г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики и механики, e-mail: [email protected].

УДК 517.91

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ В ЗАДАЧЕ О БИФУРКАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ В НЕГЛАДКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

© И. В. Шарафутдинов

Ключевые слова: бифуркация; негладкая система; стационарное решение.

Рассматривается задача о бифуркации стационарных решений динамических систем с негладкими правыми частями. Предлагается признак бифуркации, итерационная процедура и асимптотические формулы для бифурцируюгцих решений.

Рассматривается динамическая система

X = К(х, Л) , х е , Л е М . (1)

Пусть К(0, Л) = 0 , т. е. х = 0 — стационарное решение системы (1) при всех Л . Определение1. Число Ло называется точкой бифуркации стационарных решений системы (1), если существует такая последовательность {Лп} ^ Ло , что при каждом Лп система (1) имеет ненулевое стационарное решение хп, причем \\хп\\ ^ 0 при п ^<х>.

Предполагается, что свойство гладкости функции К(х) нарушается на некоторой N — 1) -мерной гиперплоскости По = {х : (х,Ьо) = ао} , где Ьо е М^ — некоторый

ненулевой вектор и число ао ^ 0.

Пусть правая часть системы (1) представима в виде

(Г+(х,Л), (х, Ьо) > ао,

Ко(х, Л), (х, Ьо) = ао,

К- (х,Л), (х, Ьо) < ао,

где и Г_ являются гладкими в соответствующих полуокрестностях ТОЧКИ X = 0 .

Пусть оператор продолжим на все пространство с сохранением гладкости. Про-

должив его на все пространство, полученную систему можно представить в виде

X = Л(\)х + а(х,Л), X Є Мм, (2)

где Л(Л) = Г+_х(0,Л) — матрица Якоби для функции Г+(х,Л), вычисленная в начале координат, а(х,Л) = а2(х,Л) + аз(х,Л) + Ъ(х,Л), а2(х,Л) и аз(х,Л) — квадратичная и кубическая нелинейности соответственно, а Ь(х, Л) содержит члены более высокой степени. Пусть выполнено условие

Ш) матрица Л(Ло) имеет пулевое простое собственное значение, а все остальные ее собственные значения не лежат на мнимой оси.

Тогда сопряженный оператор Ад также имеет простое собственное значение 0 . Обозначим через во и до собственные векторы, отвечающие собственному значению 0 операторов Ао и АО соответственно. Пусть также выполнено условие

112) (Л'(Ло)во,до) = 0, где Л'(Л) —производная опер атора А(Л) по парамет ру Л. Теорема 1. Пуст,ь выполнены условия и 1 и и 2, и вектор во не лежит в гиперплоскости По, т. е. (во,Ьо) = 0 . Тогда Ло является точкой бифуркации стационарных решений системы (1).

Бифурцирующие решения системы (1) удобно искать в виде х = х(є), Л = Л(є) где є ^ 0 — вспомогательный малый параметр, так что х(0) = 0 и Л(0) = Ло . Для их приближенного нахождения перейдем к операторному уравнению

Л(Л)х + а(х, Л) = 0. (3)

Это уравнение представим в равносильном виде

х = В(Л)х + а(х,Л), (4)

где В(Л) = Л(Л) + I. Далее, определим семейство (по є > 0) линейных функционалов

f(х) = —о(х,до). Подставляя (при фиксированном є) функционал f (х) в уравнение (4), получим операторное уравнение

Г(х) = х — В^(х)]х — а[х, f (х)] = 0, (6)

уже не содержащее параметр Л . Функционал f (х) и уравнение (6) зависят от є ; однако параметр є в обозначении функционала f (х) для простоты опустим, т. к. решения уравнения

єво

Оператор Г(х) представим в виде Г(х) = Го(х)+ш(х), где Го(х) = х—В[¡'(х)]х, ш(х) = = —а[х^(х)] . Введем обозначение: Го(єво)Н = Н — Ло(Н, до)В'ео — ВН. Оператор Го(єво) при условии 112) обратим. Положим, Го = [Г(єво)]-1 : М^ ^ М^.

и1 и2, в0

гиперплоскости По , т. е. (во, Ьо) = 0 . Тогда при малых є > 0 уравнение (3) имеет, в шаре

Т (єво,го (є)) некоторого радиуса, го(є) = о (є) при є 0 единственное ненулевое решение

х£ , которое можно получить как предел последовательных приближений хк+1 = хк — — ГоГ (хк), к = 0,1, 2,..., где хо = єво • При этом \\хє || ^ 0 и f (х£) ^ Ло при є ^ 0 . Вектор хє является постоянным решением системы (1) при Л = f (хє) .

хє

Лє = Л(хє)

хє = єво + є2ві + о(є2), Лє = Ло + єЛі + о(є),

-, Г ( \ л \ (а2(еоЛо),до)

гае ei — Гоа2(ео,Ло), —-—- .

А'во,до

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Юмагулов М.Г., Ибрагимова JI.C. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем // Автоматика и телемеханика. М., 2007. № 4. С. 3-12.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Sharafutdinov I.V. An asymptotic formulae in the problem of bifurcation of stationary solutions in nonsmooth dynamic systems. We consider the problem of bifurcation of stationary solutions in dynamical systems with nonsmooth right-hand sides. There is proposed a bifurcation criteria an iterative procedure, and asymptotic formulae for bifurcating solutions.

Key words: bifurcation; nonsmooth system; stationary solution.

Шарафутдинов Ильдар Вакильевич, Стерлитамакская государственная педагогическая академия, г. Стерлитамак, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и методики обучения математике, e-mail: sh ildar [email protected].

УДК 517.927

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ О ФОРМАХ ПРОГИБА СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ

© Г. Г. Шарафутдинова

Ключевые слова: критическая сила; точка бифуркации; асимптотические формулы; состояние равновесия.

В работе предлагается схема перехода от краевой задачи об изгибах пластин со свободно опертыми краями при продольной нагрузке к операторному уравнению, приводящему к асимптотическим формулам для приближенного построения решений.

Рассматривается задача о прогибе прямоугольной пластины Р при действии продольной сжимающей силы N , приложенной к краям пластины вдоль оси Оу . Дифференци-

альные уравнения, связывающие функцию Ф напряжений (функцию Эйри) в срединной поверхности и функцию прогиба Ш для свободно опертой пластины, имеют вид

Ьг = й -V4Ш — Н • Ь(Ш, Ф) = 0 , (1)

Ь2 = У4Ф + 1 Е • Ь(Ш, Ш) = 0 , (2)

где V4 — двумерный оператор Лапласа, нелинейные операторы Ь(Ш, Ф) и Ь(Ш,Ш) определяются равенством

т(ш ф) = дШдШ 2 д2Ф (3)

, дх2 ду2 + ду2 дх2 дхду дхду ,