Исследование задачи о формах прогиба свободно опертой пластины при продольной нагрузке Текст научной статьи по специальности «Математика»

-j \ л \ (a2(eo,Ao),go)

где ei — roa2(eo,Ao), —-—- .

A'eo,go

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Юмагулов М.Г., Ибрагимова JI.C. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем // Автоматика и телемеханика. М., 2007. № 4. С. 3-12.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Sharafutdinov I.V. An asymptotic formulae in the problem of bifurcation of stationary solutions in nonsmooth dynamic systems. We consider the problem of bifurcation of stationary solutions in dynamical systems with nonsmooth right-hand sides. There is proposed a bifurcation criteria an iterative procedure, and asymptotic formulae for bifurcating solutions.

Key words: bifurcation; nonsmooth system; stationary solution.

Шарафутдинов Ильдар Вакильевич, Стерлитамакская государственная педагогическая академия, г. Стерлитамак, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и методики обучения математике, e-mail: sh ildar 79@mail.ru.

УДК 517.927

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ О ФОРМАХ ПРОГИБА СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ

© Г. Г. Шарафутдинова

Ключевые слова: критическая сила; точка бифуркации; асимптотические формулы; состояние равновесия.

В работе предлагается схема перехода от краевой задачи об изгибах пластин со свободно опертыми краями при продольной нагрузке к операторному уравнению, приводящему к асимптотическим формулам для приближенного построения решений.

Рассматривается задача о прогибе прямоугольной пластины P при действии продольной сжимающей силы Ny , приложенной к краям пластины вдоль оси Oy . Дифференци-

альные уравнения, связывающие функцию Ф напряжений (функцию Эйри) в срединной поверхности и функцию прогиба W для свободно опертой пластины, имеют вид

Li = d •V4W - h • L(W, Ф) — 0 , (1)

L2 = У4Ф + 1 E • L(W, W) — 0 , (2)

где V4 — двумерный оператор Лапласа, нелинейные операторы L(W, Ф) и L(W,W) определяются равенством

t(W Ф) — dWdW 2 d2W д2ф

, dx2 ду2 + dy2 dx2 dxdy дхду ,

Н,Е,О — известные положительные постоянные, параметры пластины.

Для исследования задачи (1)-(3) удобно перейти к краевой задаче с однородными граничными условиями:

Ь1 = й • У4Ш - Н • Ь(Ш, Г) + Н • Му • Ь(Ш, С) = 0 , (4)

= У4 Г + 2 Е • Ь(Ш, Ш) = 0 , (5)

х2

где Му — вещественный параметр, Г(х,у) = Ф(х, у) + Му • С(х,у), С(х,у) = — ■

При любом значении параметра Му задача (4)-(5) имеет тривиальное решение

Ш(х,у) = 0, Г(х,у) = 0, однако нулевое решение не всегда единственно. Это соответствует известному экспериментальному факту: пластина может иметь при одной и той же нагрузке несколько различных форм равновесия. Как правило, лишь одна из форм равновесия является желательной. Переход в другие формы может вызвать разрушение конструкции. Поэтому возникает необходимость в предсказании такого перехода, что сводится к отысканию критических значений сил N , или точек бифуркации задачи (4)-(5).

Строго говоря, с точки зрения общей теории бифуркаций, наличие критических значений сил N еще не означает качественного изменения формы равновесия пластины при переходе нагрузки через такие критические значения. Другими словами, в задачах о точках бифуркации обычно присутствует необходимое и достаточное условие бифуркации. Необходимое связано с тем, что соответствующие линеаризованные уравнения имеют ненулевые решения, а достаточное связано с трансверсальным поведением соответствующих собственных значений линейной задачи. Однако в задаче о прогибах пластин необходимое условие одновременно является и достаточным.

Ненулевое решение линейной краевой задачи й • У4Ш = —Му • НЬ(Ш, С) представим

^ ^ , пкх . пту

в виде Ш 2^ окт йш-----й1п —-— . Отсюда легко получить критическую силу, или

к=1 т=1 а Ь

п2й (а2 + Ь2)2 точку бифуркации задачи (4)-(5): N = —— •---------4^— .

Обозначим через В : Ш2°2 ^ Ш2°2 и О : Ш°2 ^ Ш°2 операторы такие, что

а Ь а Ь

(ВШ,ф) = 21! йАШАрйхйу , (ОШ, = —2Н^ J Ь(Ш,с)^йхйу .

0 0 0 0

Опираясь, далее, на общую теорию бифуркаций малых решений операторных уравнений и некоторые результаты из [2] и [3], приведем задачу (4)-(5) к операторному виду

Ш = Л(Л)Ш + а2(Ш) , Ш е Ш°2 ,Л е М , (6)

где Л(Л) = I + В — АО, а нелинейный оператор а2(Ш) : Ш°2 ^ Ш°2 такой, что

а Ь

(а2(Ш),¥>) = —2н[ ( Ь(Ш, Л0(Ш))^йхйу , 11т тах ^а?^и^ = 0 .

>,^) .} .} К , ^ У, 11^11-0 |Л-Ло|<<5 ||Ш||

00

Теорема!.. Уравнение (В — ЛО)Ш = 0 щи Л = Л* = М* имеет, ненулевое решение

4а3 Ь3

пх пу е = ( 2 , и2\2 йт — йт -г-. (а2 + Ь2)2 а Ь

8Нп2а7Ь5

Теорема 1 дает необходимое условие бифуркации. Условие —(Ое,е) = — (2 + ь2)5 = 0

обеспечивает выполнение достаточного условия бифуркации.

Теорема2. Значение Л* = N* является точкой бифуркации задачи (4)-(5). Теорема 3. Бифурцирующие решения Ш£ уравнения (6) и соответствующие значения, параметра Л£ = Л(Ш£) представимы в виде

£ = Ее + £2ег + о(е2) , Л£ = Л* + вЛг + о(е) , £ ^ 0 ,

Л1 е1

ЛИТЕРАТУРА

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.

2. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. М.: Магистр, 1998.

3. Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л. С. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем // Автоматика и телемеханика. М., 2007. № 4. С. 3-12.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Sharafutdinova G.G. Study of the problem of depression forms of freely supported plate under for longitudinal force. In the paper there is proposed a scheme of transition from the boundary-value problem for bending of plates with freely supported edges under longitudinal force to the operator equation, that leads to asymptotic formulae for the approximate construction of solutions.

Key words: critical force; bifurcation point; asymptotic formulae; balance state.

Шарафутдинова Гюзель Гафуровна, Стерлитамакская государственная педагогическая академия, г. Стерлитамак, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры математического анализа, e-mail: guzelbas@mail.ru.

УДК 517.51

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ

МУСЕЛЯКА-ОРЛИЧА

© И.В. Шрагин

Ключевые слова: ограниченное множество; квазинорма; правильное пространство; ген-функция; пространство Муселяка-Орлича.

В квазинормированных пространствах Муселяка-Орлича рассматриваются понятия метрической и топологически-векторной ограниченности множеств. Пространство называется правильным, если для него оба определения эквивалентны. Установлено необходимое условие правильности пространства и указаны некоторые достаточные условия.

Как известно, ограниченность множества определяется в метрических и в топологических векторных пространствах по-разному. При этом для нормированных пространств оба