О периодических по времени возмущениях двумерных гамильтоновых систем с гомоклинической «Восьмеркой» Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9:534.1

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ ВОЗМУЩЕНИЯХ ДВУМЕРНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ГОМОКЛИНИЧЕСКОЙ «ВОСЬМЕРКОЙ»

© 2013 г. О.С. Костромина, А.Д. Морозов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 11.09.2012

Рассматриваются периодические по времени возмущения уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля с гомоклинической «восьмёркой» седла. Проводится аналитическое исследование поведения решений в областях вне «восьмёрки», связанное, прежде всего, с анализом резонансных зон. Устанавливается поведение сепаратрис неподвижной седловой точки отображения Пуанкаре в малой окрестности невозмущённой «восьмёрки». Приводятся результаты численного исследования.

Ключевые слова: резонансы, гомоклинические структуры.

1. Введение

Значительный интерес в теории бифуркаций вызывает задача о периодических по времени возмущениях двумерной гамильтоновой системы с седлом и двумя петлями сепаратрисы в виде восьмёрки (рис. 1). В этой задаче седловая величина невозмущённой системы равна нулю. Бифуркации в окрестности «восьмёрки» в случае ненулевой седловой величины рассмотрены в последнее время в работе [1]. В случае нулевой седловой величины эта задача не исследована. В данной работе мы рассмотрим дифференциальное уравнение Дюффинга-Ван-дер-Поля, которое является хорошей моделью для решения этой задачи. Итак, рассмотрим уравнение

X - X + х3 = е[(р1 + р2X - X2)Х + р3Бтр/], (1)

где р1, р2, р3, р4 - параметры, е - малый положительный параметр. Фазовый портрет невозмущённого уравнения показан на рис. 1. Наряду с многочисленными прикладными задачами, которые приводят к уравнению (1) (см., например, [2, 3], где отсутствуют члены (р2х - х2)Х), отметим также автономную задачу о бифуркациях векторных полей на плоскости, инвариантных относительно поворота на угол п [4]. В этой задаче р2 = р3 = 0 и малые параметры стоят перед линейными членами (ц1х + ц2 X). Бифуркационная диаграмма на плоскости параметров деформации ц, ц 2 приведена в книге Арнольда [4].

Наличие члена с параметром р2 в (1) приводит к асимметрии фазовых портретов автономного уравнения (р3 = 0). В [5] установлено разбиение плоскости параметров (р1, р2) на 22 области с разными топологическими структурами (в симметричном случае - четыре области). К одному из основных эффектов асимметрии следует отнести существование «большой петли сепаратрисы», впервые обнаруженной в [6].

Основные проблемы, которые возникают при исследовании неавтономных уравнений вида (1), следующие:

1) установление топологии резонансных зон;

2) установление поведения решений в малой окрестности невозмущённых сепаратрис.

Рис. 1. Фазовый портрет невозмущённого уравнения на плоскости (х, у = X)

2. Анализ топологии резонансных зон

В областях, заполненных замкнутыми фазовыми кривыми невозмущённого уравнения (s = 0) и отделённых от невозмущённых сепаратрис, запишем уравнение (1) в переменных «действие I - угол 0 »:

I = s[(p1 + p2х - х2)y + р^тф]х' = sFl (1, 0, ф),

0 = q(I ) + s[( pj + p2 x - x2) y + (2)

+ р3Бтф]х^ =a(I) + s F2 (I, 0, ф), ф = Pa ,

где ш - частота собственных колебаний. Рассмотрим резонансный случай, когда

ш(1рЧ ) = (q/p) Pa , (3)

где р , q - взаимно простые целые числа.

Уровень I = I (замкнутую фазовую кривую невозмущённой системы H (х, y) = hpq) будем называть резонансным уровнем. Резонансной зоной будем называть окрестность

иГе= {(1, 0):Ipq -cVS<I <Ipq + Сл/S,0<0< 2л,

С = const > 0}.

Делая в системе (2) замену

0 = Y+ (q/p^ I = Ipq + ц'n, Ц = л/е , (4)

усредняя полученную систему по быстрой переменной ф и пренебрегая членами 0(ц3), придём к системе [7]

й = MA0 (и> Ipq ) + Ц2Р0 (^ Ipq )й,

(З)

и = ЦЪй + Ц (Ъ1й + Qo(u, Ipq)), где й = "q + О(ц), и = у + 0(ц2), Ъ = d«(Ipq у dI,

Ъ1 = d2 ®(Ipq )/2dI2,

1 2ip

A"("'IP-)=2P f ^ , и + .ф/p, ф)dф,

(6)

1 2ip

P0 (и> 7pq) = ^ f t9F1 (Ipq > и + 9ф/P, ф)/9I№> (7)

2np

Ірд ) = 7Г^ [Р2(Ірд , и+ ?ф/P, Ф)йф (8) 2%р {

Система (5) с помощью замены и ^ и - мб0(и, 1рд)/Ь и перехода к «медленному» времени х = ці приводится к уравнению маятникового типа [7]

d и

dи

<ft. - Н(и, Ipq ) = P°(U, Ipq ) dX .

где

І 2^P

а(и, !pq) = 2jjp f(Pi + p 2x - x 2)i x=

x=x( і „с

У = У (Ip

+чф/ p) +чф/ p)

(9)

dф. (10)

Очевидно, CT = const.

Уравнение (9) с точностью до членов поряд-

2

ка ц определяет топологию резонансных зон.

При вычислении функции А0 (и, I ), величин b и ст будем различать следующие случаи. Случай 1:

(х, y) е Gj = {(х, y): у72 - х2/2 +

+ х74 = h, h е (-0.25,0)}.

Случай 2:

(х y) е G2 = {(x, y): y V2 - хV2 +

+ х74 = h, h > 0}.

Функцию А0(и, I ) представим в виде

А0 j (U Ipq ) = А0 j (U Ipq ) + Bj (Ipq ) и обозначим

b = bj, ст = ст j, j = 1,2, где ^ - порождающие

функции Пуанкаре-Понтрягина для автономного уравнения в соответствующих областях [5]. В каждом из этих случаев невозмущённое решение в (2) имеет различный вид [5].

Следуя [7], расщепляемыми резонансными уровнями будем называть уровни I = Ipq , для

которых уравнение А0 (и, I ) = 0 имеет простые вещественные корни. При этом уровень

I = I будем называть: 1) частично проходимым, если max|А0j (и, Ipq )| > \Ь1 (Ipq )| > 0, 2) непроходимым, если

muax|А j (и, Ipq ^ < \Bj (Ipq ^ то уровень I = Ipq

будем называть проходимым.

2.1. Случай 1

Используя невозмущённые решения на резонансном уровне и формулы (6), (10), найдём при q = 1

d2и , . . du

—- - bj(p3 A1cospu + B1) = цст1—, (11)

Bj (Ipq ) = °. Если

dx2

dx

где

Ъ =5 (2 - p)3/2[2(1 -p)K(p) - (2 -p)E(p)] (12)

2

p2(1 -p)K 2(p)

ai = Pi

2

A1 = -л/2p4

(2 -p)K (p)

(

E(p),

a = exp

- %-

.ЩІ1 -p

K (p)

(13)

,(14)

1 + а2 р

К, E - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, р = k2, k = k(I ) - модуль эллиптических интегралов. При q > 1 получаем уравнение

a

d2и , „ Йи

— - ЬіВі = Цст1 —. dх dх

(15)

Итак, при q = 1 топология резонансных зон описывается уравнением (11). Фазовые портреты этого уравнения хорошо известны [7]. При В1 (I ) = 0 , когда резонансный уровень I = I

совпадает с уровнем I = I0, в окрестности которого у автономного уравнения существует предельный цикл, имеем непроходимый резонанс.

При \Bl(Ipq )| <| Рз Al(Ipq ^ Bl(Ipq ) ф 0, резонанс

частично проходимый, а при |В1 (I п ^ > |Рз A1(Ipq )\ - проходимый. При q > 1 и В1 (I ) Ф 0, согласно (15), имеем проходимый резонанс.

Отметим, что собственная частота (В (1 )

удовлетворяет условию ) е (0,л/2). Поэтому

из условия резонанса (3) следует p > pJ^2. Следовательно, расщепляются лишь резонансные

уровни

Н (х, у) = у2 /2 - х2/2 + х 4/4 = А

рі *

для

которых p > pJ^2, причём резонансные уровни с большим значением p лежат ближе к невозмущённой сепаратрисе.

2.2. Случай 2

Аналогично случаю 1 находим уравнение

^ ^ 7 , А Т) \ ^

—Т - К^з 4™^ + В2 ) = ЦСТ 2—, (16)

ах ах

которое определяет топологию резонансных зон при нечётном p и q = 1. В противном случае топология резонансных зон определяется уравнением

d2u 7 „ Йо

— - Ь2В2 = ЦСТ2^“.

ЙХ ЙХ

В (16), (17) обозначено

(17)

к = 1 (2р -1)32[(1 -р)К(р) + (2р - 1)Е(р)] (18)

4

ст 2 = р1

р(1 -р)К 2(р)

2

(2р - 1)К (р)

А2 = —2л/2р

(Е(р) + (р- 1)К (р)), (19)

р/ 2

1 + ар

(20)

При чётном p и/или q > 1 резонанс является проходимым, если В2 (I ) Ф 0 .

С помощью программы WInSet [8] было построено отображение Пуанкаре для уравнения (1) при различных значениях параметров. Установлено, что при небольших значениях е чис-

ленные результаты хорошо согласуются с проведённым теоретическим исследованием.

Рисунок 2 иллюстрирует расщепление резонансных уровней I = !п (рис. 2а, 2Ь - в области

G+ , рис. 2е, 2f - в области 02), I = (рис. 2с, 2d - в области G+ ) и I = !31 (рис. 2g, 2h - в области 02). На рисунках 2а, 2с, 2е и 2g показана структура резонансной зоны частично проходимых резонансов (помимо сепаратрис седло-вой точки отображения Пуанкаре изображены замкнутые инвариантные кривые, которым отвечают предельные циклы возмущённого автономного уравнения), а на остальных - структура непроходимых резонансов.

2. О глобальном поведении решений вне окрестности «восьмёрки»

Резонансные уровни, порождающие предельные циклы в автономном уравнении, являются расщепляемыми, ибо для этих уровней В) (I ^) = 0 . Согласно [5], таких уровней не более двух. Из рассматриваемых ячеек выбросим окрестности таких уровней, а оставшиеся области без окрестности «восьмёрки» обозначим через Б. Из (11), (14), (16), (20), [5] и [7] следует

Теорема. Число расщепляемых резонансных уровней в Б не более чем конечно.

Из этой теоремы вытекает, что при достаточно малых е > 0 окрестности расщепляемых резонансных уровней не пересекаются. Это позволяет говорить о глобальном поведении решений в рассматриваемых ячейках. Согласно [7], сепаратрисы соседних резонансов пересекаются, что приводит к существованию гете-роклинических структур и сложному характеру областей притяжения устойчивых точек.

В качестве примера, иллюстрирующего глобальное поведение решений, рассмотрим ячейку внутри правой петли. Пусть возмущённое автономное уравнение имеет два предельных цикла в этой ячейке, и р = р(1), р = р(2) - простые корни порождающей функции Пуанкаре-Понтрягина В1+ (р) в области G+. Зафиксируем параметр p2 = 1.22 и найдём такие значения параметров p1, p4, чтобы цикл р = р(1) совпал с резонансным уровнем I = а цикл р = р(2) - с уровнем I = 131. Из условия резонанса (3) имеем: p4 = 2ю(р(1),p1) = 3ю(р(2),p1). Из этого соотношения и уравнений, определяющих предельные циклы (В1+ (р(1), p1) = 0, В1+ (р(2), p1) = 0), нахо-

4

Рис. 2. Поведение инвариантных кривых отображения Пуанкаре для уравнения (1) при е = 0.1 и p1

p2 =-0.14, p3 = 0.03, p4 = 1.2 (а); p1 = 1, p2 =-0.1, p3 = 0.03, p4 = 1.2 (Ь); p1 = 1, p2 : p3 = 0.5, p4 = 2.5 (с); p1 = 1, p2 =-0.1, p3 = 0.5, p4 = 2.5 (d); p1 = 1.12, p2 = 0.005, p3 p4 = 1.1 (е); p1 = 1.12, p2 = 0.005, p3 = 0.5, p4 = 1.25 ф; p1 = 1, p2 = 0.03, p3 = 1, p4 = p2 = 0.03, p3 = 1, p4 = 3.36 (И)

= 1,

= -0.02,

= 0.5,

3.1 ^); Л = 1,

дим р « -0.221, р(1) « 0.45, р(2) « 0.98. Тогда р4 « 2.782. В данном случае имеем два непроходимых резонанса с р = 2, д = 1 и р = 3, д = 1, а между ними все резонансы будут проходимыми (см. рис. 3). В красной зоне существуют устойчивые периодические точки периода три, в белой зоне - неустойчивые периодические точки периода два, а также устойчивая неподвижная точка, соответствующая состоянию равновесия невозмущённого уравнения. Траектории отображения Пуанкаре, выходящие из окрестности периодических периода два точек, медленно раскручиваются по спирали, замазывая плоскость, поэтому на рисунке они не показаны.

3. Анализ поведения решений в малой

окрестности невозмущённой «восьмёрки»

При е = 0 уравнение (1) имеет правую петлю Гг = г; и ГЦ сепаратрисы седла 0(0, 0) и левую Г1 = Г и ГЦ (см. рис. 1).

Как известно, под действием возмущения сепаратрисы неподвижной седловой точки отображения Пуанкаре могут пересекаться, образуя гомоклиническую структуру. Возможны случаи:

1) г; П г; * 0 и/или г; п ГЦ * 0;

2) г; п г; * 0 или г; п гЦ * 0.

Вопрос о существовании гомоклинической структуры типа 1) решается с помощью формулы Мельникова [9] Д(ґ0) = еД1 (і0) + 0(е2), где Д(ґ0) есть расстояние между родственными ветвями сепаратрисы, на которые расщепляется невозмущённая сепаратриса.

В работе [9] при получении формулы для Д1(?0) предполагалось, что возмущение обращается в нуль в состоянии равновесия типа седло при любых значениях ґ. Для уравнения (1) это условие не выполняется. Поэтому сделаем в уравнении (1) замену х = \ + ех1 (ґ) + 0(е2), где

р

х1(ґ) = --—^т( р 4ґ).

1 + р 4

В результате придём к уравнению

|Ч+^3 =е [(р + р2 ^-^2) | +

■ 3рз -^т^ґ)].

Д1(ґ0) = 2 [2р1 ± — ^2 -15 1 +

3%рА

(23)

-р3СОІ5(р4^0 ).

2ch(■кpJ2)'

Если Д1(? 0) - знакопеременная функция, что возможно при условии

і * 4

\р3 \ > р3 = 3

—р1 +—>/2р2 -—

3 8 2 15;

8 Л Л(—р4/2)

(24)

(21)

(22)

12

+ Р 4

В седловой точке (^ = 0, ^ = 0) правая часть уравнения (22) обращается в нуль при любых t. Применяя к этому уравнению формулу Мельникова, находим

то имеет место трансверсальное пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий неподвижной точки.

Если Д^ 0) - знакопостоянная функция, то соответствующие сепаратрисные многообразия седловой неподвижной точки не пересекаются.

Однако если при этом величина |р3 - р3| достаточно мала, то в окрестности «восьмёрки» существует нетривиальное гиперболическое множество. Этот результат следует из работы [10] и повторяет соответствующее доказательство из [11].

При условии |р3 | = Р^ имеем касание (с точностью до членов порядка е2) соответствую-

щих сепаратрис неподвижной точки (0, 0).

Используя эти формулы, нетрудно представить все возможные случаи взаимного расположения сепаратрис, получающиеся в результате расщепления левой или правой петель сепаратрисы.

Например, в отсутствие внешнего воздействия условие

- Рх + — л/2Р2 - — = 0 (25)

3 1 8 2 15

определяет существование правой петли сепа-

ратрисы. При учёте внешнего воздействия выходящая и входящая сепаратрисы трансверсально пересекаются, образуя гомоклиническую структуру Пуанкаре.

Для левой петли сепаратрисы в этом случае имеем

Д^о) = -—42p2 +------3—Р4— p3cos(p4t0). (26)

10 2 2 2сЬ(—Р4/2) 3

На рис. 4 показана бифуркационная кривая касания устойчивых и неустойчивых сепаратрис, порождённых левой петлёй, на плоскости

Точкам на кривой соответствуют

значения параметров Р3, Р4 (для Р1, Р2, удовлетворяющих соотношению (25)), при которых имеется касание соответствующих сепаратрис неподвижной седловой точки, порождённых левой петлёй.

( Л

р3

, р 4

р2 /

На рис. 5 показаны сепаратрисы неподвижной точки (0, 0) для уравнения (22) на плоскости (% = х, % = у), построенные численно при е = 0.3, Р1 = 0.7551195621, Р2 = 0.053875454, Р4 = 4 и (а) Р3 = 1.13 (соответствует символ (о) на рис. 4), (Ь) Р3 = 1.7 (соответствует символ

Рис. 3. Траектории отображения Пуанкаре для уравнения (1) при е = 0.01, Р1 = -0.221, Р2 = 1.22,

Р3 = 1, Р4 = 2.782 в области G1+

(• ) на рис. 4), (с) Р3 = 2.83 (соответствует символ (х) на рис. 4). Эти численные результаты хорошо согласуются с теоретическими.

На рис. 6 показаны сепаратрисы неподвижной седловой точки отображения Пуанкаре для уравнения (22) на плоскости (% = х, % = у), порождённые большой петлёй сепаратрисы авто-

Рис. 4. Бифуркационная кривая касания устойчивых и неустойчивых сепаратрис, порождённых левой петлёй,

на плоскости

Р3

Р2

Р4

при Р1, Р2 , удовлетворяю-

щих соотношению (25)

Рис. 5. Поведение сепаратрис неподвижной точки (0, 0) для уравнения (22) на плоскости (% = х, % = у) при е = 0.3, Р1 = 0.7551195621, Р2 = 0.053875454, Р4 = 4 и Р3 = 1.13 (а), Р3 = 1.7 (Ь), Р3 = 2.83 (с)

Рис. 6. Поведение сепаратрис неподвижной точки (0, 0) для уравнения (22) на плоскости (% = х, % = у) при е = 0.1, Р1 = 0.78549, Р3 = 1.02, Р4 = 4 и Р2 = 1.6 (а), Р2 =-1.6 (Ь)

номного уравнения, при е = 0.1, рх = 0.78549, р3 = 1.02, р4 = 4 и р2 = 1.6 (a), p2 =-1.6 (b). Имеет место трансверсальное пересечение соответствующих сепаратрис (Г П Г ф 0 на рис. 6a, г; П Г ф 0 на рис. 6b). При изменении параметров возможны также гомоклинические структуры с касаниями.

Работа поддержана ФЦП «Кадры», № 14.B37.21.0361.

Список литературы

1. Gonchenko S.V., Simo C. and Vieiro A. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight // Nonlinearity (в печати).

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с. (перевод с англ.).

3. Ravichandrana V., Chinnathambia V., Rajasekarb

S. Homoclinic bifurcation and chaos in Duffing oscillator driven by an amplitude-modulated force // Physica, ser. A. 2007. V. 376. P. 223-236.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории

обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

5. Костромина О.С., Морозов А.Д. О предельных циклах в асимметричном уравнении Дюффинга-Ван-дер-Поля // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 1 (1). С. 115-121.

6. Морозов А.Д., Федоров Е.Л. Об автоколебаниях в двумерных динамических системах, близких к гамильтоновым // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 4. С. 602-611.

7. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в ква-зиконсервативных системах. Москва-Ижевск: РХД, 2005. 420 с.

8. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

9. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Тр. Моск. мат. об-ва, 1963. Т. 12. С. 3-52.

10. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трёхмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой I // Матем. сб. 1972. Т. 88. № 4. С. 475-492.

11. Морозов А.Д. О полном качественном исследовании уравнения Дюффинга // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 2. С. 241-255.

ON TIME-PERIODIC PERTURBATIONS OF TWO-DIMENSIONAL HAMILTONIAN SYSTEMS WITH

A HOMOCLINIC «FIGURE-EIGHT»

O.S. Kostromina, A.D. Morozov

Time-periodic perturbations are considered of the Duffing-van-der-Pol equation with a homoclinic «figure-eight» for a saddle. An analytical study of the behavior of solutions in the regions outside of the «figure-eight» is carried out which is focused first of all on the analysis of the resonance zones. The behavior of the separatrices of the saddle fixed point of the Poincare map in the small neighborhood of the unperturbed «figure-eight» is established. The results of numerical studies are presented.

Keywords: resonances, homoclinic structures.