О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием к седло-узловой неподвижной точке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. КИ. Лобачевского, 2014, № 2 (1), с. 198-209

УДК 517.917

© 2014 г.

О БИФУРКАЦИЯХ ДВУМЕРНЫХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ С ГОМОКЛИНИЧЕСКИМ КАСАНИЕМ К СЕДЛО-УЗЛОВОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ

С.В. Гонченко, О.В. Гордеева, В.И. Лукьянов, И.И. Овсянников

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

gonchenko@pochta. ги

Пиступилн в редннцию 07.02.2014

Изучаются основные бифуркации двумерных диффеоморфизмов, имеющих квадратичное гомок-линическое касание к неподвижной точке типа седло-узел. На плоскости параметров строится бифуркационная диаграмма для однообходных периодических траекторий из малой фиксированной окрестности гомоклинической орбиты. Обсуждается связь полученных результатов с хорошо известными бифуркациями коразмерности один в случаях седловой неподвижной точки с квадратичным гомокли-ническим касанием и седло-узловой неподвижной точки с трансверсальной гомоклинической траекторией.

Ключевые слова: гомоклиническое касание, седло-узел, бифуркационная диаграмма, отображение

первого возвращения, рескеилинг.

Введение

Бифуркации систем с гомоклиническими структурами играют особую роль в математической теории динамического хаоса. Хорошо известно [1], что уже множество траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой гомоклинической орбиты Пуанкаре, имеет сложную структуру: оно является нетривиальным равномерно гиперболическим множеством, содержащим счетное множество периодических и го-моклинических траекторий, континуум траекторий, устойчивых по Пуассону, и т.п. В случае же систем с гомоклиническими касаниями ситуация становится гораздо более сложной и, в некотором смысле, непредсказуемой. Дело в том, что бифуркации таких систем, как показано в работах Гонченко, Тураева и Шильникова [2, 3], могут приводить к возникновению периодических и гомоклинических траекторий любых порядков вырождения. Поэтому полное исследование бифуркаций в таких системах становится принципиально невозможным. Здесь на первый план должны выступать задачи, связанные с изучением основных бифуркаций и характеристических свойств динамики. В полной мере это же относится и к рассматриваемой в настоящей работе задаче исследования бифуркаций двумерных диффеоморфизмов с го-моклиническими касаниями к седло-узловым неподвижным точкам.

Наш случай естественным образом связан с двумя другими хорошо известными задачами исследования глобальных бифуркаций кораз-

мерности один. Первая из них, впервые рассмотренная Н.К. Гавриловым и Л.П. Шильни-ковым в работе [4], относится к изучению бифуркаций двумерных диффеоморфизмов с квадратичным гомоклиническим касанием к седловой неподвижной точке (см. рис. 1Ь) с мультипликаторами X и у, такими, что

0 <| X |< 1 <| у | и седловая величина | Ху | отлична от 1. В работе [4] были, фактически, заложены основы математической теории гомоклини-ческого хаоса.

Вторая задача - исследование динамики и бифуркаций диффеоморфизмов с трансверсаль-ной гомоклинической траекторией к седлоузловой неподвижной точке (см. рис 1с) - была рассмотрена В.И. Лукьяновым и Л.П. Шильни-ковым в работе [5]. В ней были получены условия возникновения хаотической динамики сразу после исчезновения седло-узла. Эта задача имеет важное значение для теории динамического хаоса. Фактически, в работе [5] было дано математическое обоснование такого хорошо известного механизма возникновения хаоса как «перемежаемость».

Основные результаты настоящей работы, теоремы 1 и 2, можно рассматривать как обобщение на случай гомоклинического касания к седло-узлу известных теорем о «каскаде устойчивых периодических траекторий» из работ [4, 5]. Можно сказать, что наш случай является «точкой пересечения» случаев Гаврилова-Шильникова и Лукьянова-Шильникова, чем и объясняется наш интерес к этой задаче.

Рис. 1. а) седло-узел с гомоклиническим касанием, Ь) седло с гомоклиническим касанием, с) седло-узел с транс-версальными гомоклиническими траекториями

Заметим, что исследование бифуркаций, связанных с исчезновением седло-узла с гомокли-ническими траекториями, имеет также важное значение для приложений. В частности, такие бифуркации лежат в основе некоторых сценариев возникновения странных аттракторов типа «тор-хаос». Эти сценарии описывают бифуркационные явления, которые происходят при переходе от режима синхронизации к хаотическому режиму, наблюдаемому во многих физических экспериментах. Математические основы соответствующей теории были заложены в известной работе В.С. Афраймовича и Л.П.

Шильникова [6] (в связи с этим см. также работы [7, 8]).

В этих сценариях бифуркация коразмерности два гомоклинического касания к седлоузловой периодической точке играет важную роль. На рис. 2 показан фрагмент бифуркационной диаграммы в окрестности линии , отвечающей существованию неподвижной точки с мультипликаторами е±т, 0 <га<%. Переходу параметров через отвечает бифуркация

Неймарка-Сакера, в результате которой устойчивая неподвижная точка становится неустойчивой (типа фокус), а в ее окрестности рождается замкнутая устойчивая инвариантная кривая.

Хорошо известно [9], что из каждой резонансной точки на (отвечающей значениям

га = 2пр / q , где р и q - взаимно простые натуральные числа) выходит пара бифуркационных

* *

кривых Ь+ и Ь_ , соответствующих тому, что на инвариантной кривой появляется седлоузловая периодическая точка (периода q). Об**

ласть значений параметров между Ь+ и Ь_

(см. рис. 2) называется зоной синхронизации или на математическом жаргоне - «языком Арнольда». Внутри «языка» седло-узел распадается на седло и узел, а вне «языка» эти периодические точки исчезают. При изменении значений параметров от линии вдоль Ь + инвари-

антная кривая сначала является гладкой (рис. 3 а), а затем теряет гладкость (становится «гофрированной», рис. 3Ь). Более того, на Ь+ (и

Ь_ ) существует точка Н, отвечающая тому, что неустойчивое и неведущее (сильно устойчивое) инвариантные многообразия седло-узла касаются друг друга (рис. 3с). В этот момент замкнутой инвариантной кривой уже не существует. В рассматриваемой зоне существует также бифуркационная кривая Ьк, выходящая из точки Н, значениям параметров на которой отвечает появление гомоклинического касания к седловой периодической точке. Это означает, в соответствии с [4], что в окрестности линии Ьк наблюдается бесконечный каскад бифуркаций, связанных с рождением устойчивых периодических траекторий.

Заметим, что диффеоморфизмы с гомокли-ническими касаниями к седло-узлу могут естественным образом также возникать при периодических неавтономных возмущениях автономных систем. Так, например, в работе [10] был рассмотрен двумерный поток, имеющий гомок-линическую петлю Г состояния равновесия типа седло-узел, которая входит в равновесие по его неведущему многообразию (Г с Ж™). При малых периодических возмущениях такой системы у соответствующего отображения Пуанкаре могут возникать гомоклинические касания к неподвижной точке типа седло-узел [11]. Динамические свойства систем с гомоклиниче-ской траекторией к седло-узлу, а также и к негиперболическому седлу изучались в работах О.В. Гордеевой и В.И. Лукьянова, см., например, [12, 13], в которых с помощью надстроек над схемой Бернулли из трех символов было дано описание некоторого подмножества траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической структуры. В настоящей работе мы продолжаем эти исследования, и наша основная цель - это изучение основных бифур-

каций в системах с негрубыми гомоклиниче-скими траекториями к седло-узловым неподвижным точкам.

Постановка задачи и основные результаты

Рассматривается Сг -гладкий диффеоморфизм / (г > 4), имеющий неподвижную точку типа седло-узел и гомоклиническую к ней траекторию Г0 (см. рис. 1а). Предполагается, что других вырождений /0 не имеет, т.е. /0 удовлетворяет условиям А) и В), которые мы сформулируем ниже.

А) /0 имеет неподвижную точку О типа седло-узел с мультипликаторами Х1 = X, где | X |^ 1, и X2 = 1, и первая ляпуновская величина / седло-узла не равна нулю.

Не изменяя общности, считаем, что

0 <| X |< 1 (случай | X |> 1 может быть сведен к

рассматриваемому для диффеоморфизма / 1) и /1 > 0. Пусть и0 - это малая фиксированная окрестность точки О. Тогда, как хорошо известно, через точку О проходит неведущее (сильно устойчивое) Сг -гладкое инвариантное многообразие , касающееся собственного направления, отвечающего мультипликатору X. Это многообразие представляет собой гладкую кривую, которая разделяет и0 на две подобласти, узловую и+ и седловую и~ . Положительная полутраектория диффеоморфизма /0 любой

точки из и+ стремится к О, касаясь ведущего собственного направления, отвечающего мультипликатору X2 = 1. В седловой области и~ существует Сг -гладкое инвариантное неустойчивое многообразие Ти, состоящее из точек, отрицательные полутраектории которых стремятся к О. Остальные точки из и~ покидают

и0 как при положительных, так и при отрицательных итерациях /0. Неустойчивое многообразие выходит из точки О, касаясь ведущего собственного направления (отвечающего мультипликатору X2 = 1).

В) Инвариантные многообразия Жи (О) и Т™ (О) имеют квадратичное касание в точках некоторой гомоклинической траектории Г0.

Пусть М е Т™ п и0 - некоторая гомокли-ническая точка траектории Г0 и П+ с и0 - ее достаточно малая окрестность. Обозначим через /и кусок Жи п П + многообразия Жи, который содержит точку М. Мы будем различать два основных случая квадратичного гомоклиниче-ского касания: касание «сверху», когда /и с и~ (рис. 1а), и касание «снизу», когда /и с и + (рис. 3с).

Напомним также следующие необходимые факты из теории инвариантных многообразий [8, 10]. Во-первых, у диффеоморфизма /0 в Ц

существует центральное многообразие Жс (О), которое в данном случае определяется неоднозначно. Каждое такое многообразие представляет собой инвариатную Сг -гладкую кривую, совпадающую с Жи/ос (О) в области и~ , пересекающую область и + и касающуюся в ней ведущего собственного направления. Кроме того, у /0 в Ц0 существует единственное сильно устойчивое инвариантное Сг -гладкое слоение Fss, состоящее из одномерных кривых -слоев, и РТ™ - это один из его слоев. Каждый слой слоения Fss пересекает трансверсально любое центральное многообразие Жс (О) точки

О, в том числе все слои из и~ трансверсальны Жи.

Диффеоморфизмы, удовлетворяющие условиям А) и В), образуют в пространстве Сг -

гладких диффеоморфизмов локально связную бифуркационную поверхность В2 коразмерности два. Поэтому для изучения бифуркаций диффеоморфизма /0 мы будем рассматривать двухпараметрические семейства / , ц = (цр ц2), диффеоморфизмов, которые пересекают В2 трансверсально при ц = 0 . При этом /0 является элементом этого семейства при ц = 0 .

Выберем управляющие параметры ц1 и ц2 следующим образом. Параметр ц1 - это параметр расщепления многообразий и Ж™ относительно некоторой гомоклинической точки, например точки М +, при условии, что седло-узел сохраняется. При этом и Ж™ будут трансверсально пересекаться в двух точках, близких к М +, при ц1 < 0 в случае касания «сверху» (при ц1 > 0 в случае касания «снизу»); соответственно и Ж™ не пересекаются вблизи М +, если ц1 > 0 (если ц1 < 0 ). Второй параметр, ц2, - это параметр, управляющий бифуркацией седло-узловой неподвижной точки так, что диффеоморфизм / имеет неподвижную точку

типа седло-узел при ц 2 = 0, не имеет в Ц неподвижных точек (седло-узел исчезает) при ц 2 > 0, а при ц2 < 0 седло-узел распадается на две неподвижные точки (седловую и узловую).

При изменениях параметров (цр ц2) в семействе / будут происходить бифуркации. В

частности, они будут связаны с образованием новых гомоклинических структур.

Теорема 1. В окрестности начала координат ц = 0 на плоскости параметров (цр ц2) существуют две бифуркационные кривые Ь+ : ц2 = 0 и

Ьк: ц1 =у1~ ц2 + О(|ц213 2). При ц е Ь+ каждый диффеоморфизм / имеет невырожденную неподвижную точку типа седло-узел, близкую к О; при ц е Ьк у / существует негрубая гомок-

линическая траектория Гц, близкая к Г0, в точках которой квадратично касаются инвариантные многообразия Жи (О1) и Ж* (О1) седловой неподвижной точки О1. Кривые Ь+ и Ьк разбивают окрестность начала координат на три области:

• в области I (ц2 > 0) диффеоморфизм / не имеет неподвижных точек;

• в областях II и III у / существуют две

неподвижные точки, седло О1 и узел О2. Если ц е II, то у седла О1 нет гомоклинических траекторий, близких к Гц, а при ц е III у седла О1 появляются две грубые гомоклинические траектории, близкие к Гц.

Иллюстрация к теореме 1 приведена на рис. 4.

Рассмотрим достаточно малую фиксированную окрестность и = и (О и Г0), которая называется расширенной окрестностью седло-узла

О . Эта окрестность состоит из малой окрестности Ц0 точки О и конечного набора малых окрестностей Vi тех точек траектории Г0, которые не принадлежат Ц. Периодическую траекторию диффеоморфизма / , целиком лежащую

«сверху»

в и, назовем однообходной, если она пересекает каждую окрестности Vi ровно в одной точке.

Далее будем изучать бифуркации однообходных периодических траекторий в двухпараметрическом семействе / при достаточно малых ц.

Выберем в ио при ц = 0 две точки траектории Г0: М + еЩ™(О) и М~е^Гс(О). Пусть П+ и П " - достаточно малые, диаметра е, окрестности точек М + и М~ соответственно. Очевидно, существует натуральное q, такое,

что М + = /0 (М~). При всех достаточно малых ц в ио будут определены два отображения по траекториям диффеоморфизма /: локальное

Т0 = /ц| щ и глобальное Т1 = /Ц :П_ ^ П + . По

построению, любая однообходная периодическая траектория, целиком лежащая в и, должна иметь ровно по одной точке пересечения с окрестностями П + и П " . Точку такой траектории на П + можно рассматривать как непо-движную точку соответствующего отображения первого возвращения Тк = Т1 • Т0к : П + ^ П ^ ^ П+,

где Т0к действует из П + в П ". Мы будем изучать бифуркации неподвижных точек отображений первого возвращения Тк для всех достаточно больших к. В результате этих исследований мы построим бифуркационную диаграмму для однообходных периодических траекторий диффеоморфизмов семейства / , которая описывается следующей теоремой.

Теорема 2.

1) На плоскости параметров (ц1, ц2) в любой достаточно малой окрестности начала координат существует счетное множество непересе-кающихся областей Дк, таких, что при ц е Дк

диффеоморфизм f имеет асимптотически устойчивую однообходную периодическую траекторию.

2) Границами областей Ак являются бифуркационные кривые Lk и 17к, отвечающие бифуркациям коразмерности один, седло-узловой и удвоения периода соответственно.

3) При к ^ к<» области Дк накапливаются к кривой Lh ^{Lk п {ц < 0}}.

Рисунок 5 иллюстрирует утверждение теоремы. Здесь показано также изменение геометрии отображения первого возвращения

Т' 0.0

1к : ак ^ стк при варьировании параметров внутри области Дк. Вертикальные штриховые 1

линии ц 2 = const ~ — - это условные границы,

за которые области Дк не могут перейти. На рисунке выделено две области, RD (Rescaling Domain) и DLS (область Лукьянова-Шильни-кова), в которых геометрия отображений первого возвращения будет сильно отличаться. А именно, если ц е RD , то геометрия будет похожей на ту, которая наблюдается при развитии подковы Смейла во многих задачах, связанных с исследованием гомоклинических касаний. И здесь применим рескейлинг-метод (см. лемму

2), который показывает, что отображение первого возвращения может быть представлено в форме отображения Эно. При ц е DLS геометрия будет другой: здесь образ «полоски» будет иметь вид «половинки подковы» (см. рис. 5), такая геометрия наблюдалась, в частности, в работе [5]. Вообще говоря, области RD и DLS не пересекаются, но бифуркационные кривые гладко продолжаются из области RD в область DLS . Заметим, что область DLS появляется на бифуркационной диаграмме вследствие хорошо известного «эффекта окрестности», когда траектории, не претерпевая бифуркаций, могут просто выйти из рассматриваемой окрестности фазовой плоскости, и тем самым, информация о них теряется. Однако стоит только лишь увеличить окрестность фазовой плоскости или уменьшить значение параметров - эффект пропадает. В любом случае, достаточно малая окрестность начала координат - это область RD .

Замечание. В области RD при фиксированном ц2 < 0 в соответствующем однопараметрическом семействе f будет наблюдаться бесконечный каскад (последовательность интервалов 8к = Дк п {ц2 = const}) периодических

Рис. 6. Геометрия локального отображения для а) ц2 < 0 ; b) ц2 = 0

стоков в соответствии известной теоремой Гав-рилова-Шильникова [4]. Аналогичный каскад бифуркаций будет наблюдаться и в семействе f при фиксированном ц1 > kg . Однако когда

ц е Dls , в семействе f будет наблюдаться

каскад (8к = Дк п {ц1 = const}) в соответствии с известной теоремой Лукьянова-Шильникова [5]. Вместе с тем, заметим, что в любом однопараметрическом семействе f при фиксированном ц2 > 0 будет наблюдаться лишь конечный каскад периодических стоков.

Свойства отображений Т0 и T1

В U0 при всех достаточно малых ц можно выбрать Cr 1 -гладкие локальные координаты (х, у), в которых отображение Т0 запишется в следующем виде ([5, 14]):

[ х = А,(ц) х k h( х, у, ц)х2 у,

у = const. Отметим, что х = 0 также является инвариантной прямой. При ц2 < 0 локальное отображение Т0 имеет две неподвижные точки

O1 и O2 типа седло и узел соответственно:

°1:{х=° у=л/тц2k °(| ц2|3/2)}

и

02:{х = 0 у = ^л/кц2 k O(| ц 2|3/2)}. (2)

В силу (1) и (2) локально устойчивое многообразие Wlsoc (O1) седловой неподвижной точки

O1 имеет уравнение {-е < х < е, у = ^- ц2 k

I 13/2

k O(|ц2| )}, а WU (O1) - уравнение {х = 0,

--\/k ц2 k O(|ц2I ) < у <g}.

В соответствии с (1) будем считать, что го-моклинические точки Mk и M- имеют координаты Mk (х+ ,0) и M- (0, у-), где х+> 0 и у- > 0. Для построения отображения из Пk в П- по траекториям локального отображения Т0 опишем сначала его геометрические свойства в зависимости от параметра ц2 . Для этого определим прежде всего структуру множества тех координатах (х, у) при ц = 0 неподвижная точка точек из окрестности Пk, которые могут дос-

O лежит в начале координат и ее неведущее Wss тигать П при итерациях Т0. и неустойчивое Wu инвариантные многообразия В случае ц2 < 0 (рис. 6), очевидно, начиная с распрямлены: W :{х = 0}, W“ :{у = 0}. В нов^1х: некоторого номера к образы Т0кПk имеют не-

координатах при всех достаточно ц слое- пустые пересечения с П- . Соответственно на

ние F состоит из г°риз°НТаЛьных Прям^1Х П- существует счетное множество непере-

I у = ц2 k у k у2 k O(у3Х

(1)

где |Х(ц) < 1, Х(0) = X. Обратим внимание, что второе уравнение системы (1) не зависит от х. В

Рис. 7. Геометрия локального отображения для ц2 > 0 секающихся «полосок» стк = Т0кП + П П— , кото- Лемма 1. Для всех достаточно малых ц

рые накапливаются к (О) при к — да . Про-

образами этих «полосок» являются «полоски»

0 'Т’—к 1 ТГ +

а к = Т а к с П , которые накапливаются к неведущему многообразию (О) седло-узла

при ц2 = 0 или к устойчивому многообразию

ЩОс (О1) седловой точки при ц2 < 0.

Принципиально другая ситуация будет при ц2 > 0 (см. рис. 7), поскольку любая траектория покидает и0 за конечное число итераций отображения Т0. Соответственно на П + останется

0

лишь конечное число «полосок» ак , таких что П а0 П П— ^ о. Таким образом, для каждого положительного ц2 существует некоторое натуральное число к * = к (ц2) > к , где к * — да

при ц2 —— +0, такое, что Т0к П + П П— = о для

1 1 * всех к > к .

отображение Т0 :(х0,у0) ^ (хк,ук) может быть записано в следующем виде:

Хк = ^ (ц)Х0 + о(^ ^к (Х0 , Ук , ЦХ

Уо =

У к (Ц2 )У ~ - Ц2 .

Vк (Ц2 ) + У" (У к (Ц2 ) + У" )2

*(Ук -У-) + 0к°((Ук -У-)2),

(3)

где

V к (Ц 2 ) =

tg(^VЦ2)

Ц2 > 0,

(4)

0к (ц2) = Ук2 + ц2 , (5)

|рк(ц)| << 1, функции Е,к (х0, ук, ц) равномерно ограничены вместе с производными до порядка

(г — 2) и ||хк||сГ—1 — 0 при к — да .

Заметим, что аналогичный результат был

получен в [12, 13], а лемма 1 его обобщает, так

как учитывает еще и случай ц2 < 0 . Из второго

уравнения системы (3) может быть получено

следующее соотношение для к при ц2 > 0 дальнейших исследований представление. А у г г 2

(совпадающее с оценкой из [12, 13]):

п 1

Пусть (хі,Уі), і = 0,..,к , - множество точек на и0, таких, что Т>(х(, у ) = (хі+1, у+і). Одним из важных достоинств локальных координат (1) является то, что соотношение (хк, Ук) =

= Т0к (х0, у0) допускает в них весьма удобное для

именно, в следующей лемме дано такое представление отображения Т0к : и0 — и0 в так называемой перекрестной форме [1].

к

■\1Ц 2

2

К

Нам в дальнейшем также понадобится оценка для 0к при всех достаточно малых ц2. Из (4), (5) получаем, что при соответствующих фиксированных ц2

T (WL (O1 ):{x1 = 0}) имеет вид У0 = Ці +

+ d (x0 - x +)2 + o((x0 - x +)З).

Таким образом,

0k = .2

2

sh kyj - ц 2

= O(e 2kесли ц2 < 0,

0=

Ц2

k sin2 (kyl ^

І

, если ц2 > 0,

0к = —г , если ц2 = 0.

к к2

Глобальное отображение ТХ:П~ — П+ при всех достаточно малых ц может быть записано в следующем виде:

| x0 - x+ = F(Xi, Уі - y , ц), 1Уo = G(x^ Уі - У", ЦХ

(б)

где (х0, у0) є П + , (х1, у1) є П- ; функции F и G - Сг 1-гладкие и F(0,0,0) = G(0,0,0) = 0. Условие В) означает, что ^ (О) и Wss (О) при ц = 0 касаются квадратично в точке М + (х+ ,0), откуда следует, что Gy (0,0,0) = 0, Gyy (0,0,0) ф 0 .

Перепишем отображение (6) еще и таким образом:

х, - х+ = ахі + Ь(Уі - У ~) +

+ O(xi2 +1 xi(yi - y )| +(yi - y )2), yo = У+ (Ц) + cxi + d(Уі - У~)2 +

+ O(xi2 +1 xi(yi - y ) 1 +1 yi - y |3),

(У)

T1(WlUc (O1)) квадратично касается W0c (O1) при ц1 = — ц2 k O(|ц2|3 2) - это уравнение бифуркационной кривой Lh. Заметим, что уравнение бифуркационной кривой L , отвечающей существованию у диффеоморфизма f неподвижной

точки типа седло-узел, в силу (1) имеет вид ц2 = °.

Отображения первого возвращения и описание их бифуркационной диаграммы

Используя формулы (3) и (7), мы можем построить (при всех достаточно больших к и малых ц ) отображения первого возвращения

Тк = ТТ : а0 ^ Пk в локальных координатах (1). Однако полученная при этом формула для отображения будет не всегда удобной для исследования, поскольку будет содержать слишком много «лишних» малых членов. Поэтому мы применим к полученной формуле, см. далее, так называемый рескейлинг-метод [15, 3]. Суть этого метода состоит в том, чтобы с помощью гладких замен координат и параметров (перенормировок) привести отображение к некоторому стандартному виду, в котором малые члены уже не будут влиять на динамику. Следующая лемма формализует этот подход для нашего случая.

Лемма 2 (рескейлинг-лемма). Пусть f -

семейство диффеоморфизмов, определенное выше. На плоскости параметров существует область RD (Rescaling Domain), содержащая начало координат, такая, что с помощью гладких замен координат (х0,ук) ^ (X,Y) и параметров отображение первого возвращения Тк при любом достаточно большом к может быть приведено к следующему виду:

X = Y,

где у + (0) = 0, а коэффициенты а, Ь, с, d , а также х+ и у~ гладко зависят от ц. Так как Т1 -диффеоморфизм, то Ьс ф 0. Квадратичность гомоклинического касания означает, что d ф 0 .

Заметим при этом, что d > 0 отвечает случаю гомоклинического касания «сверху», а d < 0 -случаю касания «снизу».

Без ограничения общности можно положить,

что ц1 = у + (ц). Из формулы (7) видно, что ц1 -это расстояние между Т1Ж1иос (О) и (О) при

ц2 = °.

Доказательство теоремы 1

Теперь доказательство теоремы 1 легко вытекает из (1) и (7). Действительно, при ц2 < 0

уравнение многообразия (О1) в силу (2)

имеет вид {—е < х < е, у = л/Гц2 + °(| ц2р/2)}. Из (7) получаем, что уравнение кривой где 0к — 0 °Ри к — да .

Y = M-Y2 + o(1)

(8)

где X,Y,М определены в шаре ||Х,У,М|| < Ьк, Ьк — +да при к — да . Через о(1) обозначены некоторые функции от (X ^, М), которые стремятся к нулю при к — да вместе со своими производными (до порядка (г — 2)), и

M=

= {yi

d0,

(Ці -V k (Ц 2 ) + ....):

(9)

Доказательство леммы 2 приведено в статье далее.

Лемма 2 показывает, что исследование бифуркаций отображений первого возвращения Тк при всех достаточно больших к сводится, по существу, к исследованию стандартного отображения параболы

У = М —Y2, (10)

бифуркации которого хорошо известны. Так, при М е (—1/4,3/4) отображение (10) имеет устойчивую неподвижную точку, которая рождается в результате седло-узловой бифуркации при М = —1/4 и претерпевает бифуркацию удвоения периода при М = 3/4 . Из (9) получаем, что для отображения Тк соответствующие бифуркационные кривые его неподвижных точек на плоскости параметров (ц1, ц2) будут иметь вид

Ц : ц = У к (ц2 ) + , ё — \ 4 0к^ (ц2 ) + ...,

4(У )

Ц : ц =ук(ц2) — 0к2(ц2) +... . (11)

4( У )

Здесь кривая Ц отвечает седло-узловой бифуркации, а Ц - бифуркации удвоения периода соответствующей неподвижной точки.

На рис. 5 изображена бифуркационная диаграмма однообходных периодических траекторий семейства / в случае касания «сверху»

(rf > 0 ). В случае касания «снизу» (rf < 0) она будет иметь такой же вид с той лишь разницей, что теперь кривые Ц и Ц поменяются местами (Ц будет нижней, а Ц - верхней границей области Дк). В случае X < 0 общая картина бифуркационной диаграммы также сохранится, но расположение границ Ц и Ц областей Дк (сверху или снизу) будет зависеть теперь от четности к.

Таким образом, теорема 1 доказана. Нам осталось доказать только основные технические результаты - леммы 1 и 2.

Доказательство леммы 1

ничивая общности, мы предполагаем, что П+ и П - достаточно малые прямоугольные окрестности фиксированного достаточно малого одного и того же диаметра 2е . Перепишем второе уравнение системы (1) в виде у = У + g(У> ц),

где

Я(У, ц) = ц2 + У2 + О( У3). (12)

Легко видеть, что я (у, ц) > 0 при всех достаточно малых ц2 > 0. При ц2 < 0 исключим из рассмотрения область притяжения седло-узла (при ц2 = 0) или область притяжения узла (при ц2 < 0), так как, очевидно, они не содержат точек, итерации которых (относительно Т0 ) достигают П . Другими словами, при ц2 < 0 мы рассматриваем только подобласть в и~, где у > ^— ц2 + О(|ц2|3 2, т.е. выше (О) или

(О1) соответственно. При этих значениях у и при всех малых ц функция ё (у, ц) положительна и последовательность точек {у0, У1,..., ук} монотонно возрастает.

Как известно [8], при ц2 = 0 отображение (12) совпадает с отображением за единицу времени потока у = ~(у), где ~(у) = ё(у,0)(1 +...).

У

Поэтому справедливо соотношение |

~(У)

= 1.

Основываясь на этом, будем искать соотношение между у и у = у + я (у, ц) при всех малых ц в виде

У + ё ( У,ц )

/71 >

2 = 1 + Ф(У, ц^ (13)

dy

ц2 + У

где

Ф( У> ц) =

Рассмотрим набор точек (х,,у), i = 0,...,к, таких, что (Х0,У0) е а0 с П +, (хк,ук) е ак с П+

и (х,+и Уi+l) = Т0( х, У,).

Так как второе уравнение в (1) не зависит от х , рассмотрим сначала его. Мы будем доказывать формулу (3) для у0, предполагая, что для координаты у на П + и П— выполняются соотношения у0 < е и ук — у < е . Здесь, не огра-

1

агС£ -

уц2 1 + у + О(у )

О( у3)

— 1,

1 + у + О( у3)

если ц2 > 0; если ц 2 = 0; (14)

1

Лп

1 + У— ц2 + у + О(у 3) — 1

1 — л/—ц 2 + у + О(у 3)

если ц2 < 0.

Соотношение (13) можно записать для всех Уо,Уl,...,Ук—1, полагая в нем у = у,, у + ё(y,ц) = = у!+1. Сложив вместе все эти интегралы для , = 0,1,...,к — 1, получим следующую неявную зависимость у0 от ук :

dy

= k + П( Ук, Ц^

где

С,-(ук, ц) = 2"

Зцікі ац 2к2 ЗУккЗ

а т ф(у, (ук, ц), ц)

аУк

< const - g(у,, ц).

а m "П( Ук, ц)

аУк

<1

а тф(у,(Ук, ц), ц)

i=0 к-1

аУк

= const 2 g(Sj, ц) =

i=0 к-1

= const 2( Уі+і - Уі ) =

В силу леммы 3 мы можем представить формулу (15) в следующем виде:

k

Ik

dy

Ч(Ук, Ц) = 2ф( У,(Ук, Ц), Ц> (15)

' = k(1 + ^к ) + O(yk - У ) :

Заметим, что функции ф(у, ц) и ^(у, ц) -Сг—1 -гладкие. Необходимая гладкость ф(у, ц) вытекает из того, что интеграл в (13) берется от гладкой функции. В точности так же

"Л(у, ц) е Сг—1 как конечная сумма гладких

функций Ф(у,(Ук, цХ ц).

Рассмотрим следующую величину:

' 1

где 8к ^ 0 при к ^ да . Теперь (15) можно переписать следующим образом:

{ук^ - (1 + 5к) +

О(Ук -У~ ))){УкtS(^VЦГ(1 + 8к) +

+ л/^ГО(Ук -У~)) + 7^2) ", Ц2 > 0,

So =

-, 7 = 0,...,к — 1.

^ §(У,(Ук, ц),ц)

Лемма 3. Функции ^( ук, ц) вместе с производными по ук до порядка (г — 1) равномерно ограничены по к. Для производных ^(ук, ц) по параметрам справедливы следующие равномерные по к оценки:

а к1+к2+к3 Л( Ук, ц)

yk

Ц 2 = 0,

(1У)

yk(k(1 + 8к) + O(yk-y )) +1 (ук^- Ц2 - Ц2th(kV- Ц2 (1 + 8к ) +

^ 7-Ц2 O(Ук -У )))(ykth(k^/- Ц2 (1 + 8к ) + + ->/-Ц2 O(yk -у )) ^ 7-Ц2 ) , Ц2 < 0

< const-С 01 , ц). (16)

а2 иук

Доказательство. Производные функции ф(у,-, ц) по ук получаются дифференцированием интеграла (15) по переменной ук и легко оцениваются следующим образом (см. [11]):

Таким образом, для производных функции "Л( Ук, Ц) получаем:

Раскладывая правые части (17) по формуле Тейлора в окрестности точки ук = у , получим искомое выражение для у0 из системы (3), где для \к (ц2) справедливо соотношение (4) и

|Рк(ц)~ §2(У_, ц) <<1.

Что касается формулы для хк из (3), то теперь она может быть получена с помощью решения соответствующей краевой задачи [16, 17], для которой значения координат у!, , = 0,1,..., к, уже известны. Лемма 1 доказана.

Доказательство леммы 2

В силу (3), (7) мы можем записать отображение первого возвращения Тк в виде:

х — х+ = аХк х + о(Хк )^к (х, у, ц) +

+ Ь( у —у~) + О(Х2кх2 +

+1 X |к | х( у —у- )|+( у —у-)2),

■ +(У- У~)(1 + Рк (Ц))

0

(v к + у- )2

= const - (ук - у0) < const - (у + 2є).

Так же, аналогично [8], несложно показать, что

Як1 +к2 +кЗ s у Ц)

ак а k * ,кЗ <const - g(у,, ц2)С 01+к2(у-, ц).

аЦі 1 аЦ2 2 ЗУк

Оценки такого же типа получаются и для производных функций ф(у (ук, ц), ц) . Складывая эти неравенства, окончательно получим оценку (1б). Лемма З доказана.

+ О(0к)О((у — у )2) = ц1 + сХкх + (18)

+ сХк £к (х, у, ц) + d (у —у-)2 + О(Х2кх2 +

+ |Х|к|х(у —у-)| +1у-у- |3).

Введем новые координаты хпе№ = х — х+ + у1к,

Упе* = У —У- + У2к , где ^1к , V2к = О(Хк ), так, чтобы обнулить в первом уравнении из (18) свободный член и во втором уравнении - линейный член по упе№. Тогда отображение Тк запишется в виде

х = аХкх + Ьу + О(Хк )О( х2) + ХкО( ху) + О( у2),

m

m

m

-0к (i + Рк (Ц))

y

+ 0kO( у 2) = M1 +

(у к + У~ )2

+ с!кх + йу2 + о(Хк )О(х2) + (19)

+ ХкО( ху) + О( У3),

где М1 =Ц,-¥‘ (Ц->уГ-^ + О(0к).

V (Ц2) + У

Теперь сделаем перенормировку (рескей-линг) координат следующим образом:

x = -b(i + Pk (Ц))

0

У = -(i + P k (Ц))

-aX,

Y.

После этого отображение (19) для тех к, при которых 0k асимптотически мало (0k ^ 0 при к ^ да), может быть представлено в виде (8), где для M будет справедлива формула (9). Область значений параметров, при которых 0k ^ 0 при к ^ да , обозначим через RD. Легко видеть, что эта область охватывает начало координат, но ограничена снизу некоторой разделяющей кривой вида ц1 =-є + O(^^2), проходящей через точку (ц1 = -є , ц2 = 0). В свою очередь, заметим, что эта кривая является условной границей области DLS , в которой рес-кейлинг-метод формально не работает, так как 0k не является здесь бесконечно малой величиной при к ^ да . Лемма 2 доказана.

Авторы благодарят Д. В. Тураева за полезные обсуждения. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 13-01-005S9, 13-01-97028_поволжье и 1401-00344, а также the Leverhulme Trust grant RPG-279.

Спитк литературы

1. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Mатем. сб. 19бУ. Т. У4(11б). С. ЗУ8-З9У.

2. Gonchenko S.V., Shil'nikov L.P., Turaev D.V. On models with non-rough Poincare homo-clinic curves // Physica D. V. б2. 1993. Р. 1-14.

3. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Nonlinearity. 200У. V. 20. Р. 241-2У5.

4. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с не-

грубой гомоклинической кривой. I // Матем сб. 1972. Т. 88(130). № 4. С. 475-492; II. Матем сб. 1973. Т. 90(132). № 1. С. 139-157.

5. Лукьянов В.И., Шильников Л.П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиниче-скими структурами // ДАН СССР. 1978. Т. 243. № 1. С. 26-29.

6. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Invariant tori, their breakdown and stochasticity // Amer. Math. Soc. Transl. 1991. V. 149. Р. 201-211.

7. Newhouse S., Palis J., Takens F. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms // IHES Publ. Math. 1983. V. 57. Р. 5-71.

8. Shilnikov L.P., Turaev D.V. A new simple bifurcation of a periodic orbit of «blue sky Catastrophe» type. Methods of qualitative theory of differential equations and related topics // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 200, Amer. Math. Soc., Providence. RI. 2000. Р. 165-188.

9. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. С. 304.

10. Лукьянов В.И. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы «седло-узла» // Диф. уравнения. 1982. Т. XVIII. № 9. С. 1493-1506.

11. Лукьянов В.И. О периодических возмущениях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла // Матер. IX Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Т. II. Качественные методы. Киев: Наукова думка, 1984.

12. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. О бифуркациях динамических систем коразмерности два с негрубой гомоклинической структурой седло-узел // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2007. № 2. С. 175-180.

13. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. Некоторые бифуркации предельных множеств в окрестности негрубой гомоклинической структуры с вырожденным периодическим движением // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 1-2. С. 95-100.

14. Лукьянов В.И. О существовании гладких инвариантных слоений в окрестности некоторых негрубых неподвижных точек диффеоморфизма // Межвуз. сб. Горький, 1979. С. 60-66.

15. Tedeschini-Lalli L., Yorke J.A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? // Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 635-657.

16. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P. On moduli of systems with a structurally unstable homoclinic Poincare curve // Russian Acad. Sci. Izv. Math. 1993. V. 41. № 3. Р. 417-445.

17. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part I. World Scientific, 1998.

ON BIFURCATIONS OF TWO-DIMENSIONAL DIFFEOMORPHISMS WITH A HOMOCLINIC TANGENCY TO A SADDLE-NODE FIXED POINT

S. V. Gonchenko, O. V. Gordeeva, V.I. Lukyanov, I.I. Ovsyannikov

We study main bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms having a quadratic homoclinic tangency to a sad-dle-node fixed point. The bifurcation diagram for single-round periodic orbits from a small fixed neighborhood of the homoclinic orbit is constructed in the parameter plane. We discuss the relation between the results obtained and the well-known codimension-one bifurcations for the cases of a saddle fixed point with a quadratic homoclinic tangency and a saddle-node fixed point with a transverse homoclinic orbit.

Keywords: homoclinic tangency, saddle-node, bifurcation diagram, first return map, rescaling.

References

1. Shil'nikov L.P. Ob odnoj zadache Puankare-Birkgofa // Matem. sb. 19бУ. T. У4(11б). S. ЗУ8-З9У.

2. Gonchenko S.V., Shil'nikov L.P., Turaev D.V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves // Physica D. V. б2. 1993. R. 1-14.

3. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Nonlinearity. 200У. V. 20. R. 241-2У5.

4. Gavrilov N.K., Shil'nikov L.P. O trekhmernyh di-namicheskih sistemah, blizkih k sistemam s negruboj gomoklinicheskoj krivoj. I // Matem sb. 19У2. T. 88(130). № 4. S. 4У5-492; II. Matem sb. 19УЗ. T. 90(132). № 1. S. 1З9-15У.

5. Luk'yanov V.I., Shil'nikov L.P. O nekotoryh bi-furkaciyah dinamicheskih sistem s gomoklinicheskimi strukturami // DAN SSSR. 19У8. T. 243. № 1. S. 2б-29.

6. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Invariant tori, their breakdown and stochasticity // Amer. Math. Soc. Transl. 1991. V. 149. R. 201-211.

У. Newhouse S., Palis J., Takens F. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms // IHES Publ. Math. 1983. V. 5У. R. 5-У1.

8. Shilnikov L.P., Turaev D.V. A new simple bifurcation of a periodic orbit of «blue sky Catastrophe» type. Methods of qualitative theory of differential equations and related topics // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 200, Amer. Math. Soc., Providence. RI. 2000. R. 1б5-188.

9. Arnol'd V.I. Dopolnitel'nye glavy teorii obykno-vennyh differencial'nyh uravnenij. M.: Nauka, 19У8.

S. З04.

10. Luk'yanov V.I. O bifurkaciyah dinamicheskih sistem s petlej separatrisy «sedlo-uzla» // Dif. uravne-niya. 1982. T. XVIII. № 9. S. 1493-1506.

11. Luk'yanov V.I. O periodicheskih vozmushche-niyah dinamicheskih sistem s petlej separatrisy sedlo-uzla // Mater. IX Mezhdunar. konf. po nelinejnym kole-baniyam. T. II. Kachestvennye metody. Kiev: Naukova dumka, 1984.

12. Gordeeva O.V., Luk'yanov V.I. O bifurkaciyah dinamicheskih sistem korazmernosti dva s negruboj go-moklinicheskoj strukturoj sedlo-uzel // Vestnik Nizhego-rodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2007. № 2. S. 175-180.

13. Gordeeva O.V., Luk'yanov V.I. Nekotorye bifur-ka cii predel'nyh mnozhestv v okrestnosti negruboj go-moklinicheskoj struktury s vyrozhdennym periodi-cheskim dvizheniem // Nelinejnyj mir. 2007. T. 5. № 1-

2. S. 95-100.

14. Luk'yanov V.I. O sushchestvovanii gladkih inva-riantnyh sloenij v okrestnosti nekotoryh negrubyh ne-podvizhnyh tochek diffeomorfizma // Mezhvuz. sb. Gor'kij, 1979. S. 60-66.

15. Tedeschini-Lalli L., Yorke J.A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? // Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 635-657.

16. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P. On moduli of systems with a structurally unstable homoclinic Poincare curve // Russian Acad. Sci. Izv. Math. 1993. V. 41. № 3. R. 417-445.

17. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part I. World Scientific, 1998.