О предельных циклах в асимметричном уравнении Дюффинга-Ван-дер-Поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 1 (1), с. 115-121

УДК 517.9:534.1

О ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛАХ В АСИММЕТРИЧНОМ УРАВНЕНИИ ДЮФФИНГА-ВАН-ДЕР-ПОЛЯ

© 2012 г. О.С. Костромина, А.Д. Морозов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступкла о редащкю 21.11.2011

Рассматриваются асимметричные двухпараметрические возмущения уравнения Дюффинга, имеющего три ячейки с замкнутыми траекториями. С использованием анализа порождающих функций Пу-анкаре-Понтрягина решена проблема предельных циклов и построено разбиение плоскости параметров на области с разными топологическими структурами.

Ключеоые слооа: предельные циклы, бифуркации.

1. Введение

Рассмотрим уравнение Дюффинга-Ван-дер-Поля

х + ах +Рх3 =е(р1 + р2 х + р3х1 )х, (1)

где а = ±1, Р = ±1, рь р2, р3 - параметры, е -малый положительный параметр. Случай а = —1, Р = -1, когда имеется единственное состояние равновесия типа «седло», не представляет интереса. В этом случае фазовый портрет возмущённого уравнения существенно не отличается от фазового портрета невозмущённого уравнения.

Уравнение Дюффинга-Ван-дер-Поля является одним из наиболее популярных в теории колебаний. Наряду с многочисленными прикладными задачами, которые приводят к уравнению

(1), отметим также и чисто математическую задачу о бифуркациях векторных полей на плоскости, инвариантных относительно поворота на угол п [1]. В этой задаче р2 = 0, и коэффициенты перед линейными членами являются параметрами деформации (в отличие от нашего случая). Бифуркационная диаграмма на плоскости параметров деформации и фазовые портреты приведены в книге Арнольда [1] (см. также

[2]).

В работе [3] было рассмотрено асимметричное уравнение

х — х + х3 = е(1 + р2 х + р3 х2 )х . (2)

Подробного исследования в [3] (см. также [4]) не приводится - отсутствует разбиение плоскости параметров (р2, р3) на области с разными топологическими структурами. Это связано со значительными трудностями в исследовании асимметричного случая, которые не удалось преодолеть в [3].

Положим в (1) а = -1, в = 1, р3 = -1. Случаи а = 1, в = ±1 принципиально не отличаются от случая, когда р2 = 0. А именно, при в = 1 и р1 > > 0 существует единственный устойчивый предельный цикл; при р1 <0 предельные циклы отсутствуют. При в = -1 и р1 е (0,0.2) существует единственный устойчивый предельный цикл, а вне этого интервала предельные циклы отсутствуют.

Итак, будем исследовать уравнение

х — х + х3 =е(р1 + р2 х — х2 )х, (3)

которое зависит от двух параметров (рь р2). Отметим, что при р1 = 0 седловая величина обращается в нуль. Этот случай выпадал из рассмотрения в работе [3]. Наличие члена р2 хх в

(3) приводит к значительному усложнению задачи, в частности, к возможности существования двух предельных циклов, окружающих любое из состояний равновесия 0± (± 1,0); к существованию «большой» петли сепаратрисы, окружающей состояния равновесия 0±(± 1,0) и отсутствующей в невозмущённом уравнении. Цель данной работы - построить разбиение плоскости параметров (рь р2) на области с разными топологическими структурами, а также привести и сами топологические структуры.

Отметим, что невозмущённое уравнение поддаётся полному исследованию. На фазовой плоскости существуют три ячейки, заполненные фазовыми кривыми х1 /2 — х2/2 + х4/4 = h . При к = 0 имеем фазовые кривые в виде двух симметричных петель сепаратрисы седла 0(0,0), разделяющие эти ячейки («восьмёрка», см. рис. 1). В связи с этим выделим на фазовой плоскости три области G1± = {(х,х): х2/2 — х2/2+х4/4=к, ке(—0.25,0)} и G2 = {(х,х): х2 /2 — х1 /2 + хУ4 = к,к > 0},

(4)

і 2л

и = еВ(и), В(и) = — [ F(и, 0)к/0 , 2л {

(5)

где и = I + 0(е). Функция В(и) называется порождающей функцией Пуанкаре-Понтрягина. Так как решения невозмущённого уравнения на замкнутых фазовых кривых выражаются через эллиптические функции Якоби, то удобнее перейти от переменной и к переменной р.

Вычисляя интеграл в (5), находим

В = В± (р) =.п ^ ,5/2 {2(5Рі -1) (р-1)X

30л(2 -р)

х (2 - р)к(р) + [5Р1 (2 - р)2 - 4(р2 - р + 1)Е(р) ± (6)

Рис. 1. Фазовый портрет невозмущённого уравнения

где знак «плюс» отвечает ячейке с х > 0, а «минус» - х < 0. Областям G1± принадлежат ячейки, содержащие состояния равновесия 0±(± 1,0) типа «центр», а области G2 - внешняя ячейка, заполненная замкнутыми фазовыми кривыми, охватывающими три состояния равновесия.

Решение невозмущённого уравнения имеет вид (см., например, [4]):

х(0) = ±х^п(К9/л), 9 = ш?,

га =лх^ (л/ж), х1 = (2/(2 — р))1/2 в областях G1± и

х(9) = х1сп(2К 9/л), 9 = га?, ш = л/(2К^ 2р — 1), х1 = (2р/ (2р —1))1/2 в области G2. Здесь ю - частота движения на замкнутых фазовых кривых у2/2—х2/2+х4/4=к, 9 е [0,2л] - угловая переменная, К - полный эллиптический интеграл первого рода, р = k2, k -модуль эллиптического интеграла.

2. Порождающие функции Пуанкаре-Понтрягина

Основной вопрос в исследовании уравнения (3) - это вопрос о предельных циклах. Его решение приводит к нахождению вещественных нулей порождающей функции Пуанкаре-Понтрягина [4]. Напомним, как находятся порождающие функции.

В областях, отделённых от невозмущённых сепаратрис, перейдём к переменным «действие I - угол 0»

I = вГ (1, 9) = в(р1 + р2 х — х2 )ухд,

9 = ш(1)+ вR(1, 9) = ш + в(р1 + р2 х — х2 )ух', где х = х(1, 9), у = у(1, 9) = х . Далее, сделаем замену, приводящую эту систему к системе, близкой к усреднённой

15 р24і

16

-лр'

V2-р}=

4

30л (2 -р)

5/2

В±о (р)

для областей G± и

В = В2 (р) = -

8

■ {5р1 (2р-1)(1-р)-

30л(2р-1)52

-2(р-1)(2-р)]к(р) + [5р1 (2р-1)2 -4(р2 -р + 1)]х (7) 8

:Е(р)}-

_В20 (р)

30л(2р —1)5/2

для области G2. В (6) ре (0,1), а в (7) ре (12,1), Е - полный эллиптический интеграл второго рода. Заметим, что функция В2(р) не зависит от параметра р2.

Вычисляя Вх(р) и В2(р) при р=1, получаем

в1± (1) = 15- (5 А — 4) ± лр2,

15л 16

В2(1) = 7^(5р1 — 4) .

15л

При р2 = 0 имеем 2В1(1)=В2(1) (две петли сепаратрисы дают «восьмёрку»). При р2ф0 это равенство нарушается, и глобальная порождающая функция В(к), к е (— 0.25,да), становится разрывной при к = 0 (р = 1). В связи с этим линия 5р1 - 4 = 0 не является бифуркационной, как это было при р2 = 0. Поэтому вопрос о поведении фазовых кривых возмущённого уравнения (3) в окрестности невозмущённой сепарат-рисной «восьмёрки» требует дополнительного исследования. Ниже мы рассмотрим бифуркации, которые происходят вблизи прямой 5р1 - 4 = = 0. Прежде построим разбиение плоскости параметров (р1, р2) на области с разной топологией вне окрестности «восьмёрки».

3. Области внутри «восьмёрки»

Прежде всего найдём на плоскости параметров (р1, р2) линии, на которых уравнение (3) имеет негрубые фокусы 0±(± 1,0). Для этого разложим функцию

В± (р) = 2(5р -1) (р -1)(2 - р)к(р)+[5р (2 - р)2

-4(|

Я

- р + 1)]Е(р) ± 15р12У2 лр2^- р 16

(8)

в окрестности р = 0 в степенной ряд и ограничимся младшими членами. При этом воспользуемся известными разложениями для полных эллиптических интегралов К, Е:

і\2

\2

Е(р)

2-4

12 - 3

р2 +...+

(2п-1)!!'

ТПП.

рП +...

л I 1

= 21'-2р' 2- -4”

(2п-1)!!' 2пп!

р

2п-1

В результате найдём

В1±0 (р) = і^р 2

(Р ± Р2 - 1)1 - 4 1 +

Р1 - 5

— + р2 +4 2 4

V + '

32

5 Рх- 7

~9-+ Р2 +Т

V

_р_

128

+ (9)

+ |^ т Р, + 21 )^ + о (р 5)

8* 8 ) 2048

Отсюда следует, что для значений (р1, р2), принадлежащих прямым : р1 ± р2 — 1 = 0,

уравнение (3) имеет негрубые фокусы 0±(±1, 0)

р — 5

соответственно. Условия------1 + р2 + — = 0 (пер-

4 4

вая ляпуновская величина 11 равна нулю) соответственно определяют на прямых точки

А

.1 ± 4

3 3

из которых выходят линии двой-

Как мы показали, в окрестности точки р = 0 функция В10 (р) может иметь не более двух простых нулей (из фокуса может родиться не более двух предельных циклов).

Представим функцию В10 (р) в виде

Вш (р; рр Р2)=f (р; Р1)+Р2 g (р).

Исследуем поведение функций f и g на отрезке [0,1]. Начнём с функции f(р;р1 ). Из определения этой функции имеем f (0; р1 )= 0, У(1; Р1 ) = 5 Р1 - 4, причём при малых р, согласно

(9Х находим: f (р; д ) и ^ [(Р1 - 1)р2 + О (р3)].

8

Представляются возможными три случая: 1) Р1 < 0.8 , 2) 0.8 < р1 < 1, 3) р1 > 1. В первом случае функция f не имеет нулей, либо их число чётное. Во втором случае функция f имеет один нуль (с точностью до чётного числа). Наконец, в третьем случае функция f не имеет нулей, либо их число чётное.

На рис. 2 представлено семейство функций f (р; Р1) для Р1 є [0 .7,1.15]. Отсюда следует, что функция f (р; р1 ) на интервале (0,1) может иметь не более одного нуля1.

Функция g(р)= Ср2д/2-р , С = 1^л/Гл/16, монотонно возрастает на отрезке [0,1] от нуля до С и выпукла. Тогда графики функций f и g могут иметь не более двух точек пересечения на интервале (0,1), и следовательно, функция f + g может иметь не более двух нулей, что и доказывает теорему.

ных циклов, ибо вторые ляпуновские величины

і + = 2.5 , і - =-^6 (і ± находим из выражения 35 р. 21

---- + Р2 + — при подстановке в него коорди-

88

нат точек А±).

При р =1 из (8) находим прямые Х±, являющиеся претендентами на бифуркационные линии существования петель (правой, левой) сепаратрисы седла 0(0,0):

5Р1 ± Р2 - 4 = 0. (10)

16

Справедлива следующая Теорема 3.1. При достаточно малых |є| число предельных циклов уравнения (3) в областях G± не превосходит двух.

Доказательство этой теоремы сводится (см.

[4]) к доказательству оценки числа простых нулей функций В* (р) на интервале (0,1). В силу симметрии достаточно доказать теорему для одной из областей G± , например, для G+ .

1 В [1] рассматривалась порождающая функция, аналогичная Др). Однако в [1] отсутствует её полное исследование.

2

2

2

+

Из системы

в, (р)=0, аВ^ = о

ар

найдём линию двойных циклов. Используя (6), получаем систему

(10(р —1)(2 — р)К(р)+ 5(2 — р)2Е(р))р. ±

± 1^2 лр2л[2—рр2 = 2(р —1)(2 — р)К(р)+ (11)

16

+ 4(р2 — р + 1)Е(р),

1С

(3—2р)к(р)+(р—1)(2 — р) E(р>2-<1——рК(р)

—10(2—р)Е(р)+5(2—р)2 Е(р)~К(р)

2р

15/2

:-------1

16

_____ 2

2р/2—р — _ /2— 2/2—р

р2 =

(12)

= 2^(3—2р)К(р)+(р—1)(2—р) Е(р)Д—'рКр)

+ 4(2р—1)Е(р)+4(р2 — р+1)Е(р)—Кр).

2р

Решая эту систему, найдём линию двойных циклов в параметрической форме:

рх =— 2 (16К (р)—24рК(р)+8р2 К (р)—

— 16Е(р)+ 16рЕ(р)—р2 Е(р))/ (13)

/ (— 32К (р)+48рК (р)—22р2 К (р)+

+ 3р3 К (р)+32Е(р)—32рЕ(р)+8р2 Е(р))

р2 = +Щг2 (2К2(р)—3рК2(р)+р2К2(р)—

— 12К (р)Е(р)+ 12рК (р)Е(р)— 2р2 К (р)Е(р)+

+ 10Е2 (р) — 5рЕ2 (р)У 2 — р / л(— 32К (р) + (14)

+ 48рК (р)— 22р2 К (р)+3р3 К (р)+32Е(р)—

— 32рЕ(р)+8р2 Е(р)).

Отметим, что седловая величина ас = вр1 может обращаться в нуль при р\ = 0, в то время как в [3] ас =в^0 (р1 = 1). При ас = 0 двукратный цикл может влипать в сепаратрису.

64

При р\ = 0 из (10) находим р2 = ±

4. Область вне «восьмёрки»

Поведение решений уравнения (3) в этой области не зависит от параметра р2, что значительно упрощает задачу.

Справедлива следующая

Теорема 4.1. При достаточно малых |в| число предельных циклов уравнения (3) в области G2 не превосходит двух.

Доказательство. Нам достаточно оценить число простых нулей функции В20 (р) на интервале (1/2, 1).

Из (7) следует В20 (12) = 1.5К(12) — 3Е(1/2), В20 (1) = 5рх — 4. Так как В20 (1/2)< 0 и В20 (1)< 0 при р\ < 0.8, то на интервале (1/2, 1) либо у функции В20(р) нули отсутствуют, либо их число чётное. Согласно [4], число нулей функции в20(р) не превосходит трёх. Отсюда следует справедливость теоремы 4.1 прир\ < 0.8.

При переходе параметра р1 через значение 0.8 в сторону увеличения у функции В20(р) исчезает один нуль. С ростом р\ значение р, при котором В20(р) = 0, уменьшается по величине и при р^——<х> стремится к 0.5 (предельный цикл стремится к бесконечности). На рис. 3 показано семейство функций В20(р; р\) для р1 е [0.7,0.95]. Теорема доказана.

15л/2л

«±0.96. Точка А+ (0,0.96) на плоскости (рь р2) является крайней точкой линии двойных циклов для правой петли сепаратрисы, а точка АД0, — 0.96) - для левой.

Рис. 3. Семейство функций В20(р;р1) дляр1 е [0.7, 0.95]

Из условий В2 (р)= 0, аВ2 (р) = 0 находим 2 ар

бифуркационное значение р1 « 0.7523, которому на плоскости (рь р2) соответствует линия двойных циклов 1Ъ. Условие В2 (1) = 0 определяет на плоскости (рь р2) прямую р\ = 0.8, на которой у уравнения (3) при р2 = 0 существуют две петли сепаратрисы седла 0(0,0).

с d

Рис. 4. Большая петля при р1 = 0.776 и р2 = 0.5 (а); р2 = - 0.5 (Ь); поведение сепаратрис при р2 = 0.5 и р1 = 0.7 (с); р1 = 0.9 ^)

5. Окрестность «восьмёрки»

Величину расщепления невозмущённых сепаратрис под действием возмущения можно представить в виде Д = гД1 + £2Д2 +... . Воспользовавшись формулой Мельникова [5], найдём

да

А± = | р + Г 2 х0 (?) — х02 (?)] х02 (?)а? , (15)

— да

где х^?) - решение невозмущённого уравнения на сепаратрисе. Согласно [4], х0 (? )= ±л/2 (1/сЬ?), х0 (?) = +42 (эЬ?/ сЬ2 ?). Отсюда находим

Л± = 2

2 ±л /Г 8

-Р1 ±7" ^2 Р2-

3 8 15

Нетрудно видеть, что выражение для Д совпадает с точностью до постоянного множителя с выражением (10). Из уравнений Д± = 0 определяем бифуркационное множество, соответствующее петле сепаратрисы в возмущённом уравнении:

— р1 ±— л/2р2---8 = 0 . (16)

3 8 15

При Д+ = 0 имеем правую петлю сепаратрисы, а при Д- = 0 - левую.

При Р2 Ф 0 линия Р1 = 0.8 не является бифуркационной. В этом случае бифуркация связана с образованием большой петли сепаратрисы, охватывающей оба состояния равновесия типа фокус. На рис. 4а, Ь показана большая петля при разных знаках параметра Р2.

На рис. 4с, d показано взаимное расположение сепаратрис для значений параметров слева (с) и справа ^) от бифуркационной линии большой петли.

Численно находим линию «большой петли» ^4, показанную на рис. 5 (она близка к прямой Р1 = 0.8).

6. Глобальный результат

Полученные бифуркационные линии разбивают плоскость параметров (рь р2) на 22 области с разными топологическими структурами, которые показаны на рис. 5. Эти структуры различаются, прежде всего, числом предельных циклов. Поэтому введём обозначение (і, у, к), где і означает, что существует і предельных циклов в области О1, у - в области О”, к - в области О2 (вне «восьмёрки»). Тогда в соответствии с полученными выше результатами имеем:

Ь

Р1

Рис. 5. Разбиение плоскости параметров (р1, р2) на об- Рис. 6. Увеличенный фрагмент рис. 5

ласти с разной топологией фазовых портретов

ххи

Рис. 7. Основные фазовые портреты уравнения (3)

I - (0,0,0); II - (0,0,2); III - (0,0,1); IV - (0,1,1); V - (1,0,1); VI - (1,0,2); VII - (1,0,0); VIII -(0,1,0); IX - (0,0,2); X - (1,1,1); XI - (0,0,1); XII -(1,0,1); XIII - (0,1,1); XIV - (0,1,2); XV - (0,1,0); XVI - (0,0,0); XVII - (0,0,2); XVIII - (0,0,1); XIX -(0,1,0); XX - (0,2,0); XXI - (2,0,0); XXII - (1,0,0).

Отсюда следует

Теорема 6.1. При достаточно малых |е| число предельных циклов уравнения (3) не превосходит трёх.

Приведенные в теоремах 3.1, 4.1, 6.1 оценки числа предельных циклов являются точными.

Отметим симметрию полученного разбиения относительно оси Рь В то же время фазовые портреты в симметричных областях различаются. Например, в области VII существует один предельный цикл в правой петле, а в симметричной области XV - в левой петле; в области III в правой петле неустойчивый фокус, в левой

- устойчивый, а в симметричной области XVIII в правой петле устойчивый фокус, в левой -неустойчивый.

На рис. 6 показан увеличенный фрагмент рис. 5. На рис.7 показаны основные фазовые

портреты, построенные численно с использованием программы WInSet [6].

Работа поддержана РФФИ, грант № 09-01-00356, а также правительством РФ, грант № 111.G34.31.0039.

Список литературы

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с. (перевод с англ.).

3. Морозов А.Д., Федоров Е.Л. Об автоколебаниях в двумерных динамических системах, близких к гамильтоновым // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 4. С. 602-611.

4. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в ква-зиконсервативных системах. Москва-Ижевск: РХД, 2005. 420 с.

5. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Тр. Моск. мат. об-ва. 1963. Т. 12. С. 3-52.

6. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 303 с.

ON LIMIT CYCLES IN THE ASYMMETRIC DUFFING-VAN-DER-POL EQUATION

O.S. Kostromina, A.D. Morozov

Asymmetric two-parametrical perturbations of the Duffing equation having three cells with closed trajectories are considered. Using the analysis of Poincare-Pontryagin generating functions, the problem of limiting cycles has been solved. The parameter plane has been partitioned into regions with different topological structures.

Keywords: limit cycles, bifurcations.