Бифуркационная кривая, отвечающая рождению цикла в обобщенном уравнении Ван дер поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

БИФУРКАЦИОННАЯ КРИВАЯ, ОТВЕЧАЮЩАЯ РОЖДЕНИЮ ЦИКЛА В ОБОБЩЕННОМ УРАВНЕНИИ ВАН ДЕР ПОЛЯ Морозов А.В.1, Булекбаев Д.А.2, Носова Л.В.3 Em ail: [email protected]

'Морозов Алексей Валентинович — кандидат физико-математических наук, профессор; 2Булекбаев ДастанбекАбдыкалыкович — доктор технических наук, доцент; 3Носова Людмила Васильевна — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, кафедра математики, Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург

Аннотация: рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя параметрами ц и к, именуемое в литературе по нелинейной теории колебаний уравнением Дюффинга — Ван дер Поля. Рассматривается тот частный случай уравнения, на фазовой плоскости которого из трех неустойчивых положений равновесия два положения равновесия — седловые. Теоретически доказано, что при определенном соотношении между параметрами на фазовой плоскости уравнения возникает гетероклинический контур -

структура, состоящая из двух седловых положений равновесия и двух сепаратрис (двояко асимптотических к седлам траекторий). В настоящей статье на основе численного анализа строится бифуркационная кривая к = к( ц) , отвечающая рождению предельного цикла из гетероклинического контура.

Ключевые слова: нелинейные колебания, фазовая плоскость, гетероклинический контур, бифуркация, предельный цикл.

THE BIFURCATION CURVE, CORRESPONDING TO THE BIRTH OF A CYCLE IN THE GENERALIZED EQUATION OF VAN DER POL Morozov A.V.1, Bulekbaev D.A.2, Nosova L.V.3

'Morozov Alexey Valentinovich — PhD of physical and mathematical Sciences, Professor; 2Bulekbaev Dastanbek Abdykalykovich — Doctor of technical Sciences, Head of Department; 3Nosova Lyudmila Vasilievna — PhD of physical and mathematical Sciences, MILITARY SPACE ACADEMY NAMED AFTER A.F. MOZHAYSKY, ST. PETERSBURG

Abstract: we consider a second - order ordinary differential equation with two parameters ^ and k, referred to in the literature on the nonlinear theory of oscillations by the Duffing-van der Pol equation. The special case of the equation on the phase plane of which two equilibrium positions — saddle ones-are considered. It is theoretically proved that at a certain ratio between the parameters p and k on the phase plane of the equation there is a heteroclinic contour - a structure consisting of two saddle equilibrium positions and two separatrix (two asymptotic to the saddle trajectories). In this paper, a bifurcation diagram k=k(y) corresponding to the birth of a limit cycle from a heteroclinic contour is constructed on the basis of numerical analysis.

Keywords: nonlinear oscillations, phase plane, heteroclinic contour, bifurcation, limit cycle.

УДК 5'9.6

Введение. Рассмотрим уравнение Дюффинга - Ван дер Поля

х + ц(кх 2 — 1) х + х — х 3 = 0, (1) и эквивалентную ему систему

Г х = у,

I у = — [i(kx2 — 1 )у — х + х В (1), (2) х = х ( t) = = ц,к — параметры.

Система (2) имеет три положения равновесия: С0(0,0) , С1(—1,0) , С2( 1,0) (центр С0 и два седла С^).

2 ___ V _L V^

Рассмотрим для начала уравнение (1) (систему (2)) при ц=0. При этом уравнение относится к интегрируемому типу, первый интеграл которого как нетрудно видеть имеет вид

~г + 1~~^г = Е =соп ^ (у = А) ■ (3)

Инвариантные кривые уравнения изображены на рис. 1. Легко видеть, что при Е = ^ уравнение (3) описывает две сепаратрисы идущие из седла в седло (гетероклинические кривые), две сепаратрисы исходящие из седел и две - входящие в седла и, кроме того, два седловых положения равновесия (2. При Е £ [ 0 ,-) уравнение (3) описывает семейство замкнутых орбит и центр С0. При Е > ^ уравнение (3) описывает семейство незамкнутые кривых, охватывающих гетероклинический контур.

Рис. 1. Инвариантные кривые уравнения (1) при \1 = 0

Ясно, что при к = 0 и^<0 в силу свойства поворота векторного поля и неравенства

а (у2 , *2 *4\ 7 _ ,

— I — + —---—) = ¿у^ < 0 фазовый портрет претерпит следующие изменения, отмеченные на

рис. 2, поскольку входящие в первый интеграл инвариантные кривые становятся бесконтактными с направлением векторного поля внутрь. Положение равновесия при этом становится устойчивым фокусом (или узлом).

Рис. 2. Инвариантные кривые уравнения (1) при ^ < 0 (к = 0)

При к = 0 и ц > 0 - картина противоположная: Со - неустойчивый фокус ( 0 < ц < 2 ) или узел ( ц > 2 ) (рис. 3).

Рис. 3. Инвариантные кривые уравнения (1) при 0 < ^ < 2 (к = 0)

Бифуркация рождения цикла из гетероклинического контура. Для уравнения (1) аналитически доказан следующий результат [1,2], который мы приводим в следующей формулировке.

Теорема. Для малого ц > 0 найдется число к = к + при котором возникает гетероклинический контур (рис. 4); при к > к + контур разрушается и из него рождается устойчивый предельный цикл (рис. 5).

Рис. 4. Гетероклинический контур Рис. 5. Предельный цикл

На рис. 6 приведены предельные циклы, полученные в программе WinSet [3] для параметров ц = 0 . 1 , к = 1 0 (рисунок слева) и Ц = 1 , к = 1 0 (рисунок справа).

Рис. 6. Предельные циклы уравнения Дюффинга — Ван дер Поля

Поскольку теоретические выводы о бифуркации предельных циклов из гетероклинических кривых носят характер теорем существования, то мы провели численный расчет бифуркационной кривой к „ = к ( ц) . Табулированная бифуркационная кривая для уравнения (1) на промежутке ¿1 £ [ 0 , 2 ] представлена таблицей 1.

Таблица 1. Бифуркационные значения

И 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

к, 5.01 4.979 4.940 4.904 4.860 4.818 4.778 4.738 4.699 4.669

И 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

к, 4.638 4.608 4.579 4.548 4.528 4.508 4.480 4.460 4.447 4.427

В таблице к» является оценкой числа /с» сверху. Само число к» находилось из условия асимптотической односторонней устойчивости гетероклинического контура (все траектории, начинающиеся в замкнутой области, стремятся к нему). На рис. 7 представлен такой гетероклинический контур при ц = 0.8, // = 4.738.

Рис. 7. Асимптотически односторонне устойчивый гетероклинический контур

Проделанный расчет дает основание сделать заключение, что бифуркационная кривая обладает свойством слабого монотонного убывания на некотором промежутке

ц £ ( 0, ц) . Определение ц требует теоретического исследования.

Список литературы / References

1. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 548 с.

2. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МЦНМО, 2012. 304 с.

3. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 304 с.

О ПРОСТЕЙШЕЙ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНОГО АВТОГЕНЕРАТОРА Морозов А.В.1, Булекбаев Д.А.2, Носова Л.В.3 Em ail: [email protected]

'Морозов Алексей Валентинович — кандидат физико-математических наук, профессор; 2Булекбаев Дастанбек Абдыкалыкович — доктор технических наук, доцент; 3Носова Людмила Васильевна — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник,

кафедра математики, Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург

Аннотация: известно, что между непрерывным и дискретным описанием различных явлений, процессов и систем наблюдается глубокая связь, а существующие параллели часто помогают понять суть происходящего и предложить правильные решения. Так, например, утверждения, доказанные для непрерывных систем, часто могут быть сформулированы для соответствующих дискретных систем и наоборот. Особенно явно эта связь прослеживается между линейными моделями, например, дифференциальными уравнениями и рекуррентными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для нелинейных объектов дело обстоит сложнее. В настоящей статье, ориентированной в основном на преподавателей втузов и студентов, на элементарном уровне обсуждается дискретный аналог непрерывного генератора колебаний.

Ключевые слова: дискретная одномерная динамическая система, устойчивый 2 цикл, автоколебательная система.

ABOUT THE SIMPLEST MODEL OF DISCRETE OSCILLATOR Morozov A.V.1, Bulekbaev D.A.2, Nosova L.V.3

'Morozov Alexey Valentinovich — PhD in mathematics, Professor; 2Bulekbaev Dastanbek Abdykalykovich — Doctor of technical Sciences, Head of Department; 3Nosova Lyudmila Vasilievna — PhD in mathematics, S.R., MILITARY SPACE ACADEMY NAMED AFTER A.F. MOZHAYSKY, ST. PETERSBURG

Abstract: it is known that there is a deep connection between continuous and discrete description of various phenomena, processes and systems, and the existing Parallels often help to understand the essence of what is happening and offer the right solutions. For example, statements proved for continuous systems can often be formulated for the corresponding discrete systems and Vice versa. This connection is especially evident between linear models, for example, differential equations and recurrent equations with constant coefficients. For nonlinear objects, this is not the case. These connections may or may not be present. In this article, focused mainly on University teachers and students, the discrete analog of the continuous oscillator is discussed at the elementary level. Keywords: discrete one-dimensional dynamic system, stable 2 cycle, self-oscillating system.

УДК 519.6