Устойчивые колебания одной цифровой системы управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.511.22 А. В. Степанов

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 1

УСТОЙЧИВЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ОДНОЙ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

1. Введение. Наличие нелинейных элементов в импульсной технике придает ей качественно новые свойства, исследование которых на основе теории линейных систем невозможно, в связи с чем возникает необходимость в разработке теории нелинейных импульсных систем. К настоящему моменту опубликовано большое количество работ по данной тематике (см., например, библиографию [1]). Одним из классов импульсных систем являются цифровые системы управления (ЦСУ) [2-4]. Состояние таких систем изменяется в дискретные моменты времени; ЦСУ описываются в пространстве состояний системами разностных уравнений.

Будем использовать следующие обозначения: штрих - операция транспонирования; Е - единичная матрица; Еп - n-мерное евклидово пространство; под нормой вектора х G Еп будем понимать евклидову норму ||ж|| = \/х'х; под нормой матрицы М -норму, согласованную с нормой вектора: ||М|| = max jUj, где ¿¿f - собственные числа

t=l,...,n

матрицы М'М.

Пусть ЦСУ в пространстве состояний описывается системой разностных уравнений вида

xk+i = Мкхк + ук + qkuk, (1)

где к ^ fco - целый неотрицательный индекс; хк € X С En; qk, ipk € En - периодические (почти периодические) векторные последовательности; Мк - периодическая (почти периодическая) последовательность матриц размерности пхп. Здесь и далее пользуемся определениями почти периодических последовательностей, приведенными в [5].

Определение 1 [5]. Последовательность qk назовем почти периодической, если для Ve > 0 существует такое число Т(е), что между двумя последовательными кратными Т(е) найдется целое число т (е-почти период последовательности qk), для которого

lkfc+т < е, Vfc.

Определение почти периодичности для матричной последовательности Мк дается аналогичным образом.

Значение управляющего воздействия ик в к-й момент времени вычисляется по правилу

uk=f(crk,uk-1), к>к0, <7fc = 7'zfc, 7 6 Е71, Ц7Ц ф 0,

/ - однозначная кусочно-постоянная функция своих аргументов, множество значений U которой конечно. Последнему определению, например, удовлетворяют нелинейность типа квантования по уровню, а также нелинейности релейного типа (идеальная релейная характеристика, релейная характеристика с пространственным запаздыванием (гистерезисом), релейная характеристика с зоной нечувствительности и пространственным запаздыванием и т. д.). Значения хко, ико считаем заданными.

Системы вида (1), например, могут быть получены в результате дискретизации систем дифференциальных уравнений, описывающих непрерывные процессы управления,

© А. В. Степанов, 2006

при этом далее они рассматриваются в качестве самостоятельных моделей. Если формирование управления в исходной непрерывной системе происходит с задержкой по времени, правая часть результирующей системы разностных уравнений явным образом зависит более чем от одного значения управления [6]:

хк+1 = Мкхк +tpk + pkuk-i-i + q kuk-i,

(2)

здесь 1 е Z, 0; к ^ ко+1 + 1.

В п. 2 будут получены достаточные условия существования асимптотически устойчивых периодических (почти периодических) решений системы (1). При этом используем понятие грубости решений этой системы.

2. Грубые решения ЦСУ. Решением (движением) системы (1), соответствующим при к = ко начальному состоянию хко и начальному значению управляющего воздействия ико, назовем последовательность точек хк = х(к,ко,хко,ико), где каждое последующее значение хк+\ вычисляется исходя из предыдущего значения хк по формуле (1).

При исследовании свойств решений разностных систем, описывающих ЦСУ с устойчивым объектом, авторами [2-4] было введено понятие грубости этих решений. При рассмотрении системы (1) его следует уточнить в связи с тем, что правая часть данной системы содержит нелинейности более общего вида, чем те, которые изучались авторами [2].

Пусть хк = х(к,ко,хко,ико) - решение системы (1), отвечающее начальным данным ко,хко,ико, а ик - соответствующая последовательность управлений. Рассмотрим последовательность пар zk = (хк,ик-\) € X х [/, к ^ ко + 1- Обозначим й(ко,хко,ико) С X х U - множество точек сгущения последовательности zk. Если X -компакт, то, очевидно, й(к0, хко, ико) ф 0.

Следуя [2], введем

Определение 2. Решение хк — х(к, ко, хко, ико) системы (1) назовем грубым, если Э<5 > 0: Vi = {х,и) G П(ко,хко,ико) функция f(cr,ü) постоянна, когда |а — Ух\ ^ S. Величину 6 назовем степенью грубости решения хк.

Введенное таким образом определение грубости решения зависит от конкретного вида нелинейности /. Пусть, например, функция / описывает неидеальную релейную характеристику с гистерезисной петлей:

jmi, ак <12, . ^ . ^

ик = < . h < h, пы < т2, (3)

\т2, ок > h,

переключение управления осуществляется по правилу Uk — Wi, еСЛИ Wfcli = ГТ12 и

f <?к-1 > h, \ сгк ^ h,

Г Ок-1

ик = Ш2, если ик-1 = mi и <

< к,

(обход петли происходит против часовой стрелки). В этом случае данное выше определение грубости можем переформулировать следующим образом.

Определение 3. Решение системы (1),(3) назовем грубым, если для соответствующей последовательности ак существуют натуральный номер К и вещественное

число 5 > 0, называемое степенью грубости решения хк, такие, что \ак — > 5, если ик-1 = Ш2, и \ак — ¿21 > если ик-1 = для Vк ^ К.

3. Устойчивые колебания ЦСУ. Наряду с системой (1), рассмотрим вспомогательную линейную однородную систему

хк+1=Мкхк. (4)

Для системы (1) справедлив следующий результат.

Теорема. Пусть нулевое решение, системы (4) равномерно асимптотически устойчиво и последовательности Мк,(рк,дк - периодические или почти периодические, тогда любое грубое решение системы (1) сходится при к —> +оо к асимптотически устойчивому периодическому или соответственно почти периодическому решению этой системы.

Доказательство. Пусть Хк< г — Мк-\Мк-2 х ... х М^, тогда

п

хк — Хк> к-п Хк-п + ^ Хк, k-j+l (<Рк-з + Чк-э ^к-з) , и для установившегося решения имеем

оо 3=1

Так как из равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения системы (4) следует экспоненциальная устойчивость этого решения, то существуют такие константы Ь > 0, а € (0,1), что Н-Х^'Н ^ Ьак~з, откуда следует, что ряд (5) абсолютно сходится.

Пусть по крайней мере одна из последовательностей Мк, 1рк, дк - почти периодическая, в то время как остальные - периодические. Покажем, что последовательность хк -почти периодическая. Введем обозначения:

оо оо

= Ул' Хк,к-з+гЧ>к-з1 3к - У^ 7* Хк, к-з+1Чк-з Ук-З-

3=1 3=1

Так как нулевое решение системы (4) обладает свойством равномерной асимптотической устойчивости, последовательность - почти периодическая. Ряд абсолютно

сходится для любого номера к. Обозначим V = тах|и|. Всякая почти периодическая

vE и

последовательность ограничена, следовательно, 3 > 0: \\qk\l ^ У к ^ ко.

Пусть 6 > 0 - степень грубости рассматриваемого решения. Выберем натуральный номер

здесь Е{у} - целая часть числа у, константы а, Ь - ш определения экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы (4). В этом случае Ц7Ц < <5/8г), откуда,

так как

¿2 IVХк,к-з+1Як-А < 11711«^^ —1

3=Кб+1

следует, что

оо ^

Е Ь'хкгкч+1Якч\ < —. (б)

Пусть и — {ь1,У2,т. е. управляющее воздействие и может принимать одно из ЛГ различных значений. Всего существует /У" = Л^ различных упорядоченных наборов Р-7 длины !£,$ элементов из 17:

Построим N различных -периодических последовательностей {й™}?^ следующим образом:

и рассмотрим /V" последовательностей

оо

3}'т = Е V , 1 ^ ГП ^ N.

5=1

Очевидно, каждая из последовательностей - почти периодическая.

Имеет место следующий факт [5]: если последовательности ак,Ьк - почти периодические, то для любого е > 0 существует натуральный номер Т(е) такой, что между двумя последовательными кратными Т(е) найдется по крайней мере один е-почти период, общий для последовательностей ак,Ьк. Более того, легко показать, что для любого £ > 0 и натурального р найдется такой натуральный номер Т(е), что между двумя последовательными кратными Т(е) существует по крайней мере один е-почти период, общий для последовательностей ак,Ьк и кратный числу р. Последний результат естественным образом распространяется на случай любого конечного числа почти периодических последовательностей. Зафиксируем е = (Й + 1 ^ и выберем е-почти

л 1 Л2 1 Л2 2 А2 N

период г — IК^. 1 е N1 общий для последовательностей ,...,5^' (как

только что было замечено, это всегда возможно сделать). Введем обозначение

= • ■ ■ ,ик+г-г-К&} 1 ^ € N.

Очевидно, Рг € |рх, Р2,..., Р^ Рассмотрим последовательность, составленную из

N + 1 наборов: Р1,Р2,..., Рдг+г По крайней мере один из наборов входит в эту последовательность два раза:

Это, 1 ^ гп0 ^ й, 3*1,12, + Ри = Рь = Рт°.

Рассмотрим величину \<Тк+н-т — Иа-т|- Имеем

\&к+п-т — &к+ъ-т\ ^ — Зк+12.+ | + |Зк+1Х^ — | ^

^ 1^+11 Т ~ ^/¡+¿2-г I +

А2, то _ Л2,то

I с2 _ с2, то

Рк+и-т ^к+п-т

+

с2 _ А2, то

Л+»2-т °к+(2-т

<

(использовали неравенство (6)). Так как

\сгк+11-т — ак+г2-т| < Ык+п -т-1 ~ «й-Мг-т-Ь

+

(здесь опять воспользовались неравенством (6), а также тем фактом, что т £ N является общим £-почти периодом для всех последовательностей £к'т: 1 ^ т ^ IV). Таким образом, ик+п.т+1 = ик+г2-т+1-

Далее, действуя аналогичным образом, убеждаемся, что

т. е. последовательность значений управляющего воздействия, отвечающая грубому решению Хк, является периодической, с периодом (г'г — г\)т. Следовательно, последовательность Хк - почти периодическая.

Асимптотическая устойчивость решения хк следует из его грубости и свойства равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения системы (4). Теорема доказана.

Следствие. Рассмотрим систему

где М - постоянная матрица размерности пхп; д - постоянный п-мерный вектор. Если собственные числа матрицы М расположены внутри единичного круга на комплексной плоскости и последовательность - периодическая (почти периодическая), то любое грубое решение системы (7) сходится при к -4 +оо к асимптотически устойчивому периодическому (соответственно почти периодическому) решению этой системы.

Замечание 1. По аналогии с [2], можно показать, что при выполнении условий теоремы существует не более чем конечное число различных грубых асимптотически устойчивых решений системы (1), отвечающих фиксированному значению ко.

Замечание 2. Все проведенные рассуждения очевидным образом распространяются на случай системы (2) (последовательности рк, qk считаем периодическими или почти периодическими).

Замечание 3. Выше считали, что объект управления обладает свойством асимптотической устойчивости. Естественно, что данное условие не всегда выполнено. Например, если объект управления - стационарный и описывается матрицей М, то возможны следующие случаи:

ик+п-т+1 - ик+ъ-т+1, V / 6 К,

Хк+1 = Мхк + <Рк+ чик

(7)

• Объект управления - нейтрально-устойчив, т. е. существуют собственные числа матрицы М, расположенные на единичной окружности комплексной плоскости, которым отвечают простые элементарные делители, все остальные собственные числа матрицы М находятся внутри единичного круга. В этом случае при наличии периодического внешнего воздействия <{>k в рассматриваемой системе возможно возникновение резонанса.

• Объект управления - неустойчив (существует по крайней мере одно собственное число матрицы М, лежащее вне круга единичного радиуса на комплексной плоскости, или матрица М имеет кратные собственные числа, расположенные на единичной окружности комплексной плоскости, которым отвечают элементарные делители, отличные от простых). В этом случае изучение рассматриваемой системы является особенно сложным. Установившиеся решения ЦСУ с неустойчивым объектом не обладают свойством устойчивости по Ляпунову, однако могут обладать некоторым более общим свойством устойчивости (например, свойством устойчивости по Пуассону [2]).

Когда объект управления не является собственно устойчивым, целесообразным может оказаться использование дополнительного управления в виде линейной обратной связи [7] для его стабилизации.

Замечание 4. При конструировании устойчивых периодических (почти периодических) режимов в управляемых системах вида (7) для выбора параметров управляющего воздействия могут применяться методы, используемые авторами [8].

Summary

Stepanov А. V. Stable oscillation of one digital control system.

Sufficient conditions are obtained for existing of asymptotically stable periodic and almost-periodic solutions of one digital control system on base of roughness concept for these solutions.

Литература

1. Гелиг A. X., Чурилов A. H. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993. 268 с.

2. Косякин А. А., Шамриков Б. М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. 334 с.

3. Шамриков Б. М. Основы теории цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1985. 296 с.

4. Теряев Е. Д., Шамриков Б. М. Цифровые системы и поэтапное адаптивное управление. М.: Наука, 1999. 330 с.

5. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем / Пер. с рум. М. И. Букатаря, Г. В. Ножака; Под ред. В. П. Рубаника. М.: Мир, 1971. 312 с.

6. Острём К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ / Пер. с англ.; Под ред. С. П. Чеботарева. М.: Мир, 1987. 480 с.

7. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд. С.-Петерб. ун-та, 1997. 308 с.

8. Камачкин А. М., Шамберов В. Н. Отыскание периодических решений в нелинейных динамических системах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 88 с.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2005 г.