Исследование устойчивости положения равновесия некоторых классов нелинейных разностных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

Сер. 10.

Вып. 2

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.962 А. В. Минайло

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

1. Введение: Системы разностных уравнений широко применяются при описании управляемых систем с дискретными регуляторами [1], нелинейных импульсных систем [2], а также при численном интегрировании дифференциальных уравнений различных типов [3]. Свойства решений разностных систем во многом аналогичны свойствам соответствующих решений дифференциальных систем, и в то же время их исследование часто происходит значительно проще. Это обстоятельство и обуславливает интерес к изучению подобных уравнений.

При исследовании динамики различных реальных процессов требуется учитывать множество факторов, действующих на рассматриваемые системы. В большинстве случаев структура модели изучаемого процесса и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Поэтому для решения прикладных задач важно не только доказать устойчивость программного режима работы системы, но и обосновать сохранение данного свойства для системы, отличающейся от исходной наличием возмущающих сил, малых в том или ином смысле. Таким образом, возникает проблема исследования устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

Во многих прикладных задачах для нормального функционирования з'правляемого объекта достаточно обеспечить устойчивость его положения равновесия не по всем, а только по отношению к некоторой части переменных. Такие задачи естественным образом возникают при решении ряда механических и технических проблем [4-6], анализе биологических и экономических моделей [7, 8].

2. Постановка задачи. В настоящей работе рассматриваются системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями и соответствующие им разностные системы (однородный случай исследован в работе [9]).

Определение [10]. Вещественная функция /(X), определенная и непрерывная в Еп, называется обобщенно-однородной класса (тщ, ...,ш„) порядка т, если для любого с 6 (—оо,+оо) справедливо соотношение /(ст1Х1, ...,стпхп) = ст/(хг,...,хп), где то, т; (г = 1, п) - положительные рациональные числа с нечетным знаменателем.

Известно [10], что для обобщенно-однородной функции /(X) при всех X € Еп справедливы неравенства

с\гт(Х) <: /(X) ^ с2гт(Х),

п

в которых г(Х) = IХгI, сх = т£ /(X), сг = вир /(X).

г=1 г(Х)=1 г(Х) = 1

© А. В. Минайло, 2006

П р и м е р 1. Для функции f(xi,xo) = xf + имеем т\ = 5, rri2 = 3, m — 15. То есть функция /(яь^г) является обобщенно-однородной класса (5,3) порядка 15.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

А = F(X). (1)

Здесь А' - я-мерный вектор, компоненты вектора F(X) - функции Fi(X),i = 1 ,п, определены и непрерывно дифференцируемы при всех X 6 Еп и являются обобщенно-однородными функциями класса (mi,...,mn) порядка а + 1щ, где а - такое рациональное число, что а + mî > 0 и а = p/q, q - нечетное, а р - любое целое число. Из обобщенной однородности F(X) следует, что уравнения (1) имеют нулевое решение.

В настоящей статье будет доказано, что переход от системы (1) к соответствующей системе разностных уравнений не приводит к нарушению асимптотической устойчивости нулевого решения. Произведена оценка скорости стремления решений к началу координат. Установлено, что порядок найденной оценки совпадает с порядком оценки, полученной В. И. Зубовым для дифференциальных уравнений [10]. Исследовано воздействие на систему ограниченных и неограниченных возмущений. Доказана теорема об асимптотической устойчивости по нелинейному приближению. Рассмотрена устойчивость по части переменных нелинейных разностных систем с неавтономными возмущениями.

3. Сохранение устойчивости при переходе к разностной системе. Предположим, что нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Тогда, как было доказано в работе [10], существуют функции Ляпунова V и W обобщенно-однородные класса (пц,...,?пп) порядка m — а и m соответственно, для которых верно равенство dV/dt\(i) = W. Причем V - положительно-определенная функция, a W - отрицательно-определенная. Для функций V и W имеют место следующие неравенства:

airm-'{X) ^ V(X) <: a2rm~a(X), (2)

6rm(х) < w(X) s; brm(X),

где ai, и2 > 0; < 0.

Рассмотрим для (1) соответствующую разностную систему

X k+1=Xk + F(Xk). (3)

Исследуем на устойчивость нулевое решение системы (3).

Теорема 1. Из асимптотической устойчивости пулевого решения системы (1) следует асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (3).

Доказательство. Вычислим приращение функции V на решениях системы (3). Имеем

ДУ - V(Xk + F(Xk)) - V(Xk) = (F(Xk)T V'(Xk + eiF(Xk)) = (F{Xk))' V'(Xk)+ + (F(А,)Г (V'(Xk + e,F(A,)) - V"(A,)),

где в! e (0,1).

Рассмотрим отдельно вектор-функцию V'(X+ в1Г(Х)) — У(Х). Считая, что X ^ О, получим

У'(Хк+в1Р(Хк))-У'(Хк) =

= V

хи+вМХь)^,^ , Хпк + вМХк)

г"" (Хк)

-г™1 {Хк),...,

гт-(Хк)

гт"(Хк) -

V" ( ) =

г'»' (ХА.)

гт»(**)

, , 6\Р\(Хк) в]Рп(Хк)\

гт*(Хк) '-'Упк+ гтп (Хк) ) " (.У1Ь,-,Упк)

Здесь р(Х) = Яад(гт-«->т^Х),...,гт~'-т"(Х)), у{ = = 1,п.

Пусть = Тогда

А,

^ Со,

(А)

С21га{X) 0 при г(Х) -> 0, где

_ гт-(А)

С21 - положительные постоянные, г = 1,п.

Значит, существует 6 > 0 такое, что при г(Аг) < <5 будут иметь место соотношения

АУ

= IV(Хк) + Хк) {у' (у1к + Д1Ь + Д„,) - V (г/и, ...,у„*))

<

^ &гт№) + сгт(Хк) \\у' (у1к + Д1Ь ...,упк + Дп*) - V' (у1к, ...,упк)

«С

|гт(Хк),

в которых с > 0.

Таким образом, нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво.

Замечание!. Аналогичным образом можно получить условия неустойчивости нулевого решения системы (3).

При доказательстве теоремы 1 было установлено существование числа <5 > 0 такого, что для любого решения Хк системы (3) с начальными данными Хко = А'0, удовлетворяющими условиям ^ 0, г(А'о) < <5, при всех к ^ к0 выполняется соотношение 1/(А^+1) ^ У(Хк) - Ьгт(Хк), где Ь > 0. Аналогичным образом можно показать, что если 6 достаточно мало, то найдется Ь > 0 такое, что при всех к > ко У(Хк+1)^У(Хк)-Ьгт(Хк).

Таким образом, принимая во внимание неравенство (2), получаем, что для решений системы (3), начинающихся при к = ко в ¿-окрестности точки X = 0, при к — ко, ко + 1,... справедливы соотношения

а 1

^У(Хк+1)^У(Хк)-Ь

У(Хк)

а 1

Лемма 1 [11]. Пусть для членов последовательности {г^} выполнены неравенства О ^ Vk+i ^ ffc — avjt, к = 0,1,..., где а > О, А > О, Vo ^ О, аАг^-1 ^ 1. Тогда при всех к = 0,1,... справедлива оценка

vk ^

Лемма 2 [11]. Пусть для членов последовательности {ш-} выполнены неравенства Vk - ävj! ^ vk+i ^ (äA)--^, к - 0,1,..., где а > О, А > О, v0 ^ О, 2äAuo_1 ^ 1. Тогда при всех к = 0,1,... справедлива оценка

v0(l + 2ä(A - 1 <;

Теорема 2. Существует число ¿i > О такое, что для любого решения Хк системы (3) с начальными данными Хк0 = Хо, удовлетворяющими условиям ко ^ О, г(А'о) < 61, при всех к ^ ко выполняется неравенство

c,r(A'0)(l + с2г°(Х0)(к - fco))"- ^ г (А,) ^ c3r(A0)(l + с^(Х0)(к - к0))~(4)

/аЛ 2Ъа (а? \ ^ 2bcr

Здесь с\ = — , с2 = —7-г, сз = — , с4 = —-.-г.

\а-2) ai(m — а) \ai / а-гут — а)

3 а м е ч а н и е 2. Порядок найденной оценки (4) совпадает с порядком оценки, полученной В. И. Зубовым в работе [10] для систем дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями.

4. Условия асимптотической устойчивости по нелинейному приближению. Наряду с системой (3) рассмотрим возмущенную систему

Хк+1 = А к + F(Xk) + Rk (А,), (5)

в которой векторная функция R.k(X) определена и непрерывна на множестве r(X) < Н, к = 0,1,... и удовлетворяет неравенствам

|Я,г(А)| <: Cirm^(А), (б)

где с; > 0, 7 > 0, mj ^ 0, г = 1,п.

Определим условия, при которых будет иметь место асимптотическая устойчивость (или неустойчивость) нулевого решения системы (5).

Теорема 3. Если 7 > а, то нулевое решение системы (5) асимптогпически устойчиво.

Доказательство. В качестве функций Ляпунова для возмущенных уравнений выбираем обобщенно-однородные класса (mi,..., тп) порядка т — а и т функции V и W, соответствующие дифференциальным уравнениям (1).

Рассмотрим первую разность функции Ляпунова V в силу системы (5). При достаточно малых значениях г(А) имеем

ДУ = V(Xk + F(Xk) + Rk(xk)) - V(Xk) = V(X, + F(Xk) + Rk{A,)) -- V(Xk + F(Xk)) + V(Xk + F(Xk)) - V(Xk) = V(Xk + F(Xk)) - V(Xk) +

+ (Rk(Xk))* V'(Xk + F(Xk) + eRk(Xk)) = V(Xk + F(Xk)) - V(Xk) +

+ (Rk(Xk))* V'(Xk) + (Rk(Xk))* {V'(Xk + F(Xk) + 9Rk(Xk)) - V'(Xk)) . Здесь в e (0,1).

Тогда, принимая во внимание неравенство (С) и оценку AV, в силу системы (1) (см. доказательство теоремы 1), получим

ду < &гт(Хк) + сг~,+т~а(Хк),

где с - положительная постоянная.

Таким образом, если 7 > а, то для достаточно малых значений г(Хк) и при всех

к = 0,1,... имеем ДV <¡. — гт(Хк). Следовательно, нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.

Замечай иеЗ. Аналогичным образом можно получить условия неустойчивости нулевого решения системы (5).

Снова рассмотрим систему (5). Пусть векторная функция Rk{X) на множестве r(X) < Н, к = 0,1,... удовлетворяет неравенствам

\R¡k{Xk)\^Ci{k + l)ar^+m'(Xk),

в которых c¿ > 0, а > 0, 7 > 0, m¡ ^ 0, i = 1, п.

Таким образом, возмущения в системе (5) являются неограниченными, а параметр а определяет степень их роста.

Определим условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (5) будет сохраняться и для неограниченных возмущений.

Теорема 4. При выполнении неравенства 7 > а(а + 1) 'нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.

Доказательство. В качестве функций Ляпунова для системы (5) выбираем обобщенно-однородные класса (mi, ...,тп) порядка т — сг и т функции V и W, соответствующие дифференциальным уравнениям (1).

Рассмотрим первую разность функции Ляпунова V в силу системы (5). При достаточно малых значениях r(X) имеем

ДУ = V(Xk + F(Xk) + R(А,)) - V(xk) = (V (Xk + 6(F(Xk) + R(Xk))))* x

x (F(Xk) + R(Xk)) = (V'(Xk))* (F(Xk) + R(A,)) +

+ [V (A, + 6(F(Xk) + R(Xk))) - V' (Ak)Y (F(Xk) + R(Xk)) =

= (V'(Xk))* (F(Xk) + R(Xk)) + (F(Xk) + R(Xk))* p(Xk) x v ÍV (, + + ^i(^) 1 0Fn(Xk) 9Rn(Xk)\ \

x { V+ + ''Jnk + ^ЧхГ) + J " (tf"'Vnk)) ■

Здесь в £ (0,1), p{X) = diag{rm-*-m*{X),...,rm-°-m'(A)), yi = ~,i=TJi.

Значит, существует 6 > 0 такое, что при г(Х) < 6 будут иметь место соотношения ДУ ^ Ьгт(Хк) + Ь1(к + 1 )агт-°+т(Хк) + Ь2 [гт{Хк) + (к + 1)агт-°+1(Хк)) х

х l|V' {У\к + Alk,...,ynk + Апк) - V'(yik,...,ynk)\\, л 0Fj(X) впг(Х)

ГДе Д> = m-fv\ + m /V\ > 0.

rm< (А) Гт' (А )

Покажем, что существуют числа г/, А и L такие, что для любого решения Хк системы (5) с начальными данными Хко = А'о, удовлетворяющими условиям

ko^L, rCT(A0)<f, (7)

ко

при всех к ^ ко имеет место неравенство

r"(Хк) <j. (8)

Пусть ai — min VÍA), а2 = max V(X). Выберем числа r¡ и А так, чтобы выпол-

r(.V) = l r(X) = 1

нялись соотношения

q < < 4(ш - а)а2 ^ _ 4(m ~ <Т)а2 (а2

<7^2 \а1.

Далее задаем Ь > 0 настолько большим, чтобы при к ^ Ь были справедливы неравенства

к 4(т — а)а-2 \ к

> 4б2(* + 1)° , > 462.

вт А) вЯАХ) „

Рассмотрим выражение Д; = -7—- Н--ттгт- Имеет место следующая оценка:

г"" (А) гт> (А)

Д* ^ ^^(А,) + с21(к + 1)агЦХк).

Учитывая неравенство (8) и у > а (а + 1), получаем

Дг, сиг"(Хк) + с21(к + 1)а г"1~аа{Хк) ^ сцг"(Хк) + съ(к + 1)а г°{Хк).

Таким образом, Д,- —> 0 при г(А) —> 0.

Значит, существует 6 > 0 такое, что при г(Х) < 6 будет выполняться неравенство || У (У + Д) — V' (У)|| < 1. Отсюда, учитывая (8), получаем дополнительное условие на г г А

величину Ь: Ь > —.

Рассмотрим решение Хк системы (5) с начальными данными, удовлетворяющими условиям (7). Допустим, что неравенство (8) не выполнено. Тогда, в силу непрерывной

зависимости решений рассматриваемого уравнения от начального положения Xq, су-

ществуют решение Хк и момент ki > ко такой, что ra(Xkl) ^ —, а при к = ко,...,к\ — 1

к\

имеет место оценка (8). Следовательно, для всех к = к0, ...,к\ — 1 получаем

AV <С jrm(X).

Используя неравенство (2), имеем

4 V о2

Заметим, что при этом

Ь т ГЩХо— < -Ьту ^ х 4 (то - сг)а2 V а2 / 4а2(то-ст)А;о ^

Применяя лемму 1, приходим к неравенству

\ 4 ТО — (7 у

Учитывая оценки (2), находим, что справедливо следующее соотношение:

кх ( 6 ° (Л ^ ( & а 1

4 (то — а)а-2 \а1) А I V 4 (то — сг)а2 г;,

Из условия выбора чисел г) и А следует, что левая часть последнего неравенства положительна, а правая отрицательна. Приходим к противоречию. Значит, для решений Хк при всех к ^ ко имеет место оценка (8). Используя доказанное свойство решений системы (5), а также их непрерывную зависимость от А'о, получаем утверждение теоремы.

5. Устойчивость по отношению к части переменных. Рассмотрим систему

А'*+1 = А, + ^(Х,) + Мк(Хк,Ук), Ук+1 = Рк(Ук) + Рк(Хк,Ук).

Здесь А", У - векторы размерности п и п, элементы вектора Р(X), определенные для любого X 6 Еп, обладают теми же свойствами, что и в системе (1); векторные функции Рк(У), Ок(Х,У) и Мк(Х,У) определены и непрерывны на множестве к = 0,1,..., г(X) < Н, г(У) < Н и удовлетворяют условиям

Рк( 0) = 0, \\Ок(Х,У)\\^с1Гх(Х),

\Мк1(Х,¥)\^ЫХ,У)г°+т'(Х),

где ф^Х,У) —> 0 при г(X) + г(У) —» 0; с\ > 0; Л > 0; г = 1, щ Н - положительная постоянная.

Наряду с уравнениями (9) рассмотрим систему, состоящую из двух изолированных подсистем: системы (3) и системы

Ук+1=Рк(Ук), (10)

которую будем называть системой первого приближения для (9).

Пусть нулевое решение обобщенно-однородной системы дифференциальных уравнений (1) асимптотически устойчиво. Кроме того, предположим, что существует функция Ляпунова V\k(Y), заданная при к = 0,1,..., г(У) < Я и обладающая свойствами:

1) Vik{Y) непрерывно дифференцируема по Y, причем ее частные производные dVik/dYj, j = 1,п, ограничены;

2) V\k(Y) - положительно-определенная функция;

3) приращение Vu(F) на решениях системы (10) неположительно.

Таким образом, нулевое решение уравнений (3) асимптотически устойчиво, а нулевое решение уравнений (10) является устойчивым.

Теорема 5. При выполнении неравенства А > а нулевое решение системы (9) устойчиво по всем переменным и асимптотически Х-устойчиво.

Доказательство. Пусть V(X) и W(X) - обобщенно-однородные класса (т 1, ...,тп) порядка гп — сгнт функции V и W, соответствующие дифференциальным уравнениям (1).

Рассмотрим приращение функции V(X) на решениях системы (9). Получим, что при всех к = 0,1,..., г{Хк) < Н, r(Yk) < Н имеют место соотношения

AV = V(Xk + F(Xk) + Mk(Xk,Yk)) - V{Xk) = (V'(Xk)y Gk(Xk,Yk) +

+ \ (Gk(Xk:Yk))* V"(Xk + 6Gk(Xk,Yk))Gk(Xk,Yk),

где Gk(X,Y) = F(X) + Mk(X,Y), в e (0,1).

Тогда в достаточно малой окрестности точки X = 0, Y = 0 при всех к = 0,1,... получаем

AV = (V'(Xk)yF(Xk) + (V'(Xk))'Mk(Xk,Yk) +

+ Gik(Xk,Yk)Gjk(Xk,Yk)Vj}(Xk + 6Gk(Xk,Yk)) <: i,j=1

5$ brm(Xk) + а [ф(Хк,¥к)гт(Xk) + rm+°(Xk)] .

Здесь a - положительная постоянная.

Следовательно, существует число rj > 0 такое, что если при к = к{>,..., кi решение (ХЦ, Y£)* системы (9) остается в области r(X) ^ ?/, r(Y) ^ ?/, то для этих значений к справедлива оценка

AV si |гт(Хк). (11)

Далее рассмотрим приращение функции в силу системы (9). Имеем

VuOWi) - Vik(Yk) = [Vlk(Pk(Yk) + Dk(Xk,Yk)) - Vlk(Pk(Yk))} + [Vlk(Pk(Yk)) - Vlk(Yk)}.

Принимая во внимание указанные выше свойства функции Vik(Y), приходим к неравенству

AVlk(Yk) Ц \\v{(Pk(Yk) +9Dk(Xk,Yk))\\ \\Dk(Xk,Yk)\\ <: hrx(X), где h > 0, в G (0,1).

Рассмотрим оценку (11). Учитывая, что обобщенно-однородная функция V(X) при всех X Е Еп удовлетворяет неравенствам (2), получаем

^№+1) ^ V(Xk) + |гт(Хк) ^ V(Xk) +1 .

При этом будем считать, что число г] выбрано настолько малым, чтобы выполнялось Используя лемму 1, приходим к неравенств}'

г(Хк) <: а1Г(Хко) (1 + а2гЦХко)(к - к0))~' , (12)

которое справедливо при к = ko,...,ki 4-1. Здесь ai и а2 - положительные постоянные, не зависящие от начальных данных рассматриваемого решения. Далее имеем

ki

Vik(Yk i+x

) - Vlk(Yk0) Ol £ rX(xk) ^

к=ко

/ ki

<: hrx(Xk0) (l+ai £ (1 + a2r°(Xko)(k - к0)Г$ ) ^ \ k=ko+i

(ki

1 J(1 + a2r<T{Xka){t — ко))'

ко

Значит, справедлива оценка

Vlk(Ykl+1) <; Vlk(Yko) + Ь1Г\Хко) + Ьга^а3гх-^Хко), (13)

+оо

где «з = / (1 + а2т)~°(1т. о

Задаем сколь угодно малое положительное число е, е < Г). Пусть ß = inf V\k(Y). Выберем 6 > 0 так, чтобы выполнялись условия aiS < е, 3&i<5А < ß,

k^0,r(Y)=e

ЗЬ1а$аз6х— ^ ß, Vik(Y)<ß/3 при r(Y) < 6, к = 0,1,... .

Из оценок (12) и (13) следует, что если начальные данные решения (ХЩ,У£У удовлетворяют неравенствам к0 > 0, г(Хко) < S, г(Уко) < 6, то при всех к ^ к0 имеем г(Хк) ^ е, r(Yk) < е, при этом г(Хк) -» 0 при к оо.

П р и м е р 2. Рассмотрим задачу гашения угловых движений твердого тела по двум из трех главных центральных осей инерции. Динамические уравнения Эйлера, описывающие вращательное движение тела под действием управляющего момента М, имеют вид

Qlj + и) х Qu> = М, (14)

где 0 - тензор инерции тела, Ö = diag{A, В, С], А,В,С > 0 [12]; М = 0)*,

Ii - рациональное число с нечетными числителем и знаменателем, /х > 1. Таким образом, на исследуемое тело действуют диссипативные силы с частичной диссипацией.

В [4] была доказана асимптотическая устойчивость по переменным и 1, и>2 пулевого решения динамических уравнений Эйлера с линейным управляющим моментом. Действуя по аналогии с работой [4], несложно показать асимптотическую устойчивость по переменным , ш2 нулевого решения системы (14).

Переведем систему (14) в разностный вид, производя коррекцию разностной схемы с помощью метода В. И. Зубова [1]. Получим

/ ^(к) \

вш(к+ 1) = 6ш(/г) - Нш(к) х Эи>{к) - к I ш£(к) \ + и(Н,и(к))еи(к), (15)

u(h,u>) — <

, h2 (lj х Ow) 0-1 (ш х Qui)

"1 +У1 -i^T- ' если ш 0;

О, если и = 0.

Предположим также, что главные центральные моменты инерции тела удовлетворяют условиям А > С, В > С. В качестве функций Ляпунова выберем функции

Vi (wbw2) = А(А - С)ш\ + В(В - С)ш|, =

Функция Vi(uji,u}2) является обобщенно-однородной и положительно-определен-

Функция V2k{и>з), заданная при к = 0,1,..., |шз| < Н, где Н = const > 0, удовлетворяет таким условиям:

1) l'2k(w;i) непрерывно-дифференцируема по ^з, причем ее частные производные дУ2к{<^>з)/дшз ограничены;

2) з) ~ положительно-определенная функция;

3) приращение У2к{ыз) на решениях уравнения и>з(к + 1) = и>з(к) равно нулю.

По теореме 5 для устойчивости положения равновесия системы (15) по всем переменным и асимптотической устойчивости по переменным и>\, и>2 достаточно, чтобы выполнялось неравенство /t < 3.

Summary

Minaylo А. V. Investigation of equilibrium position stability for some classes of nonlinear difference systems.

Some classes of nonlinear difference systems with limited and unlimited disturbances are investigated. Using the method of Lyapunov's functions sufficient conditions for the equilibrium stability with respect to all and to a part of variables are obtained.

Литература

1. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: НИИ химии С.-Пе-терб. ун-та, 2001. 353 с.

2. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. 323 с.

3. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / Пер. с англ. А. Ю. Захарова; Под ред. А. А. Самарского. М.: Мир, 1988. 332 с.

4. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 284 с.

5. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 344 с.

6. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 253 с.

7. Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование / Пер. с фр.; Под ред. Ю. М. Свирежева. М.: Наука, 1976. 286 с.

8. Эрроусмит Д. К., Плейс К. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Качественная теория с приложениями / Пер. с англ. Т. Д. Вентцель; Под ред. Н. X. Розова. М.: Мир, 1986. 243 с.

9. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об устойчивости решений нелинейных разностных систем // Изв. вузов. Математика. 2005. № 2. С. 3-12.

10. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

11. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. СПб.: НИИ химии С.-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

12. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 20 ноября 2006 г.