Об устойчивости одного класса нелинейных неавтономных разностных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

няется р0 > 0. Так как ф * сколь угодно мала в окрестности нуля Л1 = • • • = Лп = 0, то возможно выбрать е вначале столь малым, что

ф* = ф * (Л1(£), к, цп(Ь)) < а * / 2(п - т)

для Ь > ЬЕ.

Тогда неравенство (23) принимает вид р / р>а * / 2 для Ь > Интегрируя от to до Ь > ¿о, находим

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Еругин Н. П. Аналитическая теория нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин // ПММ. 1952. Т. 16, вып. 4. С. 465 486.

2. Зубов В. И. Устойчивость движения / В. И. Зубов. М. : Высш. шк., 1973. 272 с.

3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М. ; Л. : ГИТТЛ, 1950. 473 с.

4. Шестаков А. А. Некоторые теоремы о неустойчивости в смысле Ляпунова / А. А. Шеста-ков // ДАН СССР. 1951. Т. 79, № 1.

5. Briot. Recherches su rles propriétés des founctions definies par dies équations différentielles / Briot, Bouquet // I. Ecole Polytech. 1856. Vol. 21.

6. Picard E. Traite d'Analyse / E. Picard // Paris : Gauthier-Villars et fils. 1896. T. 3.

7. Pouncare H. Su r les proprietes des founctions definies par les equations differentielles / H. Pouncare // I. Ecole Polytech, Cahier. 1878. Vol. 45.

Поступила 13.02.2012.

р > р0е(в*/2)(Ь

что, учитывая а* > 0, приводит к противоречию с неравенством (24).

Так как преобразование системы (1) к системе (7) было действительным линейным преобразованием с отличным от нуля определителем, то теорема 3 доказана.

УДК 517.956

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

А. А. Султанбеков

В настоящей работе рассматриваются существенно нелинейные разностные системы треугольного вида, находящиеся под воздействем нестационарных возмущений. С помощью дискретного аналога метода функций Ляпунова доказывается теорема об асимптотической устойчивости по нелинейному треугольному приближению. Показывается, что для некоторых классов систем полученные условия, при которых возмущения не нарушают устойчивости нулевого решения, можно ослабить.

Постановка задачи. Пусть задана система разностных уравнений

х(к + 1) = х(к) + / (х(к)), (1) где х(к) = (х^к), ..., хп(к)) , компоненты вектора /(г) являются непрерывно дифференцируемыми при всех г е Еп однородными функциями порядка т > 1. Из однородности /(г) следует, что система (1) имеет нулевое решение.

Предположим, что нулевое решение однородной системы дифференциальных уравнений г = /(г) асимптотически устойчиво. Тогда нулевое решение системы (1) тоже асимптотически устойчиво [2].

Наряду с системой (1), рассмотрим возмущенную систему

х(к + 1) = х(к) + / (х(к)) + г(к, х(к)). (2)

Будем считать, что векторная функция

© Султанбеков А. А., 2012

г(^г) при k = 0,1, ... непрерывна в области |г| < Н, причем для любого k в указанной области справедлива оценка |г(к, г) < Ь\|г|° ■ Здесь Н, Ь, а — положительные постоянные.

В соответствии с известным критерием устойчивости по нелинейному приближению [2] получаем, что при выполнении неравенства а > т нулевое решение системы (2) также асимптотически устойчиво.

Предположим теперь, что в правой части уравнений нелинейного приближения, кроме однородных членов порядка т, присутствуют слагаемые меньшего порядка, т. е. вместо системы (1) рассмотрим систему

х^ + 1) = х^) + / (х(^) + q(x(k)). (3) Здесь векторная функция q(z) непрерывна при |г| < Н и удовлетворяет неравенству

||д(2>|| < М|г| 1, М > 0, 0 < 1 < ц. Считаем, что нулевое решение изучаемой системы асимптотически устойчиво.

Рассмотрим возмущенную систему следующего вида:

х(к + 1) = х(к) + / (х(к)) + q(x(к)) +

+ г(к, х(к)), (4)

где г(^г) обладает теми же свойствами, что и возмущение в системе (2). Будем искать условия на параметр а, при которых система (4) сохраняет асимптотически устойчивое нулевое решение. В работе [3] такая задача исследовалась для систем дифференциальных уравнений. Показано, что из превосходства порядка возмущения над порядками однородности функций, входящих в правую часть невозмущенных уравнений, вообще говоря, не следует асимптотическая устойчивость нулевого решения возмущенной системы. Аналогично непрерывному случаю можно показать, что выполнение условия а > т также недостаточно для того, чтобы возмущения не нарушали асимптотической устойчивости нулевого решения системы (4).

В данной работе будем считать, что система разностных уравнений (3) является треугольной [5]. Найдем условия асимптотической устойчивости нулевого решения для возмущенных систем, а также рассмотрим классы систем, для которых возможно уточнение этих условий.

Устойчивость по нелинейному треугольному приближению. Рассмотрим систему разностных уравнений

х^ + 1) = х^) + /Кх^)) + (5)

х20г + 1) = х2Ш + /2(х2(Щ где х^) е Е"1, х2(к> е е"2 , п + п2 = п, х(к) = (х1 (Ь), Х2 (k)) , элементы векторов

/1^) и /2^2) — непрерывно дифференцируемые однородные функции порядка т > 1,

г1 е Е"1, г2 е Е"2, г = (г1*, г/)*, векторная

функция ^(г) непрерывна в области ||г|| < Н

и удовлетворяет неравенству |?(г)| ^

< М||а ||г2||Ь , М >0, а > 0, Р > 0, а + Р < ц. Система (5) относится к классу так называемых треугольных систем [5].

Будем считать, что нулевые решения однородных систем дифференциальных уравнений

= /(г8), 5 = 1, 2 (6)

асимптотически устойчивы. Известно [2], что в этом случае нулевое решение системы (5) также асимптотически устойчиво.

Рассмотрим теперь возмущенную систему

Х1(к + 1) = Х1(к) + /1(х1 (к)) + q(x(к)) +

+ г1(к, х(к)), (7)

х2 (k + 1) = Х2(k) + /2 (х2^)) + r2(k, x(k)).

Здесь векторные функции г^, г) и г) при k = 0, 1, ... непрерывны в области

|г|| < Н и удовлетворяют условиям

|| г (к, г) < Ь3\ а , (8)

5 > 1, Ь5 > 0, 5 = 1, 2. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если выполнено неравенство

о >т(т -а)/Р, (9)

то нулевое решение системы (7) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Для системы (7) функцию Ляпунова строим в виде "(г) = "Ц^) +

+ "2^2), где "Ц^) и "2^2) — положительно определенные непрерывно дифференцируемые однородные порядка 71 -т + 1 и 72 - ц + 1 соответственно функции Ляпунова, 71 и У2 —любые рациональные числа,

большие т, с четными числителями и нечетными

знаменателями, причем (г3) —V (г5) — отрицательно определенные функции, 5 = 1, 2

[4].

Найдется Н > 0 такое, что при к > 0, ||х(к)|| < Н получаем:

ДУ <-¿^(1 у1 +||х2(к)||у2 ) +

+ Ь2(||х1(к)|у1 -т+а ||х2(к)||Ь + (|х1(к)|а

||х2(к)|| Р)у1 -т+1 + (Ц х1(к) а + ||х2(к)|| а)

(||х1(к)у1-т + (Цх1(к)а ||х2(к)||Р)У1 -т) +

+ \\х1(к)\\а(у1 -т+1) +||х2 (к)||а(у1-т+1) +

+ ||х1(к)| а |х2(к)||у 2 -т +| |х2(к)|| у2 -т+а +

+ ||х1(к)|а(у2 -т+1) +1 |х2(к)||а(у 2 -т+1)) = Ш(х(к)),

где &1, Ь2 — положительные постоянные.

Для существования окрестности положения г = 0, в которой W(г) будет отрицательно определенной, достаточно [4], чтобы имели место соотношения:

11 /12 > (т-а) / Р, У1 / у2 <СТ / т. (10) Множество допустимых значений параметров у1, у2 не является пустым, если выполнено условие (9).

Выберем у1, у2 удовлетворяющие неравенствам (10). Тогда для достаточно малых

значений |х(к)|| и при всех к > 0 будет справедлива оценка

ДУ < -д1(|х1(к)у1 +||х2(к)||у2),

где «1 — положительная постоянная. Таким образом, для функции У(г) выполнены требования дискретного аналога теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [2]. Теорема доказана.

Уточнение условий устойчивости по нелинейному приближению. Предположим теперь, что возмущения в системе (7) предста-

вимы в виде ^(к,г) = В^к^^), ^(к,г) = = В-2(К)д-2(г1), где матрицы В^к), В2(к) ограничены при к > 0, компоненты векторов

д!^), д2(г1) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка а > 1.

Пусть

Q(0) = 0, Q(k) = l Bi(s)

s=0

при k = 1,2,..., i = 1,2. Будем считать, что матрицы Ci(k) ограничены при k > 0, i = 1,2. Тогда полученное в

предыдущем разделе условие (9) на порядок возмущений можно ослабить с помощью предложенного в [1] способа построения неавтономных функций Ляпунова для существенно нелинейных систем.

Теорема 2. При выполнении неравенства

I u - a u + 1 u - a , .J s > max < ----; --u - (u - 1) >

1 b 2 ' b J

нулевое решение системы (7) является асимптотически устойчивым.

Доказательство. Известно [6], что из

асимптотической устойчивости нулевых решений изолированных подсистем (6) следует существование дважды непрерывно дифференцируемых однородных порядка g1 - m + 1 и у2 - m + 1 соответственно функций Ляпунова V[(z1) и V2(z2), удовлетворяющих требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В качестве у^ и g2 можно выбирать любые рациональные числа, большие m + 1, с четными числителями и нечетными знаменателями. Для возмущенной системы функцию Ляпунова строим в виде:

V(k,z) = Vi(zi) + V2(z2) -

... (11)

-[StJ Cl(k)gl(z2) - [f?2J C2(k)g2(zi).

Функция (11) при k = 0,1, ... для всех

z e En удовлетворяет следующим неравенствам:

2 - +1 -a

« Z 1Ы|gs m+ - «з(|z^lg1 m Z |a +

s=1

+ уa I|z2|Г2-m) < V(k,z) < a2 Z ||zs||ys-m+1 +

s=1

+ аз(||z11g1 -m ||z21|a +||z111a||z2||y2 -m), где а^,а2,аз — положительные постоянные.

Вычислим приращение функции V(k,z) на решениях возмущенной системы. Получим

ДV = (у1(х1(к + 1) - У1(х1(к)) + (У2(х2(к + 1) - Для четвертого получаем:

-У2 (х2(к)) +

дV1 дz^

1 (х1(к))1 С1(к)^1(х2(к)) -

дг2

2 (Х2(к))1 В2 (к)д2 (х^к))-

Зг^

(х^к + 1)) I С^к + 1)д1(х2(к + 1))

, Зг,

2 (Х2(к)) I С2(%2(х1(к))-

(Х2(к + 1))| С2(к + 1)д2(х1(к +1))

Зг2

Распишем выражения в каждой из скобок. Первое слагаемое можно представить в виде

(Х1(к)) I Дх^к) +

+ 2 (Дх^к))

Зг-1

(х^к) + 91йДх1(к))

5г1

Дх-1 (к).

Здесь Дх^к) = /^(х^к)) + q(x(k)) + ^(к,х(к)). Для второго выражения имеем:

^(х2(к))1 Дх2(к) + 1 (Дх2(к))* х

5г2

ЗУ

5г

2 (х2(к) + е2кДх2(к))

Дх2 (к),

где Дх2(к) = /2(х2(к)) + г2(к,х(к)), е,к е (0,1), 5 = 1, 2. Третье слагаемое представим в виде:

(х4(к))! В!(к)д!(х2(к)) -

Зг-,

ЗУ1(х!(к))| С^к + 1)(д^(к + 1))-

^ Зг1

-д1(х2(к)))-

ЗУ1

5г1

(х1(к +1))

ЗУ1

. Зг1

1 (х1(к))|| С1(к + 1)д1(х2(к +1)).

5г2 д2(х1(к)))

(х2(к)) | С2(к + 1) (д2(х1(к + 1)) ■

5г2

-(х2(к +1)) |-

дУ>

2(х2(к))|| С2(к + 1)д2(х1(к + 1)).

5г2

Найдется Н > 0 такое, что при к > 0,

< Н

1 справедливо соотношение:

ДУ <-Ьо(|х1(к)У1 + ||х2(к)||у2 )-

+ Ь1(\\х1(к)|у1-т+а ||х2(к)||Ь + (||х1(к)|у1-т-1 +

-т-1

||х2(к)| Р)У1

,(к)| + | ) + &2(|| х2(к^

+ ||х1 (к) |2ах

+ | |х2(к)|| а(у1 -М))(И х(к) |2т-х| |х,(к)|| 2Р+" '-"2а— '-"у 2 +т-1

2а

||Х2 (к)\\У 2

-М

а(у2-т-1) ,

|2т +| |х1(к)|а(у 2 -т+1)) + Ьз( Х1(к) у1-1-1 +| |х1(к)| а(а-1))(|| Х2(к)т +

Г) + (I х1(к)|| у1

-т-1

а(у1 -т-1)

ь(у1-т-1) + ||х2(к)|| а(у1-т-1))

х (||х1(к)|т + ||х1(к)|а|х(к)|Ь + ||х2(к)а) X ) + ь/Их (к)у2-т

X (II х1(к)|а-1 + 1|х,(к)|| а(а-1)| 1х2(к)|Р(а-1) +

+ 1 |х,(к)||а(а-1))(х,(к)|т + 1к(к)||а I|х,(к)Ь +

а) + х2(к)у2 -т-1 + ||х1(к)|а(У2 -т-1));

(ii *2<k>i m+|xi(k) s )(| xi(k)\s+

+ ||xt(k)||att ||x2(k)||aP + ||x2(k)||a2 ) = W(x(k)),

где b0, ..., b4 — положительные постоянные. Функция W(z) представима в виде

W(z) = -bo(||z1|yl + |y2 ) + Wi(z), где W1(z) есть линейная комбинация функций вида

l^lllhi |г2h2 . Для существования окрестности положения z = 0, в которой W(z) будет отрицательно определенной, достаточно [4], чтобы для каждой такой функции выполнялось следующее неравенство:

hi/ Yi + h2/ Y2 > l. Таким образом, получим систему ограничений на gi, g2, m, a, b, s. Исключая из нее избыточные выражения, приходим к соотношениям:

li> mii> m +1 ii> m 72 p ' Y2 2a ' g2 a + m-1'

gi < 2a 7i < a + m - 1 (12)

72 m +1' 72 m

Множество допустимых значений параметров gi, У2 не является пустым, если выполнено условие теоремы.

Выберем gi, g2, удовлетворяющие неравенствам (12). Тогда для достаточно малых

значений ||x(k)|| и при всех k > 0 будут справедливы оценки:

a i i|xs(k)i-m+i < v(k , x(k)) <

2 s=1

< £ I|xs(k)|Ys-m+1, 2 s=1

DV < - b0 (|x1(k)\\+||x2(k)f2 ).

Следовательно, функция V(k,z) удовлетворяет требованиям дискретного аналога теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [2]. Теорема доказана. Пример. Рассмотрим систему

x1(k + 1) = xt(k) - Xj3(k) + xt(k)x2^(k),

3 (13)

X2(k + 1) = x2(k) - x23(k).

Нулевое решение системы (13) является асимптотически устойчивым.

Теперь рассмотрим возмущенную систему

x1(k + 1) = x1(k) - x13(k) +

К

+ x1(k)x/3(k) + ax2°(k) sin kh, (14)

x2(k + 1) = x2(k) - x23(k) + bx1s(k)cos kh,

где s — положительное рациональное число с нечетным знаменателем, h, a, b — постоянные величины, h > 0.

В соответствии с теоремой 1 имеем, что при s > 18 нулевое решение системы (14) также является асимптотически устойчивым. Последовательность C¿(k)(C¿(0), C¿(k) =

k-1

= X B¿(s), k = 1, 2, ..., Bt(k) = a sin kh,

s=0

^(k) = b cos kh) является ограниченной, i = = 1, 2. Применяя теорему 2, получаем, что при s > 16 возмущения не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения. Следовательно, теорема 2 задает более широкую область допустимых значений для параметра s по сравнению с областью, задаваемой теоремой 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по неавтономному первому приближению / А. Ю. Александров // Изв. вузов. Сер. Математика. 2000. № 10. С. 13 20.

2. Александров А. Ю. Устойчивость движений дискретных динамических систем / А. Ю. Александров, А. П. Жабко. СПб. : НИИ химии С.-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

3. Александров А. Ю. Об устойчивости по нелинейному неоднородному приближению /

A. Ю. Александров, А. В. Платонов // Мат. заметки. 2011. Т. 90, № 6. С. 803 820.

4. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования /

B. И. Зубов. Л. : Судпромгиз, 1959. 324 с.

5. Калитин Б. С. О принципе сведения для асимптотически треугольных дифференциальных систем / Б. С. Калитин//Приклад. математика и механика. 2007. Т. 71, № 3. С. 389 400.

6. Rosier L. Homogeneous Lyapunov Function for Homogeneous Continuous VectorField / L. Rosier // Systems & Control Letters. 1992. Vol. 19. P. 467 473.

Поступила 02.02.2012.