О бифуркациях в окрестности особой точки типа «Трехкратный сшитый фокус» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-2

В. Ш. Ройтенберг

О БИФУРКАЦИЯХ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ ТИПА «ТРЕХКРАТНЫЙ СШИТЫЙ ФОКУС»

Аннотация.

Актуальность и цели. Хотя кусочно-гладкие динамические системы изучались в большом числе научных работ, их бифуркации еще мало исследованы. Рассматриваются кусочно-гладкие векторные поля на плоскости в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» на стыке их линий разрыва. Целью работы является описание бифуркаций таких векторных полей.

Материалы и методы. Используются методы теории бифуркаций, линейного и нелинейного функционального анализа.

Результаты и выводы. Векторные поля, имеющие особую точку типа

«трехкратный сшитый фокус», образуют в банаховом пространстве Xr всех кусочно-гладких векторных полей подмногообразие коразмерности два. Получены явные формулы для функций, задающих это подмногообразие. Описано разбиение пространства Xr на классы топологической эквивалентности.

Ключевые слова: кусочно-гладкие векторные поля на плоскости, особая точка, периодические траектории, бифуркации.

V. Sh. Roytenberg

ON BIFURCATIONS IN THE NEIGHBORHOOD OF A SINGULAR POINT OF TRIPLE SEWN FOCUS TYPE

Abstract.

Background. Although piecewise smooth dynamical systems have been studied in a large number of scientific works, their bifurcations have been scarcely investigated. The paper examines piecewise smooth planar vector fields in the neighborhood of a singular point of «triple sewn focus» type on the junction of their lines of discontinuity. Our aim is to describe bifurcations of that vector fields.

Materials and methods. We make use of methods of the bifurcation theory, linear and nonlinear functional analysis.

Results and conclusions. Vector fields with a singular point of «triple sewn focus» type form a submanifold of codimension two in the Banach space Xr of piecewise smooth vector fields. The paper gives explicit formulae for functions setting that submanifold. We describe the partition of the space Xr into topological equivalence classis.

Key words: piecewise smooth planar vector fields, singular point, periodic trajectories, bifurcations.

Бифуркации кусочно-гладких векторных полей в окрестностях особых точек на линиях разрыва векторного поля, представляющих различные варианты «сшитого фокуса», при которых рождаются периодические траектории, изучались в работах [1-7]. В частности, в работах [5, 6] рассматривались бифуркация в окрестности особой точки O «на стыке» линий разрыва векторных полей - аналог бифуркации Андронова - Хопфа двукратного сложного

фокуса гладкого векторного поля. В настоящей работе мы опишем бифуркации, когда такая точка является трехкратным «сшитым фокусом». Они аналогичны бифуркациям трехкратного фокуса для гладкого векторного поля [8].

1. Отображение последования в окрестности сшитого фокуса

Пусть г :[0,1] ^ Я2 (/ = 1,2,...,п +1, п > 3) - такие Сг+1-вложения (г > 5), что Г/(0) = О = (0,0), Лп+1 = Г1, а реперы (Г (0), г/+1(0)) положительно ориентированы. Пусть

М =|(х1,х2)е Я2 : х2 + х2 <р2} , дМ = |(х1,х2)е Я2 : х2 + х2 =р2} .

Мы можем считать р>0 выбранным столь малым, что V/ = 1,2,...,п Г/ [0,1] трансверсально пересекается с дМ в единственной точке А = Г (5/). Обозначим Ь/ =г [0,5/ ]. Точки А1, А2,..., Ап, Ап+1 = А1 расположены на окружности дМ в циклическом порядке. Пусть АА+1 - ориентированная дуга дМ между точками А и А+1, а М/ - замкнутая область, ограниченная

Ь/ и Ь/+1 и А А+1. Обозначим Хг (М/) - банахово пространство Сг -векторных полей на М/ с Сг -нормой. Кусочно-гладким векторным полем в области М с разбиением В на области М/ называется элемент

п

X = (X1,X2,...,Хп) пространства Хг(М,В) := 0Хг(М/). Его можно отож-

/=1

дествить с классом таких векторных полей X* : М ^ Я2, что X* (х) = X/(х) в точках хе т!М/, / = 1,2,...,п . Векторные поля X*, вообще говоря, разрывны в точках линий Ь/ .

Из работы [9, с. 587-597] следует, что векторные поля X1 еХг(М/), / = 1,2,...,п, можно продолжить до векторных полей X1 е Хг(М) так, чтобы отображения X1 ^ X1 были ограниченными линейными операторами Ji: Хг (М/) ^ Хг (М). Пусть У е Хг (М), тогда

У (х) = Р1 (х1, х2, У)д / дх1 + Р2 (х1, х2, У)д / дх2 ,

где Р1 и Р2 - функции на М хХг (М). При У = X/ = J/ (X/) получаем

X/ (х) = Р1(/)(х1, х2, X)д / дх1 + Р1(/) (х1, х2, X)д / дх2 ,

где Р/(/)(х1,х2,X) = Р] (х1,х2, Ji(X/)) - Сг -функции на МхХг(М).

Обозначим Х+ (М, В) - открытое подмножество в Хг (М, В), состоящее из таких векторных полей Xo = (X^,...,XQ), что при любом / = 1,2,...,п обе пары векторов (Г (0), Xo(O)) и (г^+1 (0), Xo(O)) положительно ориенти-

рованы. Пусть Х0 = (Xo,...,Xo )еХ^(М,D). Число 50 > 0 и окрестность U = U (Xo) поля Xo в Х+ (М, D) можно выбрать так, что для любого X = (X Xп ) е U определены отображения (ц (5) ^ ц+1(/и (5,X), 5 е [0,5о), по траекториям векторных полей X1, 1 = 1,2,...,п, при этом / = ли - функции класса Сг на [0,50) X и, / (0, X) = 0, (/ )5 (5, X) > 0,

причем для любых векторных полей Xo, XI еХ+ (М, D), для которых и(X,)) пиФ 0 и любого Xе и^0) пи(X1) Ф 0 ,

/и (Xl)(5, X) = (Xo)( 5, X) в точках 5 некоторого промежутка [0,5Х). (1)

Из определения Х+ (М, D) ясно, что число 50 можно считать столь малым, что отображения ц (5) ^ ц+1(/ (5,X)), 5 е [0,50), будут и отображениями по траекториям векторных полей X1.

При достаточно малых 50 и и = и(Xo) на [0,50) X и определена функция Л (5, X ):= Лп (...У2(У1(5, X), X),..., X). Функция / (■,X) является функцией последования по траекториям векторного поля X .

2. Бифуркационные многообразия

Ввиду (1) равенства gl(X ):= ./5(0, X) -1, ^ ):= С (0, X) и

g3(X) := /5(0,X) задают Сг-к -функции gk : Х+ (М,D) ^ R, к = 1,2,3 . Обозначим

В := {Xе Х + (М,П): gl(X) = 0}, Б1 := {Xе Б1: g2(X) Ф 0}, В2 := {Xе Вх: g2(X) = 0} = В1 \Вь В2 := {Xе В2 : gз(X) Ф 0}.

В работе [5] доказано, что множество В1 является вложенным Сг 1-подмногообразием в Хг (М ,Б) коразмерности 1, а множество В1 открыто и всюду плотно в В1.

Теорема 1. Множество В2 является вложенным Сг 2 -подмногообразием в Хг (М, П) коразмерности 2. Множество В2 открыто и всюду плотно

в В2.

Доказательство. Пусть поле X0 = (X1,...,xn) е В2 . Покажем, что производные g1( Xo) и g2( Xo) линейно независимы. Сначала покажем, что

ЗНе Хг(М,Б) g1(X0)И Ф 0. (2)

В окрестности V точки О выберем Сг+1 -координаты (х, у) так, чтобы М1 п V задавалось неравенствами х > 0, у > 0, а ^1(5) = (5,0), Ц2(5) = (0,5).

Пусть

Xо (х, .у) = Р(х, у)д / дх + б(х, у)д / ду , Н = (Я1,0,...,0)е Хг(М,Б), Н1 = Рд /ду .

При малых ц> 0 Xo + цН е и(Xo). Траектории поля xЦ = X° + цН1

являются интегральными кривыми дифференциального уравнения у' = Я(х, у,ц), где Я = Q / Р + ц . Пусть у = У(х, 5, ц) - решение этого уравнения, удовлетворяющее условию У(5,5, ц) = 0. Тогда (/1)5 (5,Xo +цН) = = У'5 (0,5, ц). Так как

У5(0,5, ц) = -Я(5,0, ц) ехр Я'у (х,У(х, 5, ц), ц)ёх, (3)

то

(/1)5 (0, X0 +цН) = -Я(0,0, ц).

Производные (/ )5 (5,Xo + цН) = (/ )5 (5,Xo), / = 2,..., п, не зависят от ц, поэтому

gl (X0 + цН) = -(/п )5 (0, X 0)^ (/2 )5 (0, X 0 )Я(0,0, ц) -1.

Но тогда ^0)Н = ёЩц=0 gl(Xo + цН) = -/)'я(0,Xo)^^■(/2)'s(0,Xo),

и потому g1(Xo)Н Ф 0 . Тем самым (2) доказано. Покажем теперь, что

ЗНе Хг(М,Б) g1(X0)Н = 0, g2(Xo)H Ф 0. (4)

Возьмем Н = (Н 1,0,...,0) е Хг (М, В), Н1 = хРд / ду , теперь Я = ^ / Р) + цх,

(/1)5 (0,X0 +цН) = -Я(0,0, ц) = -Я(0,0,0) = (/1)5 (0,X0), (5)

поэтому gl( X0 +цН) = gl (X0) и g1 (X0) Н = 0. Из (3) получаем

(/1 )'яя (0,X0 +цН) = У(0,0, ц) = -ях(0,0, ц) + яу (0,0, ц)Я(0,0, ц), (6)

и потому (/1)5,(0,X0 +цН) = (/1)55(0,X0)-ц . Следовательно,

g 2( X 0 +цН ) = g2( X0)-(/п )5 (0, X0)-( /2)5 (0, X0)ц = = -(/п )5 (0, X0)^С/2)'5 (0, X0)ц

и g2(Xo) Ф 0. Тем самым (4) доказано.

Из (2) и (4) следует линейная независимость g{(Xo) и g2(Xo).

Пусть g : Х+ (М,П) ^ R , g(X):= (gl(X),g2(X)) . Тогда для любого X0 е В2 отображение Хг(М,П) эИ ^ g,(X0)H = ^ВДН,g1(X0)H)е R2 сюръективно. Поэтому Хг (М, П) = Е2 ф кег g'(X0) , где Е2 - двумерное подпространство в Хг (М, П), и g'(Xo) изоморфно отображает Е на R2. По теореме о неявной функции существуют такие окрестность и0 поля Xo в

Х+ (М, П), окрестность нуля Ь в банаховом пространстве кег g'(Xo), число

2 2 80 > 0 и Сг- -диффеоморфизм %: (-80,80) XЬ ^ и0 , что

g(%(£1, е2,1)) = (£1,£2) для любых (£1, £2,1) = ((£1, £2), I) е (-80,80)2 X ¿0. (7) Следовательно,

В2 := {X е Х+ (М, Б): ^ (X) = 0, g2 (X) = 0} -

вложенное Сг-2-подмногообразие в Х+ (М,П) коразмерности 2.

Открытость В2 в В2 следует из непрерывности gз . Докажем, что В2 и всюду плотно в В2 . Пусть X0 е В2 \ В2, т.е. gl(X) = g2(X) = gз(X) = 0}.

Возьмем И = (Н1,0,...,0)еХг(М,П), И1 = х2Рд /Эу . Теперь Я = ^ / Р) + цх . Поэтому будем иметь равенство (5), и потому gl(X 0+цН) = 0 при достаточно малых ц> 0. Из равенства (6) получаем при достаточно малых ц> 0 (/¡)55 (0, Xo + цН) = (/1)(0, Xo), потому g2(X 0+МН) = 0 . Таким образом, X 0+цН е В2. Поскольку

(/1С (0, X0 +цН) = (0,0, ц) = -ЯХх (0,0, ц) -2ц = (/^ (0, Xo) - 2ц,

то

gз( X0 +цН) = gз( X0)-2( /п )5 (0, X0)-(/2)5 (0, X0)ц = = -2( /п )5 (0, X0)-(/2)5 (0, X0)цф0.

Следовательно, для достаточно малых ц>0 X0+цНе В2, т.е. В2 всюду плотно в В2 . Этим завершается доказательство теоремы 1.

3. Бифуркации трехкратного сшитого фокуса

Точку О естественно назвать трехкратным сшитым фокусом векторного поля X 0 е В2. Ее бифуркации описывает следующая

Теорема 2. Пусть X0е В2 и gз(Xo) < 0. Тогда существуют окрестность V точки О, окрестность Ь нуля в Ь, число 8> 0 и С1 -функция у :(0,8)х Ь ^ (-8,0), где Нш у (и, I) = Нш у'и (и, I) = 0 равномерно относи-

и^+0 и^+0

тельно I е Ь такие, что

2

1) для всех X = х(£1,е2>I), (£Ъе2>I)е 8) XЬ, положительные полутраектории, начинающиеся в точках V, не выходят из V ;

2

2) окрестность и(Х0) = х((-8,8) хЬ) поля Xо является объединением множеств

В2 пи(Xо) = {X = х(£1,£2,1): £1 = £2 = 0}, В( = {X = х(£1,£2,1): £1 = 0, £2 < 0}, В? = {X = х(£Ь£2,1): £1 = 0, £2 > 0},

Bsdc = {X = х(£1, £2,1): £1 = У(£2,1)}, Е0 ={ X = х(£1, £2,1): "8<£2 <0, -8<£1 <0 у0 <£2 <8, -8<£ <у(£2,/)}, Е1 = {X = х(£1,£2,1):0<£1 <8, -8<£2 <8}, Е = {X = х(£1,£2,1) : 0 < £2 <8, 0 < £1 < 0},

векторные поля из которых принадлежат одному классу топологической эквивалентности в V и имеют структуру, изображенную на рис. 1.

Рис. 1. Бифуркационная диаграмма (n = 4)

Замечания. Случай £3^0) > 0 сводится к рассмотренному обращением направления на траекториях, т.е. переходом к полю -Xо. Случай, когда при некотором / = 1,2,...,п угол между векторами (0) и ^¿+1(0) равен л, принципиально отличается от рассмотренного выше. Он исследовался в работах [3, 7].

Доказательство теоремы. Обозначим й(5,£,/):= /(5, %(£,/))-5 -функция расхождения траекторий. Ввиду равенств й(0, £,I) = 0 и (7) мы можем ее представить в виде й (5, £, I) = 5й (5, £, I), где й е С г-з:

й(5, £,I) = £1 + (£2 /2)5 + а(5, £,I), (8)

а(0, £, I) = а5 (0, £, I) = 0, а'м (0,0,0) = gз(Xo)/3 .

Из (8) следует, что существуют число 5 > 0, окрестность Ьу нуля в Ь и число 81 > 0 такие, что

(5, £,I) < 0 для 0 < 5 < 5, (£,I) е (-81,81)2 XЬ1; (9)

¿?£1(5,£,I) > 1/2 > 0 для 0< 5 <5 , (£,I)е (-81,81)2 XЬ1; (10)

0 < й£2 (5, £, I) < 5 для 0 < 5 < 5 , (£, I) е (-81,81)2 X Ь1; (11)

й (5, £, I) < 0 для 0 < 5 < 5, -8<£1 < 0, £2 =-£1,1 е Ь1, (12)

^/^зад^ 5 и <(5,£,I) < 0 для £2/|gз(Xo)|< 5 < 5, (1з)

ее (-81,81)х(0,81), Iе¿1.

Вследствие (8) и (9) й(5,0,0) < 0 при 0 < 5 < 5. Поэтому можно построить простую замкнутую кривую ^, пересекающую дугу Ц1 (0,5) в единственной точке Г|1(5*), состоящую из гладких дуг = 5" пМ{, 1 = 1,...,п, в точках которых векторы Xo (х) трансверсальны и направлены внутрь области V, ограниченной 5. Если окрестность Ь нуля в ¿1 и число 8е (0,81) выбрать достаточно малыми, то и векторы X1 (х), х е , будут

направлены внутрь V для любого X = %(£1,£2,1), (£1,£2,1)е (-8,8) XЬ. Тем самым будет верно утверждение 1 теоремы.

Уменьшив, при необходимости, Ь и 8, можно также считать

¿(5*, £,I) < 0, для (£,I) е (-8,8)2 XЬ. (14)

Для векторных полей Xе В2 пи^0) и Xе В{ = g({0^(-8,0)XЬ) из (8) и (9) по формуле Тейлора получаем й(5,0,0) < 0 для всех 5 е (0,5* ]. Тем самым все траектории, начинающиеся в точках V \ О , ю -предельны к точке О . Как и в [5], можно показать, что они входят в О за бесконечное время. Для векторных полей, принадлежащих множествам

Е1 = {X = %(£1,£2,1): 0 < £1 <8, -8 < £2 <8} и В1 = {X = %(£1,£2,1): £1 = 0, £2 > 0},

из (8) получаем й(0, £,I) > 0 и (0, £,I) > 0. Отсюда и из (9) и (14) следует, что й(•, £,1) имеет на (0,5* ] единственный нуль 51 е (0,5*), при этом

sgnd(5, £,I) = sgn(sl - 5). Это означает, что через точку ^1(^1) проходит периодическая траектория Г1, а все остальные траектории, пересекающие дугу тц(0,), а потому и все траектории, начинающиеся в точках V \ О, ю -предельны к Г1. Как и в [5], доказывается, что все отрицательные полутраектории, начинающиеся в точках области, ограниченной Г1, входят в точку О за конечное (бесконечное) время, если X е Е (X е В? ).

Пусть ее (-8,8)х(0,8). Из (9), (14) и неравенства (0,£,I) = £2 /2 > 0 следует, что существует такая функция т : (-8,8) X (0,8) X Ь ^ (0,), что

sgn d's (5 £,I) = sgn(m(е,I) - 5). (15)

Из (9), (15) и теоремы о неявной функции следует, что т еС1. Ввиду (13) имеем

т(£,I) <£2/| ^з(X0)|. (16)

Пусть М(£, I):= d(т(£, I), £, I). Из (12), равенства d(0, £, I) = 0 при £1 = 0 и (15) получаем

М(£, I) > 0 при £1 = -£2,1 е Ь и М(£, I) < 0 при £2 = 0,1 е Ь . (17)

Вследствие (10) и (15) М£1 (£,I) = ¿/£1 (5, £,I)| 5=т(£,/) > 1/2 > 0. Отсюда и из (17) получаем, что для каждого (£2,1) е (0,8) X Ь существует число

у(£2,1)е (-£2,0) (18)

такое, что

Sgn М(£, I) = sgn(£l - у(£2,1)) . (19)

Из теоремы о неявной функции следует, что у(-,') е С1. Ввиду (18)

Нш у(£2,1) = 0 равномерно относительно I е Ь . Из равенства

£2 ^+0

Y;2(e2, l) = -ME 2 (е2, l)/ Ml)

El =Y (^2,1) =

= —Е2 (s, E2, l)/ < (5, E2,l)

s=m(E,l), Ei =y(e2,l)

и оценок (10), (11) и (16) следует, что lim уЕ (е2, l) = 0 равномерно относи-

е2 ^+0 2

тельно lе L .

Из (19) и (15) получаем, что для X е Bsdc функция d(•, e,l) имеет на (0, s* ] единственный нуль s е (0, s*) и d (s, е, l) < 0 при s Ф S1. Это значит, что через точку r|1(s1) проходит двойной цикл. Все траектории, пересекающие дугу |1 (s1, s*), а потому и все траектории, начинающиеся в точках от-

крытой области, ограниченной кривыми Tj и S, ю -предельны к Tj, а все траектории, начинающиеся в точках открытой области, ограниченной кривой Tj и точкой O , а - предельны к Tj и входят в точку O за конечное положительное время.

Для X е Eq d(5, е, l) < 0 , 5 е (0, s*). Поэтому все положительные полутраектории, начинающиеся в точках V \ O, входят в точку O за конечное время.

Из (19) и (15) получаем, что для X е E2 d(•, e,l) имеет два нуля 0 < sj < S2 < s*, d(s, е,l) < 0 при sе (sj,s2) и d(s, е,l) > 0 при s е (0, sj) u (s2, s*). Через точки r|i(si) и r|i(s2) проходят, соответственно, неустойчивый и устойчивый предельные циклы Tj и Г2, к которым предельны остальные траектории, начинающиеся в V \ O . Положительные полутраектории, начинающиеся в точках области, ограниченной кривой Tj, входят в точку O за конечное время.

Теорема 2 доказана.

Рассмотрим теперь т -параметрическое (т > 2) семейство векторных полей - C -отображение некоторой окрестности нуля в Rm в пространство Xr (M,D) . Пусть X0 е B2 и

гап§ ¿|ц=0 g X) = 2. (20)

Это условие равносильно трансверсальности семейства в точке ц = 0 бифуркационному многообразию B2 . Без ограничения общности можно считать, что ц = (ц,..., цт) и

ЭЙ( Хц)/ Эц 9gj( Хц)/ Эц 2 Эg2 (Хц) / Эц Э£2 (Хц) / Эц 2

Ф 0. (2!)

ц=0

Условие (21) позволяет сделать замену параметров £ = (£1, £2) = (gl (Xц), g2(Xц)), I = (цз,..., цт) в некоторой окрестности нуля

в Rт . Пусть ц = ц(£, I). Тогда для семейства векторных полей / = Xц(£ /) имеет место бифуркационная диаграмма, описанная в теореме 2, где теперь I меняется в достаточно малой окрестности нуля в Rт-2 .

4. Вычислительные формулы

Для проверки условий Xo е В2 , (20) и (21) надо иметь явные формулы для выражения gl (X), g2 (X) и gз (X) через коэффициенты разложений по формуле Тейлора компонент векторных полей X1 и уравнений линий Ь {. Такие формулы для gl (X) и g2 (X) получены в работе [6]. Аналогичные выражения для gз( X) слишком громоздки, чтобы был смысл их выводить. Мы ограничимся здесь получением выражений для gl (X), g2 (X) и gз (X) при

достаточно реалистичном предположении, что линии Ь{ прямые. Для краткости далее будем обозначать / (V, X) = / (у) и / (V, X) = / (у).

Пусть X1 (х) = Р1 (Х1, Х2)Э / Эх1 + $ (Х1, Х2)Э / Эх2 , где

Р1 (Х1, х2) = Р0 0 + р10 Х1 + Р01Х2 + Р20 х12 + р11Х1 х2 + Р02 х2 + 0 (| х|2),

$ (хь х2) = ^00 + Я\0Х1 + Я01х2 + <Й0х12 + ^1Х1Х2 + <?02х2 + 0 (|х|2 ),

а дуга Li задана в полярных координатах (р,ф), x¡ =pcosф, x2 =psinф, уравнением ф = ф, где Ф1 <ф2 <... <фи < Фи+1 =Ф1 + 2л. Из условия X е Х+ (M, D) следует, что

q0o cos ф - poo sin ф > 0 для всех фг- < ф < фг+1. (22)

Мы можем считать, что параметр s на дуге Li совпадает с полярным радиусом р, т.е. r\i(р) = (рcosфг-, рsinфг-). В полярных координатах траектория векторного поля X1, начинающаяся в точке с координатами ф = 6, р = v , является интегральной кривой р = R (ф, 6, v), Ri (6,6, v) = v, дифференциального уравнения dр / dф = Fi (ф, р) с правой частью

F (ф р) = Ci1 (Ф)р + ci2 (ф)р2 + ci3 (ф)р3 + ri1 (P, ф) = ' ' di 0 (ф) + dii (ф)р + di 2 (ф)р2 + ri 2 (р, ф)

= Сг'1(ф) р+ C 2 ^^io (ф) - Сг1(фК1(Ф;) р2 + dioM dfo (ф)

( Сд(фМ2(ф) - Ci2 (ф)dil (ф) + c^dj2(ф) + cj3 (ф) ^ dio (ф) dfo (ф) di0(Ф)

р3 + Гз(р, Ф),

где

Cil (ф) = Poo cos Ф + qoo sin ф , Ci2(ф) = plo cos2 Ф + Jqlo + po 1 )sinфcosф + q'o 1 sin2 ф ,

Ci3 (Ф) = P2o cos3 Ф + ( q2o + P11) cos2 ф sin ф + ( q11 + po2) cos ф sin2 ф + ^2 sin3 ф,

dio (Ф) = qo o cos ф - po o sin Ф , di1 (Ф) = qo 1 cos2 Ф + fqo 1 - p1 o )sin фcos ф- po 1 sin2 ф,

di2 (Ф) = q2o cos3 Ф + ( q11 - p2o) cos2 ф sin Ф + ( qo2 - ph) cos ф sin2 ф - po2 sin3 ф,

а Цк (р, ф) при к = 1, з (ц2 (р, ф)) - Сг -функция, обращающаяся при р = 0 в нуль вместе с производными по р до третьего (второго) порядка включительно. В силу неравенства (22) йю(ф) > 0, и потому функции р (ф, Р) определены и принадлежат классу Сг при фу < ф < фу+1, | р | < Р0, если число Р0 > 0 достаточно мало. Поэтому /у (у) = Я у (фу+1,фу,V).

Производная (ф, фу, 0) удовлетворяет уравнению в вариациях

йяу (ф, фу ,0) = СхМ яу (ф, фу ,0) (2з)

й ф йю(ф)

и начальному условию Я'у (фу, фу ,0) = 1, поэтому

Ф f » >

Фу

Rv(ф,фу,0) = exp Г ^'l(ф)dф= exp di 0(Ф)

Ф di0(Ф)

ф di0(Ф)

v фу

d ф

d i 0(Фу)

и

/(0) = -й0^ . (24)

йу0(фу+1)

Поскольку

/'(V) = П(/-1 ('.^-/2(/1(у))...)) и /'(0) = ип=1/:(0),

то в итоге получаем

^) = П йу0(фу ) =ПП ^00С05 фу- ,p0osin фу (25)

у=1 йу 0 (фу+1) у=1 ^00 фу+1 - Р00 ^ фу+1 Производная Я^, (ф, фу, 0) удовлетворяет уравнению в вариациях

й я' = С1(ф) я' + р" (ф0) йУ20(фу) ~ТЯууу = л / ч яууу + рурр (ф,0)^-,

й ф йу0(ф) й;0(ф)

2

где ррр (ф, 0) = 2(су2 (ф)йу0 (ф) - Сц (ф)йу1 (ф)) / йу0 (ф), и начальному условию ЯУ> (фу, фу ,0) = 0. Поэтому

(ф,фу,0) = 2й'0(ф') ф су2(ф)йу0(ф) -су1(ф)йу1(ф)йф, (26)

йу0(ф) ф. й?0(ф)

/у'(0) = ЯУу(фу+1,фу,0) = Су2(ф)йу0(ф)-Су1(ф)йу1(ф)йф. (27)

йу 0 (фу+1) ф йу0(ф)

Теперь получаем

§2 (X) = £ (/1(0))2 • • • (/к-1 (0))2 • /к (0) • /к+1 (0) — /п (0),

к=1

где производные /'(0) и /[ (0) находятся по формулам (24) и (27).

Производная Яу^ (ф, ф, ,0) удовлетворяет уравнению в вариациях

d п" = С11(ф) п™ + АТ(ф) d ф ^ю(ф)

где

з

^(ф) = ^1ррр (ф,0) +з^Грр (ф,0) пуу (ф, ф, ,0) ^^, 4(ф) dl■0(ф)

6 ТТ» (ф0) = С^ф^й^ С12 (ф^г! (ф) + Сг1 (ф^г 2(ф) + С13 (ф,)

6пррр(ф, 0) =-3---2-+ ~Г~ГТ,

4(ф) 4(ф) ^о^

Я^ (ф, ф, ,0) определено формулой (26), и начальному условию Кт (фг, ф, ,0) = 0. Поэтому

, фг+1

/г (0) = (ф,+1, ф,, 0) =- | N(фКо (ф) dф . (28)

di0(Фi+1) ф,

Для функции £з(X) будем иметь следующее выражение:

£з (X) = £ (/1(0))3 • (/к-1 (0))3 • /к (0) • /к+1 (0) • /п (0) +

к=1 n к -1

+2££ (/1(0))3••• (/1-1 (о))3• /(0)• /Г(0)• (/+1 (о))2• к =1 /=1

••(/к-1 (0))2/к (0) • /к+1 (0)—/п (0) + £ £ (/'(0))3 •

к=11=к+1

• (/к-1(0))3 • /к (0) • (/к+1 (о))2 • (/1-1 (о))2 /Г(0) • /1-1 (0) • /п (0),

где /[ (0), /к (0) и /¡" (0) находятся по формулам (24), (27) и (28).

Библиографический список

1. Скрябин, Б. Н. О рождении предельного цикла от «сшитого фокуса» / Б. Н. Скрябин // Прикладная математика и механика. - 1978. - Т. 42, № 5. -С. 952-955.

2. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. - М. : Наука, 1985. - 224 с.

3. Ройтенберг, В. Ш. О рождении периодических траекторий из особой точки кусочно-гладкого векторного поля / В. Ш. Ройтенберг // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - 20^. - № 7-L - С. П-^.

4. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях сшитого фокуса / В. Ш. Ройтенберг // Математические методы в технике и технологиях : сб. тр. XXVIII Междунар. науч. конф. - Саратов, 20^. - Т. L - С. 27-3L

5. Ройтенберг, В. Ш. О рождении периодической траектории из точки пересечения линий разрыва векторного поля / В. Ш. Ройтенберг // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. - 20^. - № 2 (Ш). - С. 34-38.

6. Ройтенберг, В. Ш. О рождении периодической траектории из точки стыка линий разрыва векторного поля / В. Ш. Ройтенберг // Математические методы в технике и технологиях : сб. тр. XXIX Междунар. науч. конф. - Саратов, 20j6. -Т. 3. - С. Ы-П.

7. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях в окрестности точки стыка линий разрыва векторного поля / В.Ш. Ройтенберг // Научно-технический вестник Поволжья. -20^. - № 5. - С. 30-33.

8. Takens, F. Unfolding of certain singularities of vector fields: generalized Hopf bifurcations / F. Takens // J. Differential Equations. - Ш3. - Vol. Ы. - P. 476-493.

9. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. - М. : Физматгиз, ^62. - Т. L - 608 с.

References

L Skryabin B. N. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied mathematics and mechanics]. Ш8, vol. 42, no. 5, pp. 952-955.

2. Filippov A. F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'yu [Differential equations with discontinuous parts]. Moscow: Nauka, ^85, 224 p.

3. Roytenberg V. Sh. Aktual'nye problemy gumanitarnykh i estestvennykh nauk [Topical problems of humanities and natural sciences]. 20^, no. 7-j pp. П-^.

4. Roytenberg V. Sh. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh: sb. tr. XXVIII Mezhdunar. nauch. konf. [Mathematical methods in engineering and technologies: proceedings of XXVIII International scientific conference]. Saratov, 20^, vol. j pp. 27-3L

5. Roytenberg V. Sh. Vestnik Adygeyskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Bulletin of Adygei State University. Series: Natural, mathematical and engineering sciences]. 20^, no. 2 (Ш), pp. 34-38.

6. Roytenberg V. Sh. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh: sb. tr. XXIX Mezhdunar. nauch. konf. [Mathematical methods in engineering and technologies: proceedings of XXIX International scientific conference]. Saratov, 20^, vol. 3, pp. Ы-П.

7. Roytenberg V. Sh. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya [Scientific engineering bulletin of Volga region]. 20j6, no. 5, pp. 30-33.

8. Takens F. J. Differential Equations. j973, vol. Ы, pp. 476-493.

9. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya [A course of differential and integral calculus]. Moscow: Fizmatgiz, j962, vol. j 608 p.

Ройтенберг Владимир Шлеймович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88)

E-mail: vroitenberg@mail.ru

Roytenberg Vladimir Shleymovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics, Yaroslavl State Technical University (88 Moskovsky avenue, Yaroslavl, Russia)

УДК 517.925 Ройтенберг, В. Ш.

О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). -С. 18-31. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-2-2