Научная статья на тему 'О бифуркациях особой точки типа "сшитый клюв"'

О бифуркациях особой точки типа "сшитый клюв" Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
81
9
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ / ОСОБАЯ ТОЧКА / БИФУРКАЦИИ / ЗАМКНУТАЯ ТРАЕКТОРИЯ / PIECEWISE SMOOTH PLANAR VECTOR FIELDS / SINGULAR POINT / BIFURCATIONS / PERIODIC TRAJECTORY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ройтенберг Владимир Шлеймович

Описываются бифуркации кусочно-гладкого векторного поля на плоскости, в окрестности особой точки типа «сшитый клюв» на линии разрыва. В одной своей полуокрестности такая точка является седлом, а в другой точкой квадратичного касания. В частности, показано, что из особой точки рождается не более одной периодической траектории.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On bifurcations of a singular point of the “sewn beak” type

The paper describes bifurcations of a piecewise smooth vector field on the plane, in the neighborhood of a singular point of the “sewn beak” type on a line of discontinuity. In one of its semi-neighborhoods such a point is a saddle, and in the other, a point of quadratic tangency. In particular, it is shown that no more than one periodic trajectory is generated from the singular point.

Текст научной работы на тему «О бифуркациях особой точки типа "сшитый клюв"»

УДК 517.925 ББК 22.161.6 Р 65

Ройтенберг В.Ш.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: vroitenberg@mail.ru

О бифуркациях особой точки типа «сшитый клюв»

(Рецензирована)

Аннотация. Описываются бифуркации кусочно-гладкого векторного поля на плоскости, в окрестности особой точки типа «сшитый клюв» на линии разрыва. В одной своей полуокрестности такая точка является седлом, а в другой - точкой квадратичного касания. В частности, показано, что из особой точки рождается не более одной периодической траектории.

Ключевые слова: кусочно-гладкие векторные поля на плоскости, особая точка, бифуркации, замкнутая траектория.

Roytenberg V.Sh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: vroitenberg@mail.ru

On bifurcations of a singular point of the "sewn beak" type

Abstract. The paper describes bifurcations of a piecewise smooth vector field on the plane, in the neighborhood of a singular point of the "sewn beak" type on a line of discontinuity. In one of its semi-neighborhoods such a point is a saddle, and in the other, a point of quadratic tangency. In particular, it is shown that no more than one periodic trajectory is generated from the singular point.

Keywords: piecewise smooth planar vector fields, singular point, bifurcations, periodic trajectory.

Введение. Бифуркации особых точек кусочно-гладкого векторного поля, лежащих внутри линий разрыва поля, а также на стыке линий разрыва, представляющих собой различные варианты «сшитых фокусов», изучались в работах [1-7]. Эти бифуркации - аналоги бифуркаций Андронова-Хопфа и Такенса-Хопфа гладких векторных полей. Для случаев коразмерностей один и два были описаны бифуркационные диаграммы, в частности были получены условия рождения из особой точки периодических траекторий. В настоящей работе рассмотрим бифуркацию рождения периодической траектории из особой точки на линии разрыва, в окрестности которой структура фазового портрета аналогична структуре фазового портрета в окрестности особой точки гладкого векторного поля типа «клюв» с нильпотент-ной матрицей линейной части поля в этой точке.

1. Формулировка результатов. Пусть U - окрестность нуля на плоскости R2,

U+ := {(^, z2) eU : z2 > 0}, U- := {(z1, z2) eU : z2 < 0}, L0 := U+n U- . Пусть

Xt (z) = Pi± (Zi, Z2, s)d / &1 + p;- (Zi, Z2, s)d / dz2 -

семейство векторных полей, зависящих от параметра s, определенного в некоторой окрестности Е двумерного нормированного пространства, такое, что функции p± (z1, z2,s) и

P2±(z1,z2,s) принадлежат классу Cr на UхЕ (r > 5). Рассмотрим на разбиении (U+ ,U-) окрестности U семейство кусочно-гладких векторных полей Xs = (X+s, X~s ) , seE [2]. Предположим, что X0 удовлетворяет следующим условиям (У1)-(У4). (У1) Точка 0(0,0) e R2 является седлом векторного поля X^, то есть

P+ (0) = P2+ (0) = 0, а матрица

> 0 и < 0.

(У2) г:=-4°/4 .

^др+ (0)/ dz1 др+ (0)/ dz2 ^ дР2+ (0)/ dz дР2>+ (0)/ dz2,

имеет собственные значения

(Уз) DP+ (0)/ dz, > 0.

(У4) P2 (0) = 0, dP~ (0)/ dz1 > 0, p; (0) > 0.

Фазовый портрет векторного поля X0 в окрестности V ^ U его особой точки O изображен на рисунке 1. Его вид дает основание назвать эту точку сшитым клювом. Выберем окрестность V так, как изображено на рисунке 1. Ее граница dV состоит из гладких дуг [NiNi+1], i е{1,2,...6}; в точках дуг [N{Ni+1], i Ф 4 (соответственно, [N4N5]), траектории X0 (соответственно, X~) трансверсальны этим дугам; в точках L между O и N4 (O и N5) векторные поля X0 и X0 трансверсальны L и направлены внутрь U~ (U+); в точках [N1N6] траектории поля X0 выходят из V, а в остальных точках dV входят в V . Можем выбрать число 5„> 0 так, что сформулированные выше свойства сохраняются и для векторных полей Xs, Ы < S„.

Рис. 1. Окрестность V сшитого клюва Из условия (У1) по теореме о неявной функции следует, что 5„ можно выбрать так, что для любого а с Ц < 5„ система уравнений Р¡+ (z1,z2, а) = Р2 (г1,z2, а) = 0 имеет единственное решение ^ = 21 (а), г2 = 22 (а) такое, что 2^ (0) = 0, 2^ (•) е Сг, I = 1,2 .

Уменьшив при необходимости 5„, можем считать, что точка £ (а) с координатами (21 (а), 22 (а)) является седлом поля XI с собственными значениями линейной части поля 4 (а) > 0, ?(а) < 0, где ? ()е Сг -1, ? (0) = А?, I = 1,2.

Ввиду условия (Уз) устойчивое локальное инвариантное многообразие Ж" (£ (а)) седла £ (а) задается уравнением z1 = и" (z2,а), где и" е Сг -1, и" (22 (а), а) = 21 (а). Сделаем замену координат 61е :(z1, z2) ^ (у = z1 - и" (z2,а), у2 = z2), выпрямляющую Ж6' (£(а)). В новых координатах Ж" (£ (а)) имеет уравнение у = 0,

ха(z) = (у, у 2, а)д / дУ1 + °(у, у 2, а)д / дУ2,

где е Сг-2, 01 (0,у2,а) = 0. Точку пересечения Ж"(£(а)) с Ь обозначим а(а) . Ее координаты у1 = у2 = 0 . Так как О- (у1,0,0) = Р2- (у1,0,0), то из условия (У4) по теореме о неявной функции следует, что при некотором 5ые (0,] для любого а с

8ёп О- (у1,0,а) = у - У1- (а)), где У~ (0) = 0, У,- ()е Сг 2. Потребуем, чтобы выполнялось условие:

(У5) Векторы 322(0)/ да и дУ^ (0)/ да линейно независимы.

Тогда можно считать, что Сг-2 -координаты в некоторой окрестности Е' нуля в Е выбраны так, что для точки а еЕ' с координатами а1, а2 22 (а) = а1, У1- (а) = а2. Далее бу-

дем отождествлять точку геЕ' с ее координатной строкой s = s,s2) и считать, что Е' = (-ö\ö')2.

Теорема. Существуют такие положительные числа а1 и а2, что при se (-CTj,o"j)х (-ст2,ст2) векторное поле Xs имеет в V периодическую траекторию, если и только если s принадлежит множеству E1 = {s : K (s2)sj <s2 <K+ (s1)s1, s1 e (0,o"j)}, где K± :[0,o"j) ^ (-ct2/ctj, 0) - непрерывные функции, K (sj) < K+ (sj). Эта траектория единственная, она является устойчивым (неустойчивым) предельным циклом при у> 1 (у < 1). При у> 1 фазовые портреты векторных полей Xs, seE1, и Xs, seB± = {s : s2 = K± (s1)s1}, в V имеет вид, изображенный на рисунке 2. При у< 1 на траекториях следует поменять ориентацию.

Доказательство теоремы приведено в параграфах 2-5.

Рис. 2. Бифуркации сшитого клюва при у > 1 Точка £ (г) - гиперболическое седло. При £еВ"иЕ1 отрезок линии разрыва I0 между точками г - = г- (г) и г += г+ (г) - неустойчивая линейная особенность, содержащая неустойчивую особую точку г0 = г0(г). При геВ+ точка г0 = г0(г) -неустойчивый сшитый фокус с первой ляпуновской величиной

2. Функции соответствия. Для определенности будем считать, что 0 < у < 1. Случай у > 1 сводится к рассматриваемому случаю переходом к семейству {-Хг } .

Неустойчивое локальное инвариантное многообразие Ж" (£ (г)) седла £ (г) задается уравнением у2 =г1 +1 (у1,г), где I е Сг-1, I (0,г) = 0. Ввиду условия (У3) 10 :=д1 (0,0)/ ду1 >0. Поэтому 51 е (0,5') можно выбрать так, что при г е (0,5) х (-5,51) Ж" (£(г)) пересекается с I0 в единственной точке Ь(г) с координатой у1 = Ь1 (г) < 0 . Пусть 3е - дуга I между точками а(г) и Ь(г). Сделаем Сг-1 -замену в2е :(у1, у2) ^ (у1 = у1, у2 = у2 - (г1 +1(у1 , г))), выпрямляющую инвариантное многообразие Ж" (£ (г)) :

Хг+ (г) = VI (Л (г) + Г1 , V , г))д / + V <А (г) + г2 , V , г))д / ^2 ,

где гг еCr-3, гг(0,0, е) = 0, i = 1,2.

Возьмем S2 е (0,5,). При ее (0,50) х (-50,50) сделаем замену координат вЪе :(v1, v2) ^ (x, = -l0v1 /е,, x2 = -v2 / е,). Если 52 достаточно мало, то в новых координатах

(Z) = Х1 (Л + Г1 (Х1, Х2 , е))д / дХ! + Х2 (Л + Г2 (Х1, Х2 , е))д / дХ2 , где r*(х,,Х0,е), (x,,Х0,е) е (-2,2)0 х[0,50)х (S0,ö0) - Cr-3-функции, r*(x,,х2,0) = 0.

Будем также рассматривать семейство векторных полей

Ле (Х!, Х0) = Х (Л" + К (Х, Х0, е))д / дХ! + Х0 (Л + Г0* (Х, Х0 , е))д / дХ0 , ее[0,50) Х (-50 ,Öo), заданных в области (-0,2)0 е R0.

Дуга Js, ее (0,50) х (-50,50), при отображении в3 е °Q2e°Qle переходит в дугу

1е = {(x,,x0) е R2 : x, + x0 + q(x,,х0,е) = , x, > 0, x0 > 0}, где q - Cr- -функция на (-2,2)0 х (0,50) х (-50,50), q(x,, х0,е) е=0 = 0. Дуга 1е определена и при е, = 0. Считая 52 достаточно малым, можем также задать 1е уравнениями x0 = !-х, + щ(x1,е), 0 < х, < , + щ0(0,е), или уравнениями x, = ,-x0 + щ0(х0,е), 0 < x0 <, + щ(0, е), где щ - Cr- -функции на (-2,2) х (-ö2, ö2)2, щ(г,0) = 0, i = ,,2. Обозначим uS (е):=, + щ0(0,е).

Пусть u0:=y/(y +,). Положительная (отрицательная) полутраектория поля Л0(x,, x0) = Л,0х,д/ дх, + Л0x2d/ dv2, начинающаяся в точке (u,, - u), 0 < u < u0 ( u0 < u <,), отрезка I0, пересекает его еще раз в единственной точке (f0(u), !- f0(u)), где sgn(f0 (u) - u0) = - sgn(u - u0), f0 (f0 (u)) = u , а u и v = f0 (u) удовлетворяют уравнению F(u, v) := vy^ - uy - (vr - ur) = 0.

Лемма 1. f0 е Cш, f"(u0) > 0 и

Vu е (0,, sgn(f;(u) +, = sgn(u -u0). ^ )

Доказательство. Представим F(u, v) в виде F(u, v) = (v - u)G(u, v), где

G(u, v) := J[(y + ,)(u +1(v - u))y - y(u +1(v - u))y ]dt.

0

Обозначим B(u, v, t) := (y + ^(u +1(v - u))y + ^ - у)(u +1(v - u))y-0,

A (u, v) := JB(u, v, t-1)dt, A0 (u, v) := JB(u, v, t) tdt.

0 0

Поскольку 0 <y<У то при 0 <u <v <, k = ^2, Ak(u,v) > 0, а B(u,v,t) - убывающая положительная функция от t е [0Д].

Так как G(u, f0 (u)) = 0, A0 (u, v) ^ 0, то по теореме о неявной функции f0 е Cш и

f <( ) = dG(u, v)/ du

J0(u)= -

4(u, v)

v = f0(u) Ai(u, v)

. (0)

v = f0(u)

dG(u, v) / dv Так как

, ,/2 A, (u, v) - A, (u, v) = JB(u, v, t)(! - 21)dt = J [B(u, v, t) - B(u, v,, -1)](, - 21)dt,

0 0

то при 0 < u < v <! A,(u, v) > A^u, v) > 0, и потому f0'(u) <-! при 0 < u < u0. Поскольку

sgn(/o(w) - Wo) = sgn(Wo - u), f(f(u)) = u , то -1 < f(u) < 0 при Uo < u < 1 и f'(Uo) = -1. Из (2) получаем:

(A'u (u, v) + A'v (u, v) fo'(u)) A (u, v) - (A2u (u, v) + A' v (u, v) f'(u)) Д (u, v)

fo" (u) = -

v = fo(u)'

Л2(и, V)

Так как /0(и0) = и0 , У0'(и0 ) = -1, Л1(u0, и0) = Л2(u0, и0) = "0-2/2, то

г „(и ) = Л2и (и0 , и0) - Л1и (и0 , и0) - (Л2: (и0 , и0) - Л (и0 , и0 )) =

/0 (и0^ Л ( ) -

Л2 (и0 , и0 )

1 1 = 2"02-у| ( б: (и0, Щ, г) - б" (и0, Щ, г ))(1 - 2 г )йг = 2и2;у\2(1 -у)и0у-3(1 - 2 г )2 ёг > 0.

00

Лемма доказана.

Условие касания поля Аг к дуге 1£ в точке (х1, 1 -х1 +фх(х1,г)) имеет вид

х^0-А) + А + у(^,г) = 0, (3)

где у е Сг-3, у( х1,0) = 0. По теореме о неявной функции для числа 0 <р< и0/3 найдется такое число 53 е (0,52], что для любого ге (0,53)х(-53,53) уравнение (3) имеет в интервале (и0 - р, и0 + р) единственное решение х1 = и(г), при этом и(-) е Сг-3, и(0) = и0,

8§п[х1 (А? -А^) + Я!° + у(Х1,г)] = 8§п(х1 -й(г)). (4)

Условие (4) означает, что в точках дуги 1г с координатой х1 < и (г) ( х1 > и (г)) поле Аг трансверсально 1Е и направлено внутрь (вовне) области

{(х1, х2) е Я2 : х1 + х2 + д(х1,х2,г) < 1, х1 > 0, х2 > 0}.

Поэтому положительная (отрицательная) полутраектория векторного поля Аг ,ге [0,53)х(-53,53), начинающаяся во внутренней точке дуги 1Е с координатой

х1 = и <и(г) (х1 = и > "(г)), снова пересекает дугу 1г в единственной точке

(/+(и, г), Л(и, г)), где (Х г) - "(г)) = - 8§п(" - "(г)); /+ (+0, г) = и£(г), /+ (+и£(г), г) = 0.

Согласно [1, с. 175], /+ - функция класса Сг-3. Ясно, что /+ (и,0) = /0(и). Для поля Хг, ге (0,53) х (-53,53), отображение и ^ /+ (и, г), и е (0, и (г)], - функция последования на дуге 3г, записанная в координате х1 на 3е ; точка 2 += г + (г) е 3е с координатой х1 = "(г) - особая точка поля Хг.

Из выбора координат (г1,г2), условия (У4) и [1, с. 175] следует, что найдутся такие числа 0 < о < и , что положительная (отрицательная) полутраектория поля Х~Е , г е (-ст, о)2, начинающаяся в точке I0 с координатой у1 = и е (-и ,г2] (у1 = и е[г2, и)), пересекает еще раз I0 в единственной точке с координатой у1 = g (и, г), где g е Сг-1, g (г2,г) = г2, ¿и(г2,г) = -1. Представим g в виде g(и,г) = g(0,г)+и£и(0,г)+Щи,г), где Я е Сг-1, Я(0,г) = Яи (0,г) = 0. Так как

g(0, г) = g(г2 , г) - г2g'и (г2 , г) + г22®(г) = г2(2 + г2®(г)) ,

g'и (0, г) = g'и (г2 , г) - г2® 1(г) = -(1 + г2® 1(г)) ,

С г-3

, то

g(u,г) = г2(2 + г2®(г))-(1 + г2®1(г))и + Я(и,г). (5)

Выберем положительные числа а, и а2 так, чтобы а, < тт{53,а, l0u /2}, а2 = (2/10 )а < min{53, а} . При (u, к, е,) е (-2,2) х (-2 /10,0) х (0, а,) определена функция

f_ (u, к, е,) = -(l0 / е )g(-еlu /10, (е,, ке )).

Функция f_ (,к,е,) задает то же отображение на L по траекториям поля X~E, е = (е,, ке,), что и g(•, е), только записанное в координате x,. Из (5) следует, что

f_ (u, к, е) = -2I0к - u + r (u, к, е),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где r (u, к ,е,) - Cr3-функция, определенная и при е, = 0, причем r (u, к, 0) = 0. Доопределим f_ до Cr_3-функции на (-2,2)х(-2/10,0)х[0,а,), положив f_(u,к,0) := -2l0к-u .

3. Бифуркационные кривые В- и В+. Так как е2 - неподвижная точка для g (•, е), то -l0к - неподвижная точка для f_ (•, к, е,). Точка z_ = z_ (е) е L с координатой x, = -l0к -особая точка поля Хе , е = (е,,ке,) е (0,а,) х (-а2,а2). Точки z+ (е) и z_(е) совпадают, если A+ (к,е,):= ¿(е,, ке,) +10к = 0. Так как A+ (0,е,) = г/ (е,, 0) > 0, A+ (-,/l0,е1) = й(е,, -е, /10) -, < 0, а dA+ (к,е,)/дк = е1дй(е1,kе1)/де2 +10 >l0/2> 0 для (к,е,)е(-2/10,0)х(0,а,), если а, выбрано достаточно малым, то для любого е, е (0, а,) уравнение A+ (к, е,) = 0 имеет единственное решение к = K+ (е,) е (-U l0,0). При этом K+ (•) е Cr4,

sgn A+ (к, е,) = sgn^ - K+ (е,)). (6)

Поскольку K+ (+0) = - lim й(е,, K+ (е, )е,) /10 = -u0 /10, то можно считать, что K+ (•)

продолжена до непрерывной функции на [0,а,) и Vе1 е (0,а,) K+ (е,) е (-^ / 2l0, 0), где де (0,!).

Выходящая сепаратриса седла S(е) поля Хе, е = (е,,ке,) е (0,а,)х(-а2,а2), пересекает L0 в точке с координатой x, = uS (е,, ке,) =, + щ2(0, (е,, ке,). Рассмотрим функцию AS(к,е,) := uS(е,,ке,) +10к . При достаточно малом а, AS(K+ (е,), е,) > 0, AS(-3/ 2l0, е,) < 0, dAS(к,е,)/дк > 0. Поэтому для (к,е,) е (-2/10,0)х (0,а,)

sgn AS (к, е, ) = sgn(е2 - KS (е )) , где -3/ 2l0 < KS (е, ) < K+ (е,) . (7)

Выходящая сепаратриса седла S(е) совпадает с входящей сепаратрисой, если A_(к, е,) := uS(е,, ке,) - f_(0, к, е,) = 0 . Так как A_(к, е,) = uS(е,, ке,) + 2l0к - r(0, к, е,) = = as(к, е) +10к - r(0, к, е,) =, + 2l0к + Щ2(0, (е,, ке,) - r(0, к, е,), а K+ (е,) е (_д/2l0,0), д е (0, ц, щ2 (г, 0) = 0, r (u, к ,0) = 0, то при достаточно малом а,

V^ е (0,а,) A_(Ks(еДе,) <0, A_(K+ (еДе,)>0. (8)

Ясно, что при достаточно малом а, имеем дЛ_ (к, е,) / дк > 0. Отсюда и из (8) следует, что для любого е, е (0,а,) уравнение А (к,е,) = 0 имеет единственное решение к = K (е,) е (KS (е,), K+ (е,)). При этом K (•) е Cr 3,

Vеl е (0, а,) sgn A_ (к, е,) = sgn^ - K (е,)). (9)

Так как K (+0) = —, / 2l0, то можно считать, что K (•) продолжена до непрерывной функции на [0, а,) .

Определим множества Е,, В_ и В+ так, как описано в формулировке теоремы.

4. Функция расхождения. Пусть s = (s1,ks1) eE1 ^B . На промежутке (0, uS (k, s1)) определена функция расхождения траекторий

u ^ d(u, k,s2) := f+ (u,s1, ks1) - f_ (u, k,s1) = 2l0k + f+ (u,s1, ks1) + u - r(u, k,s1) .

Траектория поля Xs, проходящая через точку L0 с координатой х1 = u е (0, u(s1, ks1)) или х е (-kl0, uS (k, s1)) , является периодической, если и только если d(u, k, s1) = 0 .

Лемма 2. При достаточно малом о1 для любого s = (s1,ks1) eE1 ^B ^B+ существует такое число um (k, s1) e (0, uS (s1, ks1)), что um (•) e Cr-, um (k, 0) = u0 и

sgn d[ (u, k, s) = sgn(u - um (k, s )) Vu е (0, us (s, ks1)). (10)

Доказательство. Из свойств функции соответствия в окрестности седла (см. [8]) следует, что числа а1 и p > 0 можно выбрать столь малыми, что для рассматриваемых s

df+ (u,s)/du <-3 при u е (0, p) и df+ (u,s)/du >-1/2 при u е (1 -p, uS(s1,ks1)) . Фиксируем p. Уменьшив при необходимости a1, можем также считать, что при этом | dr(u,s)/du | < 1/3. Тогда

d[(u,k,s1) <-1 при u е (0,p) и du(u,k,s1) > 1/6 при u е (1 -p, uS(s1,ks1)), (11)

если s = (s1,ks1) gEj ^B ^B+, а ox выбрано не превосходящим некоторого числа а> 0. Фиксируем p и а. Так как f" (u0) > 0,

[ f+ (u, s1, ks1) - fo (u) - r (u, k, s1)] | s=o = 0, (12)

то найдутся такие числа p„ > 0 и а„е (0, а), что при а1 <а„ и рассматриваемых s = s,ks1) p< u0-p„< u0 + p„< 1 -p и

d"m (u, k,s) > fo"(uo)/2 > 0 для uo-p„< u < uo + p„. (13)

Из (1) и (12) следует, что при достаточно малом а1 и рассматриваемых s = (s1, ks1) du(u,k,s) < 0 для u е [p,u0 -p„] и du(u,k,s2) > 0 для u е[1 + p„,1 -p]. (14)

Утверждение леммы 2 теперь вытекает из (11), (13) и (14).

5. Фазовые портреты. Пусть s = (s1, ks1) eEj. Вследствие формулы (9) d(+0, k,s) = uS s, ks1) - f_ (0, k,sj) > 0, а вследствие (6) d(u(s1, ks1), k,sj) < 0. Поэтому d(,ks) имеет нуль u e (0, ü(s1,ks1)), а тогда и нуль u+е (-kl0, uS(s1,ks1)) . Оба они соответствуют одной периодической траектории. Из (10) следует, что других нулей нет, и sgn d (u, k,s) = -sgn(u-u ) при u-e (0, ü(s1, ks1)), sgn d (u, k,s) = sgn(u - u+ ) при u e (-kl0,uS(s1,ks1)) . Поэтому все траектории поля XE, проходящие через внутренние точки дуги а -предельны к неустойчивому циклу. Траектории, проходящие через точки области, ограниченной циклом, за конечное положительное время попадают на устойчивую линейную особенность - отрезок Js между точками z- (s) и z + (s), и, как нетрудно проверить, а -предельны к особой точке z0 = z0 (s) внутри этого отрезка. Поведение осталь-н^1х траекторий в V0 очевидно и изображено на рисунке 2.

Пусть s = (s1, ks1) е B-. Тогда седло S(s) имеет петлю сепаратрисы, неустойчивую при достаточно малом а1, вследствие неравенства у < 1. Из леммы 2 следует, что, если в области Ds, ограниченной петлей, есть периодическая траектория, то она единственная и неустойчивая. В кольце между неустойчивой петлей и неустойчивой периодической траек-

торией тогда должна существовать хотя бы еще одна периодическая траектория, в противоречие с единственностью таковой. Поэтому в Де нет периодических траекторий, и поведение траекторий в окрестности У0 такое, как указано на рисунке 2.

Пусть е = (е1,ке) еВ+ . Тогда ё(й(е1,ке1),к,е1) = ё'и(й(е1,ке1),к,е1) = 0. Вследствие (13) можно считать, что при выбранном а2 ёйи (й(е1, ке1), к, е1) > 0. Поэтому точка г 0(е):= 2" (е) = 2+ (е) - неустойчивый сшитый фокус с первой ляпуновской величиной [1, с. 175; 2]. Отсутствие периодических траекторий в окрестности У0 получаем аналогично случаю е еВ~.

При е = (е1, ке1), К+ (е1) < к < 0 и К5 (е1) < к < К (е1), отсутствие периодических траекторий в У0 также доказывается аналогично случаю ееВ" .

Для всех остальных значений е е (~с1, сг1) х (-ст2, а2) отсутствие периодических траекторий в V очевидно.

Примечания:

L Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, ,985. 224 с.

2. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сшитого фокуса // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ: сб. трудов XXVIII междунар. науч. конф. Саратов: Изд-во СГТУ, 20,5. Т. L С. 27-3L

3. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодической траектории из точки стыка линий разрыва векторного поля // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ: сб. трудов XXIX междунар. науч. конф. Саратов: Изд-во СГТУ, 20,6. Т. 3. С. Ы-П.

4. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодической траектории из точки пересечения линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 20,6. Вып. 2 (Ш). С. 34-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

5. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности точки стыка линий разрыва векторного поля // Научно-технический вестник Поволжья. 20,6. № 5. С. 30-33.

6. Ройтенберг В.Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 20,6. Вып. 4 (Ш). С. 53-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru

7. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 20,7. № 2 (42). С. ,8-3L

8. Шильников Л.П. О некоторых случаях рождения периодических траекторий из особых траекторий // Математический сборник. ,963. Т. 6, № 4. С. 443466.

References:

1. Filippov A.F. Differential equations with a discontinuous right-hand side. M.: Nauka, 1985. 224 pp.

2. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of a sewn focus // Mathematical methods in engineering and technologies: proceedings of the XXVIII intern. scient. conf. Saratov: SSTU Publishing House, 2015. Vol. 1. P. 2731.

3. Roytenberg V.Sh. On generation of a periodic trajectory out of a point of intersection of lines of discontinuity of a vector field // Mathematical methods in engineering and technologies - MMTT: proceedings of the XXIX intern. scient. conf. Saratov: SSTU Publishing House, 2016. Vol. 3. P. 14-17.

4. Roytenberg V.Sh. On the generation of a periodic trajectory out of a point of intersection of lines of discontinuity of a vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 2 (181). P. 34-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

5. Roytenberg V.Sh. On bifurcations in a neighborhood of a joining point of lines of discontinuity of a vector field // Scientific and Technical Bulletin of Volga Region. 2016. No. 5. P. 30-33.

6. Roytenberg V.Sh. On the generation of a strange at-tractor from a joining point of lines of discontinuity of a vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 4 (191). P. 53-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru

7. Roytenberg V.Sh. On bifurcations in the neighborhood of a singular point of the triple sewn focus type // University Proceedings. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences. 2017. No. 2 (42). P. 18-31.

8. Shilnikov L.P. On some cases of the generation of periodic motion from singular trajectories // Mathematical Collection. 1963. Vol. 61, No. 4. P. 443-466.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.